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Guarda il video e impara le basi della Geometria piana

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Cosa sono gli angoli e come si misurano? - Geometria - Secondaria di Primo Grado

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Impara a calcolare l'Area

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L' area di una figura piana è la misura dell'estensione della superficie interna al perimetro della figura stessa, ossia la misura della superficie occupata dalla figura piana.

Tutti bene o male sanno cos'è l' area di una figura piana, ma molti non saprebbero come parlarne in termini precisi e rigorosi. In questa lezione non vi parleremo solamente della nozione di area di una superficie, ma vi daremo anche una tabella con tutte le formule per l'area delle figure piane più importanti.

Cos'è l'area di una figura

Il concetto di area non è così banale come si possa pensare. Per aiutare l'intuito, consideriamo due rettangoli come riportati in figura:

I due rettangoli non sono uguali, quello in rosso è "più grande" di quello azzurro. Cosa vuol dire? Stiamo attribuendo alle due figure un nuovo elemento distintivo, quello di " estensione di superficie" che possiamo vedere come la porzione di piano delimitata dal contorno del poligono.

Va da sé che possiamo chiederci "quanta" porzione di piano occupa un poligono e cercare un modo per quantificare l'estensione della superficie utilizzando i numeri. A questo proposito si introduce la nozione di area: l'area è la misura dell'estensione di un poligono, ci dice quanta porzione di piano esso occupa.

Formule per calcolare l'area

Dopo aver parlato dell'idea intuitiva di estensione e di area, il prossimo passaggio sarà quello di riportare le formule per il calcolo dell'area dei principali poligoni e del cerchio. Pronti?

Figura

Formula

Triangolo

Detto p il semiperimetro del triangolo e indicando con a, b, c la misura dei suoi lati allora per la formula di Erone

Rombo

Possiamo vedere il rombo come un parallelogramma avente come base il lato, in tal caso:

Detto r il raggio del cerchio inscritto al rombo:

Corona circolare (non è un poligono)

dove R indica il raggio della circonferenza esterna ed r il raggio della circonferenza interna

Area di poligoni circoscritti a una circonferenza

L'area di un poligono circoscritto ad una circonferenza di raggio , che per l'occasione chiameremo apotema, si trova come:

Esempio: consideriamo il trapezio ABCD che ha come perimetro e il raggio della circonferenza inscritta è . Il nostro obiettivo è quello di determinare l'area.

per come è impostato l'esercizio, non possiamo utilizzare la formula relativa al trapezio perché non conosciamo i valori della base maggiore e della base minore, però sappiamo che esso circoscrive un cerchio di raggio . Facciamo allora intervenire la formula

Area per i poligoni regolari

Ogni poligono regolare può essere circoscritto a una circonferenza, quindi continua a valere la formula

Per essi però sussiste una relazione tra l'apotema e il lato:

dove il numero fisso dipende dal poligono regolare in questione. Oltre a questo importante coefficiente numerico dobbiamo considerarne un altro detto fattore d'area ed è quel numero che deve essere moltiplicato al quadrato del lato per ottenere l'area ovvero:

Nome

Numero di lati

Numero fisso f

Fattore d'area

Area di poligoni qualsiasi

Come calcolare l'area di poligoni che non rientrano nei casi precedenti? Il trucco è decomporre il poligono in figure più semplici di cui sappiamo calcolare l'area. L'area del poligono di partenza è data dalla somma di queste aree.

Esempio: consideriamo il poligono come riportato in figura

Decomponiamolo in poligoni più semplici. Possiamo "spezzarlo" in tre poligoni

Il poligono 1 è un rettangolo che ha per base mentre l'altezza , la sua area è .

Il poligono 2 è ancora un rettangolo che ha per base e altezza . La sua area è .

Il poligono 3 è un triangolo che ha per base e altezza . La sua area è .

Il poligono di partenza ha area

Dubbi? Domande? Non c'è problema! Qui su YM potete trovare migliaia di esercizi risolti e altrettante domande cui lo Staff ha risposto. Trovate quel che vi serve con la barra di ricerca, le soluzioni sono a portata di click!

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

Tags: cos'è l'area di una figura - formule per l'area delle figure piane.

