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Puntos de Lagrange del sistema Tierra-Luna

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Un sistema mecánico con tres objetos, por ejemplo la Tierra, la Luna y el Sol, constituye un problema de tres cuerpos. El problema de tres cuerpos es famoso tanto en los círculos de las matemáticas como la física, y los matemáticos en la década de 1950 lograron finalmente una prueba elegante de que es imposible resolver el problema.

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Las leyes del movimiento de Newton son las leyes fundamentales de la mecánica clásica, y son tres: Ley de la Inercia, Ley de la Dinámica y Ley de la Acción-Reacción.

Introducción

El término " mecánica clásica" comenzó a utilizarse a principios del siglo XX para describir la física basada en las teorías que Isaac Newton desarrolló durante el siglo XVII.

La leyes de Newton explican el movimiento de los objetos macroscópicos bajo la influencia de fuerzas que actúan sobre ellos.

Newton publicó sus leyes del movimiento en 1687, en la obra Philosophiæ naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural).

Al combinar las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, también desarrollada por Newton, se pudo explicar matemáticamente teorías previas, como los experimentos de Galileo Galilei sobre el movimiento de proyectiles o las teorías del movimiento planetario de Kepler.

Las 3 Leyes de Newton

Las leyes y teorías de Newton nos han ayudado a entender el comportamiento mecánico de objetos macroscópicos, tanto en reposo como en movimiento.

Las leyes de Newton se basan en el concepto de masa como cantidad de materia y en el concepto de fuerza.

Según Newton, para generar movimiento es necesario una fuerza que actúe sobre un objeto y produzca un cambio de velocidad o de trayectoria, es decir, una fuerza que acelere o desacelere el objeto.

Y esta fue una de las ideas brillantes de Newton. Entender que la velocidad de un objeto no indica que una fuerza está actuando sobre él, tal y como se deducía de la física aristotélica, sino que es la aceleración.

Primera Ley de Newton: Ley de la Inercia

La primera ley de Newton o ley de la inercia afirma que un objeto en movimiento permanecerá en movimiento uniforme y rectilíneo de forma indefinida si no hay una fuerza que actúe sobre él y lo obligue a cambiar de velocidad (acelerar o desacelerar) o a cambiar la dirección de desplazamiento.

El estado de reposo se considera velocidad cero y, de igual forma, un objeto en reposo permanecerá en reposo de forma indefinida a menos que una fuerza actúe sobre él y le haga cambiar de velocidad.

Es decir, tanto si está en reposo como en movimiento, un objeto mantendrá su estado hasta que una fuerza actúe sobre él:

Todo cuerpo persevera su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

1ª Ley de Newton o Ley de la inercia

Básicamente, la primera ley de Newton establece que un objeto no comienza a moverse de forma espontánea, solo cuando una fuerza externa actúa sobre el.

Una vez en movimiento, el movimiento sería constante, uniforme y rectilíneo. El movimiento del objeto solo cambiará si otras fuerzas actúan sobre él para darle más movimiento o para quitarle movimiento, es decir, para cambiar su velocidad o para cambiar la dirección de desplazamiento.

Esta ley supuso un cambio radical sobre la física aristotélica predominante hasta entonces. Según la física aristotélica, un objeto permanece en movimiento mientras se le aplica una fuerza aceleradora, en cuanto la fuerza deja de aplicarse, el objeto se detiene.

Para Newton es lo contrario, si se deja de aplicar una fuerza sobre el objeto, el objeto seguirá en movimiento rectilíneo, a velocidad constante y de forma indefinida; es necesario que actúe otra fuerza que lo frene.

Por ejemplo, si se lanza un proyectil desde un cañón, el proyectil seguiría un movimiento rectilíneo indefinido y escaparía del planeta. Si no lo hace es porque la fuerza de la gravedad terrestre y la resistencia del aire frenan el proyectil y lo hacen caer finalmente de nuevo al suelo cuando han contrarrestado la fuerza impulsora inicial.

Lo que viene a explicar es que la velocidad del objeto no es indicativo de que hay una fuerza actuando sobre el objeto, lo es el cambio de velocidad (aceleración). En el caso de los objetos en reposo, su velocidad es cero y si cambia es porque ha actuado una fuerza para acelerarlo.

