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LUIS ALEJANDRO ZARAZÚA SANTIZO 202201068
JAIRO ANDRES MARTÍNEZ CASTRO 202202306

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Pérez, Á. (2010). Rectas perpendiculares. Educación Matemática, 22(3), 143-148.

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NOMENCLATURA

Para su denominación utilizaremos letras minúsculas acompañadas de una o dos comillas, según sea la proyección horizontal o vertical. (Por ejemplo r’, r”). Los puntos que definen las rectas se designaran por letras mayúsculas.

Una recta queda definida por sus trazas. Existen dos trazas una horizontal y otra vertical.  Se denomina traza al punto de intersección de la recta con los planos de proyección. Traza horizontal se representa por H, su proyección será por tanto H’ acompañada de la letra minúscula correspondiente a la recta.  Por ejemplo H’r.

Traza vertical se representa por V, su proyección vertical será por tanto V” acompañada de la letra minúscula correspondiente a la recta. Por ejemplo V”r.

Como H y V siempre serán coincidentes con sus respectivas proyecciones H’ y V”, en lo sucesivo solo emplearemos su proyecciones.

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Perpendiculares: Al cruzarse forman cuatro ángulos rectos, es decir, que miden 90º. Cabe precisar que si la recta 1 y la recta 2 son perpendiculares, la pendiente de la recta 1 es igual al inverso de la pendiente de la recta 2 y multiplicado por -1. Es decir, si la pendientes de la recta 1 es 1/2 o 0,5, la pendiente de la recta 2 es -2.

Oblicuas: Al intersecarse forman dos ángulos agudos (menores de 90º) iguales y dos ángulos obtusos (mayores de 90º), también iguales. Cada par de ángulos idénticos se encuentran uno al lado opuesto del otro.

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Paralelas: No tienen ningún en común y siempre mantienen la misma distancia la una de la otra (son equidistantes). También se caracterizar por tener la misma inclinación o pendiente.

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Tipos de rectas según su ubicación respecto a otra

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RECTAS
Las rectas son aquellas líneas que no tienen inicio ni fin y siempre mantienen la misma inclinación o pendiente. Las rectas son un elemento unidimensional básico en la geometría y puede clasificarse en función a distintos criterios.

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Ángulos Horizontales: Rumbo y Azimut, conceptos y ejemplos

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Azimut
Se refiere a un ángulo que utilizamos para conocer la orientación de algo sobre una esfera, en este caso la Tierra, medido desde el Norte. Se utiliza en varias disciplinas con distintos matices, siendo por ejemplo en astronomía referido desde el Sur.
Se trata de un concepto muy utilizado en topografía, y responde al ángulo de una dirección medido en el sentido de las agujas del reloj desde el Norte u otro meridiano de referencia.

Debido a que se mide estrictamente en ese sentido y no en el contrario, el acimut de un punto hacia el este es de 90 grados sexagesimales, pero hacia el oeste es de 270 grados sexagesimales.

También hay que mencionar que el término acimut suele referirse al ángulo calculado desde el norte geográfico. Si usamos el norte magnético se llama rumbo o acimut magnético. Se utiliza especialmente en náutica, cuando la dirección Norte la determina la brújula y responde por tanto al Norte magnético.

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Rumbos
Los rumbos representan un sistema para designar las direcciones de las líneas. El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo medido entre la línea Norte-Sur de referencia hacia el Este o el Oeste. Al igual que el azimut, el rumbo puede ser geográfico, magnético o asumido. Los ángulos de este tipo se notan con las letras, N o S indicando el origen desde el cual se mide, un numero que indica la magnitud del ángulo y la letra E o W que indica el sentido en que se mido el ángulo, esta es la forma convencional como se indica el cuadrante en que esta ubicado el ángulo. Existen cuatro casos especiales para la nomenclatura de los rumbos que son: R (AB): N 00° E = R: N 00° W = R (AB): N R (AB): S 00° E = R: S 00° W = R (AB): S R (AB) N 90° E = S 90° E = R (AB): E R (AB): N 90° W = R: S 90° W = R (AB): W Para obtener el contra rumbo de una línea, solo es necesario intercambiar las letras N por S y E por W o viceversa, sin modificar para nada la magnitud del ángulo. El rumbo OA es N60°E, el rumbo OB es S29°E, el rumbo es S55°W, el rumbo OD es N32°W

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Según la relación con otro ángulo:

Ángulos suplementarios. Son ángulos que suman 180º.

