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São duas figuras geométricas muito parecidas, o que pode ocasionar dúvidas sobre as suas definições.

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As retas não possuem definição na matemática, no entanto, podemos dizer que uma reta é uma figura geométrica unidimensional, ou seja, só possui uma dimensão.

Só podemos medir o comprimento dos objetos na reta. Esses objetos são:

Semirreta

Uma semirreta é definida por dois pontos A e B, onde A é o ponto de origem e B um ponto qualquer. O ponto A, que indica a origem da semirreta, corta a reta de modo que apenas um lado seja infinito. Então, uma semirreta é uma parte da reta, infinita somente de um lado.

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Triângulos são figuras geométricas formadas por três segmentos de reta que se encontram nas extremidades. Assim, são polígonos com três lados, três ângulos e três vértices. Um triângulo é um polígono que possui três lados e que necessariamente é uma figura plana cujos lados são segmentos de reta.

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Na maioria das situações, usamos as medidas da base e da altura de um triângulo para calcular a sua área

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O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º), e dois ângulos agudos (menores que 90º). Desta maneira, das três alturas de um triângulo retângulo, duas coincidem com os lados desse triângulo.

Além disso, se conhecermos dois lados de um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras, facilmente encontramos o terceiro lado.

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DESCRIÇÃO- As retas são linhas formadas por pontos e sem espaços entre eles. Elas são infinitas e ilimitadas. Dessa forma, devem possuir setas para os dois lados indicando que possuem comprimento infinito. Para indicar os pontos da reta, devemos utilizar letras maiúsculas.

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DESCRIÇÃO- As retas são linhas formadas por pontos e sem espaços entre eles. Elas são infinitas e ilimitadas. Dessa forma, devem possuir setas para os dois lados indicando que possuem comprimento infinito. Para indicar os pontos da reta, devemos utilizar letras maiúsculas.

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Para indicar os pontos da reta, devemos utilizar letras maiúsculas. Além disso, apesar de uma reta possuir infinitos pontos, só serão preciso indicar dois pontos quando desenharmos uma reta, segundo a Geometria.

É importante lembrar que as elas não fazem curvas. Quando utilizadas na geometria plana, são chamadas retas no plano, quando utilizadas na geometria espacial, são chamadas retas no espaço.

EXPLICAÇÃO IMAGEM

É importante informar, como visto na imagem acima, que as elas podem estar dispostas no plano na horizontal, vertical ou inclinada.

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O segmento de reta é outro objeto que podemos destacar numa reta. O segmento de reta é formado por dois pontos A e B, o espaço entre A e B é o que chamamos segmento de reta. Dessa forma, das diferentemente das semirretas, os segmentos de reta são finitos.

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O triângulo equilátero, também chamado de equiângulo, é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos congruentes (mesma medida).

Neste tipo de triângulo, quando conhecemos apenas a medida do lado, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida da altura.

A altura, neste caso, o divide em outros dois triângulos congruentes. Considerando um desses triângulos e que seus lados são L, h (altura) e L/2 (o lado relativo a altura fica dividido ao meio), ficamos com:

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Assim, substituindo o valor encontrado para a altura na fórmula da área, temos:

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Podemos classificá-las de acordo com seu tipo e disposição no plano.

Concorrentes

São chamadas concorrentes quando elas possuem um único ponto em comum, sendo onde elas se cruzam. Um caso particular de retas concorrentes são as perpendiculares.

Exemplo:

Paralelas

São retas que não se encontram e assim não possuem pontos nem ângulos em qualquer parte das retas. Elas são posicionadas lado a lado em qualquer sentido.

Exemplo:

Para dizer que uma reta é paralela a outra, fazemos: s // t

Coincidentes

São retas em que dois ou mais pontos de uma reta coincidem com outra. Dessa forma, na geometria, duas retas coincidentes são uma só.

Exemplo:

Perpendiculares

São perpendiculares entre si quando as retas se cruzam em um ponto e formam um ângulo reto (ângulo de 90°).

Exemplo:

Transversais

Uma reta é chamada transversal quando ela se cruza com outras duas retas em pontos diferentes.

Exemplo:

Coplanares

São chamadas de coplanares quando elas pertencem ao mesmo plano, na imagem ao plano B.

Exemplo:

Reversas

São chamadas reversas quando elas pertencem a planos diferentes.

Exemplo:

Propriedades

As retas são infinitas;

São unidimensionais, ou seja, possui apenas uma dimensão;

O conjunto dos pontos são infinitos;

No plano, elas podem ser dispostas na horizontal, vertical e de forma inclinada.

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é um tipo de triângulo que possui dois lados e dois ângulos internos congruentes. Para calcular a área do triângulo isósceles, utiliza-se a fórmula básica para um triângulo qualquer.