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L' area di una figura piana è la misura dell'estensione della superficie interna al perimetro della figura stessa, ossia la misura della superficie occupata dalla figura piana. Tutti bene o male sanno cos'è l' area di una figura piana, ma molti non saprebbero come parlarne in termini precisi e rigorosi.

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Guarda il video e impara la definizione e la classificazione dei Poligoni

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Definizione e classificazione dei poligoni  - Geometria - Secondaria di Primo Grado

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Quale tra queste figure geometriche piane, ti piace maggiormente?

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Teorema di Pitagora, enunciato, formule e dimostrazione

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Il teorema di Pitagora è un risultato fondamentale della Geometria che riguarda il triangolo rettangolo e che esprime una importantissima relazione tra i lati, in particolare permette di ricavare la misura di uno dei tre lati (ipotenusa o un cateto) conoscendo le misure degli altri due lati.

Nella seguente lezione, dedicata agli studenti della scuola media (e delle scuole superiori) spieghiamo nel dettaglio l'enunciato del teorema e vediamo come tradurlo nelle famose formule del teorema di Pitagora, riportando anche le formule inverse. Ovviamente ne proporremo una dimostrazione digeribile e vedremo come applicarlo in alcuni esempi; per concludere vi rimanderemo ad una pagina di esercizi e problemi svolti.

Cosa dice il teorema di Pitagora

L'enunciato del teorema di Pitagora sembra essere poco utile in termini pratici e nei calcoli, almeno nella sua formulazione iniziale, ma come vedremo tra poco permette di ricavare tre comodissime formule per il calcolo delle misure dei lati. Vediamolo...

Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Questo è l'enunciato del teorema di Pitagora e, per capire cosa ci dice:

- disegniamo un triangolo rettangolo ABC retto in A;

- indichiamo con l' ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) e con i due cateti;

- costruiamo su ciascun lato del triangolo un quadrato avente per base quel lato.

L'interpretazione geometrica del teorema di Pitagora è semplice: l'area del quadrato Q costruito sull'ipotenusa , è uguale alla somma delle aree dei quadrati Q₁ e Q₂ costruiti sui due cateti c₁ e c₂. In riferimento alla figura, la somma dell'area della porzione verde e di quella blu è uguale all'area della porzione arancione. In formule:

Ricordando che l' area del quadrato si ottiene elevando al quadrato la misura del lato, abbiamo:

Possiamo allora enunciare il teorema di Pitagora ricorrendo alla seguente formula

Tale relazione tra i lati ci permette di ricavare velocemente le formule inverse del teorema di Pitagora, cioè le formule che esprimono le aree di ciascun quadrato costruito su uno dei due cateti in termini dell'area del quadrato costruito sull'ipotenusa e di quello costruito sull'altro cateto

Formule del teorema di Pitagora

Abbiamo detto che è possibile ricavare le formule del teorema di Pitagora, per il calcolo delle misure dei lati, direttamente dall'enunciato del teorema: ci basta considerare le precedenti uguaglianze ed estrarre la radice quadrata. Otteniamo così

Si vede subito che, nella risoluzione dei problemi, se avessimo a che fare con un triangolo rettangolo di cui conosciamo la misura di due lati, potremo calcolare rapidamente la misura del terzo lato.

Dimostrazione del teorema di Pitagora

Senza esagerare, esistono centinaia di dimostrazioni del teorema di Pitagora; qui di seguito riportiamo quella più utilizzata dai ragazzi del Liceo che, a nostro avviso, è abbastanza semplice e al tempo stesso molto rigorosa. I ragazzi della scuola media possono saltare tranquillamente questa parte della lezione e procedere con l'esempio. ;)

Disegniamo un triangolo rettangolo ABC avente l' angolo retto in A e costruiamo su ciascun lato il relativo quadrato. Tracciamo poi l' altezza AK relativa all'ipotenusa (quella uscente dal vertice A) e prolunghiamola fino a quando non incontra il lato del quadrato nel punto L, proprio come mostrato in figura.

Il quadrato BCED relativo all'ipotenusa verrà così diviso nei due rettangoli . Per come sono stati ottenuti:

- il rettangolo ha per base BK, che è la proiezione del cateto c ₁ sull'ipotenusa e come altezza BE la cui misura coincide con l'ipotenusa BC;

- il rettangolo ha come dimensioni KC, proiezione del cateto c ₂ sull'ipotenusa, e CD, la cui lunghezza uguaglia quella dell'ipotenusa BC.

