# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Onde

Le onde sismiche sono onde meccaniche
Un'onda meccanica può essere definita come una perturbazione elastica che si propaga da punto a punto attraverso un materiale, o sulla sua superficie senza che ciò implichi uno spostamento definitivo di materiale, ma solo di energia.
Per esempio, nella figura è rappresentata un'onda che si propaga lungo una corda:

Caratteristiche di un'onda (periodica)

Direzione di propagazione

Lunghezza d'onda (λ): distanza tra due massimi

Ampiezza: distanza verticale tra un massimo e l'asse delle ascisse

Frequenza (ν): numero di oscillazioni in 1 secondo (Hz = 1 ciclo/s).

Frequenza e lunghezza d'onda sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI:
λ = v / ν, con v = velocità dell'onda
Periodo (Τ): è il tempo occorrente per compiere una oscillazione completa (o per percorrere uno spazio pari a λ).

Il periodo è l'inverso della frequenza (Τ=1/ν) e si misura in secondi.
Velocità: dipende dal mezzo in cui si propaga l'onda.

# data[].attributes.attachment_link.description
Le onde sismiche sono onde meccanicheUn'onda meccanica può essere definita come una perturbazione elastica che si propaga da punto a punto attraverso un materiale, o sulla sua superficie senza che ciò implichi uno spostamento definitivo di materiale, ma solo di energia.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Le onde costituiscono un affascinante fenomeno naturale, che vale la pena studiare in sé, sia per la varietà e la bellezza dei fenomeni che da esse scaturiscono, sia per l'eleganza e l'ingegnosità dei metodi matematici e sperimentali che sono stati sviluppati dall'uomo nel corso dei secoli per descriverle, sia perché le onde permeano moltissimi aspetti della nostra vita attraverso le più diverse applicazioni tecnologiche.

Che cos'è un'onda

Il termine onda, prima che essere un termine scientifico, è una parola comune con una storia antichissima. Esso proviene dalla parola latina unda, che, come in italiano, indica le increspature alla superficie dell'acqua. Ma il collegamento con l'acqua è molto più profondo. Infatti il termine latino si rifa alla radice greca hyd- che compare nella parola hydor, che vuol dire, appunto, "acqua", e si ritrova in italiano in tutte le parole che iniziano per "idr-", come idraulico, idrico, ecc. La radice, tuttavia, è ancora più antica, e risale all'indoeuropeo, e cioè ad un tempo in cui quasi tutte le lingue europee (ed alcune asiatiche) erano un'unica lingua. La radice indoeuropea è vud-, o vad-, e tutt'oggi è riconoscibile in moltissime lingue antiche e moderne, ad indicare l'acqua, o concetti strettamente collegati. (Sanscrito: udnah, Hittita watar, Gotico wato, Inglese water, Tedesco Wasser, Fiammingo water, Lituano vanduo, Gaelico uisge, Russo voda, e simile in molte lingue slave). Anche se le onde nell'acqua sono in realtà solo un particolare tipo di onde (si veda ad esempio onde trasversali e longitudinali ed equazione delle onde nell'acqua), mi piace pensare che ad una parola così ancestrale sia collegato un concetto che, in fisica, ha ugualmente larga diffusione, e grande importanza.

Ma una scienza esatta deve definire con precisione i suoi termini, a volte anche attribuendo a certe parole un significato diverso da quello comune.

Qual'è dunque il significato di onda in fisica?

l'onda è una perturbazione che si propaga nello spazio e che può trasportare energia da un punto all'altro. Tale perturbazione è costituita dalla variazione di qualunque grandezza fisica (es. variazione di pressione, temperatura, intensità del campo elettrico, posizione, ecc..)

Onde: istruzioni per l'uso

Ecco solo qualche esempio:

1. Molti fenomeni naturali sono descritti in termini di onde

Le onde nell'acqua sono insieme il prototipo dell'onda, come illustrato nel paragrafo precedente, e un caso piuttosto particolare, in quanto sono onde che interessano prevalentemente la superficie di separazione tra due mezzi (aria e acqua), e quindi hanno caratteristiche meno generali delle onde che viaggiano in un mezzo omogeneo (si veda Onde trasversali e longitudinali, Equazione delle onde nell'acqua).

La questione sulla natura della luce è un tipico esempio di un caso più difficile da decidere. Teorie opposte a sostegno della natura corpuscolare e ondulatoria della luce si sono susseguite fino dall'antichità, ed hanno trovato un'originale soluzione nella fisica contemporanea, secondo cui sia la radiazione, sia la materia posseggono tratti comuni a particelle e a onde, quando sono osservate ad un livello microscopico (si veda raggio d'onda, indeterminazione).

Nel caso delle onde elettromagnetiche, a causa della complessità della loro interazione con la materia, onde della stessa natura fisica possono avere effetti diversissimi a seconda della loro frequenza, variando dalle onde radio usate nelle telecomunicazioni, alla luce visibile, alle pericolose radiazioni ionizzanti come i raggi X e i raggi gamma.

Le onde sonore, oltre che uno dei mezzi fisiologici di comunicazione dell'uomo, sono in realtà un tipo particolare di onde meccaniche cui è dedicata l'intera sezione Il suono e la sua percezione.

Le onde meccaniche, peraltro, riguardano molteplici aspetti della nostra vita quotidiana, da quelli più palesi su piccola scala riguardanti oscillazioni e vibrazioni (si veda fenomeni di risonanza nei sistemi meccanici), a quelli meno evidenti, ma non meno importanti su vasta scala, come le onde planetarie, che si manifestano nei fluidi dell'oceano e dell'atmosfera a causa della rotazione della terra.

2. Se le modalità di propagazione di un'onda in un certo mezzo sono note, l'onda stessa diviene un potente strumento di indagine delle proprietà di quel mezzo. Per esempio:

misurare le proprietà delle onde sismiche quali ampiezza, direzione di oscillazione, tempi di arrivo al sismografo non solo indica dove si trova l'epicentro di un terremoto, ma può dare preziose informazioni riguardo alla struttura interna della terra.

La maggior parte delle proprietà della materia al livello molecolare o atomico sono misurate irraggiando un campione con onde (in genere elettromagnetiche come luce visibile, ultravioletta, raggi X, raggi gamma, ma anche fasci di elettroni o neutroni), ed osservando la reazione del campione.

Lo stesso principio sta alla base di molte delle moderne tecniche diagnostiche in medicina: I raggi X (radiografia) o gli ultrasuoni (ecografia) sono utilizzati per "vedere" parti del corpo che non sono visibili dall'esterno con la normale luce visibile.

Anche la scienza della conservazione e restauro delle opere d'arte si avvale di tecniche basate sull'uso di opportune spettroscopie (fluorescenza, assorbimento, trasmissione nelle bande ottica, infrarossa, ultravioletta, X)

Le indagini scientifiche sono oggi uno strumento fondamentale per le forze dell'ordine, e, basandosi su un insieme di tecniche di indagine fisico-chimico-biologiche consentono di acquisire elementi per ricostruire una scena del crimine che sono spesso determinanti ai fini delle indagini. Di nuovo l'utilizzo di onde elettromagnetiche di vario tipo per rivelare la presenza di vari tipi di tracce, o per analizzarle è ormai divenuta prassi comune.

Spesso illuminando certe sostanze con onde di un certo tipo se ne evidenziano aspetti che altrimenti rimangono nascosti: in mineralogia è prassi comune utilizzare la luce di Wood (ultravioletti) per verificare la luminescenza dei minerali, e i reparti scientifici della polizia utilizzano metodi simili per evidenziare tracce organiche altrimenti invisibili sulla scena di un crimine.

Misurare il cambiamento di direzione di un'onda luminosa quando passa dall'aria al vetro ci dice il valore dell'indice di rifrazione del vetro rispetto a quello dell'aria (si veda la sezione rifrazione), ma in generale, il colore o la trasparenza, la riflettività, e tutte le proprietà ottiche di un materiale sono il frutto dell'interazione (che può essere molto complessa) di quel materiale con le onde elettromagnetiche.

Osservare come un'onda viene riflessa o trasmessa all'interfaccia tra due sostanze diverse indica direttamente quanto i mezzi si oppongono alla trasmissione di energia da parte dell'onda stessa (si veda la sezione rifrazione in una dimensione), e ci consente di ottimizzare l'accoppiamento tra diversi mezzi (come un amplificatore HiFi e il microfono, o gli altoparlanti), per trarne la massima efficienza

Le onde permettono di studiare fenomeni distanti nello spazio e nel tempo: l'astronomia e l'astrofisica basano le loro osservazioni sullo studio dello spettro delle radiazioni elettromagnetiche provenienti dai corpi celesti, dalla materia interstellare, e dallo spazio profondo. Le radiazioni studiate occupano tutto lo spettro delle onde elettromagnetiche, e provengono da distanze tali che la loro origine può risalire a tempi remoti quanto i primi istanti di vita dell'universo. Inoltre, gli spostamenti in frequenza per effetto Doppler ci danno informazioni sull'evoluzione dell'universo.

Infine, la teoria della relatività generale prevede che onde gravitazionali consistenti in una fluttuazione nella curvatura dello spaziotempo possano essere generate in certi casi (come da un sistema binario, o nell'esplosione di una supernova) e propagarsi nello spaziotempo.

3. Le onde trasportano energia e quantità di moto. Si parla in tal caso di energia radiante, o radiazione.
In ogni film di fantascienza non mancano potentissimi e letali, quanto fantomatiche, "armi a raggi", e subito poco dopo la sistemazione dell'elettromagnetismo alla fine del XIX secolo, gli scienziati cercavano il modo di sfruttare le onde elettromagnetiche per trasferire energia (Si veda per esempio questo brevetto di un sistema senza fili del 1900 ad opera di Tesla). Ciò indica quanto grande sia l'impatto sull'immaginario dell'idea di trasmettere l'energia a distanza. Una vasta serie di applicazioni consente di rendere più efficiente il trasporto e l'impiego dell'energia a mezzo onde, dal laser al forno a microonde. Tuttavia il primo e più semplice dispositivo atto ad irraggiare e indirizzare l'energia prodotta da una sorgente è l'antenna (si veda anche antenne e interferenza).

4. L'energia trasmessa può diventare informazione, e le onde divengono il più efficace e rapido mezzo di comunicazione.

Le onde si prestano a veicolare un'informazione attraverso una modulazione delle loro proprietà. Infatti, per esempio, nelle comunicazioni radio si distinguono comunicazioni in modulazione di ampiezza (AM), di frequenza (FM), e di fase (PM), ecc.

Le onde sonore sono il mezzo naturale della comunicazione vocale, mentre le onde elettromagnetiche sono il principale mezzo di comunicazione a distanza del nostro pianeta.

Gran parte della scienza delle telecomunicazioni è stata dedicata al problema di come generare segnali adatti alla trasmissione dei diversi tipi di informazioni, e trasmetterli alla massima distanza possibile minimizzando al contempo il rumore nel canale di trasmissione. Buona parte dell'elettronica analogica e digitale si occupa della generazione, del condizionamento, della trasmissione e della ricezione del segnale.

Come potete vedere alcuni fenomeni ed applicazioni sono molto noti e diffusi, anche se l'effettiva comprensione di ciò che accade esattamente nei singoli casi può essere complessa. La buona notizia è che le onde possiedono alcune caratteristiche molto generali, che consentono di comprendere i principali aspetti del loro comportamento in modo semplice. Le pagine di questo sito sono dedicate alla presentazione di questi aspetti.

Principali caratteristiche delle onde

Ora cerchiamo di cogliere alcune caratteristiche delle onde basandoci su alcuni esempi semplici

Che cosa vibra in un'onda?

Come già detto: l'onda è una perturbazione che si propaga nello spazio e che può trasportare energia da un punto all'altro. Tale perturbazione è costituita dalla variazione di qualunque grandezza fisica (es. variazione di pressione, temperatura, intensità del campo elettrico, posizione, ecc..) attorno alla sua posizione di equilibrio (che corrisponde all'assenza di perturbazione).

