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Es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de cierto conjunto.

Desde el comienzo de la humanidad las diferentes culturas han empleado diversas formas de contar, ya sea utilizando piedras, muescas en palos e incluso los dedos de las manos y los pies. Sin embargo, no fue hasta el siglo IX d.C, gracias a Al-Khwarizmi cuando se adopta el sistema de numeración hindú. No obstante, en Europa tendremos que esperar hasta el siglo XIII para que los números naturales lleguen.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre una base sólida fue, Richard Dedekind en el siglo XIX.

Los números naturales se establecieron de manera formal en el siglo XIX gracias a Peano, a quien debemos la definición axiomática de los números naturales.

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Son los números que empleamos para contar, incluyendo el cero (0), más todos los números opuestos.
La solución de ecuaciones del tipo x+a=b, donde a>b, no tienen cabida en el cuerpo de los números naturales. Necesitamos ampliar el conjunto y definir de esta forma los números negativos. Estos números surgieron por la necesidad de operar con cantidades negativas, sobre todo en las operaciones comerciales. Los primeros en introducir los números negativos fueron los hindúes, en concreto, Brahmagupta. A Europa llegan a finales del siglo XV gracias al matemático francés Nicolas Chuquet. Si embargo, no fue hasta finales del siglo XIX cuando Weierstrass perfila el modelo de los números enteros, definiéndolos como clases de equivalencias de paras de números naturales.

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Son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural positivo.
Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

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El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta, es decir, que había números que no se podían expresar mediante un número fraccionario.

Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.
La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables".
Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

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Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortadura de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

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Los números complejos, designados con la notación C son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario.
Aunque se comenzó a trabajar con estos números como si se trataran de números normales, ya que cumplían una serie de condiciones. El carácter esotérico de estos números se fue eliminando, sobre todo con la obra de Cardano en 1545 «Arg Magna». Sin embargo, fue Euler el que estableció la notación que ahora conocemos, para denotar la raíz de menos uno como i.
En el siglo XVIII, los números complejos obtuvieron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas podría usarse para simplificar los cálculos que implican funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moive observó que las complicadas identidades que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían simplemente re-expresarse mediante la siguiente conocida fórmula que lleva su nombre.

En 1748 Leonard Euler fue más allá y obtuvo Fórmula Euler de análisis Complejo manipulando formalmente series de potencias complejas, y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.