Per il primo teorema di Euclide (il quadrato costruito su un cateto è uguale al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa) valgono le seguenti relazioni:

Sommando membro a membro le due espressioni precedenti otteniamo

La somma delle aree dei rettangoli coincide con l'area del quadrato BCDE, ossia con l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, e questo dimostra il teorema di Pitagora.

Esempio di applicazione del teorema di Pitagora

Di un triangolo rettangolo ABC, retto in C, conosciamo la lunghezza dell'ipotenusa AB e del cateto AC, rispettivamente AB=5 cm e AC=3 cm. Vogliamo trovare la lunghezza del cateto BC.

Svolgimento: non sappiamo quale sia il cateto maggiore e quale quello minore, ma non è un problema: ci basta usare una delle ultime due formule, che leggiamo come

e otteniamo così

in questo modo non abbiamo solo trovato la misura dell'altro cateto, ma siamo anche riusciti a capire quale dei due cateti è quello maggiore.

Inverso del teorema di Pitagora

Oltre al teorema di Pitagora di cui abbiamo discusso finora, è molto utilizzato ai fini pratici anche il teorema di Pitagora inverso il cui enunciato è il seguente: se in un triangolo qualsiasi di lati vale la relazione , allora il triangolo è rettangolo.

L'inverso del teorema di Pitagora è quindi utile per capire se un qualsiasi triangolo, di cui si conosce o si può ricavare la misura dei lati, è o meno un triangolo rettangolo.

Esempio di applicazione del teorema di Pitagora inverso

Dato un triangolo ABC, è noto che AB = 5 dm, BC = 3 dm e AC = 4 dm. Stabilire se il triangolo ABC è rettangolo, e in caso affermativo dire quale dei tre lati è l'ipotenusa.

Svolgimento: calcoliamo il quadrato di ciascuno dei lati del triangolo.

Dal momento che

per l'inverso del teorema di Pitagora possiamo concludere che il triangolo dato è un triangolo rettangolo. Inoltre l'ipotenusa è il maggiore dei tre lati e quindi AB.

Prima dei saluti di rito, due piccole curiosità:

- se un triangolo ha i lati la cui misura è tale da soddisfare il teorema di Pitagora, allora si dice che i lati del triangolo formano una terna pitagorica;

- il teorema di Pitagora viene utilizzato spesso e volentieri nei problemi sul triangolo isoscele; basta infatti osservare che in un triangolo isoscele l'altezza relativa alla base lo divide in due triangoli rettangoli.

Attenzione, concentrazione: se volete vedere tonnellate di esercizi sul teorema di Pitagora (anche molto più complicati di quello dell'esempio), tutti svolti, sappiate che abbiamo risolto migliaia di esercizi qui su YM. Avete anche a disposizione un tool per applicare il teorema di Pitagora online. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Vale, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: teorema di Pitagora - dimostrazione del teorema di Pitagora - formule teorema di Pitagora - esercizi sul teorema di Pitagora - teorema di Pitagora inverso.

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Il teorema di Pitagora è un risultato fondamentale della Geometria che riguarda il triangolo rettangolo e che esprime una importantissima relazione tra i lati, in particolare permette di ricavare la misura di uno dei tre lati (ipotenusa o un cateto) conoscendo le misure degli altri due lati.

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Guarda il video e impara il Teorema di Pitagora

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Il Teorema di Pitagora - Remake 2020 - Geometria - Secondaria di Primo Grado

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Angoli, quali sono, nomi e tipi di angoli

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Tra tutti gli argomenti della Geometria Piana, gli angoli hanno una particolare importanza non solo teorica, ma anche per gli utilizzi pratici.

In questa lezione diamo la definizione e presentiamo le principali classificazioni degli angoli, spiegando il significato di termini che spesso generano confusione, come ad esempio angoli complementari, convessi, adiacenti...

Nota bene: se ve le siete perse, e se siete interessati, potete leggere le guide didattiche sugli angoli per la terza elementare.

Indice

Che cos'è un angolo?