L'aspetto più importante che emerge dalla definizione è che l'onda è una perturbazione che viaggia: a prima vista sembra necessario affinché ciò avvenga la presenza di un mezzo che sperimenti, al passaggio dell'onda, una qualche forma di oscillazione locale senza trasporto. Vale a dire che le particelle del mezzo stesso non viaggiano assieme all'onda, ma viaggia solo la perturbazione che esse subiscono. È ciò che avviene nelle cosiddette onde meccaniche. Quindi la risposta alla domanda posta come titolo del paragrafo è che a vibrare sono le particelle del mezzo in cui si propaga l'onda

Tale risposta, apparentemente ovvia, è stata ritenuta valida incondizionatamente fino al 1905 (l'anno in cui Einstein scrisse l'articolo "Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento" in cui introduce la Teoria della relatività ristretta): dopotutto, si pensava, se c'è qualcosa che si propaga occorre si sia un mezzo che trasmetta la propagazione. In realtà le onde elettromagnetiche, la cui esistenza è stata teoricamente prevista dal fisico scozzese J. C. Maxwell nel 1865, hanno la straordinaria proprietà di propagarsi nel vuoto (se con vuoto intendiamo l'assenza completa di materia). A "vibrare", in questo caso, è un ente immateriale detto campo elettrico-magnetico: malgrado la sua immaterialità tale campo produce effetti reali a tutti noti (ad esempio le moderne telecomunicazioni si basano sulla propagazione di tali campi, o ancor più semplicemente, la luce non è altro che un'onda elettromagnetica particolare)

Come viaggia il disturbo

Il classico esempio è quello della "ola" allo stadio....nel quale si vedono "tifosi" che si alzano e si abbassano rimanendo però sempre al proprio posto senza seguire la perturbazione che si sposta lungo le gradinate dello stadio

Un altro esempio si ha nel caso di un flauto in cui l'aria viene messa in oscillazione dal fiato del musicista

In che cosa differiscono i due esempi? Nel primo caso è facile osservare che ciò che oscilla (gli omini) lo fa in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione della perturbazione (si parla di onde trasversali) mentre nel secondo ciò che oscilla (le singole particelle) lo fa in direzione parallela a quella di propagazione della propagazione (si parla allora di onde longitudinali)

onda longitudinale

onda trasversale

L'onda consiste nel propagarsi del disturbo "compressione", che corrisponde al colore arancio sulle connessioni tra le masse.

L'onda consiste nel propagarsi del disturbo "spostamento verticale", che è associato a compressioni e dilatazioni nelle superfici superiore e inferiore del mezzo.

In realtà esistono altri tipi di onde in cui la relazione tra direzione di propagazione e di oscillazione è più complicata. Se vuoi vederne una rassegna animata visita la pagnina Onde trasversali e longitudinali

"Scontri" e interazioni tra onde

Il tratto più caratteristico delle onde, al di là della loro peculiare descrizione fisica, emerge quando due onde pervengono, nel medesimo istante, in uno stesso punto dello spazio. Come avviene la loro "interazione"? Si scontrano forse come farebbero, ad esempio, due carrelli che dopo l'urto si accartocciano?

La risposta è sorprendente: un'immagine vale più di mille parole!!

Interferenza "costruttiva"

Interferenza "distruttiva"

due impulsi perfettamente lineari si "scontrano", si sovrappongono, e continuano indisturbati il loro viaggio

due impulsi hanno segno opposto: c'è un momento in cui la loro somma è nulla, ma subito dopo essi riemergono e continuano indisturbati

Le onde si "passano attraverso" indisturbate e, quando occupano la medesima posizione nello spazio, sommano o sottraggono le loro ampiezze. I fisici dicono che le onde soddisfano al principio di sovrapposizione e che, al momento dello "scontro" (il termine non sembra davvero più opportuno!), interferiscono. In realtà il principio di sovrapposizione non vale incondizionatamente: tuttavia anche nelle situazioni in cui esso non è valido, le onde sperimentano un'interazione che porta le loro ampiezze a rinforzarsi o a cancellarsi (anche se non più esattamente come somma o differenza delle ampiezze).

Come si descrive un'onda

Nella comune percezione quando osserviamo un'onda rileviamo subito alcune caratteristiche che ne rendono complessa la descrizione: l'onda si estende nello spazio, si propaga facendo variare nel tempo il suo "profilo". Tale variazione avviene spesso in modo ripetitivo facendoci percepire una sorta di regolarità che spesso associamo a sensazioni gradevoli (con le onde ci si può cullare, si può ascoltare musica, ci si può abbronzare...). A volte invece l'onda si presenta sotto forma di un unico minaccioso impulso che avanza inesorabilmente (si pensi ad uno tsunami). I fenomeni che coinvolgono le onde sono di una varietà sorprendente. Cercheremo di descrivere molti di essi a livello qualitativo; ovviamente volendo pervenire ad una trattazione quantitativa di livello più elevato saremo "costretti" ad introdurre concetti fisico-matematici (es. periodo, frequenza, lunghezza d'onda, tempo di ritardo,ecc...) Se vuoi approfondire questi aspetti visita la pagina Come si descrive un'onda?

Approfondimenti e collegamenti

Se vuoi vedere animazioni di fenomeni ondulatori in tutta la loro "spettacolarità" non puoi non visitare il nostro laboratorio virtuale sulle onde. Per ora divertiti a "giocare" con l'applet, selezionando sorgenti che oscillano, variando frequenze, costruendo pareti. Non ti porre troppe domande: osserva ed incuriosisciti. Ti consigliamo la vista 3D!!

Ogni tipo di onda è soggetta a fenomeni che ne costituiscono, per così dire, il marchio di fabbrica: nelle sezioni dedicate alla riflessione, alla rifrazione, all'interferenza, alla diffrazione e al principio di sovrapposizione troverai ampi approfondimenti. Leggendo queste pagine, anche senza una preparazione matematica specifica, comprenderai appieno la vastità e la complessità dei fenomeni che possono essere descritti dal concetto unificante di onda.

Se sei un musicista non puoi non visitare la sezione dedicata alle onde sonore: qui troverai gli elementi minimi (non vi è nemmeno una formula! ) per comprendere la peculiare descrizione che si dà dell'onda nel caso essa descriva un fenomeno sonoro. Poi, non potrai fare a meno di visitare la sezione Dai suoni alla musica; qui "giocherai in casa" ma non per questo non troverai sorprese: il linguaggio musicale che ben conosci ti apparirà sotto una luce nuova.

Se sei interessato a comprendere il funzionamento degli strumenti musicale pagina relativa

# data[].attributes.attachment_link.description
Le onde costituiscono un affascinante fenomeno naturale, che vale la pena studiare in sé, sia per la varietà e la bellezza dei fenomeni che da esse scaturiscono, sia per l'eleganza e l'ingegnosità dei metodi matematici e sperimentali che sono stati sviluppati dall'uomo nel corso dei secoli per descriverle, sia perché le onde permeano moltissimi aspetti della nostra vita attraverso le più diverse applicazioni tecnologiche.

# data[].attributes.attachment_link.description
Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!

# data[].attributes.attachment_link.title
QUANTI ANNI HA IL TUO UDITO? Fai il test e scopri l'età delle tue orecchie

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
In questo filmato diverse sorgenti di rumore impulsivo e di rumore per vibrazione e risonanza sono illustrate attraverso il commento di filmati ad alta velocità. Essi permettono di vedere fenomeni che il nostro occhio non è in grado di risolvere, ma il nostro orecchio sì. Si veda anche la pagina su suono e risonanza.

© 2006 The University of Salford, per gentile concessione dell'autore, Prof. Trevor J. Cox, http://www.acoustics.salford.ac.uk. Traduzione e sottotitoli a cura di Carlo A. Rozzi.

Suoni o rumori?

Nei seguenti paragrafi abbiamo prodotto alcuni esempi acustici per cercare di mettere alla prova la tradizionale distinzione tra suono e rumore.

Tre "Pezzi" facili

In molte trattazioni elementari del problema si afferma che ciò che sembra caratterizzare il suono rispetto al rumore è la sua descrizione in termini di un'onda periodica. Lo spettrogramma deve contenere solo suoni puri di frequenza multipla di una frequenza fondamentale. Di seguito sono illustrati grafici di onde periodiche e non, con i relativi spettrogrammi e il corrispondente sonoro (clicca sulle immagini per ingrandirle, e sul file audio per ascoltarlo. Se vuoi maggiori informazioni su come si legge uno spettrogramma visita questa pagina con le istruzioni)

Innanzitutto notiamo che non ogni suono associato ad un'onda periodica è "gradevole" (molti ascoltatori trovano fastidiosi la sinusoide e l'onda triangolare, e, certamente, aldilà del giudizio soggettivo di gradevolezza, essi risultano "oggettivamente" noiosi). Se ci limitiamo a questi esempi, però, sembra confermata l'associazione più elementare: ad un'onda periodica si associa un'altezza ben definita, mentre al rumore bianco non sembra possibile attribuirla. Per esempio non sembra avere senso chiedersi se esso è più o meno acuto della sinusoide. Per mettere alla prova la definizione dobbiamo tuttavia considerare qualche esempio più complesso.

"Pezzi" meno facili

La questione è un po' più complessa. Anche prescindendo dal giudizio estetico dei suoni ottenuti, la periodicità dell'onda non è condizione sufficiente per chiamare suono ciò che udiamo. Infatti non è detto che all'interno delle frequenze udibili onde periodiche generino necessariamente suoni. Prova ad ascoltare l'esempio AUDIO di seguito riportato

Pur in presenza di un'onda periodica (il grafico non lascia dubbi) penso tu faccia fatica a chiamare suono ciò che hai udito. Hai ascoltato quello che in acustica si chiama un battimento. In questo caso la sensazione di rumore (pur in presenza di onde periodiche) è dovuta ad un fatto percettivo: il nostro sistema uditivo viene "confuso" se investito da suoni di frequenze troppo vicine, e, incapace di discriminare la loro altezza, percepisce un suono di altezza intermedia, ma dal carattere "ruvido", rumoroso, appunto. Ecco come suonano le due componenti prese isolatamente (se vuoi approfondire il discorso visita la pagina relativa alle bande critiche e ai battimenti)

Il "rumore armonico"

È facile accorgersi che la periodicità (esatta) non è nemmeno condizione necessaria per distinguere il suono dal rumore. Ciò per due ordine di motivi:

il sistema percettivo sembra tollerare piccole deviazioni dalla periodicità (se sei interessato ad approfondire la questione visita la pagina sulla percezione dell'altezza);

nessun suono ha una forma d'onda esattamente periodica. Una funzione periodica è qualcosa di dato da sempre e per sempre, mentre il suono è qualcosa che nasce, evolve nel tempo e muore. D'altronde quale sensazione di noia ci comunicherebbe un suono perennemente uguale a se stesso!

Certamente se nel fenomeno sonoro non è presente, nemmeno lontanamente, nessuna periodicità si parla di rumore. In questo caso, l'onda sonora ha contenuto spettrale costituito da suoni di qualsivoglia frequenza ed altezza.

È infatti possibile produrre esempi di onde non periodiche che il nostro orecchio considera un suono gradevole e consonante come questo:

Il rumore armonico si ottiene sovrapponendo diverse bande di rumore bianco, ciascuna centrata su un multiplo intero della frequenza fondamentale prescelta. Quando le bande sono idealmente strettissime lo spettro diventa identico a quello di un suono gradevole, mentre quanto più le singole bande sono larghe, tanto più sopravviene il carattere di rumore. In tutti i casi l'onda sonora risultante possiede componenti periodiche, ma in senso stretto non è mai esattamente periodica, perché una componente casuale è sempre presente, tranne che nel limite di bande infinitamente strette.

Il rumore armonico sembra svelare una caratteristica fondamentale della percezione che convoglia l'informazione sul grado di consonanza o gradevolezza di un'onda sonora. Questa informazione è di valore inestimabile per i musicisti. Si vedano a tale proposito le pagine armonia e suoni armonici e consonanza e dissonanza).

# data[].attributes.attachment_link.description
In questo filmato diverse sorgenti di rumore impulsivo e di rumore per vibrazione e risonanza sono illustrate attraverso il commento di filmati ad alta velocità. Essi permettono di vedere fenomeni che il nostro occhio non è in grado di risolvere, ma il nostro orecchio sì. Si veda anche la pagina su suono e risonanza.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Spettro e armoniche

La prossima volta che ascolti attentamente un suono, rifletti sul fatto che in realtà stai ascoltando un insieme di differenti altezze (frequenze)! Il nostro cervello distingue le sorgenti di un suono basandosi sul rapporto specifico tra queste altezze. L'insieme delle altezze di un suono e delle relative intensità ne costituiscono il suo spettro.

