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Mise en ligne gratuite de mon livre "Parcelles d'infini - Promenade au jardin d'Escher"
publi aux ditions Pour la Science, ISBN 2-84245-075-2, en 2005

Avec tous mes remerciements David Bailey tess-elation.co.uk pour son aide prcieuse concernant la traduction.
Avant-propos
Linventeur a, tout coup, le sentiment trs net
que les conceptions auxquelles il vient de parvenir ()
existaient dj avant davoir jamais t penses dans le cerveau humain.
Louis de BROGLIE

Ma chanson nest vraiment termine
que lorsquelle a lair de stre faite toute seule.
Georges BRASSENS

Cest une sensation que je ressens
chaque fois que jexcute un projet de remplissage priodique dun plan.
Il me semble que ce nest pas moi qui dcide des formes
mais que ces simples taches sur lesquelles je me penche ont leur propre volont,
que ce sont elles qui guident le mouvement de ma main.
Maurits Cornelis ESCHER

"Il y a trs longtemps, je rencontrais par hasard le domaine de la division rgulire de plan ; je vis une haute muraille et jeus la prmonition quil devait avoir une nigme, que quelque chose tait peut-tre cach derrire ce mur par-dessus lequel je grimpais avec quelque difficult. De lautre cot, jatterris dans une jungle o il me fallut faire de grands efforts pour me frayer un chemin, jusquau jour o - par un parcours indirect - jarrivai la porte, la porte ouverte des mathmatiques."

"Je my promne tout seul, dans ce magnifique jardin qui nest cependant nullement ma proprit prive et dont la porte reste ouverte tout le monde."

Maurits Cornelis ESCHER
Remplissage priodique dun plan

Cette mthode, extraite de mon livre Parcelles dinfini, vous propose une promenade dans le jardin de la division rgulire du plan quEscher a explor dans maintes directions. Ce domaine peut paratre limit si lon en juge par le peu duvres en provenant. Jespre que ce qui suit vous fera prendre conscience quil existe une infinit de motifs figuratifs possibles. Et que ce nest pas copier Escher que de faire une division priodique du plan.

Pas plus que ce nest copier Jean-Plerin * que de faire un dessin en perspective.

Et si, comme je le souhaite, lenvie vous prend de raliser des pavs figuratifs, vous trouverez, au fil des pages, comment leur donner naissance.
Et quand, aprs quelques difficults, vous en aurez russi un, vous prouverez un grand sentiment de joie et dhumilit devant cette PARCELLE DINFINI.

*. Dit le Viator. On lui doit le premier trait de perspective imprim paru en 1505.

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Il y a tant dart dans la nature
que lart mme ne consiste qu bien lentendre et limiter.
Jacques Bnigne BOSSUET

Cest une triste chose de penser que la nature parle
et que le genre humain ncoute pas.
Victor HUGO

es lois de hommes sont phmres, celles de la nature sont ternelles. Mme si nos incursions sur ses chemins seront toujours modestes, cela reste une grande joie et un grand honneur que de pouvoir imaginer des variations planes sur ses propres canevas.
Les rayons des abeilles, les cailles des poissons ou les tournesols nous donnent de beaux exemples de pavage mais ce sont surtout les cristaux que la nature nous offre pour nous montrer la voie. On trouve dans leur structure les 17 groupes de symtrie permettant de rpter un motif linfini. Mais pour dessiner des pavages figuratifs il est prfrable de nous crer une classification la fois plus simple et plus adapte. Cest ce que nous allons faire.

Il ny a que trois polygones rguliers pouvant diviser priodiquement le plan, ce sont :

Le triangle

Le carr

L'hexagone

Mais, par bonheur, quantits de polygones irrguliers peuvent galement diviser priodiquement le plan.
Quelques exemples :

Le triangle quelconque

Le triangle rectangle isocle

Le losange 2 angles de 120

Le losange quelconque

Le paralllogramme

Le quadrilatre quelconque

Le pentagone 2 cts
parallles et gaux

L'hexagone 2 cts opposs
parallles et gaux entre 2 fois
2 cts adjacents et gaux

De plus, il est possible de remplacer les cts de tous les polygones divisant priodiquement le plan, par des dformations compenses ne modifiant pas leur surface.
Exemples :

Translations de dformations compenses sur paralllo-gramme

Translations de dformations compenses sur hexagone ayant ses cts opposs parallles

La multiplicit des dformations compenses ralisables apporte ltonnante possibilit de donner naissance une infinit de motifs figuratifs.
Exemples :

Translations progressives de dformations compenses sur carrs

Transformations par translations d'un mme rectangle en six oiseaux diffrents

Le polygone de base ayant subi les dformations compenses se nomme pav.
Exemples :

Translations sur un paralllogramme :

Polygone de base

Dformations compenses

Pav

Translations sur un carr :

