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Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

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Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

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Definición:  Sea A una matriz cuadrada n x n.  Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface  A ∙ B = I  y  B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

La inversa de A se representa por A-1.  Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.

No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.

Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

Sean A y B matrices de orden n x n invertibles.  entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.   Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I.  Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.

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1.|Z mxn| es igual al determinante de una matriz Z mxn traspuesta:

2.El determinante inverso de una matriz Z mxninvertible es igual al determinante de una matriz Z mxn inversa:

3.El determinante de una matriz singularS mxn(no invertible) es 0.

S mxn=0

4.|Z mxn|, donde m=n, multiplicado por una constante h cualquiera es:

5.El determinante del producto de dos matrices Z mxny X mxn, donde m=n, es igual al producto de determinantes de Z mxny X mxn

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El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

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CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS

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CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS

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Para calcular la inversa de una matriz cuadrada  A, aplicando el método de Gauss, construimos, en primer lugar,  la matriz  ( A | I ), siendo  I  la matriz identidad del mismo orden que  A. Después de realizar diversas operaciones sobre las filas de ésta  nueva matriz, tendremos que conseguir que se transforme en la siguiente  ( I | B ).  La matriz  B  será la inversa de la matriz  A,  es decir:  B = A⁻¹.

Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:

a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.

b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

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Dada una matriz cuadrada  A,  si existe otra matriz  B  del mismo orden que verifique:  A . B = B . A = I  (  I = matriz identidad ), se dice que  B  es la matriz inversa de  A  y  se representa por  A⁻¹.

Si existe la matriz inversa  de  A, se dice que la matriz  A  es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz  A  es singular.

¿Cuándo tiene inversa una matriz? Una matriz  A  de orden  n  (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es  n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden.

¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:

1º Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a  2.

2º Por el método de Gauss.

3º Por determinantes y adjuntos (que describiremos en la unidad de determinantes).