Ángulos complementarios. Son ángulos que suman 90°.

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Según su posición:

Ángulos consecutivos. Son ángulos que comparten un lado y el vértice.

Ángulos adyacentes. Son ángulos consecutivos y el lado que no comparten forma parte de la misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que comparten el vértice pero ninguno de los lados.

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El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos menores (<90°).

Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.

El Teorema de Pitágoras enuncia que:

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En cualquier triángulo, su perímetro es la suma de sus tres lados.

La fórmula del perímetro de un triángulo es diferente según el tipo de triángulos. La fórmula general para calcular el perímetro de un triángulo es:

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El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

Dibujo del triángulo escaleno con un lado y la altura conocidos.

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:

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Teorema de Tales | Ejercicio de aplicación 1. (2018, 12 julio). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=-MplVMcxOEY

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Teorema de Tales | Ejercicio de aplicación 1

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Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90°. Los otros dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.

Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90°).

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90°. Los otros dos son agudos (menores de 90°).

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Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes).

En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).

Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).

Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180º (¿por qué suman 180º?):

Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360º.

Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos.

Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).

Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.

Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).

A continuación os mostramos una tabla de los triángulos según sus ángulos y lados.

Desigualdad triangular

La desigualdad triangular (o desigualdad del triángulo) es un teorema que afirma que:

El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:

Veamos cual es la fórmula según el tipo de triángulo:

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar o bien Triangulo-total.exe

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base ( a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:

El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base ( b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:

El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados ( a, b y c).

También se podría calcular si se conoce un lado ( b) y la altura ( h) asociada a dicho lado.

En cualquier triángulo, su perímetro es la suma de sus tres lados.

La fórmula del perímetro de un triángulo es diferente según el tipo de triángulos. La fórmula general para calcular el perímetro de un triángulo es:

Veamos como se calcula el perímetro del triángulo equilátero, triángulo isósceles, triángulo escaleno y triángulo rectángulo.

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, por lo que su perímetro será tres veces la longitud de uno de sus lados ( a).

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido ( a) más el lado desigual ( b).

El triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales. Su perímetro es la suma de éstos tres.

Ángulos interiores del triángulo

En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores es siempre 180º (en grados sexagesimales) o, en radianes, π. Es decir:

En efecto, si trazamos una recta OP paralela al lado AC, sobre el vértice B, se formará un ángulo llano de 180º, suma de los tres ángulos interiores del triángulo.

En el caso particular del triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es de 90º o, en radianes, π/2.

Los centros de un triángulo son:

El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.

Las medianas (m a, m b y m c) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.

Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro ( centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.

En física, el baricentro ( G) sería el centro de gravedad del triángulo.

El centroide está siempre en el interior del triángulo.

El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.

Las alturas (h a, h b y h c) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.

El circuncentro ( O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.

Las mediatrices de un triángulo (M a, M b y M c) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

El circuncentro ( O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio ( R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:

El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º). En los acutángulos, será un punto interior.

El incentro ( I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.

Las bisectrices de un triángulo (B a, B b y B c) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

El incentro ( I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro ( H), el baricentro ( G) y el circuncentro ( O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro ( H) al baricentro ( G) es el doble que la del baricentro ( G) al circuncentro ( O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a

desde un lado y, por tanto,

al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.

El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos menores (<90º).

Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.

El Teorema de Pitágoras enuncia que:

Se pueden construir los dos cuadrados sobre sus catetos ( a y b) y el cuadrado sobre la hipotenusa ( c).

Geométricamente se puede comprobar que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa, es decir:

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2 R) de la circunferencia ( L) en la que se circunscribe el triángulo.

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a ² = b ²+ c ². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

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Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes). En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos: Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C). Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro.

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CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Super fácil - TIPOS DE TRIÁNGULOS. (2020, 17 agosto). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=I9S1kBXLkBo

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CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Super fácil - TIPOS DE TRIÁNGULOS

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Tipos de triángulos
Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos.

Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Es decir:

Como todos los ángulos son iguales y suman 180°, todos son de 60° (α=β=γ=60°).

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.

El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).

Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son diferentes. Es decir:

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En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).

Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).

Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180° (¿por qué suman 180°?):

Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360°.

Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.

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Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).

Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180° (π radianes).

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PERIMETRO DE FIGURAS IRREGULARES Super facil - Para principiantes (POLIGONOS IRREGULARES). (2020, 24 noviembre). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=icCD6aOqxm4

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PERIMETRO DE FIGURAS IRREGULARES Super facil  - Para principiantes (POLIGONOS IRREGULARES)

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Como resultado obtenemos que su perímetro es de 16,5 cm.

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Ejercicios resueltos
Sea un polígono irregular con seis lados (N=6) no todos iguales, siendo sus longitudes: L ₁=2,1 cm, L ₂=2,7 cm, L ₃=3,4 cm, L ₄=2,9 cm, L ₅=2,4 cm y L ₆=3,0 cm.

El perímetro del polígono irregular será la suma de todos sus lados:

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POLIGONOS IRREGULARES Super Facil - Para principaintes. (2019, 29 octubre). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=PdiN5Q0t0yA

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POLIGONOS IRREGULARES Super Facil - Para principaintes

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Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos y que esos ángulos quedan dentro del polígono. Los ángulos suplementarios quedarían fuera del polígono en cada vértice. Se llaman ángulos exteriores y están formados por un lado del polígono y la prolongación del lado adyacente.

En todos los polígonos convexos, la suma (θ) de los ángulos interiores (α) viene determinada por el número de lados (N) que tiene éste.

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Elementos del polígono irregular

Punto interior: es cualquier punto que está dentro del perímetro del polígono irregular.

Lados: son los n segmentos que delimitan al polígono.

Vértices: puntos de unión de dos lados. Existen tantos vértices como lados tiene el polígono (n).

Ángulos interiores: ángulos interiores de la unión de dos lados consecutivos.

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Un polígono irregular es un polígono con los lados y ángulos desiguales.

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Polígonos regulares | Características y nombres. (2017, 23 mayo). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=wUmqDz3o8Uo

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Polígonos regulares | Características y nombres

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Como resultado se obtiene que el área de este polígono regular es de 25,11 cm2.

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Ejercicios resueltos
Sea un polígono regular de seis lados (N = 6). El polígono regular de seis lados es un hexágono regular. Sean sus lados L=3,1 cm. Se mide su apotema (distancia del centro del hexágono al punto medio de un lado) y es ap=2,7 cm.

Aplicando la fórmula, se obtiene que el área de este polígono regular es:

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POLIGONOS REGULARES Super facil - Para principiantes. (2019, 21 octubre). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=-suHvhrijfA

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POLIGONOS REGULARES Super facil - Para principiantes

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POLIGONOS REGULARES Super facil - Para principiantes. (2019, 21 octubre). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=-suHvhrijfA

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Polígonos según sus ángulos

Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Por otro método, será convexo si para cualquier par de puntos del polígono, el segmento que los une está dentro del polígono.

Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. Al contrario del convexo, en los cóncavos existe un par de puntos del polígono que el segmento que los une queda fuera del polígono.

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El perímetrodel cuadrilátero es la suma de la longitud de cada lado del cuadrilátero

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Área del cuadrado
El área del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado.

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Diagonal del cuadrado
La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados. La fórmula para calcular la diagonal es:

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Polígonos según su regularidad

Equilátero: si tienen todos sus lados iguales

Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales

Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)

Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

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CUADRILÁTERO. tutoriales de arquitectura. (2017, 26 noviembre). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=HDPwHa3Rlkc

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Tipos de polígonos:

Triángulo: polígono con tres lados

Cuadrilátero: polígono con cuatro lados

Pentágono: polígono con cinco lados

Hexágono: polígono con seis lados

Heptágono: polígono con siete lados

Octógono: polígono con ocho lados

Eneágono: polígono con nueve lados

Decágono: polígono con diez lados

Undecágono: polígono con once lados

Dodecágono: polígono con doce lados

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Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se unen son los vértices.

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Según su amplitud:

Ángulo nulo. Es el que mide 0°.

Ángulo agudo. Es el que mide entre 0° y 90°.

Ángulo recto. Es el que mide 90°.

Ángulo obtuso. Es el que mide entre 90° y 180°.

Ángulo llano. Es el que mide 180º.

Ángulo cóncavo. Es el que mide más de 180°.