Polygone de base

Dformations compenses

Pav

Translations sur un hexagone concave :

Polygone de base

Dformations compenses

Pav

Translations sur un hexagone rgulier :

Polygone de base

Dformations compenses

Pav

Un papier quadrill facilite le traage du pav.
Exemple :

Polygone de base. Il s'agit pour
nous d'un hexagone dont 2 x 2
cts sont en prolongement

Dformations compenses

Pav

Un ensemble de pavs se nomme pavage :

Lucky Blanchepatte, mon cher chien disparu

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La gomtrie est aux arts plastiques
ce que la grammaire est lart de lcrivain.
Guillaume APOLLINAIRE

Plus lart est contrl, limit, travaill
et plus il est libre.
Igor STRAVINSKY

ssayer de donner naissance des motifs figuratifs sans bases gomtriques donne des rsultats trs limits. Les polygones sont les ufs desquels vont clore une multitude de personnages.

Il y a trois dformations possibles pouvant remplacer les cts dun polygone :
1. Quelconque (comme son nom lindique) :

2. Axiale (dformation quelconque plus sa rflexion par rapport un axe) :

3. Rotatoire (dformation quelconque plus sa rotation 180) :

La dformation quelconque ou axiale dun ct devra toujours tre compense par une dformation identique sur un autre ct. La dformation rotatoire se compense elle-mme. On nomme ces compensations isomtries.

Il y a quatre types d'isomtries :

1. La translation est le simple glissement rectiligne dune dformation :

2. La rotation est, soit une dformation rotatoire, soit le pivotement dune dformation autour dun centre de rotation

3. La rflexion glisse est la rflexion dune dformation par rapport un axe, suivie dune translation :

4. La symtrie est la rflexion dune dformation par rapport un axe :

Exemples :

Deux translations sur paralllogramme :

Une rotation 180 et une autre 60sur triangle quilatral :

Une rflexion glisse ainsi qu'une translation sur paralllogramme :

Deux rflexions glisses symtriques et une translation axiale sur hexagone :

La rflexion glisse ncessite quelques prcisions :

- Les cts du polygone peuvent tre adjacents (avoir une extrmit commune) ou non-adjacents :

Un polygone peut possder deux rflexions glisses. Dans ce cas, leurs axes vecteurs sont soit parallles soit perpendiculaires :

Le trac des
rflexions glisses
est particulirement
simplifi sur une
feuille de papier
quadrill

Soit L la longueur des cts du polygone :

Les points v et v permettent de tracer laxe vecteur des rflexions glisses. Cet axe vecteur indique laxe de rflexion ainsi que la direction et la longueur du glissement.

Exemple :

Le polygone de base de cet oiseau est un pentagone concave possdant un ct rotatoire et deux fois deux cts daxes vecteurs perpendiculaires.
ISOMTRIES

DSIGNATIONS
ET ABRVIATIONS

CONDITIONS
DANS LE POLYGONE

REPRSENTATIONS
SIMPLIFIS

Il y a quatre types de polygones pouvant diviser priodiquement le plan :

La recherche systmatique de toutes les combinaisons possibles entre les quatre isomtries et les quatre types de polygones permet daboutir une grande quantit de polygones spcifiques dont on limine ceux ne pouvant pas remplir le plan.
Exemples :

Il reste alors 81 polygones spcifiques, appels pavs isodriques, desquels on limine aussi ceux dont les possibilits dobtention de motif figuratif sont trop rduites :

- car ayant un ou plusieurs bords rectilignes :

- car ayant une symtrie centrale :

En fin de compte, il reste 35 pavs modulables ; 35 parcelles dinfini, que le magicien qui sommeille peut-tre en vous, va transformer en lapin, en papillon ou en colombe.

La ncessit de mettre un cadre cette mthode ne doit pas faire oublier quil y a toujours des possibilits de sortir du cadre.

Exemples :
Le splendide chinois dEscher possde deux cts rectilignes :

Demi-tour de carte possde un axe de rotation central :

Voici son polygone de base :

De mme pour la pieuvre

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Il arrive parfois quune personne ()
sente natre et se dvelopper en elle, un jour,
un dsir trs conscient dapprocher par limagination,
linfini le plus prs possible
et de la manire la plus pure.
Maurits Cornelis ESCHER

Nespre rien de lhomme
sil travaille pour sa propre vie et non pour lternit.
Antoine de SAINT-EXUPRY

Le sentiment de linfini
est le vritable attribut de lhomme.
Madame de STAL

ssembler les pavs, cest disposer des parcelles dinfini sur des trames ternelles. Assembler les pavs, cest le privilge de jouer au puzzle avec lunivers.

Des pavs semblables un pav modulable peuvent semboter sur lui aprs rotation et/ou rflexion glisse. Ils ont alors une orientation diffrente.