Il suono di uno strumento, o di una voce, ha uno spettro armonico con una struttura del tutto particolare. Uno spettro armonico è costituito da una frequenza fondamentale e da un numero di frequenze parziali che sono distanziate secondo la serie armonica. Se la frequenza fondamentale è di 100 Hertz (100 cicli al secondo), le parziali (armoniche) saranno 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, ecc. Le relative intensità delle frequenze armoniche determinano il timbro del suono. Gli strumenti musicali hanno timbri diversi, così come le corde vocali umane. Lo spettro può essere raffigurato dallo spettrogramma. Qui di seguito troverete un spettrogramma dove le frequenze che compongono il suono sono tracciate sull'asse delle x ; la frequenza fondamentale e le armoniche vengono rappresentati come "colonne" di differenti altezze, specificando così le loro intensità.

Clicca qui per ascoltare ogni singola frequenza! Esse costituiscono ciò che chiamiamo una scala naturale. Questi sono gli stessi suoni che possiamo ascoltare da un flauto di salice.

Quando sommiamo (sintetizziamo) tutti queste frequenze parziali, si ottiene un suono che può essere ascoltato qui.

Il timbro di un suono è determinato dai suoi armonici. Clicca sugli spettrogrammi qui sotto per ascoltare i differenti timbri!

Clicca qui per ascoltare.

Clicca qui per ascoltare.

I suoni più complessi implicano più spettri ed il timbro può anche cambiare nel tempo. Una panoramica dello spettro di un suono e del suo timbro può essere raffigurata da un sonogramma. Il tempo corre lungo l'asse delle X, la linea delle frequenze è l'asse delle Y. L'intensità dei suoni armonici è indicata da sfumature di grigio o di colori differenti:

Clicca qui per ascoltare il suono. Sai descrivere il rapporto tra il suono e l'immagine?

Le frequenze gravi (basse) sono raffigurate nella parte inferiore del sonogramma mentre quelle acute (alti) sono nella parte superiore. I suoni sussurrati sono rappresentati come "una nebulosa di punti" mentre i singoli suoni sono raffigurati come un gruppo di linee orizzontali che indicano la frequenza fondamentale (in basso) e le armoniche.

# data[].attributes.attachment_link.description
La prossima volta che ascolti attentamente un suono, rifletti sul fatto che in realtà stai ascoltando un insieme di differenti altezze (frequenze)! Il nostro cervello distingue le sorgenti di un suono basandosi sul rapporto specifico tra queste altezze. L'insieme delle altezze di un suono e delle relative intensità ne costituiscono il suo spettro.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Una definizione comunemente accettata di timbro è la seguente:

il timbro è la qualità percepita di un suono che ci permette di distinguere due suoni che hanno la stessa altezza e la stessa intensità.

In parole più semplici il timbro è la qualità del suono che ci permette di distinguere la voce di un violino da quella di un flauto, quando i due strumenti stiano emettendo una stessa nota. Ascolta questi esempi nei quali un violino, un flauto ed una tromba stanno emettendo il Si bemolle dell'ottava centrale del pianoforte (circa 466 Hz).

Non c'è dubbio che gli strumentisti stiano emettendo note della stessa altezza eppure, anche un orecchio non musicalmente allenato è in grado di percepire la diversa qualità del suono. Per favorire anche l'occhio, abbiamo anche riportato la forma d'onda registrata in funzione del tempo, e lo spettrogramma (si veda Come si legge uno spettrogramma? per una guida alla sua lettura).

Quali fattori determinano il timbro percepito?

Una risposta "statica"

La risposta a questa domanda diventa estremamente intricata non appena si cerca di definire il timbro non in base a quello che permette di fare (distinguere i diversi strumenti musicali) ma in base a parametri oggettivi e misurabili.

Una prima risposta che spesso si legge è che il timbro di uno strumento è dovuto, in larghissima parte, alla composizione spettrale del suono che esso emette. Il concetto di contenuto spettrale è complesso (esso è ben illustrato nella pagina relativa al teorema di Fourier). Semplificando potremmo dire che quando uno strumento emette una nota di una determinata frequenza (ad esempio il Si bemolle ascoltato in precedenza) esso, a causa dei vincoli imposti dalla "geometria" delle parti oscillanti degli strumenti musicali, genera, insieme alla nota fondamentale, più note tutte di frequenza multipla intera della fondamentale (armoniche).

Lo spettro dei diversi strumenti differisce per la diversa distribuzione dell'energia (e quindi delle ampiezze) tra la nota fondamentale e le armoniche superiori. In effetti confrontando gli spettri dei tre suoni precedenti è possibile osservare il diverso contributo delle varie armoniche

violino

flauto

tromba

Spettri in frequenza delle note suonate dai diversi strumenti: sull'asse orizzontale le frequenze, e sull'asse verticale la loro ampiezza in una scala in dB. Si osservi che, anche se la nota percepita è un Si♭ a 466 Hz, tutti gli strumenti emettono armoniche fino al limite della soglia udibile.

Ad ogni composizione spettrale corrisponde una ben precisa forma d'onda ottenuta "sommando" le varie armoniche (procedimento chiamato sintesi, quindi potremmo dire in modo più immediato che il timbro di uno strumento è dovuto, in larghissima parte, alla forma d'onda del suono che esso emette. Di seguito riportiamo le forme d'onda dei soliti tre suoni:

violino

flauto

tromba

Forme d'onda corrispondenti al Si♭ suonato dai tre strumenti. Sull'asse orizzontale scorre il tempo, mentre sull'asse verticale si legge l'ampiezza dell'onda ad ogni istante. Si osservi che le tre onde sono tutte evidentemente periodiche con lo stesso periodo (pari a circa 2 millesimmi di secondo). Le tre onde invece differiscono per la forma, e nessuna delle tre ha un andamento puramente armonico. Questo conferma che la loro composizione spettrale è complessa e differente nei tre casi.

La differenza delle tre forme d'onda è evidente.

Nel nostro Laboratorio virtuale troverai un applet con il quale può divertirti a sintetizzare nuovi suoni decidendo quali armoniche immettere e con quale peso (regolando, cioè, la loro ampiezza). L'applet consente di vedere in tempo reale l'azione della sovrapposizione delle varie armoniche sulla forma d'onda. In linea di principio potresti cercare di riprodurre in modo fedele le forme d'onda dei tre suoni reali precedenti agendo sulla frequenza della nota fondamentale e sull'ampiezza delle armoniche successive. Il risultato è deludente: quando anche la forma d'onda assomiglia molto a quella reale il timbro ottenuto è solo lontanamente somigliante a quello dello strumento reale. Teniamo a precisare che tale deludente risultato non è il frutto di approssimazioni introdotte dal "software" ma consegue dal tentativo di definire il timbro di uno strumento in termini statici.

Una risposta dinamica

AUDIO: clicca qui per ascoltare

tamtam.mp3

1. un attacco,

2. una fase di "regime"

3. una di decadimento.

Durante queste fasi il contenuto spettrale del suono emesso varia nel tempo.

Ricordiamo anche che un suono reale (ne troverai molti esempi nelle pagine relative agli strumenti musicali) contiene parziali anarmoniche (non multiple della fondamentale) generate dai "rumori" meccanici delle parti mobili degli strumenti. Anzi, a detta di molti, sono proprio questi piccoli rumori a rendere meno freddo il suono prodotto da uno strumento rispetto a quello sintetizzato.

Da queste considerazioni emerge una risposta alla domanda iniziale molto più articolata seppur, vedremo, non ancora soddisfacente: il timbro di uno strumento è determinato dall'evoluzione del contenuto spettrale del suono nel tempo. In effetti nell'analisi timbrica dei suoni si rivelano di fondamentale importanza i sonogrammi che non sono altro che la rappresentazione dell'evoluzione temporale dello spettro del suono (come un film è un insieme di fotogrammi).

Il concetto di inviluppo

L'utilizzo dei sonogrammi per cogliere l'evoluzione temporale del timbro viene spesso affiancata dall'analisi dell' inviluppo del suono prodotto. Con tale termine intendiamo indicare l'evoluzione dell'ampiezza dell'onda sonora nel tempo (i musicisti usano in luogo dell'ampiezza, il termine dinamica). Nell'inviluppo di un suono si distinguono sempre quattro fasi (non sempre tutte presenti):

1. Attacco (attack) che corrisponde alla fase iniziale del suono e dura fino al momento in cui l'onda sonora ha raggiunto la massima ampiezza. Esso può essere molto rapido come negli strumenti a percussione e nel pianoforte (della durata di circa 1/100 di secondo) o maggiormente diluito nel tempo. Negli strumenti ad arco e a fiato l'esecutore può variare, a seconda delle esigenze musicali, i vari tipi di attacco modulandone la durata e le modalità di raggiungimento del picco di energia. È ovvio che ogni suono ha una fase di attacco, in quanto ogni sistema fisico vibrante risponde con un tempo caratteristico: il tempo necessario all'instaurarsi delle onde stazionarie, o all'affermarsi di un particolare modo di vibrazione del sistema. Ascolta gli esempi musicali qui sotto riportati eseguiti, per i nostri scopi, da veri strumentisti in sala di registrazione:

2. Decadimento (decay), detto anche decadimento iniziale o primo decadimento. Esso è presente in quegli strumenti (es. tromba) in cui il suono scatta solo se un determinato parametro fisico (ad esempio pressione del soffio) supera una certa soglia. In tale casi il musicista corregge leggermente lo "scatto" dovuto al superamento della soglia, determinando, prima della fase di stabilizzazione del suono, una breve diminuzione dell'ampiezza.

3. Tenuta (sustain). È la fase in cui il suono rimane stabile mentre l'esecutore continua a fornire energia. Ovviamente tale fase non esiste negli strumenti a percussione. È interessante osservare che tale fase sembra la più facilmente riproducibile da un sintetizzatore elettronico. In realtà nella fase di sustain l'esecutore introduce fatalmente qualche involontaria fluttuazione in ampiezza che caratterizza il suono da strumenti "veri" rispetto a quelli elettronici.

4. Rilascio (release), detto anche decadimento finale - È la fase che inizia nel momento in cui l'esecutore smette di fornire energia allo strumento e il suono decade più o meno rapidamente. Tale fase può essere anche molto lunga negli strumenti a percussione (si pensi alle note base di un pianoforte, o al suono di un gong), mentre di solito è breve negli archi e nei fiati. Ovviamente tutti i suoni hanno un rilascio.

inviluppi della forma d'onda

violino

flauto

tromba

I moderni sintetizzatori elettronici hanno una "circuiteria" finalizzata alla miscelazione di queste quattro fasi e del contenuto spettrale secondo parametri facilmente regolabili dall'esecutore. Il controllo timbrico raggiunto in tali strumenti ormai non è più finalizzato alla resa del suono di strumenti tradizionali; il suono "elettronico" ha ormai una sua esistenza autonoma (si compone ormai musica per sintetizzatori) che si arricchisce della possibilità (teoricamente illimitata) di costruire forme d'onda non generate dagli strumenti tradizionali.

La teoria delle formanti

La risposta data al paragrafo precedente seppur più attenta a cogliere gli aspetti dinamici connessi al timbro del suono è, a ben riflettere, ancora insoddisfacente per quel che riguarda gli aspetti più propriamente percettivi. Ciò per vari ordini di motivi:

i sonogrammi di suoni di altezza differente generati da uno stesso strumento hanno evoluzione temporale differente, cioè non si ottengono semplicemente "traslando" le frequenze: ciò a causa della diversa evoluzione temporale delle varie armoniche costituenti i vari suoni (allora in teoria, per ciascun strumento dovremmo riconoscere un repertorio di timbri differenti, uno per nota);

forme d'onda

sonogramma

audio

addirittura la stessa nota emessa secondo due modalità diverse (ad esempio il LA di un violino suonato sulla seconda corda vuota e generata sula terza corda diteggiata) hanno composizioni spettrali (anche istantanee) leggermente diverse (e ciò aumenterebbe il numero di timbri da associare allo strumento);

forme d'onda

sonogramma

audio

in molti esperimenti possiamo, entro certi limiti, alterare il sonogramma di un suono pur continuando a riconoscere il timbro dello strumento che lo produce. Ad esempio riconosciamo abbastanza facilmente gli strumenti quando li sentiamo alla radio, nonostante essa attenui buona parte delle frequenze originali, agendo come un filtro. In un certo senso il nostro apparato percettivo è in grado di associare lo stesso timbro non solo ad un vasto repertorio di sonogrammi, ma anche un gran numero di deformazioni che essi possono subire.

