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Operações com números irracionais
Adição e subtração de números irracionais
Para somar ou subtrair números irracionais, o mais comum é usar uma aproximação racional desses números para conseguir realizar as operações. Muitas vezes, ao realizar a soma de dois números racionais, por exemplo, deixamos a operação indicada, mas não realizamos o cálculo em si.

Exemplos:

√2 +√3

√2 – √3

0,0123543… + 4,151492304…

Multiplicação e divisão
A multiplicação ou a divisão quando o número é uma raiz não exata é uma operação possível, e o resultado nem sempre é um número irracional.

Exemplos:

√50 : √2 =√25 = 5 → Sabemos que 5 é um número racional.

√5 · √3 = √15 → Nesse caso, √15 é um número irracional, pois não possui raiz exata.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Durante a resolução de um problema envolvendo o teorema de Pitágoras, Marcelo encontrou o valor √20. Ao tentar calcular essa raiz quadrada, sobre o resultado encontrado, ele escreveu três afirmações.

I. O resultado é um número irracional.

II. A representação decimal é uma dízima periódica.

III. A representação decimal desse número está entre 4 e 5.

Das afirmativas feitas por Marcelo, ele acertou:

A) somente I e II.
B) somente II e III.
C) somente I e III.
D) todas as afirmativas.
E) somente a II.

Resolução

Alternativa C.

I → Correta, pois é uma raiz não exata.

II → Errada, pois uma raiz não exata é uma dízima não periódica.

III → Correta. √20 não é uma raiz exata, mas está entre √16 = 4 e entre √25 = 5.

Somente as afirmativas I e III estão corretas.

Questão 2 - Analise os números a seguir e classifique-os como racionais ou irracionais.

I) 3,1415

II) π

III) 1,123902123…

IV) √36

São considerados números irracionais:

A) somente I e IV.
B) somente II e III.
C) somente II e IV.
D) somente I e II.
E) somente III e IV.

Resolução

Alternativa B.

I → É um número decimal exato, logo é considerado um número racional.

II → O π é um número irracional, pois sua representação decimal é uma dízima não periódica.

III → Esse número é uma dízima não periódica, logo é um número irracional.

IV → Se calcularmos √36, o resultado é 6, que é um número racional.

São números irracionais somente II e III.

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As dízimas periódicas são números que têm parte decimal periódica e infinita. Ao representar uma dízima periódica na sua forma decimal, a sua parte decimal é infinita e sempre possui um período, ou seja, um número que se repete de forma contínua.

Uma dízima periódica pode ser representada na forma de uma fração. Quando dividimos o numerador de uma fração pelo denominador, encontramos a representação decimal do número, se essa representação decimal for uma dízima periódica, a fração é conhecida como fração geratriz da dízima.

Existem dois tipos de dízimas periódicas, as simples, quando existe somente o período na parte decimal, e as compostas, quando a sua parte decimal tem período e o antiperíodo.

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A reta numérica é uma forma gráfica de representar os números reais. Essa linha é infinita, segue em qualquer direção e tem como ponto central o zero. À direita estão os números maiores que zero os + positivo, e à esquerda da estão os números menores que zero os - negativos. Para cada número que pertence ao conjunto dos números reais, existe apenas um ponto nessa linha.

As propriedades dos números reais:

Elemento neutro: É um número que multiplicado, à esquerda ou à direita, por qualquer outro número não o altera.

Propriedade comutativa: Da adição ou na multiplicação, a ordem dos números não altera o resultado.

Propriedade associativa: Na adição ou na multiplicação, os dois números operados são indiferentes à qualquer ordem.

Propriedade distributiva: O produto da soma é igual à soma dos produtos.

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Chama-se Números Reais (ℝ) o conjunto numérico que é completo, formado pelos Racionais (ℚ) e Irracionais (ℝ-ℚ)

Foi Descartes, no Século XVII, que chamou certos números de “Reais”. Para ele, toda raiz de uma equação negativa ou imaginária ele considerava uma raiz falsa. Portanto, as soluções verdadeiras eram consideradas as Reais.

