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Emily Caldas
Guilherme Batista
Vinicius Azevedo
Gabriel Salgado
Luiz Antôni

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O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, veja:

1º quadrante = x > 0 e y > 0
2º quadrante = x < 0 e y > 0
3º quadrante = x < 0 e y < 0
4º quadrante = x > 0 e y < 0

Localizando pontos no Plano Cartesiano:

A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3

B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2

C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4

D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4

E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.

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Quando realizamos a multiplicação:

5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.

(+5) * (– 2)

(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)

– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)

(+5) * (– 2) = –10

O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).

Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.

Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40

Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90

O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).

Elemento Neutro

O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.

Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9

A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:

( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
( – ) * ( – ) = ( + )

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Regras de divisibilidade

Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.

Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, para isto basta terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo:

24 : 2 = 12
132 : 2 = 66
108 : 2 = 54
1024 : 2 = 512

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 3. Exemplo:

33 : 3 = 11, pois 3 + 3 = 6
45 : 3 = 15, pois 4 + 5 = 9
156 : 3 = 52, pois 1 + 5 + 6 = 12
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao penúltimo for um número par ou terminar com zero nas duas últimas casas. Exemplo:

48 : 4 = 12, pois 8/2 + 4 = 8
288 : 4 = 72, pois 8/2 + 8 = 12
144 : 4 = 36, pois 4/2 + 4 = 6
100 : 4 = 25, pois possui na última e antepenúltima casa o algarismo 0.

Divisibilidade por 5
É todo número terminado em 0 ou 5.

25 : 5 = 5
100 : 5 = 20
555 : 5 = 111
75 : 5 = 15

Divisibilidade por 6
São todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.

24 : 6 = 4, pois 24 : 2 = 12 e 24 : 3 = 8
36 : 6 = 6, pois 36 : 2 = 18 e 36 : 3 = 12
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
564: 6 = 94, pois 564 : 2 = 282 e 546 : 3 = 188

Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais algarismos, constituindo um número divisível por 7. Exemplo:

161 : 7 = 23, pois 16 – 2*1 = 16 – 2 = 14
203 : 7 = 29, pois 20 – 2*3 = 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 29 – 2*4 = 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 84 – 2*0 = 84

Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou os últimos três números são divisíveis por 8. Exemplo:

1000 : 8 = 125, pois termina em 000
208 : 8 = 26, pois os três últimos são divisíveis por 8

Divisibilidade por 9
Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo:

81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9
1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27

Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 é divisível por 10.

100 : 10 = 10
500 : 10 = 50
500 000 : 10 = 50 000
2000 : 10 = 200

Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 132 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66

Divisibilidade por 12
Se um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12.

192 : 12 = 16, pois 192 : 3 = 64 e 192 : 4 = 48
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Divisibilidade por 15
Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15.

1470 é divisível por 15, pois 1470:3 = 490 e 1470:5 = 294.
1800 é divisível por 15, pois 1800:3 = 600 e 1800:5 = 360

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A subtração é uma operação básica da matemática, sendo representada pelo sinal de -. O desenvolvimento da subtração entre números naturais é de certa forma bem simples
~ Ex: 10 - 2 = 8
~Ex: 12 - 6 = 6

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- Na adição com parcela com sinais iguais, somamos os valores dos módulos das parcelas e mantemos o sinal delas
Exemplo:
(+8)+(+4)=+8 +4 = 12

- Na adição de parcela com sinais diferentes , subtraímos os valores dos módulos das parcelas e consideramos o sinal da parcela de maior módulo

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Os números racionais são representado por frações ou números decimais
1/5 = 5
2/10 = 0,2

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Os números inteiros são os números reais, positivos e negativos, representando desta maneira Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3...}

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Um número natural é um número inteiro não negativo (1, 2, 3, 4...)