Se deduce, por tanto, que el estado mecánico de reposo y el estado de movimiento rectilíneo uniforme son estados equivalentes en ausencia de fuerzas externas o si la fuerza neta es igual a cero (suma vectorial de todas las fuerzas actuando sobre el objeto):

Dónde F es la fuerza, v es la velocidad y t es el tiempo.

Al aplicar esta Ley, Newton se dio cuenta que la Luna no salía despedida al espacio en un movimiento rectilíneo porque había otra fuerza actuando sobre ella cambiando constantemente la dirección de movimiento hasta convertirlo en un movimiento circular. A esta fuerza la llamó gravedad y es el mismo principio se utiliza para mantener los satélites artificiales en órbita.

Segunda Ley de Newton: Ley Fundamental de la Dinámica

La segunda ley de Newton, o ley fundamental de la dinámica, establece que la tasa de cambio del movimiento de un objeto, es decir, la aceleración, es proporcional a la fuerza aplicada sobre el objeto.

Además, el cambio de movimiento se produce en la dirección en la que se aplica la fuerza, pues la fuerza es una magnitud vectorial.

La segunda ley de Newton solo es válida para sistemas de masa constante y matemáticamente se describe como que la fuerza es igual a la masa del objeto por la aceleración que experimenta:

Donde F es la fuerza neta aplicada, m es la masa del objeto y a es la aceleración.

De aquí se deduce que si la masa se mantiene constante, el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza aplicada. Para sistemas de masa variable, la ecuación es:

Donde u es la velocidad de entrada o salida de materia del sistema.

Tercera Ley de Newton: Ley de acción-reacción

La tercera ley de Newton, también conocida como ley de acción-reacción, establece que para toda acción existe una reacción opuesta de igual magnitud.

Esto significa que para cualquier fuerza que se aplica sobre un objeto, existe una fuerza de igual magnitud pero en dirección opuesta, es decir, si un objeto es empujado hacia adelante, otro objeto es empujado hacia atrás con la misma intensidad.

La tercera ley de Newton, en esencia, significa que todas las fuerzas mecánicas son interacciones entre dos o más objetos y que si un objeto A ejerce una fuerza sobre un objeto B (F A), el objeto B ejercerá una fuerza de igual magnitud pero en dirección opuesta sobre el objeto B (F B). Es decir, F A = - F B.

Por ejemplo, los motores de un cohete empujan la tierra hacia abajo (acción) y la tierra empuja el cohete hacia arriba con la misma intensidad (reacción). Pero la fuerza ejercida por el cohete sobre la Tierra no es suficiente para mover al planeta, pero sí para superar el peso del cohete.

La fuerza de reacción del planeta, equivalente a la fuerza ejercida por los reactores, podrá entonces hacerlo despegar. De forma similar, una persona al caminar está empujando el suelo hacia abajo y atrás, y el suelo empuja a la persona hacia arriba y adelante.

La ley de acción-reacción es la única que se considera completamente original de Newton, pues las otras dos ya habían sido formuladas por otros científicos, como Galileo Galilei, Robert Hooke o Christiaan Huygens, aunque fuera de forma diferente o menos precisa.

La leyes de Newton en la mecánica relativista y cuántica

Las leyes de Newton y la mecánica clásica han sido verificadas mediante experimentos y observaciones realizadas durante siglos. Sin embargo, no representan mas que una aproximación para describir el movimiento de objetos macroscópicos.

En el contexto de tamaños y velocidades cotidianas para el ser humano, las aproximaciones de Newton tienen un precisión excelente, incluso para describir el movimiento de objetos astronómicos.

Pero cuanto los objetos son extremadamente masivos y el campo gravitacional es muy fuerte, las desviaciones se hacen muy notables.

También cuando la velocidad se aproxima a la velocidad de la luz o cuando el tamaño es tan pequeño que se pone de manifiesto la dualidad onda-corpúsculo de la materia.

Para explicar fenómenos que aparecen a estas escalas son necesarias otras teorías físicas más sofisticadas, como la relatividad general o la mecánica cuántica.