Exemples :

Rflexion glisse

Rotation

Rflexion glisse + rotation

Puis cet ensemble de pavs peut son tour semboter sur son semblable par translation, et ceci peut tre continu jusqu linfini :

Tous ces pavs semblables sont les transformes du pav modulable de base. Lensemble, nous lavons vu, se nomme pavage.

Cette ronde damoureux ne demande qu sagrandir !

Visuellement, ce qui caractrise en premier lieu un pavage est le nombre de directions prises par ses motifs. Il y a six directions possibles, il y aura donc six types de dpart.

Le type 1 aura tous ces pavs dans la mme direction. Le type 2 aura ses pavs tte-bche. Le type 3 aura ses pavs dans trois directions, le type 4 dans quatre directions et le type 6 dans six directions.

Exemples :

Type 1, l'athlte :

Type 3, le lzard :

Type 4, le chaton :

Type 2, la sirne :

Type 6, l'otarie :

Ensuite, les pavages une ou deux directions peuvent avoir leurs motifs rflchis. Il y aura donc galement un type 1G (G pour rflexion Glisse) et un type 2G.

Type 1G, le coq :

Type 2G, le chien :

Enfin, les pavages de types 1, 2, 3 et 4 peuvent avoir leurs motifs symtriques. Nous aurons donc en plus le type 1S, le type 2S, le type 3S et le type 4S.

Type 1S, le gorille :

Type 2S, le papillon :

Type 3S, le canard :

Type 4S, la rainette :

Soit en tout 11 types qui vont se retrouver sur 11 canevas. De plus, ces 11 types possdent des sous-types classs selon leur polygone de base. Au total nous retrouvons les 35 pavs modulables du chapitre prcdent.

Le polygone de base du chaton est un triangle rectangle isocle. On le dsignera par les isomtries de ses cts, soit R2 R4 R4 :

Quand celui de la rainette, cest un carr. Dsignation R4S R4S R4S R4S :

Voici maintenant les dsignations des polygones de base pour :

l'athlte : T T T T T T
la sirne : R2 R2 R2
le lzard : R3 R3 R3 R3
l'otarie : R2 R6 R6
le coq : T G T G
le chien : R2 G G
le gorille : T GS GS T GS GS
le papillon : T R2S R2S T R2S R2S

Celui du canard est un losange ayant deux angles de 120. Nous le dsignerons par R3S R3S R3S R3S car les cts sont la fois des rotations 3 et des symtries :

Le polygone de base du fou est un hexagone rgulier. Dsignation R3 R3 R3 R3 R3 R3 :

Lutilisation de papier triangul savre indispensable pour le
traage des pavs possdant des isomtries de rotation 3 ou 6.

Le polygone de base du ptit costaud est un carr. On le dsigne par R4 R4 R4 R4.

Celui dEscher (eh oui ! mme le profil dEscher est un pav !) est un hexagone. Dsignation T R2 R2 T R2 R2.

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S'il n'y a pas de truc, c'est fort
S'il y a un truc, c'est encore plus fort !
MYR et MYROSKA

Toutes les choses, proches ou lointaines,
secrtement sont relies les unes aux autres
et tu ne peux pas toucher une fleur sans dranger une toile.
Francis Joseph THOMPSON

es canevas sont semblables aux coulisses des thtres de magie, en cela quelles renferment tous les secrets ncessaires la reprsentation. Connatre ces secrets ne dsenchante que le sot.

Nous avons vu quil y a 11 canevas, mais les cristallographes dnombrent 17 groupes de symtrie. En fait, les six groupes manquants ne permettent pas de crer des motifs uniques. Nous les indiquerons quand mme aprs les 11 canevas.

Les canevas sont reprsents laide des lments suivants :

- centre de rotation :

- axe de symtrie :

- axe de rflexion glisse :

a (IH86) Triangle isocle R2 G G

Escher n'a pas fait de pavage de ce type

e (IH25) Pentagone T R2 T G G

Les six groupes de symtrie ne permettant pas de faire des motifs uniques :

Dsignation

Canevas

Exemple de motif figuratif

Dsignation

Canevas

Exemple de motif figuratif

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L'imagination est plus importante que le savoir.
Albert EINSTEIN

La raison, c'est l'intelligence en exercice;
l'imagination, c'est l'intelligence en rection.
Victor HUGO

ous avez la plume et le parchemin. Vous venez de prendre connaissance des secrets des canevas. Il vous faut maintenant faire appel au plus important : votre imagination. Si, sur un vieux mur moiti dcrpi, vous voyez apparatre des figures plus ou moins fantastiques, vous avez bon espoir de russir.