Quando queremos calcular a área de um triângulo isósceles e não conhecemos a medida da altura, também podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar essa medida.

No triângulo isósceles, a altura relativa a base (lado com medida diferente dos outros dois lados) divide este lado em dois segmentos congruentes (mesma medida).

Desta forma, conhecendo as medidas dos lados de um triângulo isósceles, podemos encontrar sua área.

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QUADRADO- Originalmente seu significado era ''O que foi cortado seguindo os retos'', do particípios passados QUADRUTOS, do verbo latino quadrare.
É comum os artistas utilizarem a geometria como meio de auxílio para construções, composições e encaixes nas obras de arte. Outros fazem prevalecer em suas obras as formas geométricas, como é o caso dos pintores cubistas, futuristas ou surrealistas'' tornar simétrico, enquadrar! (isso na arte)
Na matemática, o quadrado é uma figura geométrica plana formada por quatro lados e que, obrigatoriamente, possui as seguintes características: quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.

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Uma reta quando representada no plano cartesiano que passa pelo ponto P(0, n), com coeficiente angular m, possui uma equação, chamada equação reduzida da reta, e pode ser escrita da seguinte forma:

y = mx + n

Onde:

x e y: são as coordenadas do plano cartesiano;

m: é o coeficiente angular;

n: é o coeficiente linear.

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Uma circunferência é um conjunto de pontos pertencentes ao plano que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto C. Em outras palavras, dada a distância “r” e o ponto fixo C, qualquer ponto A que possui a distância de A até C igual a r é um ponto pertencente à circunferência. Matematicamente, podemos representar essa última relação da seguinte maneira:

dAC = r

Tendo em vista a distância entre dois pontos obtida na Geometria Analítica e considerando as coordenadas de A (x,y) e de C (a,b), a relação acima pode ser reescrita da seguinte maneira:

dAC = r

√[(a – x)2 + (b – y)2] = r

(a – x)2 + (b – y)2 = r2

Na Geometria Analítica, essa equação é chamada de equação da circunferência com centro C (a,b) e raio r.

O ponto C é conhecido como centro da circunferência e a distância r é chamada de raio. A figura geométrica formada por um conjunto de pontos desse tipo é a seguinte:

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Circunferência de centro C e raio r

O ponto C não pertence à circunferência, pois a circunferência é apenas o círculo verde. O ponto A, por sua vez, pertence à circunferência.

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O círculo, por sua vez, é uma figura geométrica plana que é definida da seguinte maneira:

Círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circunferência e seus pontos internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência.

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Círculo: área colorida.

Tomando novamente os conhecimentos vindos da Geometria Analítica, a equação do círculo é praticamente igual à equação da circunferência. A diferença encontra-se no fato de o círculo ser um conjunto de pontos menor ou igual ao raio. A partir disso, temos a seguinte equação:

dAC ≤ r

√[(a – x)2 + (b – y)2] ≤ r

(a – x)2 + (b – y)2 ≤ r2

Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circunferência é que o círculo é toda a área interna de uma circunferência. Já essa última é apenas o contorno de um círculo.

Propriedades básicas do círculo e da circunferência

O ponto C, centro da circunferência, não pertence a ela, mas pertence ao círculo. Dessa maneira, dado um ponto A qualquer (lembrando que dAC é a distância entre A e C), as posições relativas entre A e uma circunferência são:

1 – A é ponto da circunferência, se dAC = r;
2 – A é ponto externo à circunferência, se dAC > r;
3 – A é ponto interno à circunferência, se dAC < r;

As posições relativas entre A e o círculo são:

1 – A é ponto do círculo, se dAC ≤ r
2 – A é ponto externo ao círculo, se dAC > r

Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda. Quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Desse modo, o diâmetro tem o comprimento igual ao comprimento de dois raios e, além disso, é a maior corda encontrada em qualquer circunferência.

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Circunferência contendo um exemplo de corda e um exemplo de diâmetro

Dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento de seu raio, o número encontrado sempre será, aproximadamente, 6,28. Dessa maneira, pode-se escrever a seguinte relação:

C = 6,28
r

Dividindo ambos os membros por 2, obtemos o seguinte resultado:

C = 3,14
2r

Esse resultado é o mesmo da divisão anterior, mas realizado com o diâmetro da circunferência no lugar do raio. Dessa maneira, é possível encontrar o comprimento de uma circunferência tendo em mãos apenas o comprimento de seu raio (ou diâmetro). Assim, é possível definir a fórmula para o comprimento da circunferência:

C = 2πr, em que π é aproximadamente 3,14

O mesmo se aplica ao cálculo do comprimento ou perímetro de um círculo. Contudo, não é possível calcular a área de uma circunferência. A área que é calculada, na realidade, é a área do círculo, e a fórmula utilizada para isso é a seguinte:

A = π.r2

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Raio:

É a distância entre o centro e a borda de um círculo. Nessa definição, é a medida de r e é comumente representado por essa letra.