No obstante, estas teorías también son aproximaciones a la realidad, pues también fallan a escalas extremadamente altas y extremadamente pequeñas.

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¿Cuáles son las 3 leyes de Newton? - Curiosoando

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Las tres leyes de Newton son la ley de la inercia (primera), la ley fundamental de la dinámica (segunda) y la ley de acción-reacción (tercera). Constituyen la base de toda la mecánica clásica que predominó desde el siglo XVII hasta el siglo XX, y la base de la mecánica relativista de Einstein.

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Una aspiradora espacial para limpiar de basura la órbita de la Tierra

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CAOS DETERMINISTA

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Estabilidad del sistema solar - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Como se detalla más adelante, la utilización de superordenadores a partir de los años 1970 para intentar resolver esta pregunta, ha confirmado lo que Poincaré ya había vislumbrado en sus trabajos: que la complejidad del sistema, y su dependencia a largo plazo de mínimos cambios en las condiciones iniciales, no permite pronosticar con seguridad su estabilidad a muy largo plazo (del orden de decenas o centenares de millones de años).

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CAOS DETERMINISTA

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El problema de los tres cuerpos es uno de esos típicos problemas matemáticos de apariencia sencilla, que encierra una tremenda complejidad, y que ha traído de cabeza a un gran número de importantes matemáticos y físicos.

El origen de dicho problema proviene de la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya bien conocida fórmula nos indica la fuerza gravitatoria atractiva existente entre dos cuerpos, que es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. También aparece en este problema la segunda Ley de Newton, o principio fundamental de la dinámica, que nos dice que la fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una aceleración directamente proporcional a la masa del mismo.

La conjunción de ambas leyes, expresadas en forma vectorial, nos puede proporcionar la trayectoria de un objeto en órbita de otro, conociendo su posición y velocidad en un instante dado. Esto es el origen de la genial idea de Newton, que concibió, cuenta la leyenda, al caerle una manzana de un árbol. Lo cierto es que la solución a este problema es lo que presenta en su magna obra, de 1687, "Philosophiæ naturalis principia mathematica", donde describe las tres leyes de Kepler como consecuencia directa de aquellas otras dos leyes que él formula. Así, por ejemplo, la primera Ley de Kepler nos dice que los planetas giran en órbitas elípticas en torno al Sol, que está situado en uno de los focos, lo que Newton muestra como una deducción obtenible a partir de su planteamiento. Una demostración muy didáctica e instructiva de esta cuestión fue formulada por Richard Feynman.

Para obtener la trayectoria a partir de las leyes de Newton, basta considerar que la aceleración que proporcionan las mismas, a partir de la fuerza atractiva, corresponde a la derivada de la velocidad, y ésta, a su vez, es la derivada de la trayectoria, ambas con respecto al tiempo. Así pues dicha trayectoria puede ser expresada como una derivada segunda, lo que nos da una ecuación diferencial de segundo orden . Así formulado, tenemos el que se conoce como problema de los dos cuerpos, cuya solución nos proporciona la posición de cada cuerpo, en función del tiempo. Dicho problema, como se indica, fue resuelto inicialmente por el propio Newton, y para el caso general por Euler, quien lo publicó en 1744 en su tratado Theoria Motuum Planetarum et Cometarum.

Resuelto el problema para el caso de dos cuerpos, se plantea el de los tres cuerpos, que se presentaba más complicado y que permaneció largo tiempo abierto, desde que fuera enunciado con dicho nombre por Jean d'Alembert. A primera vista no parece demasiado complicado pues, supuesto uno de ellos fijo en el origen de coordenadas, se reduce a calcular la trayectoria de los otros dos, es decir, dos ecuaciones en lugar de una. Sin embargo, la resolución de ecuaciones diferenciales no siempre es fácil, o mejor dicho, casi nunca lo es. Los casos de ecuaciones lineales tienen solución, pero no es así en los casos no lineales, para los cuales no siempre es posible encontrar una linealización.