Evidente c'è qualcos'altro che ci consente di individuare uno strumento che non sia solo l'evoluzione del contenuto spettrale del suono nel tempo. È quanto suggerisce la teoria delle formanti. Per comprendere appieno tale teoria ti invitiamo a leggere le pagine suono e risonanza e strumenti musicali; in ogni caso riassumiamo gli assunti fondamentali della teoria delle formanti.

Uno strumento musicale, dal punto di vista di un fisico è semplicemente un sistema atto a generare onde sonore ed irradiarle nell'ambiente. In particolare esso si compone (almeno) di:

Una sorgente primaria di vibrazione (corda, membrana, lastra, aria) accordabile a diverse frequenze che genera la fondamentale e, secondo ampiezze in genere rapidamente decrescenti, le parziali (armoniche e non);

Un risuonatore (cassa armonica, canna chiusa e aperta, tavola armonica) con la funzione di amplificare la vibrazione in modo selettivo in frequenza, e dare una nuova forma all'onda sonora rispetto a quella originariamente emessa dall'elemento vibrante;

Un adattatore di impedenza tra il sistema vibrante e l'aria circostante per aumentare l'efficienza di irradiazione del suono.

La parte per noi più interessante è il procedimento di amplificazione selettiva che avviene ad opera del risonatore. La particolare conformazione di ogni strumento musicale è studiata perché il risonatore presenti determinate frequenze di risonanza. Ad esempio nel caso del violino, il risonatore è costituito dalla cassa armonica la cui forma irregolare seleziona frequenze risonanti attorno a 600 Hz e 1000 Hz (dette risonanze del legno) ed altre risonanze molto ravvicinate nella zona tra i 2000 Hz e i 4000 Hz. Vi è poi anche una risonanza dell'aria detta risonanza di Helmholtz dovuta all'aria che entra e esce dalla cassa attraverso i fori ad effe e che si colloca attorno alla frequenza di 300 Hz. Quando tale risonatore viene investito dalla vibrazione generata dall'elemento vibrante (l'accoppiamento tra elemento vibrante e risonatore è reso efficiente adattando l' impedenza tra cassa armonica e corda tramite il ponticello), esso "risuona", cioè si mette in oscillazione, soprattutto alle frequenze vicine alla propria frequenza di risonanza e ciò indipendentemente dal contenuto spettrale del suono generato dalla sorgente primarie di vibrazione. L'effetto pratico è che il contenuto spettrale del suono originario viene modificato dall'effetto filtrante del risuonatore: si formano bande di frequenza dette formanti nelle quali l'emissione sonora dello strumento è dominante. Probabilmente la posizione delle formanti, essendo dovuta alla geometria dello strumento e non alla frequenza della nota emessa, e l'elemento determinante per la riconoscibilità del timbro di uno strumento. Un metodo pratico per ottenere le frequenze delle formanti che evidenziano le risonanze proprie dello strumento è di mediare gli spettrogrammi istantanei su intervalli di tempo sufficientemente lunghi; è importante eseguire la media su tempi lunghi e su brani che visitano l'intero spettro delle altezze dello strumento in modo da sollecitare tutti i modi normali della cassa armonica.

...e il povero suonatore?

Da quanto detto in precedenza sembra che la qualità timbrica dello strumento sia completamente dipendente dalle caratteristiche geometriche dello strumento stesso. Il ruolo del suonatore, dal punto di vista fisico, viene svilito

a quello di sorgente di energia meccanica atta a mettere in moto la sorgente primaria di vibrazione;

a quello di selezionatore dell'armonica fondamentale (cioè della nota emessa) alterando le caratteristiche fisiche (ad esempio la lunghezza della corda) dell'elemento posto in vibrazione. (Tra l'altro, in molti strumenti, ad es. il pianoforte, l'altezza della nota emessa è già regolata dal tasto corrispondente...quindi lo strumentista sembra ancora più inutile!)

Non ce ne vogliano gli strumentisti veri!! In realtà siamo ben consci del fatto che quando uno strumentista genera un suono, egli può modificare, a parità di nota eseguita (cioè fissata la frequenza della armonica fondamentale), il modo e la rapidità con cui l'energia si distribuisce tra le varie armoniche (addirittura sopprimendone alcune). Una delle finalità della tecnica esecutiva (in una visione estremamente riduzionistica) consiste nell'acquisizione di un controllo completo del timbro del suono prodotto. Ogni strumento musicale pone, all'esecutore, problemi tecnici peculiari che derivano dalla diversa modalità con cui vengono condotte le quattro fasi di produzione del suono descritte in precedenza. Si pensi

al "tocco" del pianista;

all'attacco del suono di un trombettista che può essere rapido, producendo un "clic" caratteristico, o più diluito nel tempo;

alla diverse modalità con cui un violinista utilizza l'archetto per produrre effetti timbrici caratteristici;

alla diversità timbrica del suono di una chitarra a seconda venga suonata con il plettro o con le dita;

alla diversità timbrica del suono prodotto dal piatto di una batteria a seconda che venga percosso nel centro o vicino al bordo;

alle volontarie fluttuazioni di ampiezza e frequenza che il violinista introduce nel suono quando esegue, per rendere meno piatta e noiosa la fase di sustain, un tremolo o un vibrato;

alla diversità timbrica del canto di petto (dei cantanti lirici) di gola (cantanti di musica leggera) e di naso o del falsetto.

Approfondimenti e collegamenti

Nelle pagine relative ai singoli strumenti musicali (oboe, tromba, clarinetto, violino, timpani, voce umana, ecc.) troverai registrazioni dal vivo dalle quali potrai apprezzare la possibilità di gestione del timbro che uno strumentista possiede nei confronti del proprio strumento.

# data[].attributes.attachment_link.description
Una definizione comunemente accettata di timbro è la seguente: il timbro è la qualità percepita di un suono che ci permette di distinguere due suoni che hanno la stessa altezza e la stessa intensità.

# data[].attributes.attachment_link.description
Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Iniziamo con un esempio sonoro generato elettronicamente: partiamo da due suoni base: due suoni puri (cioè di forma d'onda sinusoidale) di 40 e 50 Hz. Questi suoni si trovano nell'estremo inferiore dello spettro udibile, e, in genere, sono filtrati dai piccoli altoparlanti, quindi per udirli dovrai usare le cuffie.

Ora ascoltiamo i due suoni assieme: l'esame del sonogramma ci permette di verificare che le uniche due frequenze presenti sono proprio a 40 e 50 Hz. Noterete, però che non si sentono due suoni distinti, come ci si potrebbe aspettare, ma un singolo suono di altezza intermedia, e caratterizzato un "battimento". Si può verificare direttamente sul tracciato dell'onda, usando la scala dei tempi, che l'oscillazione ha un periodo di circa 22 ms, corrispondente al suono che udiamo, mentre la distanza tra due massimi assoluti consecutivi è di 100 ms, e corrisponde alla fequenza del "battimento" (10 Hz).

suoni puri componenti

NOTA: questi suoni sono udibili solo in cuffia, o dagli altoparlanti di un impianto Hi-Fi, ma non dai piccoli altoparlanti del PC.

suono composto sovrapponendo i suoni puri

forma d'onda

sonogramma

Audio

Tecnicamente i battimenti sono prodotti dalla sovrapposizione di due onde sinusoidali aventi la medesima ampiezza e frequenze e solo "leggermente diverse". L'onda risultante possiede una forma caratteristica che mostra una sorta di "doppia oscillazione":

1. un'oscillazione rapida di frequenza pari al valor medio delle due frequenze e (è ovvio che, essendo e molto vicine, sarà circa uguale a )

2. un'oscillazione molto più lenta che "modula" l'ampiezza con una frequenza di battimento pari alla differenza delle due frequenze e (è ovvio che, essendo e molto vicine, sarà molto minore delle due frequenze e .

A prima vista sembrerebbe che i battimenti siano semplicemente una manifestazione del principio di sovrapposizione: sommando due onde si ottiene una nuova onda con caratteristiche differenti. Non è così. Di fatto il fenomeno del "battimento" manifesta appieno la sua importanza solo nel campo dell'acustica. Non a caso il nome stesso del fenomeno è dovuto alla lenta fluttuazione dell' intensità percepita che fa somigliare il suono ad una pulsazione regolare.

Nel caso delle onde sonore, infatti, il nostro sistema uditivo percepisce la sovrapposizione di due suoni in modo molto differente, a seconda della distanza tra le frequenze dei suoni componenti. In particolare:

se le frequenze e sono sufficientemente lontane tra di loro la sovrapposizione di due suoni è percepita come l'insieme di "due voci" distinte.

se invece le frequenze e sono molto simili, non si percepiscono più due voci distinte, ma, appunto un solo suono di altezza simile a quella dei componenti, ma "battente".

Non specifichiamo qui cosa vuol dire "frequenze vicine" e "lontane", ma riportiamo solo alcuni esempi, rimandando alla spiegazione più accurata nella pagine sulla percezione dell'altezza e sulle bande critiche.

Come si calcola la frequenza di battimento?

Senza entrare troppo nei dettagli matematici, è facile capire perché fenomeni che si ripetono con periodicità molto simili possano dar luogo ad un fenomeno complessivo (la sovrapposizione delle due onde) di periodicità molto più dilatata nel tempo. Possiamo ricorrere, e in questo vantiamo illustri predecessori , ad una similitudine: supponiamo di avere due pendoli, il primo che oscilla 40 volte al secondo (ciò corrisponde ad una frequenza di 40 Hz) e il secondo che oscilla 50 volte al secondo.

Se all'istante i pendoli sono esattamente in fase (sono ad esempio transitati nel punto più alto della loro oscillazione nello stesso istante) tra quanto tempo si ripresenterà tale coincidenza?

Il primo pendolo impiega 1/40 di secondo pari a 25 millisecondi (ms) per compiere un'oscillazione, il secondo pendolo impiega 1/50 di secondo pari a 20 ms. La coincidenza si ripresenterà dopo un tempo che il minimo comune multiplo dei due tempi, in questo caso 100 millisecondi, come si può constatare nelle figure seguenti. Quindi il fenomeno di transitare in sincronia per il punto più alto avverrà allora solo 10 volte al secondo, avrà una frequenza pari a 10 Hz, proprio uguale alla differenza delle frequenze delle due oscillazioni coinvolte.

suoni componenti

somma dei componenti

scomposizione in frequenza di battimento e frequenza percepita

Battimenti in musica

Forse avrai visto qualche volta un chitarrista che cerca di accordare la sua chitarra pizzicando alternatamente due corde vicine. Egli, tendendo o rilasciando la corda da accordare, la pizzica ripetutamente fino a quando non ritiene che i due suoni ottenuti siano all'unisono;

oppure avrai avuto la fortuna di ascoltare il meraviglioso effetto di un coro di canto gregoriano in una cattedrale gotica, o un organo che suona nel registro vox humana. Il suono sembra lentamente "pulsare" con un lento alternarsi nel tempo dell'intensità;

o ancora avrai ascoltato un pianoforte giocattolo (o scordato) produrre suoni aspri e così dissonanti da assomigliare a quelli che emette un "modem" gracchiante alla ricerca della connessione. Tutti questi fenomeni sono esempi di battimenti.

Tutte queste sono manifestazioni dei battimenti in musica.

Il fenomeno dei battimenti si manifesta nel modo più evidente solo nella sovrapposizione di suoni puri (corrispondenti ad onde sinusoidali), e la completa sparizione del suono ad intervalli regolari si ottiene solo quando i due suoni hanno anche la stessa intensità. Queste condizioni ideali sono molto difficilmente ottenibili nei suoni reali, specie se prodotti da due strumenti diversi. Tuttavia i battimenti si manifestano in musica molto più frequentemente di quanto si creda, anche se, spesso, serve un orecchio allenato per riconoscerli.

In alcuni casi possiamo riprodurre artificialmente le condizioni necessarie, per esempio sfruttando il suono prodotto da due diapason, piccole "forchette" metalliche progettate per generare suoni particolarmente puri. È una comune esperienza osservare che, se i diapason sono perfettamente accordati si può produrre il fenomeno del battimento modificando leggermente la frequenza di uno dei due. Ciò può essere ottenuto applicando una piccola massa ad uno dei due rebbi modificando la frequenza propria di oscillazione. Il suono si può anche vedere utilizzando un microfono ed un oscilloscopio per visualizzare il suono ottenuto. L'aspetto delicato dell'esperimento risiede nel produrre, nella percussione dei diapason, suoni della medesima ampiezza.

