# data[].attributes.headline
Фракталы бывают разных видов.                   Рассмотрим некоторые из них.   Геометрические.   

# data[].attributes.subject
Фракталы бывают разных видов.                   Рассмотрим некоторые из них.   Геометрические.   

# data[].attributes.body
Именно с геометрических фракталов и начиналась история фракталов. Геометрические фракталы получают с помощью некоторой ломаной линии или поверхности путем бесконечного повторения процедуры замены отрезков на ломаную - генератор в соответствующем масштабе. Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется "О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии".

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических "уродцев".

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) ⁻¹. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a. Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено Tn = 3 · 4n⁻¹ треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3)n. Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен Tn · Sn = 3/4 · (4/9)n · S ₀. Поэтому после n-го шага площадь фигуры будет равна сумме S ₀ + T ₁ · S ₁ + T ₂ · S ₂ + ... + Tn · Sn = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log ₃4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N( δ) ~ (1/ δ), где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, а D - размерность, получаем, что D = log 1/. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log ₉12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log ₁₈30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log ₇₂30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда "эмпирическое" значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log ₃ 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха "наоборот" получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

Трехмерные аналоги. Пирамида Коха.

Далее: Т-квадрат

# data[].attributes.attachment_link.title
Снежинка Коха

# data[].attributes.attachment_link.description
Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке.

# data[].attributes.headline
Стохастические фракталы

# data[].attributes.subject
Стохастические фракталы

# data[].attributes.body
Геометрические фракталы в силу их постоянного самоподобия, «правильности», не могут выступать в качестве моделей природных объектов, так как последние создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность.

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Стохастические фракталы, смоделированные компьютерной программой, очень похожи на природные творения - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии, «горный массив» и т.д. Примером стохастического фрактала является плазма.

# data[].attributes.attachment_caption
Бассейны Ньютона

# data[].attributes.headline
Алгебраические фракталы

# data[].attributes.subject
Алгебраические фракталы

# data[].attributes.body
Алгебраические фракталы строятся на основе математических формул — их можно превратить в геометрические, если построить графики на координатной плоскости. Среди алгебраических фракталов можно выделить фракталы Мандельброта, Жюлиа и бассейны Ньютона. Все они строятся на множестве комплексных чисел, которые состоят из действительной и мнимой части. Просто фракталы Мандельброта и Жюлиа строятся на основе квадратов комплексных чисел, а бассейны Ньютона — на основе их кубов.

# data[].attributes.headline
История появления.

# data[].attributes.subject
История появления.

# data[].attributes.body
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (рисунок ). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка ). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

# data[].attributes.headline
Фотографии природных

# data[].attributes.body
Фотографии природных объектов, демонстрирующих фрактальное строение, и фракталы, построенные с помощью компьютерной программы Fractal Explorer: вид на Землю с самолета (а, участки земли, расчерченные на многоугольники, береговая линия протоков и рукавов рек, так же, как и облака, демонстрируют статистическое самоподобие); переплетение древесных ветвей (б); завихрения водного потока (в); морозные узоры на стекле (г); колонии водорослей и моллюсков (д); типичные дендриты, часто встречающиеся в природе, здесь — гриб Hericium coralloides (е).

# data[].attributes.headline
Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии.Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

# data[].attributes.subject
Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии.Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

# data[].attributes.body
Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.
При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

# data[].attributes.headline
Гастон Жюлиа.

# data[].attributes.subject
Гастон Жюлиа.

# data[].attributes.body
Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.
Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.
Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.
Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, перейдя по ссылке.

# data[].attributes.headline
Лорен Карпентер: искусство, созданное природой.

# data[].attributes.subject
Лорен Карпентер: искусство, созданное природой.

# data[].attributes.body
Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.
В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

# data[].attributes.headline
ФРАКТАЛЫ В ЛИТЕРАТУРЕ

# data[].attributes.subject
ФРАКТАЛЫ В ЛИТЕРАТУРЕ

# data[].attributes.body
Самыми простым бесконечным текстом будет текст из бесконечного количества дублирующихся элементов, или куплетов, повторяющейся частью которого является его «хвост» – тот же текст с любым количеством отброшенных начальных куплетов.