El problema fue estudiado por numerosos científicos. Un caso particular para el caso de tres cuerpos fue resuelto por Lagrange, quien demostró que existían cinco posiciones que podían ser resueltas, obteniendo lo que desde entonces se conoce como puntos de Lagrange. En su día esto fue una mera curiosidad matemática, pero que ha devenido en un importante resultado astronómico cuando se descubrieron los asteroides troyanos de Júpiter. En la actualidad estos puntos, por sus especiales características, son de suma importancia para colocar en ellos determinados satélites espaciales.

La primera solución de carácter general se debe a Laplace, quien presenta en 1776 su tratado de Mecánica Celeste, donde explica que las anomalías orbitales de Saturno y Júpiter, que tanto preocuparon a Newton, son meras perturbaciones que sólo dependían de la propia Ley de Gravitación, y tendían a compensarse con el transcurso del tiempo. También afirma que si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro, lo que dio origen al conocido determinismo laplaciano. Es bien conocida la anécdota de cuando presentó su obra a Napoleón, el cual le inquirió por el papel de Dios en el universo, a lo que respondió: "Sire, esa hipótesis es innecesaria". Sin embargo, la respuesta de Laplace no era exacta, pues en sus ecuaciones del sistema Sol-Júpiter-Saturno despreció un término matemático que creía muy pequeño, pero que podía crecer rápidamente y sin límite, de hecho hasta desestabilizar el Sistema Solar.

Así pues, el problema general seguía sin solución. Por ello el Rey Óscar II de Suecia, en 1884 y en el marco de los festejos conmemorativos de su sexagésimo cumpleaños, organizó un concurso internacional de matemáticas cuyas bases, publicadas en las revistas Acta Mathematica y Nature, establecían cuatro problemas por resolver. El primero de ellos, propuesto por Karl Weierstrass, era precisamente el problema de los n cuerpos, correspondiente a la generalización del caso de tres, y que pretendía establecer las fórmulas que rigen las trayectorias de los objetos del Sistema Solar. El matemático francés Henri Poincaré, que entonces contaba con 36 años de edad, participó en el mismo, para lo cual comenzó estudiando detenidamente el caso de 3, y presentando su memoria en 1888, con el título de "Mémoire sur les Courbes Définies par une Équation Différentielle", en la que estableció que el problema carecía de solución, siendo declarado ganador por el jurado.

La conclusión principal de Poincaré en dicha memoria era que la evolución del sistema era en extremo caótica, pues una pequeñísima variación en el estado inicial de cualquiera de los cuerpos, como por ejemplo, las debidas a los errores de medición por pequeños que sean, podría conducir a resultados completamente diferentes. Uno de los integrantes del jurado, Karl Weierstrass, afirmó: " Si bien este trabajo no puede ser considerado como la solución completa del desafío presentado, es de tal importancia que su publicación marcará el comienzo de una nueva era en la historia de la Mecánica Celeste. "

La razón de dicha falta de solución estable es que este problema carece de lo que se conoce como solución analítica, es decir, la integral que se debe resolver para obtener una función que nos represente la posición de cada uno de los cuerpos en función del tiempo, no existe como una expresión en términos de las funciones usuales que todos conocemos, a saber, polinomios de cualquier grado incluso fraccionario, funciones circulares, exponenciales y logarítmicas. No obstante, el que no tenga solución analítica no quiere decir que sea un enigma, pues lo que sí es posible es obtener aproximaciones numéricas con cualquier precisión que queramos, con lo cual sí que podemos calcular y predecir las trayectorias. Pero lo que Poincaré encuentra es que la solución está descrita por una serie de potencias, en esencia lo mismo que ya habían descubierto Euler o Lagrange, sin embargo, lo más importante es que también prueba que las series no convergen, sino que son divergentes en manera extrema en función de los puntos iniciales, por lo que habría, en realidad, infinitas soluciones diferentes. Así pues, el problema fundamental radica en que cualquier variación en los datos iniciales, por pequeña que ésta sea, hace que la serie aplicable sea completamente diferente, y es más, la desviación es creciente con el tiempo, por lo que con el transcurso del mismo, cualquier variación se amplificará lo suficiente para hacer que el resultado ofrecido por cualquier modelo aproximado sea completamente diferente de los valores observados en la realidad; el fenómeno conocido actualmente como " efecto mariposa".