In alcuni rari casi di ascolto reale le condizioni ideali si creano "da sole":

nel caso di un organo non perfettamente accordato è frequente udire battimenti quando un registro attiva due file di canne diverse. Inoltre, come citato all'inizio della pagina, esistono registri appositamente accordati a frequenze di battimento per produrre un fenomeno di "tremolo" (vox humana).

Anche due organi affacciati (una configurazione che si osserva in certe chiese) possono dare origine al fenomeno, nella sua forma pura, quando suonano registri "dolci" (registri in cui la fondamentale è la componente dominante del suono).

in uno strumento a corde è sufficiente suonare la stessa nota simultaneamente su due corde diverse, e cambiare leggermente l'intonazione su una delle due corde, tenendo fissa la nota sull'altra per ottenere battimenti "regolabili" in frequenza. Sugli strumenti ad intonazione libera come il violino o il violoncello, l'effetto si può ottenere a strumento accordato, sfregando simultaneamente due corde: una libera (o vuota come si dice in gergo), e l'altra poggiandovi il dito per produrre la stessa nota della corda libera.

Molto più spesso i battimenti si verificano "in forma nascosta", e cioè sussistono tra le diverse componenti armoniche di suoni complessi.

Questo argomento è delicato, e viene ripreso in più pagine di questo sito (si vedano i collegamenti in fondo a questa pagina). In breve possiamo osservare che, sovrapponendo due suoni complessi, cioè composti dalla somma di molti suoni puri, anche se le fondamentali dei due suoni non hanno frequenze molto vicine, è possibile che, alcune armoniche superiori si trovino in condizione di battimento. Anche se il battimento non è percepibile in modo chiaro come tale, i due suoni sembrano in qualche modo "stridere" di più rispetto al caso in cui le armoniche non presentano battimenti. È questa forse una definizione di "dissonanza"?

In questa forma "nascosta" i battimenti sono normalmente usati da accordatori e musicisti per accordare gli strumenti.

Battimenti ed accordatura

Si è già osservato come i battimenti tra le fondamentali di due corde della chitarra possano essere usati per accordare lo strumento.

Nel caso particolare di strumenti ad intonazione libera (come il violino), è anche possibile ottenere una particolare forma di battimenti, percepita come un suono fantasma, detto terzo suono di Tartini

Il caso del pianoforte, da questo punto di vista, è più complesso e più interessante. Infatti, nel pianoforte due o tre corde identiche vengono percosse simultaneamente dal martelletto per produrre una singola nota, ed esse, per dare l'unisono perfetto devono produrre meno battimenti possibile. Tuttavia le tre corde corrispondenti ad un singolo tasto del pianoforte non sono oscillatori indipendenti, ma accoppiati attraverso l'anima, e, dalla fisica (oscillatori accoppiati) sappiamo che ogni volta che due oscillatori sono accoppiati le frequenze proprie del sistema cambiano, e, in particolare, sono possibili modi di vibrazione in cui l'energia passa da un oscillatore all'altro periodicamente. Questi modi corrispondono prorpio ai battimenti acustici.

Allora, in breve, nel pianoforte i battimenti compaiono in in diverse situazioni:

1. Quando le tre corde di un tasto non sono perfettamente accordate (battimenti della fondamentale, indesiderati)

2. In misura minore quando le tre corde di un tasto sono perfettamente accordate (battimenti molto lenti, desiderati perché conferiscono calore al suono)

3. Sempre, tra le armoniche superiori, quando si premono due tasti differenti (non percepibili dall'orecchio non allenato, ma utilizzate dall'accordatore per accordare correttamente tutti i tasti dello strumento)

In altri strumenti i battimenti fanno sempre parte del timbro. In particolare nelle percussioni (sia ad altezza definita, come i timpani, sia ad altezza indefinita, come il tamburo rullante, o il triangolo]. Le percussioni, infatti sono caratterizzate dal fatto che i loro armonici non stanno in rapporti interi, e quindi, diversi battimenti "interni" (tra armoniche diverse prodotte dallo stesso suoni) sono sempre presenti.

A volte il battimento è uno e molto evidente (si veda per esempio questo esempio nel suono di un timpano. Altre volte essi sono talmente tanti da conferire al suono un aspetto cangiante e fluttuante (come nel caso del triangolo]).

Un orecchio non allenato percepisce i battimenti degli armonici superiori, senza riuscire ad individuarli, in diversi modi, di volta in volta come "un suono tremolante", o "aspro", o semplicemente come "un intervallo stonato", oppure (il caso ricercato dai musicisti), come un suono "non piatto", "caldo", "modulato".

Collegamenti

I battimenti sono oggetto di studio sia della fisica acustica, sia della fisiologia della percezione, sia della teoria musicale, ed appaiono quasi ovunque in questo sito. In particolare si vedano le pagine seguenti:

Collegamenti

Visitando il nostro laboratorio virtuale Onde 2D troverai un'esperienza preconfezionata dove questa doppia oscillazione si manifesta, dinamicamente, in tutta la sua evidenza. Un esempio sonoro, in cui puoi modificare le singole componenti del suono si trova anche nell'applet Fourier.

Una particolare forma di battimenti detta modulazione è usata in alcuni tipi di trasmissioni radio.

Galilei G. Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 1638. Al termine della prima giornata vi è la famosa similitudine dei pendoli. Puoi leggere direttamente il testo alla pagina aspetti fisici e matematici

# data[].attributes.attachment_link.description
Iniziamo con un esempio sonoro generato elettronicamente: partiamo da due suoni base: due suoni puri (cioè di forma d'onda sinusoidale) di 40 e 50 Hz. Questi suoni si trovano nell'estremo inferiore dello spettro udibile, e, in genere, sono filtrati dai piccoli altoparlanti, quindi per udirli dovrai usare le cuffie.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Reverberation is the collection of reflected sounds from the surfaces in an enclosure like an auditorium. It is a desirable property of auditoriums to the extent that it helps to overcome the inverse square law dropoff of sound intensity in the enclosure. However, if it is excessive, it makes the sounds run together with loss of articulation - the sound becomes muddy, garbled. To quantitatively characterize the reverberation, the paramater called the reverberation time is used.

Reverberant sound is the collection of all the reflected sounds in an auditorium.

Index

Auditorium acoustics

# data[].attributes.attachment_link.description
Reverberation is the collection of reflected sounds from the surfaces in an enclosure like an auditorium. It is a desirable property of auditoriums to the extent that it helps to overcome the inverse square law dropoff of sound intensity in the enclosure.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ho deciso di scrivere questo post invogliato dall'imminente Carnevale della Matematica di febbraio, come da tradizione ospitato dai magnifici Rudi Mathematici. Il tema scelto è il "ritardo", declinato in tutte le sue possibili accezioni.
Gli amici Rudi ironizzano spesso sul ritardo con cui la loro celebre e-zine mensile tende a uscire: tuttavia, per quanto ne so, mai hanno perso un colpo, il che dimostra che i loro ritardi sono in realtà cosa trascurabile rispetto alla magnificenza della loro ormai più che ventennale opera divulgativa. Se c'è un colpevole e recidivo ritardatario, invece, questo è proprio Mr. Palomar, che spesso e volentieri scompare per mesi dai radar. Per questo, mi è sembrato particolarmente significativo raccogliere il guanto di sfida dei Rudi e proporre una mia variazione sul tema del "ritardo".
Per declinare questo concetto in chiave matematica, ho deciso di prenderla larga, e di partire dai numeri coprimi. Ma che c'azzecca, chiederete voi. Abbiate pazienza e provate a seguire il mio filo logico (se ne esiste uno...).

Chiudete gli occhi e pensate a due numeri interi e positivi qualsiasi. Fatto? Bene, adesso controllate se questi due numeri hanno almeno un fattore primo in comune, oppure nessuno. Per esempio, se avete scelto il 9 e il 21, c'è un fattore primo comune a entrambi, ed è 3. Questo perché sia 9 che 21 sono divisibili per 3. Se invece avete pensato, poniamo, a 12 e 35, non c'è alcun fattore primo comune. In questo secondo caso si dice che i numeri scelti sono coprimi oppure primi fra loro. Due numeri coprimi non hanno alcun divisore comune a parte il numero 1. Detto altrimenti, due numeri sono coprimi se il loro massimo comune divisore è 1.

Un'interpretazione molto suggestiva del concetto di coppia di numeri coprimi è collegata al piano cartesiano. Immaginate che il piano cartesiano sia disseminato di paletti, posti in maniera regolare in tutti i punti di coordinate intere. Dati due numeri a e b,consideriamo il punto P le cui coordinate sono proprio a e b: se P è "visibile" dall'origine, cioè nessun "paletto" si frappone tra l'origine e il punto stesso, allora a e b sono numeri coprimi. Per esempio, nella Figura 1 si vede che i numeri 9 e 4 sono coprimi.

Il concetto di numeri coprimi, come potrebbe far intuire il termine utilizzato, è legato all'idea di numero primo? In parte sì. È facile comprendere che due numeri primi sono sicuramente anche primi fra loro. Comunque, affinché due numeri siano primi fra loro non è necessario che essi siano numeri primi.

Qual è la probabilità che due numeri interi positivi scelti a caso siano coprimi? Non è facilissimo calcolare questa probabilità. Potremmo farci un'idea grossolana utilizzando un approccio statistico, cioè eseguendo una serie di prove. Prepariamo una certa quantità di bigliettini, per esempio cento, sui quali scriviamo i numeri interi compresi tra 1 e 100. Poi estraiamo a caso una coppia di bigliettini e verifichiamo se i due numeri estratti sono coprimi o no. Se ripetiamo l'operazione per un numero abbastanza elevato di volte, ci accorgeremo che le coppie sono coprime circa nel 60% dei casi. In base alla legge dei grandi numeri, questo ci autorizza a ipotizzare che la probabilità cercata sia all'incirca uguale a 60%, cioè a 0,6.
Ma questa è una dimostrazione empirica, non rigorosa dal punto di vista matematico. Proviamo allora a ragionare in modo diverso. Qual è la probabilità che, preso a caso un numero intero positivo, questo sia divisibile per un certo numero primo p? Per esempio, estraendo a caso un numero intero compreso tra 1 e 100, qual è la probabilità che esso sia divisibile per 7? Be', i numeri divisibili per 7 sono 7, 14, 21, 28, 35, e così via. Uno su sette. Il fatto che stiamo considerando i numeri fino a 100 è irrilevante. La probabilità cercata è quindi, in generale, uguale a 1/p.
E se invece di un solo numero ne estraiamo due, a caso? Qual è la probabilità che entrambi siano divisibili per il numero primo p? Trattandosi dell'intersezione di due eventi indipendenti, essa è uguale al prodotto delle singole probabilità, cioè a

È un po' come la probabilità di ottenere 2 lanciando due dadi: equivale alla probabilità di ottenere 1 su entrambi i dadi, cioè

La probabilità che nessuno dei due numeri estratti a caso sia divisibile per il numero primo p, a
questo punto, è la probabilità dell'evento complementare, cioè è uguale a

È analogo a determinare la probabilità di non ottenere 2 lanciando due dadi: è uguale a

I due numeri scelti a caso sono coprimi se entrambi non sono divisibili per qualsiasi numero primo. Anche in questo caso siamo di fronte all'intersezione di eventi indipendenti: la probabilità che questo avvenga è quindi uguale al prodotto

Lo so, probabilmente starete pensando: adesso che abbiamo espresso la nostra agognata probabilità in questo strano modo, cosa ci abbiamo guadagnato? Apparentemente non è facile calcolare il valore di quella produttoria e nemmeno stimare se esso si aggira intorno a 0,6 come ipotizzato mediante le prove empiriche.
Eppure, a chi ha qualche familiarità con l'analisi e con la teoria analitica dei numeri sarà forse venuta in mente la celebre formula del "prodotto di Eulero":

con x reale maggiore di 1.