Vous pouvez vous en remettre au hasard pour choisir un polygone de base et tracer des dformations compenses jusqu ce que vous obteniez une bauche de motif. Ou vous pouvez dj avoir une ide du motif dessiner, le tracer en gros, y adapter le type de polygone de base convenant le mieux et reprendre les dformations compenses.
Bien sr, il vous faudra utiliser beaucoup la gomme avant de russir un pav figuratif.
Souvent votre motif ne sera qu moiti russi et il vous faudra recommencer.

Mais si vraiment vous nobtenez rien de satisfaisant, tout nest pas perdu. laide de votre ordinateur, retracez votre pav rat. lintrieur de votre pav ajoutez quelques motifs sans rapport, puis slectionnez le tout et donnez un fond dgrad tous ces tracs, dans le style arc-en-ciel ou couch de soleil tropical. Il ne vous reste plus qu baptiser lensemble dun nom idiot et vous venez de crer un digne reprsentant de lart abstrait !

Maintenant que vous connaissez comment fonctionnent les canevas, le rsum des 35 polygones de base prcdent va vous aider donner naissance des pavs figuratifs. Votre matriel : du papier quadrill, du papier triangul pour les types 3 et 6, un crayon et une gomme. Cest tout ! Quand vous voudrez multiplier les pavs pour faire des pavages, un ordinateur avec un programme de dessin sera bien commode. Mais pas indispensable, noubliez pas quEscher a grav tous ses pavages la main. Un logiciel de pavage comme celui de Kevin Lee (TesselManiac) vous apportera aussi une aide prcieuse pour la cration de pavs.

Hexus
(Art abstrait !) type 1b

Coude coude

Antipodistes icariens impossibles
type 2c

Contresens

Le Sommeil de Samson
(Art moderne !) type 2c

Attention sapin !

Aprs ce petit intermde de pavs plus ou moins russis, revenons nos polygones de base.

Prenons un carr de type 1Ga. Traons quelques lignes brises sur deux cts adjacents (a). Puis repportons-les sur les deux autres cts laide dune translation et dune rflexion glisse (b). tudions la figure ainsi forme : elle a vaguement une allure de bonhomme. Diminuons le bras gauche, cela augmente le bras droit (c) :

Modifions la jambe gauche, cela amliore le bras droit et la jambe droite (d). Travaillons les dtails extrieurs en tenant compte la fois de ce que serait le trac idal dun ct et de ce que serait celui de son isomtrie (e). Maintenant traons les dtails intrieurs du bonhomme. On saperoit alors que lon peut encore amliorer certains tracs extrieurs (f) :

Rendez-vous compte de ce que nous venons de faire : nous avons transform un rigide carr en un jeune garon qui court gaiement sur notre feuille de papier !

Prenons maintenant un rectangle, toujours du type 1Ga, et traons quelques lignes. Nous obtenons bientt le contour dun militaire en train de dfiler :

Mais sa silhouette est penche en avant. Transformer le rectangle de base en un paralllogramme va nous permettre de la redresser :

Et voici, dun rectangle au dpart, nous obtenons un vaillant militaire qui dfile firement plus bas.

En fait, bon nombre de dessins de pavs figuratifs ont commenc par tre des dessins ! Prenons par exemple la chvre ci-dessous. Examinons-la. Il apparait vident quil y a une possibilit de rflexion glisse entre les pattes de devant et les cornes :

Puis peut-tre une autre entre une patte arrire et la queue. Il ne reste plus qu adapter les rflexions glisses dans un cerf-volant de type 1Gb.
Et voil une brave petite chvre qui descend de la montagne ci-dessous :

Aprs ces trois exemples, peut-tre cele vous parait-il facile de dessiner des motifs figuratifs. Dtrompez-vous, il vous faudra essayer et essayer encore, cent fois sur le mtier remettre votre ouvrage.

Reprenons un carr de type 1Ga et essayons quelques ligne. Aprs tranformation du carr en rectangle puis en paralllogramme apparait un indien, la main leve en signe de paix :

Aprs les indiens, voici les cow-boys avec pour polygone de base un hexagone de type 1Gc :

Retrouvons la silhouette mythique du cow-boy de rodeo dans un hexagone concave de type 1Gd :

Vous remarquerez que le chapeau est dtach du cavalier et de son cheval. Nous avons l, en fait, un pav compos de deux sous-pavs (voir chapitre Diviser les pavs).