El problema de los tres cuerpos ha dado lugar a una variedad de problemas con una casuística muy similar, muchos de ellos muy importantes en nuestra vida cotidiana. Se trata de resolver la evolución de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales, donde pequeñas variaciones producen grandes diferencias en el comportamiento futuro; lo que dificulta o incluso imposibilita la predicción a largo plazo, aun cuando, en rigor, se trata de sistemas completamente determinístas, cuyo comportamiento es completamente predecible de conocer sus condiciones iniciales con exactitud. Este tipo de sistemas se suele denominar sistemas caóticos, y como ejemplos podemos indicar el Sistema Solar, que fue el primero de los estudiados, así como las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento ,los crecimientos de población o diferentes modelos económicos.

Fernando Cuartero

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El problema de los tres cuerpos | Hablando de Ciencia

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El problema de los tres cuerpos es uno de esos típicos problemas matemáticos de apariencia sencilla, que encierra una tremenda complejidad, y que ha traído de cabeza a un gran número de importantes matemáticos y físicos.

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Solón preguntó:
"Nunca he entendido por qué una nave espacial que se acerca a un gran planeta como Júpiter o Saturno, recibe un empujón del planeta y puede seguir navegando más o menos en la misma dirección que llevaba.
Siempre había pensado que la nave debería rodear el planeta y alejarse del mismo en dirección contraria y tal vez quedar en órbita alrededpr del planeta.
Ahora sé que esto no es así debido a que el planeta no está estático, sino que se mueve a gran velocidaf alrededor del Sol, pero me gustaría entender cómo sucede esto, cómo actúan las fuerzas en este proceso."

Esta maniobra que describes se llama asistencia gravitatoria, o gravitational slingshot (honda gravitatoria) y se basa en aprovechar la gravedad de un planeta en movimiento para impulsar un objeto mucho menor como una nave espacial. Es una técnica que se usa muy habituálmente cuando se quieren mandar misiones muy lejos, como a Jupiter, Saturno o fuera del Sistema Solar. El porqué se hace esto es muy simple, cuanto más ligero es un cohete o una nave espacial, más fácil y barato resulta mandarlo al espacio (se dice que un kilogramo en el espacio cuesta un kilogramo de oro) y lo que más pesa en estos cohetes es precisamente el combustible; así que tener una forma "gratis" para impulsar nuestra nave hace que los lanzamientos sean más sencillos (y baratos).

Y digo lo de gratis entre comillas porque aunque no se necesita combustible extra por detrás hay muchisimos físicos e ingenieros haciendo cálculos como locos. Además, estos lanzamientos se tienen que hacer en unas fechas muy específicas porque es cuando los planetas van a estar en la posición adecuada para que se pueda hacer el empujón gravitatorio. No deja de ser curioso que se sepa la trayectoria que las naves y sondas van a seguir ¡desde el primer día!

Las agencias espaciales han utilizado este efecto a menudo en sus misiones. La Mariner 10 fue la primera en usarlo para llegar hasta Mercurio catapultándose desde Venus. Las Voyager y Pioneer lo usaron en Jupiter y Saturno para escapar de la atracción del Sol y escapar del Sistema Solar. A la sonda Cassini le hicieron un viaje de cuidado para llegar a las lunas de Saturno, pasó Venus dos veces, luego la Tierra, luego Júpiter y finalmente Saturno. Y así con muchísimas otras misiones pero la pregunta es como funciona ¡así que vamos a ello!

Voy a responder a esta pregunta 2 veces, una forma sencilla y gráfica y otra un poco más completa:

1) Imaginaros que estáis jugando al futbol al lado de una carretera, en un momento dado el balón se va a la carrete y en ese momento pasa un coche golpeando el balón y mandándolo a tomar vientos. Eso pasa también en nuestro caso, para nosotros el balón es la nave espacial y el coche es el planeta. Como sucedería con el balón, si golpeáse el coche estando parado saldría rebotado con la misma velocidad con la que impactó; pero cuando el coche se mueve, su velocidad se añade a la de la pelota y ésta sale disparada. Lo mismo pasa con la nave, a la salida se ha llevado el impulso de la velocidad del planeta. Es como si la nave y el planeta hubiesen colisionado (de hecho en física consideramos esto una colisión aunque la nave no se estrelle).

