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Las funciones racionales son aquellas que contienen una en el denominador un polinomio de grado mayor que 0. Su forma es; f\left(x\right)=\frac{d\left(x\right)}{f\left(x\right)}

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Tipos de funciones, clasificación de funciones, funciones algebraicas, explicitas, implicitas, polinómicas, constantes, afín, lineal, identidad, cuadráticas, radicales, trascendentes, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas.

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Una función es un conjunto de elementos que se relacionan entre sí mediante una expresión gráfica o analítica, de tal forma que el subconjunto llamado x se relaciona con un solo elemento del subconjunto llamado y.

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Interpolación y extrapolación lineal y cuadrática

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Interpolación y extrapolación lineal y cuadrática

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Interpolación lineal. Interpolación cuadrática. Extrapolación lineal. Extrapolación cuadrática. Ecuación de la recta punto-pendiente.

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Interpolación lineal. Ejemplos de interpolación lineal. Interpolación cuadrática. Ejemplos de interpolación cuadrática. Extrapolación lineal. Ejemplos de extrapolación lineal. Extrapolación cuadrática. Ejemplos de extrapolación cuadrática. Ecuación de la recta punto-pendiente. Ejemplos de ecuación de la recta punto-pendiente.

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En lo que sigue, SQRT significa raíz cuadrada.

El dominio de la función f definida por f (x) = sqrt (x) es el conjunto de todos los números reales positivos y cero, porque la raíz cuadrada de números negativos no son números reales (pensemos en SQRT (- 4), ¿es real? ). En forma de desigualdad, el dominio de f (x) = sqrt (x) se escribe como

x >= 0
en forma de intervalo el dominio está dado por
[0, + infinito)

f (x) = sqrt (x)

y encontrar el rango de f.
Solución al Ejemplo 1:Debido a que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales positivos y cero, se podría construir una tabla de valores de la siguiente manera:
Los valores de x se seleccionaron de modo que la raíz cuadrada de estos valores son números enteros que hacen que sea fácil de trazar los puntos indicados en la tabla.

El rango de f está dada por el intervalo [0, + infinito).
Ejemplo 2: Gráfico

f (x) = sqrt (x - 3)

Solución al Ejemplo 2:Primero encuentra el dominio de la función raíz cuadrada dado anteriormente al afirmar que la expresión bajo la raíz cuadrada debe ser positivo o igual a cero

x - 3 >= 0

x >= 3

Resolver la desigualdad anterior para obtener el dominio de f como el conjunto de todos los valores reales de manera que Ahora seleccione los valores de x en el dominio para construir una tabla de valores.

y encontrar el rango de f.

x
3

4

7

12

SQRT (x - 3)
0

1

2.

3

El intervalo [0, + infinito) representa el rango de f.
f (x) = - SQRT (- 2x + 4) + 1

Solución al Ejemplo 3:El dominio de la función dada anteriormente se encuentra mediante el establecimiento de

- 2x + 4> = 0

x <= 2

Resolver la desigualdad anterior para obtener el dominio de f como el conjunto de todos los valores reales de manera que Ahora seleccione los valores de x en el dominio de f para construir una tabla de valores. Estos valores son seleccionados de manera que la raíz cuadrada plazo es un número entero y dar puntos que son fáciles de trazar.

y encontrar el rango de f.

El rango de f está dada por el intervalo (-infinito, 1].
f (x) = sqrt (- x ² + 4)

El dominio de la función dada anteriormente se encuentra resolviendo el Por lo tanto la gráfica de f (x) = sqrt (- x Solución del Ejemplo 4:

polinomio de la desigualdad

- x ² + 4 >= 0

La solución de conjunto de la desigualdad anterior está dado por el intervalo de

[-2, 2]

que es también el dominio de la función anterior.

Escribamos la función dada como una ecuación de la siguiente manera

y = SQRT (- x ² + 4)

Plaza de ambas partes y hacer arreglos para obtener.

x ² + y ² = 2 ²

La ecuación obtenida es la de un círculo. Por lo tanto el gráfico siguiente.