História
Na Grécia Antiga os matemáticos descobriram que haviam medidas que não podiam ser expressas por frações, que foram chamados de números irracionais. Os números irracionais e racionais foram usados juntos durante todo o desenvolvimento da matemática, pois os matemáticos tomavam por garantia que os dois complementavam um ao outro para construir todos os números possíveis.

Enquanto os racionais eram essenciais para a medição em geral, os números irracionais se faziam necessários para o estudo de funções, já que uma sequência de racionais possui diversos "buracos" (por exemplo, a √2 não existe nos racionais). Portanto, seria impossível saber a área exata de um círculo ou fazer um gráfico contínuo sem utilizar os irracionais.

No século XIX foram encontradas funções contínuas que não possuiam derivadas em nenhum ponto. Foi Cantor quem primeiro tentou fazer uma análise séria destas funções estranhas. Ele descobriu que não bastaria apenas olhar para a definição de função, mas sim para a própria definição de número real. Assim, ele demonstrou que os reais são incontáveis, porém, não conseguiu tornar rigorosa sua completude: isto é, definir que não há buracos numa sequência de Números Reais.

Quem fez a primeira definição foi Dedekind, provando que, ao dividir os Reais em duas partes, haverá somente um ponto que fica entre as duas partes e que não pertence a nenhuma delas. Outras definições foram dadas, algumas buscando construir os Números Reais por axiomas e através dos números racionais. E assim os fundamentos da matemática se firmaram mais na lógica pura do que na intuição, e diversos problemas puderam ser resolvidos com o advento da Análise Real.

Propriedade da Completude

Uma sequência de números reais tem um limite, que é um número real se seus elementos eventualmente chegarem e permanecerem arbitrariamente próximos um do outro.

"Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes." - Dedekind

Esta propriedade assegura que não haverá buracos numa sequência de números reais quaisquer, ou seja, que ela será contínua.

Radiciação
Todo Número Real possui uma raiz quadrada, cúbica... enésima.

Exemplos de Números Reais

7

-11

3/4

-2.25

√2

⁷√5

π = 3.141592653589793238462...

e = 2.71828182845904523536...

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Tudo que você precisa saber sobre os números reais | Uma Não Tão Breve História do Espaço.

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Matemática Rio com Prof. Rafael Procopio

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Conjunto dos Números Reais ou Resumo dos Conjuntos Numéricos | MAB #9

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A cerca de 10 mil anos começou no oriente médio a agricultura  com o passar dos anos o ser humano deixou de ser apenas pescador e coletor de alimentos para de dedicar a utilizar o solo, então começaram a ter necessidades com este novo estilo de vida, precisavam controlar seus rebanhos, toda manhã para cada animal que saia uma pedrinha era colocada dentro de um saco, e no final da tarde para cada animal que voltasse uma pedrinha era retirada, se sobrassem pedras voltaram menos animais e se faltassem voltaram mais animais.

A palavra cálculo é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

Eram utilizadas outras formas para contabilizar, como desenhos em cavernas, nós em cordas.

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NÚMEROS IRRACIONAIS - Conjuntos Numéricos (Números Reais)

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Pato Donald e a sequencia de fibonacci (Regra de ouro)

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ℕ é o conjunto que representa os números naturais, no qual é formado por todos os números inteiros não negativos, sendo um conjunto infinito.

O conceito surge da ideia da sequência da contagem, em que cada algarismo sempre vai representar uma quantidade:

N={ 1,2,3,4,5,6.... }

Neste conceito, um número sempre é sucessor de outro, de forma que um número sempre vai ser maior que o outro e consequentemente sucessor. Por exemplo, o sucessor do 0 sempre vai ser o 1 e ele sempre vai ser maior que o 0.