Restons en Amrique avec le crateur du rockabilly, Elvis lui-mme, dans son hexagone rgulier de type 1Gc :

Le losange de type 1Sa peut faire apparatre la silhouette dun ours :

Mais si lon penche lours, le losange se transforme en un paralllogramme de type 1a :

Et, si lours se met danser, le polygone de base devient un cerf-volant de type 1Gb :

Le rectangle de type 2Gd se transforme facilement en un poisson ondulant et pourrais faire un joli carrelage de salle de bain :

Dun triangle pointu de type 2a naissent les jolies courbes dune naade :

Ce cheval de jeu dchec sest dvelopp partir dun quadrilatre de type 2b :

Ce bon gros pre remplit trs bien un hexagone de type 2Sc :

Ce paralllogramme de type 2b se transforme en un quadrilatre quelconque pour rvler un judoka en pleine action :

Mais il a peut-tre une face cache

En pleine action galement ce singe acrobate issu dun pentagone concave de type 2Ge :

Un hexagone de type 2Gg est la base du poisson ci-dessous. Mais seulement de ses contours car les dtails de la moiti des poissons - qui devraient tre lenvers - ont t dessin lendroit :

Ce lzard gonflable est trs pratique pour tre rang sur la plage. Son polygone de base est un hexagone de type 2Gh :

La rainette peut aller et venir dans un rectangle de type 2Sa :

Si lon excepte ses nageoires ventrales, le scalaire sadapte parfaitement a un cerf-volant de type 2Sb :

Ce carr de type 4b peut donner naissance un oiseau hupp :

Vous pouvez dcouper le pantin ci-dessous et lassembler :

Peut-tre remarquez-vous quavec les bras et les jambes en lair celui-ci peut galement tre issu dun losange de type 3Sa. Ainsi nous pouvons dessiner ses transformes et nous constituer une arme de pantins !

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On ne se distrait jamais si bien qu' la poursuite de l'ternit.
Jean GIONO

Si tu veux progresser vers l'infini,
explore le fini dans toutes les directions.
Johann Wolfgang von GOETHE

es cellules se divisent pour se multiplier : pourquoi les pavs nen feraient-ils pas autant pour sen aller deux par deux, voir trois par trois ou mme plus, paver linfini ?

Le pavage avec cet hexagone donnera la figure ci-dessous. Trois couleurs sont ncessaires :

Les pavs de tous les types que nous avons vus peuvent tre diviss en autant de sous-pavs que nous le dsirons.
Prenons par exemple un hexagone cts opposs parallles du type 1b :

Divisons cet hexagone de plusieurs faons :

En fait nous pouvons diviser le pav de base en autant de faons diffrentes que nous le souhaitons.
Diviser entrane des changements dans les sommets, donc dans le nombre de couleurs minimum. Nous avons vu que, si tous les sommets adjacents dun pavage isodrique sont en nombres pairs, deux couleurs suffisent, et que sil y a des sommets en nombres impairs, trois couleurs sont ncessaires. Il nen est pas de mme pour les sous-pavs qui peuvent ncessiter jusqu quatre couleurs.

Voici un pav du type 2Gc qui ne ressemble pas grand chose :

Mais sa division en deux laisse apparatre un poisson et un lzard :

Lors dune promenade,ramassez une feuille darbre. Dessinez-en le contour :

Copiez-en une troisime et une quatrime toujours en faisant concider un autre sommet :

Avec un calque dessinez une deuxime feuille en faisant concider deux sommets :

Avec cette mthode vous pouvez avoir la chance de voir apparatre un lapin parmi les feuilles dautomne ou une colombe dentre les toiles.

Voici ceux de l' Inaccessible toile : :

Voici le polygone de base et le pav de base du "lapin parmi les feuilles d'automne" :

Vous avez peut-tre remarqu que la colombe et ltoile ci-dessus nont pas tout fait le mme contour que la colombe du bas et que ltoile du haut du dessin. Cest que ce dessin style apparition/disparition cher Escher permet ces -peu-prs. Ces derniers sont parfois encore plus accentus dans les dessins qui vont suivre.

Voici le pav de base de 'Deux lments' :

Cet oiseau et ce poisson auraient t parfaits dans un dessin de style apparition/disparition, mais le rsultat aurait alors t trop proche de LAir et lEau dEscher.

Voici le pav de base de Regard denfant :

Ce regard denfant qui pourrait tre celui dAlbert Flocon - ce brillant artiste graveur - qui tablit les rgles de la perspective curviligne, celle-ci donnant une image plus logique et plus excitante que la perspective classique pour laquelle on a structur lespace avec des droites qui le rendent triste.

"Apprise depuis lenfance, familire depuis quatre sicles,
limage traditionnelle passe finalement pour limage vraie.
Ce nest peut-tre quune imposture"
Albert FLOCON / Andr BARRE
La Perspective curviligne

Et si, maintenant, nous divisions quelques pavs en plusieurs lzards :

Voici tout dabord le pav de base de Lzards au carr, divis en trois lzards dont deux identiques :

Et voici celui du pavage ci-contre :

La Rosace aux lzards est construite laide de pavs du type 4a et 6b entre lesquels on a fait quelques adaptations :

Le dessin ci-dessous a un pav de base du type 3b divis en quatre lzards :

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Les mots sont la menue monnaie de la pense.
Il y a des bavards qui nous payent en pices de dix sous.
Dautres, au contraire, ne donnent que des louis dor.
Jules RENARD