Ángulo completo. Es el que mide 360°.

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Ángulo

El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas (lados) con un origen común llamado vértice. Los ángulos parten de un punto y tienen dos líneas que salen desde ese punto y que generan una apertura representada por un arco. El grado de apertura de esos arcos (y no su extensión) está representado por el ángulo. Los ángulos están representados por una magnitud que puede ser analizada y comparada con otras, por lo que existen operaciones entre ángulos. Se puede sumar y restar ángulos entre sí o multiplicarlos y dividirlos por números enteros.

La recta que divide en dos partes iguales a un ángulo se llama bisectriz y cualquier punto de ella equidista de ambos lados del ángulo.

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Elementos del polígono regular

Centro: es el punto del polígono regular que equidista a todos los vértices.

Lado: es uno de los n segmentos que delimitan el perímetro del polígono.

Vértice : punto de unión de dos lados. Existen tantos vértices como lados tiene el polígono (n).

Radio: es el segmento que une el centro con un vértice

Apotema: segmento que une el centro con el punto medio de un lado. La apotema es perpendicular a dicho lado.

Diagonales: son segmentos que unen vértices no consecutivos.

Ángulos interiores de un polígono: son los ángulos que forman dos lados contiguos y que esos ángulos quedan dentro del polígono.

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Un polígono regular es un polígono con todos los lados y ángulos iguales.

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Coordenadas Polares ¿Qué son? EXPLICACIÓN COMPLETA

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EJERCICIOS RESUELTOS DE CUADRILÁTEROS

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Coordenadas Polares
Se les llama así, cuando los datos para trazar la recta son un ángulo y una distancia. Para poder medir el ángulo en las coordenadas polares, necesariamente deberá utilizarse una línea de referencia, la cual, para las coordenadas polares
universales será el eje X y se relaciona con el círculo trigonométrico de radio unitario, el cual se basa en que un ángulo será positivo siempre que se mida contrario a la dirección de las agujas del reloj.

Para trazar una recta, por medio de coordenadas polares, procedemos siempre midiendo primero el ángulo, y luego medimos la distancia, por ejemplo, tracemos la recta CD cuyas coordenadas son <43° 25’, 5.40, se lee ángulo cuarenta y tres grados con veinticinco minutos y cinco punto cuarenta metros de distancia.

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Coordenadas Relativas
Llamadas también parciales, son las coordenadas
rectangulares (forman ángulo recto) que relacionan los puntos extremos de una recta. Podríamos para el efecto de su comprensión mas efectiva que al utilizar las coordenadas relativas de una recta, estamos trasladando el origen de coordenadas al punto de inicio de la recta, y luego para localizar el punto final, pues simplemente lo hacemos por medio del sistema coordenado. Recuerde que la primera coordenada es siempre X, y que es positiva a la derecha y negativa a la izquierda; luego viene la coordenada Y que será positiva si se mide hacia atrás y negativa hacia adelante.

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García, L. (2019). Historia de la Geometría [Ilustración]. Historia de la Geometría – Origen de las Formas y Figuras geométricas. https://www.locura-geometrica.com/figuras-geometricas/historia-de-la-geometria/

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Clemens, S. R., O'Daffer, P. G., & Cooney, T. J. (1998). Geometría. Pearson Educación.

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Coordenadas

Las coordenadas es el nombre que se da al sistema para localizar un punto en el espacio. En las enseñanzas obligatorias trabajamos las coordenadas cartesianas en espacios de dos dimensiones, los planos, pero podemos dar coordenadas en espacios de tres o más dimensiones. El “apellido” de las coordenadas cartesianas es un homenaje al filósofo y matemático de René Descartes.

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares graduadas a las que llamamos ejes de coordenadas. Se suele nombrar como X el eje horizontal e Y al eje vertical. Estos dos ejes se cortan en un punto al que se le denomina origen de coordenadas, O.

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Punto, línea plano y volúmen (GALERIA TALLER BLANCO&NEGRO, 2012)

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Espacio geométrico
El espacio geométrico surge a partir del movimiento de los entes geométricos y da como resultado las tres dimensiones que conocemos y manejamos.

Espacio unidimensional: tiene como base un punto que se mueve en una dirección definida e inmutable, dando origen a una línea recta, la cual sólo posee longitud.