Essa ideia segue as seguintes regras:

1. Todo número natural tem um sucessor

2. Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;

3. Existe um único número natural, chamado um é representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;

Nos números naturais, podemos representar quem é o maior e quem é o menor, para isso usamos os símbolos < e > onde:

< = Representa menor que

> = Representa maior que

Desta forma, podemos dizer por exemplo que:

9 > 3 ( Nove é maior que três )

2 < 5 ( Dois é menor que cinco )

E a questão do 0 fazer ou não fazer parte do conjunto dos números naturais?

A polêmica na verdade é uma questão de preferência, existem teóricos que afirmam terminantemente que o 0 não faz parte do conjunto e outros afirmam que sim.  A questão é que ele foi adotado como um algarismo, com o objetivo de preencher uma casa decimal vazia.

Neste caso cabe o conceito do números naturais não nulos, que excluem a presença do zero sendo representados pelo símbolo dos números naturais e o * conforme abaixo:

N* {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}

Ai vai uma curiosidade:

Criação do zero: a criação do zero foi feita pelos hindus, para representar a ausência de tudo, desta forma foi criado um símbolo para representá-lo. Foi o último a ser criado e seu uso na matemática foi feita pela primeira vez pelos babilônicos, nos documentos mais antigos conhecidos ele se consta presente apenas ao século III a.C.

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Números IRRACIONAIS: O que são?! Um jogo!

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Subconjuntos:

Os subconjuntos dos números naturais são conjuntos que agrupam números naturais que possuem alguma característica em comum.

É possível formar um subconjunto de múltiplos para cada número natural que existe. Os mais conhecidos são os dos múltiplos dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, que compõem a tabuada. Um exemplo de subconjunto dos naturais é:

{0, 1, 2}: conjunto dos três primeiros números naturais

subconjuntos dos números naturais mais importantes são os seguintes:

Conjunto vazio

É o conjunto dos números naturais que não possui nenhum elemento. Todo conjunto numérico possui o conjunto vazio como subconjunto.

O próprio conjunto dos naturais

Outra propriedade dos conjuntos é a seguinte: todo conjunto numérico é subconjunto de si mesmo. Assim, por mais estranho que pareça, o conjunto dos números naturais é também subconjunto dos números naturais.

Conjunto dos números naturais pares.

O conjunto dos números naturais pares é formado por todos os números que resultam de uma multiplicação por 2. Esse conjunto também pode ser compreendido como o dos divisores não negativos de 2. Matematicamente, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma:

p = 2n ( n é um número natural)

O conjunto dos números naturais pares pode ser representado da seguinte maneira:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, …}

Conjunto dos números naturais ímpares

Esse conjunto é formado por todos os números naturais que não são pares. Todo número ímpar pode ser escrito na forma:

i = 2n + 1

ou

i = 2n – 1.

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Dos números irracionais a seguir, qual deles pertence ao intervalo 2 e 3?

A) Π

B) √2

C) √3

D) -3,123124458901...

E) √6

Das alternativas abaixo, determine qual delas melhor se aproxima do valor do número irracional √8.

A) 2,830

B) 2,828

C) 2,826

D) 2,827

E) 2,831

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Espiral áurea, que representa a sequência de Fibonacci. Se dividirmos suas medidas o resultado será a proporção áurea.

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História: A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritemética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.

Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2.
Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número.
Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginá-la cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

Conceitos: A definição geral considera que, um número irracional é todo aquele cuja representação decimal é sempre uma dízima não periódica. A título de comparação, cabe lembrar que, as dízimas periódicas são números decimais e periódicos. São números infinitos, com algarismos que se repetem, isto é, o seu período. Estes, são parte do conjunto dos números racionais, os quais podem ser escritos na forma de fração. Já os irracionais, (dízimas não periódicas), como por exemplo a raíz quadrada de 2 ou π, são números que não podem ser expressados como a razão de dois números inteiros, não importa quão grandes.