Lart est beau quand la main, la tte et le cur travaillent ensemble.
John RUSKIN

osons-nous la question : les motifs pourraient-ils tre autre chose que des figures familires comme des animaux, des objets ou bien des humains tout en ayant des contours bien reconnaissables ? Eh oui, bien sr ! il y a les caractres ; ces signes que les hommes ont imagin pour communiquer et qui sont, de plus, dj en deux dimensions.
Et mieux encore : il y a les ensembles de caractres que sont les mots et qui ont une signification bien prcise. Nous pouvons choisir un mot pour ce ou celui quil reprsente, pour sa valeur nos yeux. Nous pouvons le dessiner, le travailler, le parfaire laimer tout autant quun pote.
Pourquoi Escher na t-il pas fait de pavages avec des mots reste un grand mystre. La voie a t indique dans un livre de Scott Kim. Son titre ? Inversion. Un livre unique, la frontre entre la calligraphie et les mathmatiques. On y trouve, entre autres merveilles, le mot figure en blanc sur fond noir et dont lespace entre les lettres se transforme progressivement en lettres noires sur fond blanc, formant nouveau le mot figure en ngatif. On y trouve aussi le mot Lester avec lespace entre les lettres formant le mot Pearl (ce sont les parents de Kim). Ce ne sont pas des pavages mais cest dj la bonne voie.
Il tait tentant demprunter cette voie et de faire des mots dans le style de Kim. Il a t enthousiasmant daller au bout du chemin et de raliser un vieux rve denfance : faire des pavages avec des mots. Et si possible avec des mots qui tiennent cur.

Nous avons vu quil est ais de diviser un pav en deux, trois ou plus. Eh bien un mot-pav nest jamais que lquivalent dun pav divis en autant de sous-pavs quil comporte de lettres, daccents et/ou de points sur les i. Cest lassemblage du pav de base avec ses transformes puis le coloriage qui permet de lire le mot dans diffrentes couleurs.

Il ny a pas de pavage dans lexemple ci-contre. Mais on pourrait y tailler des pavs de type 4b comme celui ci-dessous :

Parmi plusieurs premires tentatives de pavage avec un mot, voici celle-ci droite :
Tentative non concluante. Mais le rsultat est tout de mme intressant.

Honneur au bon matre. Voici le pav de base type 4c utilis pour Escher pavage :

Les transformes de ce pav de base permettent de lire le mot Escher dans quatre directions.

On retrouve ce mot-pav en dcor autour du portrait dEscher :

Reprenons le mot-pav Escher. Et colorions-le comme ci-dessous. Nous voyons alors apparatre Le Jardin dEscher.

Exemple de carrelage :

Voici le pav de base type 2e de Kim :

Axes de translation, axes de rotation, axes de symtrie, axes de rflexion glisse ; les axes sont prsents dans tous les pavages. Voici le pav de base type 6a d' Axes :

Les transformes de ce pav de base permettent de lire le mot Kim dans deux directions.

En route pour un petit tour dans les "toiles". Voici le pav de base type 6a utilis :

Puis voici le pav de base type 2c d' Inversion, un mot particulirement cher Scott Kim :

Honneur lordre naturel, voici le pav de base type 4c utilis pour LOrdre et le Chaos :

Encore un contraire, voici le pav de base type 1b de Paradoxe Jour / Nuit :

Bien sr, il faut un nom de musicien. Citer des gnies tels que Bach ou Mozart ferait certainement bonne impression mais ne reflterait pas mon got pour la bonne vieille musique Country, musique que jaime et qui mapporte joie et satisfaction. Et que lon ne vienne pas me dire quil ny a pas de gnie dans la musique Country. Merle Travis non seulement en tait un, mais tait, de plus un gnie multi-talents. Il excellait la fois comme auteur, compositeur, caricaturiste, horloger, historien, acteur, crivain, naturaliste, imitateur, concepteur de guitares, chanteur et bien sr comme guitariste virtuose. On lui doit le style de guitare qui porte son nom, le Travis-pickin. Style o laccompagnement, les basses et la mlodie sont jous en mme temps.

Voici le pav de base de Travis:

Brassens Ah, Brassens ! Lhomme aux cent chef-duvres. Le perfectionniste du beau langage et de lexpression choisie. Le merveilleux artisan ciseleur de mots.
Que le mot Brassens stende linfini.

Suivant quelle est blanche ou noire, la magie dsigne soit lart de produire certains effets merveilleux qui ne sont dus qu des causes naturelles, soit la mystificaton sordide par laquelle certaines personnes ont la prtention de produire des effets surnaturels par lintervention des esprits.
Voici le pav de base type 1a utilis dans Magie blanche / Magie noire :

Parmis les artistes de la magie blanche, Grard Majax en est un digne reprsentant, lequel nhsite pas uvrer contre les fumistes de lillusion, les soi-disant possesseurs de pouvoirs extraordinaires et autres tordeurs de petites cuillres.
Voici son pav de base type 1b :

Naturellement, voici le pav de base type 1b de lincon-tournable Infini :

Puis voici le pav de base type 2e de Pav ! D'abord en deux tons puis en un seul ton dgrad.