2) Ahora vamos con la física de verdad. Para ver como funciona esto tendríamos que coger las leyes de Newton (todas ellas, las 3 de la mecánica y la de Gravitación Universal), poner unas condiciones iniciales y hacer todo el desarrollo matemático hasta hallar la solución. Ésto se puede llegar a complicar bastante y no lo vamos a hacer aquí, aunque siempre conviene recordar que éste es el camino que siguen los físicos que se dedican a mandar cacharros al espacio. Pero para que veáis un ejemplo, vamos a resolver un caso muy sencillo:

Tenemos una nave moviendose a la derecha con velocidad V y un planeta moviendose a la izquierda con velocidad U, cuando la nave llega al planeta se aprovecha de su gravedad para darle una vuelta y salir en sentido opuesto al que entró, ¿a qué velocidad sale la nave? Para hallar la solución vamos a cambiar de sistema de referencia, ahora suponemos que el planeta está quieto, por lo tanto tenemos una nave que se mueve a la derecha con velocidad V+U (lo que hemos hecho ha sido restar U a los objetos que se mueven a la izquierda y sumarselo a los que van hacia la derecha). Como lo único que hemos hecho ha sido cambiar el sistema de referencia la nave sigue haciendo lo mismo que hacía antes: dar la vuelta al planeta y salir en sentido contrario. Como ahora el planeta está quieto sabemos que la velocidad con la que sale es la misma con la que entra, así que al final de la maniobra nuestra nave se mueve hacia la izquierda con velocidad V+U. Ahora ya sólo tenemos que deshacer el cambio de sistema de referencia (sumandole U a todos los objetos que vayan a la izquierda y restándoselo a los que vayan a la derecha): nos queda que el planeta se mueve con velocidad U a la izquierda como al principio y que la nave se mueve con velocidad V+2U a la izquierda. Y listo, ¡ahora la nave se mueve con su velocidad original más dos veces la que lleva el planeta!

Por supuesto, este es un caso supersimplificado, los cálculos que se tienen que hacer son mucho más complicados. Sin embargo creo que ayuda a entender como algo como esta honda gravitatoria es posible.

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El físico responde: Honda Gravitatoria - Omicrono

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Solón preguntó:"Nunca he entendido por qué una nave espacial que se acerca a un gran planeta como Júpiter o Saturno, recibe un empujón del planeta y puede seguir navegando más o menos en la misma dirección que llevaba. Siempre había pensado que la nave debería rodear el planeta y alejarse del mismo en dirección contraria ...

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¿Cómo limpiar la basura espacial de la órbita terrestre? - science

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http://es.euronews.com/ Los restos de cohetes y satélites viejos forman la llamada "basura espacial". Una chatarra que orbita la Tierra sin utilidad alguna y cuyas colisiones a velocidades orbitales pueden ser altamente perjudiciales para los satélites en funcionamiento.

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La Sorprendente Teoria del Caos y el Efecto Mariposa

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La teoría del caos, explicada con un péndulo.

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La dinámica de los sistemas caóticos, como el clima, los astros o el humo de un cigarrillo es muy sensible a las condiciones iniciales, tal y como explica este investigador del IFISC (Instituto de Física Interdisciplinar y Sistemas Complejos) de Baleares. Más información en http://esmateria.com/2013/03/31/el-aleteo-de-una-mariposa-sigue-provocando-tornados/

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Desde el punto de vista gravitatorio actúa como la materia ordinaria, pero no parece interactuar con la luz, ni consigo misma, ni con la materia normal de una forma que no sea la gravedad.

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ALBIS Biblioteca de audio de YouTube ¿ Qué es la Materia Oscura

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Alberto Casas González José Luis Crespo Cepeda José Luis Fernández Barbón Juan García-Bellido Capdevila

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Vacío de la Física Cuántica y la Cosmología

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Grandes Misterios Del Universo con Morgan Freeman

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Planetas Más Extraños Encontrados Hasta Hoy

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