Curiosidade: A lenda diz que a descoberta da irracionalidade da raíz √2 foi tão desconcertante para os Pitagóricos, os quais desejavam que todos números fossem racionais, que jogaram o descobridor no oceano.

Exemplos:
π (pi) é um famoso número usado na Geometria, ele é um número irracional. Foi descoberto através da divisão do comprimento pelo diâmetro de uma circunferência;

π = 3,14159265358979…

O número de Neper, simbolizado pela letra e. Na natureza, o número de Neper aparece, por exemplo, associado à desintegração radioativa

e = 2,71828182845...

O número áureo, também conhecido como número de ouro, é uma proporção entre duas razões encontradas em elementos da natureza. Muito utilizado em obras de artes e construções. É denotado pela letra grega Φ (Phi).

Φ = 1.61803399...

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História: Um número inteiro é um número que pode ser escrito sem uma fração. Por exemplo, 21, 4, 0, e −2048 são números inteiros, enquanto 9,75, 5/2, e números elevados a uma raiz não são. O conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo Z, cuja letra é originada da palavra alemã Zahlen, que significa "números".

Conceitos: Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e eram utilizados para contagem.
O conjunto dos números inteiros não negativos recebe o nome de conjunto dos números naturais, sendo ele:
={0,1,2,3,4,5,6…}
O conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos:
={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}
Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano, como para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas etc.
Para fazermos a representação dos números inteiros na reta, consideramos como a origem o meio da reta, que é onde está localizado o número 0. À direita de 0, ficam todos os números positivos, e, à esquerda de 0, todos os números negativos.
Módulo ou valor absoluto

O módulo ou valor absoluto de um número n,representado por |n|, é a distância que esse número tem até a origem, ou seja, a distância do número até o zero. Na prática, podemos separar em dois casos:

Se n for positivo ou igual a zero, ou seja, n> 0 ou n= 0,então |n| é o próprio n.

Se n for negativo, ou seja, n< 0, então |n| é igual a –n.

Em resumo, se o número for negativo, o módulo será esse número só que positivo, e se ele for positivo, o módulo será o próprio número.

De modo geral, temos que:

|n| = n → se n for positivo.

|n|= –n → se n for negativo.

Todo número inteiro possui um sucessor e um antecessor bem definido. Assim como nos números naturais, sucessor é o que vem depois e antecessor é o número que vem antes. Por exemplo, o sucessor de 0 é 1, e o antecessor de 0 é –1. De modo geral, o sucessor de um número n é n + 1, e o seu antecessor é representado por n – 1. Para encontrarmos o sucessor de um número na reta, andamos uma unidade para a direita, e para encontrarmos o seu antecessor, andamos uma unidade para a esquerda.

Muitas pessoas confundem-se ao trabalharem com antecessor e sucessor de números negativos. Nesse sentido, note que, por exemplo, o sucessor de –4 é –3 e que o antecessor de –4 é –5.

Oposto ou simétrico

O número que está na mesma distância da origem da reta numérica é conhecido como oposto ou simétrico de um número. Seja n um número inteiro, o posto de n é igual a –n.

Exemplos: Quando n for positivo:

|0| = 0

|23| = 23

|5| = 5

|0,3| = 0,3

Quando nfor negativo (aqui será feito de forma detalhada, para deixar claro a definição de módulo, mas esse calculo normalmente é feito de forma direta):

|–1| = – (–1) = 1

|–3| = – (–3) = 3

|–0,3| = – (–0,3) = 0,3 É importante entendermos a definição de módulo, porém, para calcular-se o módulo de um número negativo, esse cálculo pode ser feito de forma direta, apenas trocando-se o sinal do número. Como: |–2| = 2.