Da questa formula deriva che la nostra probabilità è uguale a

cioè all'inverso della funzione zeta calcolata in 2. Ora, dobbiamo dirci fortunati, perché lo stesso Eulero ci viene in soccorso nuovamente, questa volta con la sua famosa soluzione del "problema di Basilea", risalente al 1735: la zeta di Riemann calcolata in 2 vale esattamente

per cui possiamo esultare: la probabilità che due numeri interi positivi scelti a caso siano coprimi è uguale all'inverso di quel numero, ovvero a

Quanto vale questo numero? Circa 0,608: e questo conferma i risultati delle prove empiriche di cui parlavo prima.
Un'avvertenza per il lettore curioso e desideroso di approfondimento: in un mio post di otto anni fa avevo parlato di questi due risultati di Eulero. In quel post sottolineavo la sorprendente presenza di π in un teorema che nulla ha a che vedere con la geometria, ma che scaturisce da una serie formata dagli inversi dei quadrati dei numeri interi positivi. Anche in questo caso non possiamo trattenere un'esclamazione di meraviglia nel constatare come la celebre costante dei cerchi salti fuori anche in questo calcolo di probabilità relativa a coppie di numeri coprimi.

Benissimo. Vi starete però chiedendo cosa c'entra tutto questo con l'idea di ritardo. Chi ha letto il mio libro "Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin" (Hoepli, 2019) sa che il capitolo 2 è dedicato alla celebre base ritmica di "We Will Rock You" dei Queen (sì, proprio quella: "stomp-stomp-clap! stomp-stomp-clap!") e in particolare a come l'autore Brian May riuscì a rivestirla di un effetto di riverbero basato appunto su numeri coprimi.

Come ben sa chi si occupa di musica, il riverbero si verifica quando un'onda sonora viene riflessa, anche più volte, da superfici poste lungo il proprio cammino: l'ascoltatore percepisce così non soltanto l'onda originaria, ma una miscela formata da questa e dalle onde riflesse.
Per simulare artificialmente un effetto di riverbero, il suono originale viene sovrainciso assieme a sue copie "ritardate" di qualche millisecondo (ms), in modo da imitare l'effetto del rimbalzo su una superficie riflettente (per la verità l'intensità dei suoni ritardati viene anche attenuata, così come nella realtà gli echi sono sempre meno forti del suono originale, avendo perduto parte della loro intensità nel corso del loro cammino).
Più precisamente, il chitarrista dei Queen prese ciascuno degli "stomp" e dei "clap" (registrati dai quattro della band in una chiesa sconsacrata alla periferia di Londra) e lo sovraincise più volte, introducendo ritardi diversi e, una volta misurati in millisecondi, primi fra loro.
Per esempio, come indicato nella Figura 3, potrebbe aver scelto 4 ms, 9 ms e 25 ms.

Perché questa singolare scelta? Supponiamo che May non avesse scelto ritardi coprimi: ci sarebbe stato allora almeno un divisore comune ad alcuni di questo ritardi. Per fissare le idee, poniamo che tra i ritardi introdotti sul nostro "stomp", vi sia un divisore comune uguale a 10 ms.
L'onda sonora associata al nostro "stomp" è la somma delle sue armoniche, ciascuna caratterizzata da una frequenza multipla di quella del suono fondamentale (o, in modo equivalente, da un periodo che è divisore del periodo del suono fondamentale): se tra queste armoniche ve n'è una con periodo pari a 10 ms, essa presenterà i propri picchi di massima intensità intervallati da una distanza temporale di 10 ms.
In altri termini, se all'istante zero l'onda presenta un picco nel punto A, essa presenterà nello stesso punto un picco di uguale intensità all'istante 10 ms, all'istante 20 ms, all'istante 30 ms, e così via.

Poiché 10 ms è divisore comune tra i ritardi scelti per il riverbero, in almeno due di questi istanti cominceranno a sommarsi anche alcune ripetizioni del nostro "stomp" perfettamente in fase con l'onda originaria, dando origine a un'onda complessiva più intensa di quella iniziale.
L'effetto finale sarà un'amplificazione selettiva delle componenti armoniche caratterizzate da periodi uguali o multipli rispetto ai ritardi scelti per il riverbero. In modo analogo, altre frequenze risulteranno fortemente attenuate, se non cancellate del tutto, come risultato della somma tra picchi e valli.
Qual è la conseguenza di tutto questo? Un'alterazione sgradevole e poco realistica del suono riverberato. Insomma, qualcosa da evitare assolutamente.
Scegliendo ritardi coprimi, Brian May evitò questo rischio.
Se volete approfondire la questione complessiva della matematica di "We Will Rock You", potete trovare pane per i vostri denti nel mio libro "Matematica rock".
Se la base ritmica del famoso pezzo dei Queen è, ancora oggi dopo più di quarant'anni, così potente, irresistibile e trascinante, un po' di merito lo dobbiamo riconoscere alla matematica, in particolare ai numeri coprimi, e anche ai ritardi. Vedete? Il ritardo non viene sempre per nuocere.
Delay will rock you!

# data[].attributes.attachment_link.title
Numeri coprimi, ritardi e... stomp-stomp-clap!

# data[].attributes.attachment_link.description
Ho deciso di scrivere questo post invogliato dall'imminente Carnevale della Matematica di febbraio, come da tradizione ospitato dai magnifici Rudi Mathematici. Il tema scelto è il "ritardo", declinato in tutte le sue possibili accezioni.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Quando ascoltiamo il suono prodotto da una sorgente sonora (es. un'orchestra) in un ambiente chiuso il campo sonoro percepito da un ascoltatore è costituito da due contributi:

1. il suono diretto costituito dall'onda sonora che raggiunge direttamente l'ascoltatore partendo dalla sorgente. Ovviamente tale suono diretto esiste solo se non esistono ostacoli tra la sorgente sonora e l'apparato ricevente dell'ascoltatore (per esempio il timpano) ;

2. il suono riflesso che raggiunge l'ascoltatore solo dopo aver subito riflessioni (anche multiple) da parte delle pareti, del pavimento, degli ostacoli (es. poltrone, altre persone del pubblico). Ovviamente tale suono raggiungerà l'ascoltatore con un certo ritardo rispetto al suono diretto e determinerà una "coda sonora" che persiste anche una volta cessata l'emissione da parte della sorgente.

Da queste rapide considerazioni emerge già con chiarezza il problema generale dell'acustica ambientale (e architettonica):

sotto quali condizioni la sovrapposizione tra il suono diretto e il suono riflesso permette di definire l'ambiente dotato di una buona acustica?

E quali sono i parametri fisici e percettivi che definiscono tale buona acustica?

Sono essi soggettivi o oggettivi?'

Una prima soluzione potrebbe essere quella di cercare di eliminare completamente il suono riflesso: ciò può essere ottenuto ricoprendo le pareti di materiale completamente fonoassorbente. La soluzione è troppo drastica ed anzi impoverisce il suono al quale viene tolto il fascino inimitabile dell'effetto dal vivo. Un certo grado di suono "riverberato" è gradito e rende il suono più caldo, continuo e fluido nel suo svolgersi. A tal proposito si ascoltino questi esempi audio:

Un certo grado di suono riverberato è quindi gradito e la soluzione di cercare di eliminarlo completamente non è certo ottimale. Il problema del controllo del campo riverberato è da un punto vista teorico un problema estremamente complesso per una serie di ragioni:

1. la riflessione dell'onda sonora da parte delle pareti è un fenomeno dalle modalità estremamente articolate: essa può andare, a seconda della frequenza dell'onda incidente, dalla riflessione speculare per le alte frequenze alla riflessione diffusa per le frequenze più basse (cioè di lunghezza d'onda confrontabile con le asperità della superficie riflettente).

2. la geometria delle pareti riflettenti può dar luogo a fenomeni di focalizzazione del campo riverberato, di eco e di formazione di onde stazionarie che compromettono la desiderata uniformità del campo sonoro ottenuto per riverbero.

3. in ogni fenomeno di riflessione sono sempre presenti anche fenomeni di assorbimento dell'energia sonora che per attrito si converte in parte in calore.

La desiderata omogeneità del campo sonoro riverberato, necessaria per raggiungere gli ascoltatori in tutte le posizioni nel modo più uniforme possibile, può essere ottenuta tramite

specchi e deflettori (che altro non sono se non pannelli di legno lisci e rigidi di varie forme) che posti in posizioni "strategiche" contribuiscono allo scopo;

pannelli fonoassorbenti (quei pannelli bucherellati di materiale poroso che assorbono il suono, anziché rifletterlo) utilizzati per smorzare riverberi e risonanze indesiderate ad esempio nei cinema, dove la potenza dei diffusori è notevole, rispetto al volume della sala.

Kammermusiksaal della Philharmonie di Berlino. L'edificio è stato progettato con una particolare attenzione all'acustica, per essere la sede ufficiale dei Berliner Philharmoniker. Proprio sopra l'area riservata all'orchestra si notano larghi pannelli leggermente curvi somiglianti a vele, che hanno l'effetto di riflettere il suono nel modo più uniforme possibile nell'ambiente circostante. Si noti che il pubblico siede tutt'attorno all'orchestra senza che la percezione del suono proveniente da essa sia sostanzialmente differente. A destra un dettaglio delle vele.

Il tempo di riverberazione

Un primo parametro che serve a studiare gli effetti della "coda sonora" generata dalle onde riflesse e la loro interazione con il campo sonoro diretto è il tempo di riverberazione. Esso è definito come il tempo necessario perché l'intensità sonora decada di un milione di volte (-60 dB) rispetto al massimo valore raggiunto prima del transitorio di estinzione.

Per una qualità acustica ottimale occorre trovare un compromesso tra tempi di riverberazioni brevi (che garantiscono chiarezza nel suono e nel parlato impedendo la sovrapposizione di suoni e sillabe emessi in istanti molto diversi nel tempo) e tempi di riverberazione più lunghi che conferiscono pienezza, sonorità e vivezza al suono.

È ovvio che non esiste una ricetta univoca: a seconda della destinazione di uso dell'ambiente chiuso (auditorium per conferenze, sale d'opera, teatro per concerti sinfonici o per musica da camera) o del tipo di musica eseguito, il tempo di riverberazione ottimale subisce variazioni. Una valutazione soggettiva, ma basata sul giudizio di un campione sufficientemente ampio di esperti, ritiene che, per dimensioni tipiche delle sale, il tempo di riverberazione debba essere (i valori sono solo indicativi):

breve (circa 1 secondo) per lezioni e conferenze, nelle quali l'esigenza primaria è quella della intelligibilità del parlato; un riverbero eccessivo porta alla sovrapposizione di sillabe diverse a scapito della comprensione;

medio (da 1 a 1.6 secondi) per opera e musica da camera nella quali è ancora primaria l'esigenza dell'intelligibilità del libretto d'opera e della "tessitura" molto fine della musica romantica e barocca; è tuttavia gradito il contributo di un certo riverbero per i soliti motivi;

lungo (da 1.8 a 2.2 secondi) per musica sinfonica per la quale è primaria l'esigenza di un suono avvolgente in grado di amalgamare, grazie alle riflessioni multiple, il suono proveniente dai vari strumenti dell'orchestra;

molto lungo (3 secondi) per concerti d'organo e canti liturgici (es. canto gregoriano) per i quali le sillabe lunghissime e gli accordi tenuti non determinano problemi di intelligibilità anche per elevati tempi di riverberazione.

Alcuni esempi di riverberazione ottenuta elettronicamente

A partire da un campione "dry" (cioè registrato in un ambiente praticamente anecoico) abbiamo manipolato elettronicamente il suono in modo da riprodurre alcune condizioni di riverberazione ed evidenziarne così l'impatto sulla percezione. Per quanto l'effetto del riverbero sia evidente in questi esempi, tuttavia spesso non è percepito in modo cosciente da un orecchio non allenato in condizioni di ascolto normali. Una certa quantità di riverbero è sempre presente in tutti gli ambienti, e, quindi, ci si fa poco caso proprio perché esso è una proprietà "naturale". Il riverbero contribuisce a creare la sensazione di volume dell'ambiente in cui ci si trova, assieme alla percezione visiva, che però è in genere dominante. In realtà il riverbero si fa tanto più notare quanto più ha un impatto acustico negativo. Ciò accade per esempio in ambienti in cui la parola diviene inintelligibile per eccesso di riverbero, o, all'estremo opposto in una camera anecoica, in cui si verifica la condizione di assenza di riverbero. Questo ambiente è spesso percepito come innaturale se non addirittura sgradevole, e mette a disagio il sistema percettivo.

