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Para hacerte bien sencillo el concepto, te digo que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando le falta uno de estos tres términos que hemos mencionado que existen en las ecuaciones completas de segundo grado; eso sí: está claro que el término cuadrado… ¡no puede faltar! de lo contrario ésta no será una ecuación de segundo grado.

Pues bien entonces, hay dos tipos de ecuaciones incompletas de segundo grado: aquellas a las que les falta el término lineal  (o sea el término “en x”) y aquellas a las que les falta el término independiente (o sea el que no tiene x).

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Clasificación de ecuaciones de segundo grado

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Clasificación de ecuaciones de segundo grado

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Lo primero que debo decirte es que la mayoría de las veces se te presentará una ecuación donde no siempre sabes a primera vista de qué grado es; lo único que puedes visualizar es cuántas incógnitas tienes.

Lo cierto es que al comenzar a trabajarlas, quitar paréntesis, resolver operaciones etc, muchas veces se eliminan términos o se asocian otros, creando realidades diferentes a las que intuías en un principio. Pero el punto es que tarde o temprano llegas a lo que se llama la forma tipo de una ecuación de segundo grado, es decir ese momento en que ya no hay más operaciones para hacer y debes comenzar a resolver la ecuación.

¿Cuáles son esas formas tipo? Precisamente en base a ellas es que hacemos la clasificación más importante de ecuaciones de segundo grado, es decir la que las divide entre ecuaciones completas y ecuaciones incompletas de segundo grado.

Ecuaciones completas de segundo grado

Son aquellas que tienen un término de segundo grado (o sea un término “en X ² ” ), un término lineal (es decir “en x”) y un término independiente, es decir un número sin x. Un ejemplo de una ecuación de este tipo es la siguiente:

2 x ² – 4 x – 3 = 0

Ten en cuenta que al coeficiente del término cuadrado, habitualmente se le llama a, al del término lineal se le llama b y al independiente se le llama c, de modo que en este caso: a=2, b=-4 y c=-3 .

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La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.

La forma estándar de una ecuación cuadrática es .  Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, .

La forma intersección de una ecuación cuadrática es y =. Las raíces, o intersecciones en x de la parábola son (p, 0) y (q, 0). No todas las ecuaciones cuadráticas tienen una intersección porque no todas las parábolas tienen una raíz.

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Factorizar para Encontrar las Raíces de una Parábola

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Factorizar para Encontrar las Raíces de una Parábola

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Otras características útiles de una ecuación cuadrática son las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x. Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x. (Las coordenadas y son 0.) Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de U y la localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos raíces. Piensa por un momento sobre cómo se vería una parábola que intersecta el eje x en un solo lugar. O en dos lugares.

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Graficando la Parábola usando el Vértice y el Eje de Simetría

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Graficando la Parábola usando el Vértice y el Eje de Simetría

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Para una función cuadrática y = ax ² + bx + c, la coordenada x del vértice es siempre . Como el eje de simetría siempre pasa por el vértice, significa que el eje de simetría es una línea vertical . Cambia los valores de a y b en la gráfica siguiente para ver dónde están el vértice y la línea de simetría.

Hemos visto cómo graficar una ecuación cuadrática dibujando los valores de x y y y conectándolos con una curva suave. Otra forma de graficar una parábola es usando lo que sabemos sobre el vértice y el eje de simetría. Sabemos que el vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. Y sabemos que cada punto de un lado del eje de simetría tiene un punto equivalente en el otro lado, a la misma distancia del eje y con la misma coordenada y. Si encontramos el vértice y algunos puntos de un lado, tendremos todo lo necesario para dibujar una gráfica.

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a forma estándar de una ecuación cuadrática es . Por ejemplo , el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y cdiferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola.

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:

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Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas

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Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinomiales con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax ² + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

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° Graficar ecuaciones cuadráticas en el eje de coordenadas.
° Definir e identificar las raíces de una ecuación cuadrática.

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a función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

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x | y = x ²
-3 | 9
-2 | 4
-1 | 1
0 | 0
1 | 1
2 | 4
3 | 9