Un angolo è una parte del piano che si ottiene tracciando due semirette con la stessa origine. In questo modo il piano viene diviso in due parti, dette angoli e caratterizzate ciascuna da un'ampiezza; le due semirette vengono chiamati lati dell'angolo e la loro origine vertice.

Analizziamo le caratteristiche della definizione e il loro significato:

lati dell'angolo: sono le due semirette che lo delimitano;

vertice dell'angolo: è l'origine comune delle due semirette;

ampiezza dell'angolo: è la misura della parte di piano compresa tra i due lati. Si esprime in gradi, primi e secondi o in radianti.

Nella seguente immagine evidenziamo i due angoli che si vengono a creare disegnando due semirette con la stessa origine nel piano.

Angoli individuati da due semirette con la stessa origine nel piano.

È necessario fare una piccola precisazione: dalla definizione e dal disegno si capisce che una coppia di semirette con l'origine in comune permette di costruire due angoli, e non solo uno.

Come facciamo a distinguerli graficamente? Di solito si usano degli archetti che uniscono i lati dell'angolo che vogliamo evidenziare. A seconda che ci interessi un angolo oppure l'altro, basta indicarlo con un archetto o con una coppia di archetti, come in figura.

Come distinguere graficamente due angoli con lo stesso vertice.

Classificazione degli angoli

Gli angoli si classificano in base a diverse caratteristiche. Si parla di angoli convessi e concavi se si considerano i prolungamenti dei lati; angolo piatto, giro e nullo se si considerano valori notevoli di ampiezza; angolo acuto, retto e ottuso per le ampiezze di angoli convessi; angoli complementari, supplementari ed esplementari in base alla somma delle ampiezze.

Non solo! Ma procediamo con ordine, e studiamo ognuna delle classificazioni separatamente.

Angoli concavi e angoli convessi

La classificazione degli angoli in concavi e convessi ha a che fare con il prolungamento dei lati. Un angolo convesso non contiene i prolungamenti dei suoi lati; un angolo concavo, invece, contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Guardiamo la seguente immagine. Ci accorgiamo che i prolungamenti dei lati sono situati nella regione di piano arancione, quindi questa corrisponde a un angolo concavo; la parte azzurra invece corrisponde a un angolo convesso, perché non contiene i prolungamenti dei lati dell'angolo.

Angoli convessi e concavi.

Angolo piatto, angolo giro e angolo nullo

Angolo giro: i suoi lati sono semirette coincidenti e contiene tutti i punti del piano.

Angolo piatto: i suoi lati sono semirette opposte, ed è metà dell'angolo giro.

Angolo nullo: i suoi lati sono semirette coincidenti e non contiene alcun punto del piano.

Questa seconda classificazione riguarda le ampiezze e si riferisce ai cosiddetti angoli fondamentali. La tratteremo in dettaglio nella lezione su angolo giro, angolo piatto e angolo nullo.

Angolo acuto, angolo retto, angolo ottuso

Angolo retto: è metà di un angolo piatto e un quarto di angolo giro.

Angolo acuto: è un angolo con ampiezza compresa tra l'angolo nullo e l'angolo retto (estremi esclusi).

Angolo ottuso: è un angolo con ampiezza compresa tra l'angolo retto e l'angolo piatto (estremi esclusi).

Questa terza classificazione riguarda ancora le ampiezze degli angoli, e in particolare gli angoli convessi. Ne parliamo nella lezione su angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso.

Classificazione di coppie di angoli

Angoli consecutivi: hanno il vertice e un lato in comune, e gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune.

Angoli adiacenti: sono angoli consecutivi in cui i lati non in comune sono semirette opposte.

Angoli opposti al vertice: i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.

Angoli congruenti: hanno la stessa ampiezza, ossia coincidono punto per punto se vengono sovrapposti.

Questa ulteriore classificazione riguarda le coppie di angoli (e non i singoli angoli) e tornerà utile nel seguito, soprattutto per indicare certi tipi di coppie di angoli negli esercizi.

Angoli complementari, angoli supplementari, angoli esplementari

Angoli complementari: la somma è uguale a un angolo retto.

Angoli supplementari: la somma è uguale a un angolo piatto.

Angoli esplementari: la somma è uguale a un angolo giro.