Il suono "a secco" corrisponde col suono che si sentirebbe stando molto vicino allo strumento in un ambiente poco o nulla riverberante, come uno studio di registrazione.

Abbiamo lasciato inalterato il livello sonoro originale, ma abbiamo aggiunto una coda riverberante a simulare un un ambiente di modeste dimensioni (15 m²), ma con pareti abbastanza riflettenti (tempo di riverbero 1 s).

Abbiamo ingrandito un poco l'ambiente (30 m ²), allungato il tempo di riverbero (2.5 s). Questo potrebbe corrispondere ad una stanza di medie dimensioni, ma non arredata, o con un soffitto alto. Poi abbiamo abbassato il livello del suono originale rispetto al livello della coda di riverberazione, il che simula ciò che si sentirebbe stando in fondo ad una sala di pari riverbero, ma di maggiori dimensioni.

Abbiamo mescolato i due file precedenti smistandoli sul canale destro e sinistro. La situazione potrebbe corrispondere ad ascoltare il brano nella sala grande, stando piuttosto vicini alla sorgente, ma ruotati di 90° in modo che l'orecchio sinistro sia il più vicino ad essa, mentre da destra si sente meglio la risposta (in ritardo) della sala.

Da cosa dipende il tempo di riverberazione?

Ci aspettiamo, per come è definito, che il tempo di riverberazione dipenda:

dal volume della sala (sala più ampie costringono il suono riflesso a "tragitti" più lunghi e quindi aumentano il tempo di riverberazione);

dalle caratteristiche di assorbimento delle pareti e degli arredi, pubblico compreso. Poiché il tempo di riverberazione misura la rapidità dell'estinzione del suono, ci aspettiamo che pareti fortemente assorbenti riducano il tempo di riverberazione abbattendo in modo significativo il numero di riflessioni necessarie affinché l'energia sonora riflessa diminuisca di 60 dB, rispetto al valore massimo. Poiché la capacità di assorbimento delle pareti e degli arredi varia fortemente al variare della frequenza del suono, il tempo di riverberazione viene a dipendere, seppur indirettamente, anche dalla frequenza del suono.

dalle condizioni di umidità della sala, specialmente nei grandi uditori, dove l'attenuazione dell'energia sonora dovuta all'assorbimento dell'aria non è più trascurabile, (si veda a questo proposito la pagina relativa ).

Calcolo del tempo di riverberazione

Una calcolo del tempo di riverberazione non può prescindere da una misurazione accurata dell'assorbimento delle pareti e degli arredi.

Per quantificare l'assorbimento delle pareti sono stati definiti, per i vari tipi di materiale, coefficienti di assorbimento α che rappresentano la frazione di energia assorbita rispetto all'energia incidente. Tali coefficienti adimensionali sono riportati in tabella per molti dei materiali più usati in funzione della frequenza (di solito si assumono le frequenze centrali di bande separate da un'ottava). I dettagli della tabella sono tali che ci permettono di osservare che

il tempo di riverberazione può essere modificato dall'aggiunta di arredi mobili (tendaggi, tappetti, pannelli vibranti...); tali arredi devono però avere dimensioni opportune per evitare di essere aggirati dalle onde sonore, per il fenomeno della diffrazione, dall'onda sonora;

oltre alla dimensioni degli arredi è importante anche la natura della superficie assorbente (es. in un tappeto il valore del coefficiente di assorbimento è influenzato dalla altezza del pelo)

le superfici dure, ma anche l'acqua, riflettono quasi completamente l'energia incidente (il coefficiente di assorbimento è prossimo allo zero). Se il nostro sistema uditivo non contenesse un ingegnoso sistema di "ossicini", l'onda sonora che colpisce il timpano verrebbe assorbita in misura molto modesta dal liquido cocleare perché subirebbe una riflessione quasi completa;

Frequenze centrali in bande di ottava (Hz)

Materiale

125

250

500

1000

2000

4000

Per quantificare l'assorbimento dovuto agli arredi è invalso l'uso di esprimerlo mediante un numero S avente le dimensioni di un'area, che fornisce l'area di una finestra "equivalente" in grado di assorbire la stessa quantità di energia sonora dell'arredo in questione. Per la valutazione delle "sezioni di assorbimento" relative alle persone, si tenga presente che la superficie totale di una persona adulta di normale corporatura si aggira sui due metri quadrati.

Frequenze centrali in bande di ottava (Hz)

Materiale

125

250

500

1000

2000

4000

È facile convincersi che l'assorbimento totale può essere espresso in termini di "area totale equivalente" A pari a

(1)

essendo l'area della parete di coefficiente e l'area equivalente dell'elemento di arredo j-esimo.

Una prima formula per il calcolo del tempo di riverberazione fu proposta nel 1898 al fisico e matematico americano Sabine, che può considerarsi uno dei fondatori dell'acustica moderna,

dove V rappresenta il volume della sala e A è l'area totale equivalente calcolata nella (1).

Tale formula, ricavata utilizzando considerazioni statistiche sul libero cammino medio tra due riflessioni, cade evidentemente in difetto per due motivi:

quando i coefficienti di assorbimento tendono a 1 (come succede nelle camere anecoiche, completamente assorbenti) il tempo di riverberazione non tende a zero;

essa cade in difetto in presenza di forte disomogeneità di assorbimento delle pareti.

Una prima correzione fu proposta nel 1930 da Carl Eyring assumendo la formula

nella quale

rappresenta una sorta di coefficiente di assorbimento medio definito com'è, come il rapporto tra l'area totale equivalente e la superficie STOT delle pareti. Tale formula ha il pregio di far tendere a zero il tempo TR quando tende a 1. Inoltre essa approssima molto bene la formula di Sabine per piccoli valori di (come ci insegna l'analisi matematica per piccoli valori di ).

Un'ulteriore correzione deve essere introdotta per tener conto, soprattutto nei grandi uditori, dell'assorbimento dell'aria. In questi casi si aggiunge al fattore di assorbimento un contributo proporzionale al volume della sala. La formula di Eyring diventa allora

In ogni caso tutte le formule precedenti si sono rivelate non sufficientemente accurate quando, a partire dagli anni settanta del secolo scorso, il problema del calcolo del tempo di riverberazione è stato affrontato mediante simulazioni assistite dal computer.

Altri fattori per una "buona acustica"

Il tempo di riverberazione non è certo l'unico fattore per la resa acustica ottimale di un ambiente. Un caso di scuola che mostra la complessità della progettazione di un ambiente con le caratteristiche acustiche desiderate è la Philharmonic Hall del Lincoln Center a Manhattan (immagine a lato). Il progettista Leo L. Beranek nella prefazione al suo monumentale trattato di acustica scrive:..." Il punto di maggior interesse di questo volume è la descrizione degli sforzi fatti nel progettare la Philarmonic Hall del Lincoln Center. La Dea Fortuna è stata finalmente spodestata dall'analisi più accurata e della stupefacente applicazione di nuovi ma sicuri principi teorici..."

La sala, pur avendo un tempo di riverberazione sostanzialmente corretto, risultò letteralmente disastrosa dal punto di vista delle qualità acustiche. La strada del tentativo ed errore, che dai tempi di Vitruvio costituiva l'unica guida sicura per un raffinamento progressivo delle qualità acustiche di un ambiente e che lo stesso Sabine aveva perseguito con massacranti misure (egli lavorava di notte per rendere le sue misurazioni il meno possibile affette dal rumore di fondo ambientale), era stata abbandonata da Beranek in favore di principi teorici certamente fondati ma troppo semplici per catturare la complessità dei fenomeni reali.

Per elencarne solo alcuni la sala presentava numerosi difetti:

un'apparente assenza delle frequenze basse; i violoncelli e i contrabbassi si sentivano appena ed in estremo ritardo. Si scoprì poi che i pannelli del soffitto, quelli responsabili delle prime e più importanti riflessioni, erano troppo piccoli e venivano letteralmente aggirati (si veda diffrazione del suono) dalle frequenze più basse, senza quindi rifletterle; lo spettatore veniva raggiunto dalle basse frequenze solo dopo riflessioni multiple delle pareti, con molto ritardo;

gli orchestrali si sentivano appena gli uni con gli altri (la parete riflettente alle loro spalle, retaggio dell'antica scena, assorbiva troppo);

la geometria delle pareti era tale da determinare fenomeni di focalizzazione dell'energia sonora in alcuni punti della sala (si pensi ad uno specchio parabolico che concentra l'energia in un fuoco) e vere e proprie "ombre sonore" in altri;

il pavimento della sala non era molto inclunato e il suono passava sopra la testa degli spettatori. Gli spazi tra le file erano tali da comportarsi come risonatori e facevano curvare le onde sonore a bassa frequenza verso l'alto. Insomma un disastro!!

La sala fu successivamente migliorata con ingenti spese (oggi prende il nome dal finanziatore Avery Fisher) ma rimase come monito a non abbandonare la sperimentazione su modelli in scala e quella assistita dal computer.

Onde stazionarie negli ambienti chiusi

Una possibile fonte di disomogeneità del campo sonoro riverberato può nascere dalla formazione di onde stazionarie. Come ampiamente spiegato nella pagina cavità risonanti, il confinamento di un'onda determina onde stazionarie aventi frequenze appartenenti ad un insieme discreto. Le frequenze devono soddisfare ad una condizione di quantizzazione che, nel caso di stanza a forma di parallelepipedo di dimensioni A, B e C, sono date da

I modi di vibrazione permessi nella stanza sono caratterizzati dall'insieme dei tre numeri interi nx, ny, nz. Variando i tre numeri uno alla volta possiamo costruire la tabella di tutte le possibili frequenze di risonanza.

È interessante osservare che l'intensità del campo sonoro riflesso varia tanto più con la frequenza quanto più piccole sono le dimensioni dell'ambiente. Infatti se valutiamo la distanza tra due frequenze adiacenti (per i quali solo uno dei numeri della terna, ad esempio per , aumenta di un'unità) possiamo scrivere

.

Dopo semplici passaggi algebrici, otteniamo

ove è il volume della sala.

La differenza tra due frequenze successive è quindi inversamente proporzionale, a parità di terne scelte, al volume della sala. Nelle tabelle seguenti sono riportate le frequenze permesse in ordine crescente (si osservi che, in generale, all'aumentare dei valori di n diminuisce la distanza tra due frequenze successive) per un auditorium, per una stanza e per un "box doccia" (velocità del suono 343 m/s).

densità modale

auditorium
A=30 m, B=50 m, C=10 m

stanza
A=4 m, B=5 m, C=3 m

box doccia
A=1.2 m, B=1.2 m, C=2 m

In questo caso le frequenze permesse costituiscono, al di sopra del limite inferiore (20 Hz) delle frequenze udibili, praticamente un continuum. Le dimensioni della stanza sono tali da non selezionare bande di frequenza privilegiate. È per tale motivo che negli auditorium le cause della eventuale non omogeneità del campo sonoro riflesso, possono imputarsi solo in minima parte alla formazione di onde stazionarie.

frequenze di risonanza

auditorium
A=30 m, B=50 m, C=10 m

frequenza (Hz)

stanza
A=4 m, B=5 m, C=3 m

frequenza (Hz)

box doccia
A=1.2 m, B=1.2 m, C=2 m

frequenza (Hz)

Approfondimenti e collegamenti

In questa pagina abbiamo affrontato, seppur in modo certamente non esaustivo, le tematiche connesse all'acustica ambientale. Ti invitiamo a leggere, per una più profonda comprensione di quanto qui riportato, le pagine relative alla riflessione e alla diffrazione del suono.

Molti dei fenomeni descritti dipendono dalla frequenza dell'onda sonora. È importante che tu abbia cognizione della estensione degli strumenti musicali per renderti conto delle problematiche acustiche peculiari di ogni strumento e dell'orchestra.