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Previamente agendada para 13/04/2022

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História: O conceito dos números racionais surgiu da necessidade de representar partes de um inteiro. Durante os períodos de inundações do Rio Nilo, muitas terras ficavam submersas, recebendo nutrientes e tornando-se férteis para a agricultura. Quando as águas baixavam, era necessário remarcar os limites entre os terrenos de cada proprietário, inclusive para fins econômicos, a fim de permitir a correta arrecadação de impostos. Cercas ou marcos ficavam submersos anualmente durante a época das cheias, exigindo, assim, um método mais abstrato de delimitação. (COSTA, 2010)

Assim como nos cita Costa, os números racionais surgiram da necessidade de medir. E medir nada mais é do que comparar as razões de dois inteiros. Para isso é necessário estabelecer um padrão de comparação para todas as grandezas da mesma espécie, as chamadas unidades de medida (ex.: centímetros ou metros para comprimentos; minutos ou horas para tempo, etc.). Medir é determinar quantas vezes a unidade estabelecida cabe no que se quer medir. O resultado desta comparação, que é a medida da grandeza em relação à unidade considerada, deve ser expresso por um número. No conjunto dos números inteiros existe a impossibilidade da divisão, isto é, neste conjunto nem sempre é possível expressar o resultado de uma medição ou de uma razão. Para resolver esse problema, criou-se um novo conjunto de números, o conjunto dos números racionais (Q), assim denominado por representar a razão entre dois inteiros.

Conceitos: Os números racionais são aqueles que podemos colocar um quociente entre dois números inteiros. A noção de racional provém de razão (que é a parte de um todo). Os números racionais são formados pelos números inteiros (que se podem expressar como quociente: 5= 5/1, 38=38/1) e as frações (os números racionais não inteiros: 2/5, 8/12, 69/253).

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros, ou seja, o conjunto os números inteiros, faz parte do conjunto dos número racionais. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q. O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.
Dessa forma, dizemos que o conjunto dos números racionais é composto por todas as frações de “a” por “b”, em que “a” é um número inteiro e “b” é um número inteiro diferente de zero.

Os números racionais também permitem expressar medidas. Quando se compara uma determinada quantidade com uma respectiva unidade, obtém-se, regra geral, um resultado fraccionário. Por exemplo: Se dividirmos uma pizza em duas partes, teremos duas metades. Cada porção será 1/2 da pizza (uma parte de dois). Caso peguemos em ambas as porções, voltaremos a obter a pizza inteira (2/2= 1).

Os números racionais podem ser somados, subtraídos, multiplicados ou divididos (exceto por zero). O resultado dessas operações será sempre outro número racional. Tendo em conta que os números inteiros podem ser positivos ou negativos, é aplicada a Regra de Sinais. A forma de concretizar as operações irá variar dependendo da existência ou da ausência de um denominador comum nas fracções.

Exemplos:

N: {0,1,2,3...}

Z: {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}

Frações: {1/2,-3/5,6/3}

Números decimais: {0,3; -4,8; 9,212121}

Dizimas periódicas: {0,2121....; -22,333.....; 7,234234....}

Subconjunto:

Conjunto dos números racionais não nulos:

Q*= {x∈Q/x≠0}

Por exemplo: Q* = {…+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5…}

OBS: O (*) que dizer que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento nulo.

Conjunto dos números racionais não negativos:

Q+= {x∈Q/x≥0}

Por exemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 …}

Conjunto dos números racionais positivos e não nulo:

Q+*= {x∈Q/x>0}

Por exemplo: Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 …}

Conjunto dos números racionais não positivos:

Q−= {x∈Q/x≤0}

Por exemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0}

Conjunto dos números racionais negativos e não nulo:

Q−*= {x∈Q/x<0}

Por exemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1}

Curiosidades:

✔️ Enquanto nos números inteiros cada número tem um posterior (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existem infinitos números entre cada número racional.
✔️ A letra foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão

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NÚMEROS RACIONAIS - O Conjunto dos Números Racionais - Professora Angela Matemática

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História:

Conceitos:

Exemplos:

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O que são Números Naturais? Conjuntos dos Números Naturais