Quest'ultima classificazione degli angoli mette in relazione coppie di angoli in base alla somma delle loro ampiezze. Per saperne di più vi rimandiamo alla lezione su angoli complementari, angoli supplementari, angoli esplementari.

Ecco fatto! Abbiamo concluso questa lezione introduttiva. Nella successiva parliamo della misura degli angoli in gradi, primi e secondi, e più avanti torneremo a studiare le possibili classificazioni.

Nel frattempo potete mettervi alla prova con la scheda correlata di esercizi svolti, e se non bastassero potete sempre usare la barra di ricerca interna: qui su YouMath abbiamo risolto migliaia e migliaia di problemi! ;)

Gule gule, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Ultima modifica:

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Cosa sono gli angoli e come si classificano

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Il concetto di angolo: spiegazione sugli angoli e sui tipi di angolo, (angoli concavi e convessi, angolo piatto, angolo giro, angolo nullo...).

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Gli angoli e la loro tipologia

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La geometria del Piano

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Formulario di Geometria Piana

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Teorema del Coseno o Carnot

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Il teorema del coseno, o teorema di Carnot in Trigonometria, consiste in una formula per calcolare la misura di un lato di un triangolo qualsiasi a partire dalle misure degli altri due lati e dal coseno dell'angolo tra essi compreso.

Il teorema del coseno o di Carnot è un teorema fondamentale della Trigonometria che permette di risolvere un qualsiasi triangolo. In questa lezione ne forniremo l'enunciato e ne daremo la dimostrazione.

Vedremo infine quando e come utilizzare la formula del teorema di Carnot per la risoluzione dei triangoli.

Teorema del coseno (o teorema di Carnot)

Enunciato: in un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è dato dalla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

Ebbene, l'enunciato del teorema di Carnot potrebbe sembrare un po' ingarbugliato. In realtà è molto più semplice di quanto sembri: vi suggeriamo di fare riferimento alla seguente figura e di capire la logica del teorema. In questo modo non avrete problemi a ricordarne la tesi e potrete ricavare la formula del teorema del coseno in un attimo, ogniqualvolta vi serva.

Disegniamo un triangolo qualsiasi e adottiamo la solita nomenclatura per lati e angoli

Il precedente enunciato si traduce in tre formule del teorema di Carnot, una per ciascuno dei tre lati del triangolo.

Fissiamo la nostra attenzione sul lato . Il teorema di Carnot ci dice che il quadrato di tale lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati a cui va sottratto il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra essi . Pertanto applicando il teorema del coseno al lato risulta che

Ripetendo lo stesso ragionamento possiamo scrivere una formulazione del teorema del coseno anche per gli altri due lati del triangolo: per il lato , tenendo conto che è l'angolo compreso tra i lati

e per il lato , tenendo presente che è l'angolo compreso tra i lati

Dimostrazione del teorema del coseno

Proponiamoci ora di dimostrare il teorema di Carnot e per farlo vediamo come ricavare la formula relativa al lato . Dalla generalità del ragionamento seguirà la validità dell'enunciato per ognuno dei lati del triangolo.

Disegniamo un triangolo e tracciamo l' altezza relativa al lato .

Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo e utilizziamo su di esso i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli, grazie ai quali possiamo esprimere:

- il lato in funzione dell'angolo e del lato :

da cui si vede che il cateto è dato dal prodotto tra l' ipotenusa ed il seno dell'angolo opposto.

- Il lato in funzione di e del coseno di

in quanto in un triangolo rettangolo (nel nostro caso ) un cateto è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo adiacente .

Ora, per costruzione, il lato è dato dalla differenza tra , ossia

Sostituiamo in tale relazione l'espressione di scritta in precedenza

Applichiamo ora il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo

e sostituiamo:

Così facendo ricaviamo

Non ci resta che sviluppare il quadrato di binomio

e raccogliere a fattor comune il termine

Infine, per la relazione fondamentale della trigonometria, giungiamo a

Abbiamo finito. Rinominando riusciamo a scrivere la precedente relazione nella forma

che è ciò che volevamo dimostrare.