# data[].attributes.attachment_caption
"Всемирный потоп"

# data[].attributes.headline
ФРАКТАЛЫ В ИСКУССТВЕ 

# data[].attributes.subject
ФРАКТАЛЫ В ИСКУССТВЕ 

# data[].attributes.body
Ряд картин известных художников представляют собой изображение множества картин внутри картины – барочные галереи, кабинеты или кунсткамеры, на которых изображаются другие картины или собрания картин.
Яркими работами в этой системе является рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп», гравюры японского художника Кацусики Хокусая и работы Э. Эшера также являются ярким примером фрактальности.

# data[].attributes.headline
ФРАКТАЛЫ В АРХИТЕКТУРЕ

# data[].attributes.subject
ФРАКТАЛЫ В АРХИТЕКТУРЕ

# data[].attributes.body
Фрактальную архитектуру можно разделить на два типа: интуитивную и сознательную.

В первом случае примером может послужить немалое количество архитектурных шедевров прошлого, в которых строители или же сам архитектор неосознанно использовали принцип фрактального строения. Это отражается как в общем облике здания, так и в отдельно взятых деталях фасада. Встречаются такие сооружения и в западной, и в отечественной архитектуре.

Исторический музей в Москве – прекрасный тому пример. Башни пирамидальной формы, являясь самостоятельным элементом, создают общую зигзагообразную линию постройки и в то же время повторяются в мелких деталях, из которых и состоят.

# data[].attributes.attachment_caption
Кресло и стул с использованием фрактальной структуры

# data[].attributes.headline
ФРАКТАЛЫ В ДИЗАЙНЕ ИНТЕРЬЕРА

# data[].attributes.subject
ФРАКТАЛЫ В ДИЗАЙНЕ ИНТЕРЬЕРА

# data[].attributes.body
Дизайн в современном мире охватывает настолько широкую область применения, что для описания все его разновидностей и областей применения не хватит нескольких книг. Среди великого множества направлений дизайна, таких огромных и всеохватывающих, как промышленный дизайн, интерьеров или архитектурный, или более точечных и узконаправленных – звуковой, книжный и другие виды, среди всех этих направлений очень много схожего – они преследуют одинаковые цели.

При проектировании визуальных и функциональных особенностей дизайнер ориентируется не только на свой собственный вкус, но и тех людей, кто будет заинтересован в его изделии не только по функционалу, но и по эстетическим и визуальным свойствам. Фракталы, появившиеся в визуальной среде сравнительно недавно, - с 80 годов прошлого столетия, - за столь короткий промежуток времени уже прочно закрепились во многих направлениях дизайна, занимая в них весомые позиции.

Отдельно такого понятия, как «фрактальный дизайн», пока еще не существует, но совсем скоро и этот стиль уже обретет собственное название и прочные связи с остальными направлениями. А пока дизайнеры со всего мира только начали использовать в своих работах эти замечательные структуры, только недавно описанные видными математиками. Начав с визуализации на мониторах, когда фракталы были уделом экспериментов математиков и программистов, с внедрением новых программных сред и приложений, эти структуры постепенно обретали плоть стараниями многих людей. И сейчас доступны приложения, где фракталы может визуализировать любой желающий, как в 3Д – среде, так и на двумерной плоскости. Сложно сказать, когда и кто впервые стал использовать фрактал как единицу дизайна, но это и неважно. Важно то, что их использование поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень, привнесение фрактальных структур увеличило во многих случаях как визуальную, так и функциональную оставляющие дизайна.

# data[].attributes.headline
ФРАКТАЛЫ В МЕДИЦИНЕ

# data[].attributes.subject
ФРАКТАЛЫ В МЕДИЦИНЕ

# data[].attributes.body
Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактальных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи, бронхиальные пути в легких, артерии.

Теория фракталов применяется для анализа электрокардиограмм. Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца. Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!

Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография - метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.