Ce pav type 6a presque triangulaire est celui de Pavage victorien :

Si un nom mrite bien de paver linfini, cest bien celui d"Einstein". Voici le pav de base type 2e utilis :

"La joie de contempler et de comprendre,
voil le language que me porte la nature."
Albert EINSTEIN
Comment je vois le monde

Erno Rubik est linventeur du Rubiks Cube, le plus diabolique de tous les casse-ttes. Voici le pav de base type 6d de Rubik's Cube :

O se situe la frontire entre le bien et le mal ? Voici le pav de base type 1b de Frontire :

Voici celui de Nicolas Pavage 2 en type 3a :

Il est, bien sr, tentant de paver avec son propre nom. Voici le pav de base type 1b de Nicolas :

Pour finir avec les mots, revoici infini crit de faon quavec sa transforme par rotation il occupe exactement un rectangle. On peut alors assembler les mots comme des briques.

Puis le mme mot dans un paralllogramme :

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Ce qui vaut la peine dtre fait vaut la peine dtre bien fait.
Nicolas POUSSIN

Lharmonie des proportions satisfait les sens.
Saint Thomas d'AQUIN

e mieux est lennemi du bien. Mais le bien est souvent lami du mdiocre ! Cherchons le mieux en dformant les canevas pour en habiller des cercles concentriques, des spirales, des effets de perspective ou de volume. Cela nous permettra de dcouvrir de nouveaux horizons pleins de merveilleuses harmonies.

Ci-contre, voici par exemple ce que donne un canevas du type 2S sur une perspective :

Voici le pavage type 2Gb de Cascade :

Voici celui de Miel, type 2Sb :

Voici celui de Plouf ! type 1Sb :

Voici celui de Spirale d'infini, type 2d :

Ci-contre, voici le pavage dorigine type 6b qui a servi pour Cercles. Neuf couleurs sont ncessaires pour avoir des cercles de lzards ne se coupant pas.

Ce mme pavage a galement servi pour l Icosadre aux lzards ci-dessous. Un icosadre est un polydre avec vingt triangles quilatraux pour faces. Six couleurs sont ncessaires pour avoir une rpartition harmonieuse. Il y a cinq nez de lzards par sommet.

Comment mettre sept nez de lzards par sommet ? Cest impossible sur le plan normal, mais pas sur un disque hyperbolique. Les lzards se trouvent alors diminus jusqu linfini sur une limite circulaire. Pour que les lzards qui se suivent soient de la mme couleur et que deux colonnes de mme couleur ne se croisent pas, sept couleurs sont ncessaires. En fait, dans tout le disque, si lon tient compte des couleurs, il ny a pas deux lzards identiques.

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Cest faire confiance la vie,
que se mesurer avec limpossible.
Panait ISTRATI

Atteindre l'inaccessible toile, telle est ma qute.
Jacques BREL

n ne peut aller au-del des limites du possible, mais on peut les reculer. Pour cela, que pouvons-nous encore faire ? Par exemple, aurions-nous la possibilit de modifier ou de rajouter des isomtries sur les polygones de base ? La rponse est oui. Nous obtenons alors des super-pavs aux caractristiques tonnantes.

Prenons le polygone de base 3a :

Ajoutons-lui les isomtries du polygone de base 1Gb, soit deux rflexions glisses. Nous obtenons alors le polygone suivant :

Sur un losange nous avons deux isomtries diffrentes de rotation 3.

Dessinons un motif selon ce polygone. Par exemple le ptit loup ci-contre. Il a lair effar car il vient de se rendre compte quil pouvait paver le plan non seulement selon les types 3a et 1Gb, mais galement de bien dautres faons.

Pavage type 3a :

Pav type 2c divis en deux motifs identiques

Pav type 2Ge divis en deux motifs identiques

Pav type 6c divis en deux motifs identiques

Pavage type 1Gb :

Pav type 3b divis en trois motifs identiques

Pav type 1a divis en quatre motifs identiques

Prenons maintenant le polygone de base 6a. Nous avons l un triangle quilatral possdant une isomtrie de rotation 6 et une de rotation 2 :

Par exemple ce poisson :

De ce poisson, nous pouvons, bien sr, faire un pavage de type 6a :

Puis dessinons un motif de faon que chaque ct de la rotation 2 soit la rduction de moiti de chaque dformation compense de la rotation 6 :

Mais nous pouvons aussi lui accoler trois petits poissons identiques :

De cette faon, cela nous donne un pav de type 6d divis en quatre :

Mais ce nest pas tout. Reprenons notre poisson et faisons lui subir une rotation 6. Nous pouvons rajouter tout autour une couronne de petits poissons. Puis nouveau, accoler une couronne de poissons encore plus petits, et ainsi de suite jusqu linfini. Nous obtenons alors une figure parfaitement hexagonale.