Osservazioni sul teorema del coseno

1) Il teorema di Carnot può essere dimostrato anche con il teorema delle proiezioni , di cui ci occuperemo nella prossima lezione. Dopo averlo studiato sarebbe didatticamente interessante che voi provaste a proporre un'opportuna dimostrazione da soli.

2) Il teorema del coseno non è altro che una generalizzazione del teorema di Pitagora applicabile ai triangoli qualsiasi. Supponendo infatti che α sia un angolo retto, per tale teorema abbiamo

Essendo il coseno di 90° uguale a zero, ricadiamo proprio nella formulazione del teorema di Pitagora

infatti il lato , essendo quello opposto all'angolo retto, è proprio l'ipotenusa e gli altri due lati e saranno quindi i cateti.

Utilizzo del teorema del coseno

Il teorema del coseno è utile per risolvere i triangoli qualsiasi nei seguenti casi:

- se si conosce la misura di due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso;

- se è nota la misura dei tre lati del triangolo.

Vi facciamo notare che non ha senso scrivere esplicitamente alcuna delle formule inverse del teorema di Carnot, dal momento che sarebbero inutilmente complicate nella loro generalità. È molto più conveniente ricordare la formulazione generale del teorema e svolgere di volta in volta i passaggi algebrici necessari per raggiungere i risultati richiesti dai problemi. ;)

Esempio di applicazione del teorema del coseno

Sapendo che due lati di un triangolo misurano 5 e 8 centimetri, e sapendo che l'angolo tra essi compreso è ampio 60°, calcolare la misura del terzo lato.

Svolgimento: facendo riferimento alla figura del triangolo iniziale, supponiamo che siano

Grazie al teorema di Carnot possiamo trovare immediatamente la misura del lato

Ricordando che il coseno di vale ( valori delle funzioni trigonometriche) e facendo qualche conticino, abbiamo

la cui radice quadrata è uguale a 7, per cui .

Concludiamo la lezione con una curiosità per gli studenti universitari: il teorema di Carnot ha tanti importanti utilizzi e tra questi, nel contesto dei vettori, risulta utile nell'applicazione della regola del parallelogramma e del metodo punta-coda.

Siamo quasi giunti al termine con le lezioni di Trigonometria. La successiva sarà interamente dedicata al teorema delle proiezioni e riguarderà un ultimo, importante risultato teorico utile per la risoluzione dei problemi geometrici (tipici della seconda prova di Matematica). Se volete esercitarvi vi raccomandiamo la scheda correlata di esercizi svolti e il tool per risolvere il triangolo online; più in generale vi ricordiamo che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Au revoir, see you soon guys

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: teorema dei coseni per il triangolo - teorema di Carnot per i triangoli.

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Il teorema del coseno, o teorema di Carnot: formule, enunciato, dimostrazione ed esempi di utilizzo negli esercizi.

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Guarda il video e impare a trovare le incognite con il Teorema di Carnot

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Valerio Pattaro - Fisica Matematica Logica

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Il Teorema di Carnot, tre belle dimostrazioni

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Le Basi della Trigonometria

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La Trigonometria, insieme alla Goniometria, è la branca della Matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la Geometria Piana con l'Analisi Matematica, fornendo un approccio analitico allo studio della Geometria.

Nella fattispecie la Goniometria studia gli angoli in relazione agli archi associati ad essi, le funzioni angolari e le proprietà algebriche che le caratterizzano; la Trigonometria d'altra parte ha per oggetto le relazioni che intercorrono tra gli angoli e i lati di un triangolo qualsiasi.

La sezione di YouMath dedicata a Goniometria e Trigonometria propone un corso che si rivolge prevalentemente agli studenti del triennio delle scuole superiori, ma che può fornire un utile ripasso della Goniometria anche agli studenti universitari che affrontano i corsi di Matematica nei primi anni delle varie facoltà.

Qui di seguito vi proponiamo una serie di lezioni e formulari di Goniometria in cui spieghiamo nel dettaglio tutto quello che è necessario sapere per sfruttare gli strumenti messi a disposizione dalla Trigonometria. Innanzitutto: vi ricordate quando alle scuole elementari abbiamo usato il goniometro per la prima volta? L'affinità del nome con il termine Goniometria non è casuale: tale strumento serve per misurare le ampiezze degli angoli, che non a caso saranno i protagonisti delle lezioni di questa sezione. ;)

Nelle lezioni introduttive partiamo dalle definizioni delle varie funzioni trigonometriche, tra cui seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante, e ne spieghiamo nel dettaglio le proprietà analitiche e geometriche.