1. G. Comini Appunti di acustica applicata scaricabili da http://web.uniud.it/dem/i2d/Materiale_didattico/app_acu.pdf

2. Wallace C. Sabine, Collected papers on Acoustics, Harvard University Press, Cambridge, 1922

3. citato in J. R. Pierce, La Scienza del Suono, Zanichelli Ed. 1988. Opera fondamentale tratta dall'originale americano The Science of musical Sound, Scientific American Books, Inc. New York 1983 di cui consigliamo senz'altro la lettura per approfondimenti

4. L. L. Beranek, Music, Acoustics, and Architectural Design, Wiley, New York 1962

5. Marco Vitruvio Pollione, De Architectura. Puoi trovare un'ottima rassegna sui problemi dell'acustica degli auditorium greci e romani in http://www.aising.it/docs/atticonvegno/p833-842.pdf

# data[].attributes.attachment_link.description
Quando ascoltiamo il suono prodotto da una sorgente sonora (es. un'orchestra) in un ambiente chiuso il campo sonoro percepito da un ascoltatore è costituito da due contributi: il suono diretto costituito dall'onda sonora che raggiunge direttamente l'ascoltatore partendo dalla sorgente.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
La percezione uditiva è un fenomeno complesso, in cui le caratteristiche fisiche del suono ricevuto, quelle fisiologiche dell'orecchio, e l'attività neurale del cervello interagiscono in modo sottile. In queste pagine vogliamo mostrare come la percezione uditiva non debba essere considerata una immagine fedele del suono ricevuto, ma piuttosto una sua complessa (e non così fedele) elaborazione.

In questa sede distinguiamo effetti e illusioni, intendendo che gli effetti sono percezioni "non fedeli" dovute alle caratteristiche fisiologiche dell'apparato ricevente, mentre le illusioni, al pari delle più popolari illusioni ottiche, sono il prodotto della diretta azione del cervello che non si limita a registrare, ma interpreta i suoni che riceve.

La scala di Shepard

La scala di Shepard è un esempio classico di illusione di cui esistono molte versioni. Provate ad ascoltare il campione qui sotto, che la riproduce in forma di glissando, e provate a tenere traccia dell'andamento della nota che percepite: sentirete un tono discendente, apparentemente senza fine. In realtà, come svela l'analisi del sonogramma, si tratta di un campione periodico, in cui le armoniche più acute vengono reintrodotte gradualmente, mentre quelle più gravi svaniscono gradualmente. Il cervello àncora la percezione dell'altezza più all'andamento complessivamente discendente, che non alla fondamentale del suono.

Effetti "di tipo Shepard" si trovano anche utilizzati in musica sotto forma di progressioni modulanti (per esempio nella Fantasia e Fuga in Sol minore per organo BWV 542 di J.S. Bach) o mediante altri espedienti.

Nella parte finale del brano Echoes dei Pink Floyd un glissando di coro maschile è stato tagliato ad anello, e mixato in modo da dare l'illusione di una salita continua, esso emerge dalla dissolvenza di una lunga ripetizione guidata dalla chitarra elettrica;

all'opposto del nostro esempio qui sotto. L'album A day at the races dei Queen si apre e si chiude circolarmente con piccolo trio strumentale in cui si sente una scala di Shepard eseguita per mezzo di chitarre elettriche.

La fondamentale mancante

Il campione che qui proponiamo ha in sé ben due particolarità paradossali. Si sente la sequenza Do ₃ - Re ₃ - Mi ₃ - Fa ₃ - Sol ₃ - Sol ₂ - Sol ₁ - Sol ₀ ripetuta due volte. Il Do ₃ iniziale corrisponde ad una frequenza di suono puro di 261 Hz, mentre i quattro Sol finali a ottave discendenti corrispondono all'incirca a 384, 192, 96, e 48 Hz.

Le due sequenze sembrano avere un differente timbro, ma le note suonate sembrano essere le stesse (cioè sembrano avere la stessa altezza). Questa è la prima sorpresa. Potremmo pensare che siano due strumenti diversi che eseguono la stessa partitura. Tuttavia, se esaminate il tracciato del sonogramma, troverete che l'unica differenza tra le due sequenze consiste nel fatto che nella seconda è stata eliminata la fondamentale di tutti i suoni. Questo dimostra che il cervello attribuisce l'altezza di un suono basandosi più sui rapporti tra le armoniche di tutto lo spettro, che non sulla sola fondamentale. L'altezza, infatti è attribuita alla frequenza corrispondente alla fondamentale anche se questa non è stata nemmeno fisicamente emessa (si veda la discussione nel dialogo Sulla percezione dell'altezza di un suono composto).

nota

frequenza (Hz)

Sol ₃

384

Sol ₂

192

Sol ₁

96

Sol ₀

48

Avevamo promesso due effetti in uno solo campione. Il secondo è in realtà implicito, ma lo potete notare ascoltando il campione dagli altoparlanti del vostro computer anziché in cuffia. L'effetto sorprendente è questo: non cambia niente! Si continua a percepire e ricononscere la stessa sequenza di note. I piccoli altoparlanti di un computer non sono in grado di trasmettere nessun suono al di sotto dei 50-60 Hz, però l'ultimo Sol a 48 Hz è ancora percepito alla stessa altezza. Quindi, abbiamo involontariamente scoperto un modo per migliorare le prestazioni degli altoparlanti, sfruttando l'aiuto che ci viene dal nostro sistema percettivo.

Un esempio non "artificiale" di fondamentale mancante si ha nella percezione dell'intonazione dei timpani. Anche in questo caso sentiamo principalmente una nota corrispondente ad un'armonica che non compare nello spettro dello strumento (si veda il suono reale dei timpani).

Senso sonoro e senso musicale

Il seguente semplice esempio dimostra che il nostro sistema uditivo elabora le informazioni sonore in modo completamente diverse per riconoscere il brano (senso musicale), e riconoscere lo strumento (senso sonoro).

Le informazioni sul brano sono contenute nella sua struttura di alto livello, come la sequenza delle note, la melodia, l'armonia, la struttura della composizione. Tutte caratteristiche che fanno parte dell'ambito musicale, e richiedono un'analisi "linguistica" del suono percepito.

Le informazioni sullo strumento riguardano invece la percezione del timbro, e sono codificate nelle caratteristiche acustiche di ogni suono che compone il brano, visualizzabili, ad esempio, per mezzo di uno spettrogramma .

"The Entertainer", di Scott Joplin

versione originale

L'ordine delle note dell'originale è invertito, ma le singole note non sono modificate

si riconosce lo strumento, ma non il brano

L'ordine delle note è lo stesso dell'originale, ma ogni singola nota è eseguita all'indietro nel tempo

si riconosce il brano, ma non lo strumento

Il terzo suono di Tartini

Il terzo suono è un suono "fantasma" che si percepisce talvolta quando due suoni abbastanza intensi (e ricchi di armonici) giungono all'orecchio simultaneamente. È piuttosto comune ottenere questo suono sul violino suonando note doppie sulla prima e seconda corda. L'effetto in realtà assume forme diverse, in quanto il terzo suono compare a frequenze pari sia alla somma di (multipli delle) frequenze base, sia alla loro differenza, sia in corrispondenza di altre combinazioni. Nell'esempio sonoro che qui portiamo il terzo suono può essere interpretato come un effetto di fondamentale mancante (si veda il paragrafo precedente). Nell'esempio si sente la sovrapposizione di due onde triangolari ad un intervallo di terza maggiore naturale (v. scala naturale). Le loro fondamentali, a 512 e 640 Hz, stanno in rapporto 5:4. Questo particolare rapporto crea una sovrapposizione di armoniche ad intervalli regolari, il cui massimo comune divisore è 128 Hz (un suono un'ottava sotto la fondamentale a 512 Hz).

Nell'esempio che segue riportiamo dapprima separatamente i suoni delle componenti a 512 e 640 Hz. Poi la loro unione. Il terzo suono è udibile solo in cuffia, e a volume sufficientemente alto. Nell'immagine di sopra si vede lo spettrogramma del suono composto. Il reticolo evidenzia i multipli della fondamentale mancante a 128 Hz.

Il terzo suono può anche essere utilizzato per controllare l'intonazione naturale di un intervallo. Nell'esempio che segue, la frequenza della nota più acuta è fatta oscillare di ±20 Hz. Corrispondentemente anche il suono differenza oscilla. La frequenza di battimento che si percepisce è minima quando le note componenti sono accordate ad una terza maggiore naturale.

Mentre la fondamentale mancante è sostanzialmente un'illusione, in certi casi il terzo suono può essere interpretato come un effetto fisico. Esso, infatti, si produce anche in casi in cui non è possibile addurre come spiegazione una fondamentale mancante. Questo fatto è stato interpretato come una prova del comportamento non lineare dell'orecchio umano. In poche parole, se l'orecchio non si comporta linearmente (il che avviene per intensità elevate del segnale di ingresso), esso può distorcere il segnale. In poche parole, questo significa che l'orecchio può aggiungere al segnale in ingresso frequenze che non appartengono al segnale stesso. Tali frequenze non sono illusorie, ma esistono fisicamente all'interno dell'orecchio, e corrispondono quindi a massimi fisici dell'onda di pressione cocleare. In particolare, esiste un tipo di distorsione, detta distorsione di intermodulazione, ben noto a chi si occupa di trasmissioni radio, che produce proprio armoniche di frequenza pari alla somma e alla differenza tra le frequenze dei suoni in ingresso.

L'effetto McGurk

Altre illusioni ad libitum

Il campo della psicologia della percezione è troppo vasto per essere qui affrontato. Tuttavia le illusioni acustiche non godono della notorietà riservata alle illusioni ottiche. Rimandiamo chi fosse interessato al sito di una nota studiosa del campo ( Diana Deutsch), che contiene svariati esempi di illusioni acustiche e ampia bibliografia.

Tra esse segnaliamo in particolare:

il paradosso del tritono: un intervallo pari esattamente a metà ottava (il tritono, appunto) è suonato mettendo due suoni di tipo Shepard in successione fissata, ascendente o discendente, ma viene interpretato anche da musicisti esperti in modo ambiguo. Alcuni percepiscono l'intervallo come ascendente, altri come discendente. In http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/flinn/Illusions/TT/tt.html (in inglese) trovate anche un applet Java per poter sperimentare voi stessi quantitativamente l'effetto.

la melodia nascosta: dimostra l'importanza delle funzioni di riconoscimento (opposte alla pura registrazione dei suoni). Corrisponde al fatto arcinoto che la conoscenza di un brano lo rende più facile da seguire, ma anche al fatto meno noto che, sparpagliando i suoni di una melodia nota tra diverse ottave, la melodia ci diviene meno familiare, o addirittura irriconoscibile.

Un "effetto" simile trova una splendida applicazione nell'arrangiamento di A. Webern del Ricercar a 6 da Musikalisches Opfer di J.S. Bach. Il celebre tema è spezzato tra strumenti diversi, e su ottave diverse. In particolare le prime cinque note sono affidate al trombone, poi due al corno in Fa, due alla tromba in Do, una di nuovo al corno, ma con un tocco dell'arpa, poi di nuovo quattro al trombone (la prima insieme col corno), tre al corno, e infine le ultime due a tromba e arpa assieme. Esso diviene una musica completamente nuova, anche se basata sulle stesse note. Si noti che tutti gli ottoni suonano con sordina, e questo rende le differenze timbriche molto meno accentuate, favorendo il passaggio fluido da una voce ad un'altra. (Per una rassegna di esempi acustici sulla sordina si veda la pagina tromba).

Collegamenti

Per l'esame di altri importanti effetti si rimanda alle pagine specifiche

Oltre che nel sito di Diana Deutsch, svariati campioni liberamente distribuiti di file acustici contenenti diversi effetti si trovano anche le pagine del Kyushu Institute of Design

1. Roger N. Shepard, Journal of the Acoustical Society of America 36 2346 (1964), doi:10.1121/1.1919362

2. Per questo si attribuisce la scoperta dell'effetto a G. Tartini (1692-1770), violinista, didatta e compositore, celebre soprattutto per la sonata Il trillo del diavolo, che si interessò anche alla teoria della consonanza e all'acustica, scrivendo diversi trattati. Il terzo suono è descritto nel Trattato di musica secondo la vera scienza dell'armonia, Padova, 1754.

# data[].attributes.attachment_link.description
La percezione uditiva è un fenomeno complesso, in cui le caratteristiche fisiche del suono ricevuto, quelle fisiologiche dell'orecchio, e l'attività neurale del cervello interagiscono in modo sottile. In queste pagine vogliamo mostrare come la percezione uditiva non debba essere considerata una immagine fedele del suono ricevuto, ma piuttosto una sua complessa (e non così fedele) elaborazione.

# data[].attributes.attachment_link.title
Possiamo fidarci delle nostre orecchie? (ILLUSIONI ACUSTICHE)