Espacio bidimensional: tiene como base una línea recta la cual se mueve en una dirección distinta a los puntos que la forman, dando origen a un plano que posee longitud y anchura.

Espacio tridimensional: tiene como base un plano que se mueve en una dirección distinta a las líneas que
lo conforman, dando origen a un cuerpo/volumen que posee longitud, anchura y profundidad. Este es el
espacio que compone el plano de nuestra realidad.

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Conceptos fundamentales

Perpendicularidad: Decimos que dos elementos u objetos son perpendiculares si y solo sí forman ángulo recto

Paralelismo: cuando dos elementos u objetos se mantienen a la misma distancia

Inclinación: dos elementos u objetos son inclinados cuando no son paralelos ni perpendiculares con relación
a otro.

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Los postulados de Euclides
Son cinco y podemos parafrasearlos así:
1. La distancia mas corta entre dos puntos es una línea recta. O también por dos puntos pasa una única recta.
2. Toda recta puede extenderse por sus puntos extremos hasta el infinito sin que deje de ser recta.
3. Con un centro y una distancia se puede
describir una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales
5. Dos rectas paralelas no se unen por mas que se prolonguen.

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Los puntos

Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos. Los Puntos Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.

Las rectas

Las rectas están formadas por la unión de aspectos que van en la misma dirección. Tienen la posibilidad de tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Mencionamos que es oblicua, una vez que tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.

El plano

El plano es un área infinita que está formada por aspectos y rectas, y donde tenemos la posibilidad de descubrir figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.

El volúmen

es un elemento geométrico tridimensional, posee longitud, ancho y espesor, está formado
por la sucesión continua de planos siguiendo los bordes de este mismo. Todos los objetos de la realidad
son volúmenes.

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En la geometría hay ciertos elementos fundamentales: el punto, la recta, el plano y el espacio, entre otros. Estos objetos no tienen definición, pero tienen características que permiten su identificación.

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Euclides
Junto a Pitágoras, Euclides un nombre muy famoso en la historia de la geometría griega. Reunió el trabajo de todos los matemáticos anteriores y creó su trabajo emblemático, 'Los elementos', seguramente uno de los libros más publicados de todos los tiempos.

En este trabajo, Euclides expuso el enfoque para la geometría y las matemáticas puras en general, y propuso que todas las afirmaciones matemáticas deberían probarse mediante el razonamiento y que no se necesitaban medidas empíricas. Esta idea de prueba aún domina las matemáticas puras en el mundo moderno.

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Pitágoras
Este matemático vivía en una sociedad secreta que asumió una misión semirreligiosa.  desarrollaron una serie de ideas y comenzaron a desarrollar trigonometría.

Fue el primero en comenzar a usar técnicas geométricas en otras áreas de las matemáticas, como resolver ecuaciones cuadráticas, e incluso comenzó a estudiar el proceso de integración. Resolvió el problema de la cuadratura de luna y mostró que la proporción de las áreas de dos círculos igualaba la relación entre los cuadrados de los radios de los círculos.

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Tales de Mileto
Se le considera como el padre de la geometría y comenzó el proceso de usar la deducción de los primeros principios.  Creía firmemente que el razonamiento debería reemplazar la experimentación y la intuición, y comenzó a buscar principios sólidos sobre los cuales pudiera construir teoremas.

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Pura, A. (2019, March 13). Historia de la geometría. Arquitectura Pura; Arquitectura Pura. https://www.arquitecturapura.com/historia-de-la-geometria/

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La historia de la geometría como ciencia independiente, sobre bases rigurosas, corresponde a los griegos Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Euclides reconocido como “padre de la geometría”, quien planteó el primer sistema geométrico, por medio de su celebrada obra Los recursos, compuesta cerca del año 300 a. C. en Alejandría. Ahí se enuncian por primera ocasión las diferencias entre el plano bidimensional y el espacio tridimensional.

Otras contribuciones relevantes a la geometría de la era fueron las de Arquímedes y Apolonio. En donde se desarrolló la matemática y viajó a Oriente India, específicamente, y el mundo musulmán, donde se desarrolló la geometría junto al álgebra y la trigonometría, vinculándolas con la astrología y la astronomía. (Geometría - Concepto, historia, tipos y objeto de estudio, 2021)

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Conjunto de formas de geometría matemática. (Grfxrf, s. f.)