Nel secondo blocco passiamo ad una serie di formulari con tutte le principali formule di Trigonometria. Non sottovalutate mai queste formule, vi garantiamo che sono fondamentali da un punto di vista operativo: la Goniometria tornerà a più riprese nel prosieguo dei vostri studi. ;) Oltre alle formule avete anche a disposizione comode tabelle riepilogative e un formulario completo di Trigonometria, che potrete consultare all'occorrenza nella risoluzione degli esercizi.

Nel terzo blocco di lezioni passiamo allo studio e alle applicazioni della Trigonometria da un punto di vista puramente geometrico, e studiamo tutti i teoremi e le formule che mettono in relazione le funzioni goniometriche con il triangolo rettangolo. A titolo di cronaca, i teoremi della Goniometria sono protagonisti nelle discussioni dei problemi geometrici del triennio delle scuole superiori e vengono spesso richiesti alla seconda prova di Matematica.

Per concludere in bellezza proponiamo una lunga lezione in cui analizziamo a fondo tutte le funzioni trigonometriche e le varie inverse goniometriche. :)

Prima di augurarvi una buona lettura, la nostra solita raccomandazione. A partire dalle varie lezioni, ove previsto, potrete accedere alle relative schede correlate di esercizi di Trigonometria. Inoltre da quando YM è nato abbiamo risposto a qualche migliaio di domande, e abbiamo aiutato tantissimi studenti delle Scuole Superiori a risolvere i propri problemi. Qualche utente con ogni probabilità ha fatto domande sullo specifico argomento che vi interessa, dunque potete:

- ricorrere alla barra di ricerca in cima ad ogni pagina;

- sfogliare le discussioni del Forum su Trigonometria, logaritmi ed esponenziali e quelle di Algebra su equazioni e disequazioni;

- dare un'occhiata alle D&R della categoria " Superiori - Algebra" e " Superiori - Analisi".

Non perdetevi le schede di esercizi di Trigonometria, tutti risolti e di ogni tipologia, e i tools per risolvere i problemi di Trigonometria online! ;)

Nota bene: le lezioni con le definizioni sulle funzioni goniometriche vengono presentate in un altro corso, ma potete accedere ad esse direttamente da qui. Esse vanno intese come un'estensione da collocare tra la lezione sulla Circonferenza Goniometrica e il formulario sui Valori delle Funzioni Trigonometriche.

E.2.1) seno e coseno

E.2.2) tangente e cotangente

E.2.3) secante e cosecante

Inoltre, se siete in cerca delle lezioni sulle equazioni goniometriche e sulle disequazioni goniometriche, le trovate sotto la sezione di Algebra.

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La Trigonometria, insieme alla Goniometria, è la branca della Matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la Geometria Piana con l'Analisi Matematica, fornendo un approccio analitico allo studio della Geometria.

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Funzioni Goniometriche

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Seno, Coseno e Tangente : funzioni goniometriche ;)

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Formulario di Geometria Piana

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vorrei approfondire maggiormente l'argomento prima di rispondere

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Prova di valutazione sul Teorema di Pitagora

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PanQuiz allows you to create online quizzes, tests and assessments

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Formulario di Trigonometria

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Test sulla Trigonometria

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Formulario di Trigonometria

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Sintesi Vocale. Enti Fondamentali della Geometria

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Sintesi Vocale. Cosa è il Punto

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Cosa sono la linea, la retta e le loro parti

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Cosa sono la linea, la retta e le loro parti

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Sintesi Vocale. Cosa sono la linea, la retta e le loro parti

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Sintesi Vocale. Cosa sono i Segmenti

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Sintesi Vocale. Cosa è il Piano

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In questa sezione, ognuno di voi ha la possibilità di scrivere e chiedere chiarimenti sulle tematiche trattate

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Sfidati con i tuoi compagni di classe, attraverso questo LIVE QUIZ sulla Trigonometria

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Sfidati con i tuoi compagni di classe, attraverso questo LIVE QUIZ sulla Trigonometria

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