² + 4) es la mitad superior de un círculo sinsce SQRT (- x ² + 4) es positiva.

y encontrar el rango de f.

El intervalo [0, 2] representa el rango de f.
f (x) = sqrt (x ² - 9)

- 9 >= 0 Solución del Ejemplo 5:El dominio de la función dada anteriormente se encuentra por la solución de

x ²

Lo que da un dominio por reprsented

(-infinito, -3] U [3, + infinito)

Ahora seleccione los valores de x en el dominio de f para construir una tabla de valores, tomando nota de f (x) = f (-x) por lo tanto, una simetría de la gráfica con respecto al eje y.

y encontrar el rango de f.

x
3

5

8

SQRT (x ² - 9)
0

4

7,4

El rango de f está dada por el intervalo [0, + infinito).
f (x) = sqrt (x ² - 6x + 9)

La función dada ha sido rewitten como una Solución al Ejemplo 6:

Usemos escribir la expresión en la raíz cuadrada de un cuadrado de la siguiente manera

x ² - 6x + 9 = (x - 3) ²

Por lo tanto

f (x) = sqrt (x ² - 6x + 9)

= SQRT ((x - 3) ²) = | x - 3 |

La función f se puede escribir como una función a trozos y graficarse de la siguiente manera. función de valor absoluto.

y encontrar el rango de f.

El rango de f está dada por el intervalo [0, + infinito).
f (x) = sqrt (x ² + 4x + 6)

Veamos primero en la gráfica de (x + 2) Solución del Ejemplo 7:

Uso de completar el cuadrado para rewtite la expresión bajo la raíz cuadrada de la siguiente manera

x ² + 4x + 6 = (x + 2) ² + 2

La expresión bajo la raíz cuadrada es siempre positiva por lo tanto, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales. Es una parábola. ² + 2.

y encontrar el rango de f.

Es de esperar que la gráfica de f para tener el mismo eje de simetría, la línea vertical, x = -2 como el gráfico de arriba. La tabla de valores puede construirse de la siguiente manera.

x
2

0

2

4

SQRT ((x + 2) ² + 2)
1,4

2,4

4,2

6,2

El rango de f está dada por el intervalo [sqrt (2), + infinito). Más referencias y enlaces en la gráfica. Funciones gráficas

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En lo que sigue, SQRT significa raíz cuadrada. El dominio de la función f definida por f (x) = sqrt (x) es el conjunto de todos los números reales positivos y cero, porque la raíz cuadrada de números negativos no son números reales (pensemos en SQRT (- 4), ¿es real?

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Para dibujar las gráficas de estas funciones conviene considerar dos casos: I) exponenciales con a > 1;yII) exponenciales con a < 1.

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Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas. Observa el siguiente ejemplo:

Se trata de una función con dos ramas:

La primera rama, definida por una regla de correspondencia 1+0.5·x es la que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que . Así, ∄ f(0), f(2)=1+0.5·2=2 y f(5)=1+0.5·5=3.5.

La segunda rama, definida por una regla de correspondencia 0.7·x es la que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que . Así, f(5.01)=0.7·5.01=3.507 y f(10)=7.

En este apartado vamos a profundizar en su estudio a través de los siguientes puntos:

¿Preparado?

Concepto

Una función a trozos, también llamada función a tramos, función segmentada o función seccionada, es aquella que se define con una expresión analítica diferente para distintos intervalos de su dominio. Tienen la forma general:

Donde:

Son las fórmulas concretas con las que se obtiene el valor de la función f(x) (variable dependiente y). Se utiliza una u otra según la rama o intervalo del dominio en el que esté la variable independiente x

Subconjunto₁, Subconjunto₂, Subconjunton : Son los intervalos de números reales para los cuales está definida esa rama. Deben expresar un rango de valores disjuntos de la variable independiente x. Dicho de otra manera, un valor de x no puede estar en dos ramas distintas

Las funciones por ramas son muy importantes para modelar el comportamiento de fenómenos reales de tu día a día.

Tu compañía telefónica establece el precio de una llamada con un coste de establecimiento de 1€. Además, los primeros 5 minutos de llamada se pagan a 0.5€. a partir de entonces el costo del minuto es de 0.7€.