Non sans rappeler lexemple prcdent, mais avec un rsultat diffrent, prenons un cerf-volant du type 6c :

Pavage type 6c :

Dessinons un motif de faon que les deux cts de la rotation 3 soient gaux aux cts de la rotation 6 par la tangente de 30 (0,5774). Par exemple ce papillon :

Pavage type 6d :

Nous pouvons faire un pavage de type 6c mais galement de type 6d si nous accolons quatre petits papillons comme ci-dessous :

Pour construire le Flocon de papillon ci-dessous, il faut faire une rotation 6. Puis la priphrie, accoler une couronne de petits papillons quatre fois plus nombreux. Puis cette nouvelle priphrie, faire de mme trois fois.
On peut, bien entendu, continuer de rajouter des couronnes linfini. Chaque nouvelle couronne alors, gnrera de plus en plus de points dinfini comme ci-dessous. En sommes nous obtiendrons une infinit dinfinis.

Comme pour le papillon, mais en inversant les cts de la rotation 3, nous pouvons faire l'oiseau ci-contre.
Le voici ci-dessous en se limitant la cinquime couronne.

Prenons le polygone de base 4S, soit un carr ayant deux rotations 4 symtriques. Puis rajoutons-lui quatre rotations 2 :

Dessinons, par exemple, cet oiseau :

Nous pouvons paver le plan selon diffrents types ou bien faire une rosace ou un pavage non priodique tel celui ci-dessous. Lon y voit une masse grouillante doiseaux parmis lesquels certains vont droit leur chemin et quelques-uns, plus rares, illuminent les quatres horizons.

Voyons si nous pouvons dessiner un motif qui possde plusieurs pavs de base :

Ce brav toutou fera laffaire :

Pavage type 3b :

Pavage type 2Gg :

Pavage type 1Gc :

Rosace :

Et si nous retrouvions nos amis les lzards ? Dans lestampe De plus en plus petit (N35), Escher a utilis un triangle rectangle isocle du type 4a pour diminuer ses lzards jusqu linfini selon le shma ci-dessous :

Cela nous permet de dessiner deux lzards par triangle au lieu dun :

Nous pouvons maintenant faire une rotation 4 et diminuer les lzards jusqu linfini. La faon la plus directe donne un octogone.
En fait, il ny a pas quun couple de lzards diffrents, mais quatre. Cela afin de permettre les adaptations.
Escher, dans De plus en plus petit, a dessin neuf lzards diffrents.

Inversons le sens
des triangles comme suit :

Jespre que vous avez eu beaucoup de plaisir regarder cette mthode. Ce sera le mot de la

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Nota bene :
Si cette mthode vous a plu,
un petit mot dans le "Livre d'or"
me ferait plaisir.

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Mthode de pavage figuratif accessible tous : Gratuite en ligne - Nicolas

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une methode gratuite, simple, complete et accessible tous avec plus de 350 pavages originaux.

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1:01 pavages non périodiques

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Fabrique ton pavage quasi-périodique - Les petites découvertes - Épisode 91

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Diaporama sans son

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Diaporama avec son, référence historiques Escher

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pavages du plan

Escher n'était pas mathématicien, mais ses pavages, en géométrie euclidienne comme hyperbolique, ont interpelé les mathématiciens. Ils étaient inspirés par les mosaïques arabes de l'Alhambra. Voir aussi Pavages de Truchet Géométrie hyperbolique

public : tous

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Escher n'était pas mathématicien, mais ses pavages, en géométrie euclidienne comme hyperbolique, étaient bien mathématiques.

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animation avec musique

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Mosaicos de la Alhambra - Alhambra's Mosaics

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0:00 pavages réguliers

2:42 pavages sémi-réguliers

4:00 polygones irréguliers

4:25 hexagones irréguliers

8:24 pavages irréguliers

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Expédition dans un magasin de carrelages pas tout à fait comme les autres pour paver votre salle de bain. Un pavage c'est une façon de couvrir un plan avec un motif répétitif.
Cela devrait aller vite, il n'y a pas cinquante possibilités... Pas si simple : le choix est certes limité, mais il n'en reste pas moins large et la liste des possibles ne cesse de s'allonger !

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Voyages au pays des maths - Les pavages du plan - Regarder le documentaire complet | ARTE

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Expédition dans un magasin de carrelages pas tout à fait comme les autres pour paver votre salle de bain. Un pavage c'est une façon de couvrir un plan avec un motif répétitif. Cela devrait aller vite, il n'y a pas cinquante possibilités...