Diâmetro:

É o segmento de reta que liga dois pontos pertencentes à borda de um círculo e que passa pelo seu centro. Dessa maneira, o diâmetro sempre terá o dobro da medida do raio.

Comprimento:

O comprimento de um círculo, também chamado perímetro, é igual ao comprimento da circunferência que o limita e pode ser obtido pela seguinte expressão:

C = 2·π·r

A partir do comprimento do raio de um círculo, é possível calcular seu comprimento, pois π tem valor fixo: aproximadamente igual a 3,14.

Área do círculo:

A área do círculo é a quantidade de espaço que ele ocupa no plano e pode ser obtida usando a seguinte expressão:

A = π·r2

Assim, conhecendo o raio de um círculo, é possível encontrar sua área.

Setor circular:

Setor circular é uma fatia do círculo determinado por dois de seus raios. Por exemplo: a parte clara da figura a seguir é um setor circular e a parte escura, outro.

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O raio é a distância entre um ponto de uma circunferência e seu centro. O raio do círculo é a distância entre a borda do círculo e seu centro.

Dizemos que um ponto é interior a uma circunferência quando a sua distância até o centro é menor que o raio; o ponto é externo quando a distância entre o centro e ele é maior que o raio; e, por fim, dizemos que um ponto pertence a uma circunferência quando sua distância até o centro é igual ao raio.

O raio da circunferência (e/ou do círculo) é indispensável em cálculos, como comprimento, área etc.

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O comprimento da circunferência é dado pela seguinte fórmula:

C = 2πr

E a área do círculo é obtida pela fórmula a seguir:

A = πr2

Em ambos os casos, r é o raio da circunferência (ou do círculo) e π é uma constante de aproximadamente 3,1415.

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Em uma circunferência, a corda é qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos. Atenção: o centro não é ponto da circunferência!

Dessa maneira, as cordas, em um círculo, podem ser compreendidas como segmentos de reta que ligam dois pontos distintos de sua borda.

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O diâmetro é uma corda da circunferência que contém o centro. Dessa maneira, o diâmetro é a maior corda possível em uma circunferência e sua medida é igual a duas vezes o raio.

d = 2·r

O resultado da divisão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro sempre será igual a uma constante, representada pela letra grega π, que é aproximadamente 3,14. Isso independe do tamanho da circunferência, pois seu comprimento e seu diâmetro são proporcionais e a razão de proporcionalidade é igual a π.

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O comprimento de uma circunferência é a medida da própria circunferência em alguma unidade de medida conhecida. Esse comprimento pode ser obtido pela fórmula:

C = 2πr

Nessa fórmula, π é uma constante (aproximadamente 3,14) e r é a medida do raio da circunferência.

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Considere os pontos A e B sobre uma circunferência. As duas partes formadas que vão de A até B são chamadas de arcos da circunferência, como demonstrado na figura a seguir:

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Em outras palavras, o arco é uma parte de uma circunferência limitada por dois pontos.

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É o equivalente ao arco, porém para o círculo. Em dados dois raios distintos de um círculo, o setor circular é a parte limitada por eles.

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O setor circular é algo que se parece com uma fatia de pizza. A parte restante também é chamada de setor circular.

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É um ângulo cujo vértice está no centro de um círculo e os lados são seus raios. Um ângulo central está ligado a um arco no círculo onde foi definido. A imagem seguinte mostra um exemplo de ângulo central.

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A coroa circular é uma figura geométrica limitada por dois círculos que possuem o mesmo centro (concêntricos) de raios diferentes. Essa figura é a que mais se assemelha a um anel, como mostra a imagem abaixo.

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O triângulo escaleno é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos diferentes. Sendo assim, uma forma de encontrar a área desse tipo de triângulo é usar a trigonometria.

Se conhecermos dois lados desse triângulo e o ângulo entre esses dois lados, sua área será dada por:

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Os quadrados são uma categoria de dois tipos de quadriláteros: os retângulos e os losangos.

Todo quadrado é um retângulo. A definição de retângulo é: um quadrilátero com dois pares de lados paralelos e os ângulos internos de 90º.

Se os lados do retângulo possuírem medidas iguais, neste caso particular, o retângulo também será um quadrado.

Por isso, embora todo quadrado seja um retângulo, nem todo retângulo é um quadrado.

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O perimetro do quadradop é a soma de todos os seus lados.

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Linha reta – é a forma de linha traçada de maneira firme, rígida, com um único direcionamento. Pode ser: horizontal, inclinada ou vertical.

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MODELO DE RETA