A partir de esta situación podemos encontrar una función f(x) que nos permita conocer el importe de una llamada a partir de los minutos x que dura la misma. Es claro que el valor de x debe ser mayor que 0, para que pueda existir una llamada, y por tanto nos cobren por ella. Además, existen dos tramos claramente diferenciados:

Así pues nos queda como resultado la función con la que abríamos el apartado:

Gráfica

Para realizar la gráfica de una función definida a trozos, simplemente hay que tener en cuenta que cada tramo corresponde con una fórmula distinta y, por tanto, también con una forma gráfica distinta. Procederemos elaborando una tabla de valores para cada rama, teniendo en cuenta que los valores de x que escojamos deben pertenecer a dicha rama. Posteriormente representaremos la rama en el rango de valores para el que es válida. Para ello debes prestar especial atención a los extremos de cada rama, que han de estar incluidos en la tabla. Así mismo, debes tener claro el significado de los signos <, ≤, ≥ y >.

Gráfica de una función a trozos

Aunque dos ramas distintas pueden estar definidas para subconjuntos en los que aparezca el mismo valor en su extremo, solo uno de ellos como máximo tendrá un signo igual ( ≤ o ≥ ). El valor de la función en un cambio de rama se obtiene justamente sustituyendo el valor de x en la rama que tiene el signo igual. La siguiente imagen ilustra estas ideas.

Cambio de rama

Si la función es continua en el cambio de rama, el punto sólido y el punto transparente se superpondrán, pudiendo ser representados simplemente como una línea continua. Este es el caso de la función con la que abríamos este apartado, en x=5.

Continuidad en cambios de rama

Análisis

El estudio de una función definida a trozos abarca los mismos puntos que el análisis de una función de una sola rama, esto es, la monotonía, la curvatura, simetría, etc. En este nivel educativo procederemos generalmente representando la gráfica de la función y estudiando esta. Mención especial merece el estudio del dominio.

Dominio

En una función definida a trozos el dominio es la unión de los diferentes subominios asociados a cada una de las ramas. Por ejemplo:

Recuerda: cada valor de x solo puede estar asociado a una rama, y por tanto en los subdominios no puede haber solapamiento de valores.

Puedes profundizar en el estudio del dominio de funciones, y en concreto de las funciones definidas a trozos, en el apartado del tema que dedicamos a ello.

Conclusiones

En este apartado hemos estudiado las funciones definidas a trozos. Es importante que te familiarices con la representación gráfica de las mismas, especialmente en los cambios de rama. Cuando hayamos estudiado el concepto de continuidad y derivabilidad abordaremos también esta idea para este tipo de funciones. Por el momento puedes empezar a practicar con los ejercicios que aquí te planteamos.

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Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas .

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https://youtu.be/EpiXKxekdrwhttps://youtu.be/EpiXKxekdrw

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[color=#ff00ff]1.5 Valor absoluto[/color][br][br][br][color=#c27ba0]Introducción[/color][br][br]Las matemáticas requieren atención con la dimensión y el valor del signo.[br]No es lo mismo -10 que 10, o sumar 3 + 7 que 3 + (-7). [br][br]Pero hay circunstancias en las que el signo no es determinante. Por ejemplo, en una larga caminata por el campo, el tiempo que tardes no importa si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia.[br][br]En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde la magnitud importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo.[br][br][br][color=#c27ba0]Teoría[br][/color][br]El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto se escribe entre barras verticales. Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo, y opuesto de a, si a es negativo.[br][br]

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1.5 Valor absoluto Introducción Las matemáticas requieren atención con la dimensión y el valor del signo. No es lo mismo -10 que 10, o sumar 3 + 7 que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no es determinante.

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Profesora: Srta. Yanira Castro Lizana Función Parte entera

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Ejemplos de suma, resta, multiplicación y división de funciones. https://youtu.be/jP1mSfUqpxwhttps://youtu.be/jP1mSfUqpxw

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Composición de funciones y función inversa 

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Composición de funciones y función inversa 

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Composicion de funciones y Funcion Inversa SECUNDARIA (3ºESO) matematicas