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El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Si f(x)está definida para valores próximos a C, encontramos que los valores f(x)de se acercan a un valor único L, entonces, Lim f(x)=L

X → C
Propiedades

Si b y c  son números reales, n un entero positivo,  f y g son funciones que tienen límites cuando X → C , sin validas las siguientes propiedades

·         Limite de una constante:

Lim x→a f(x) = L y Lim x→a g(x) = G

·       Limite de una suma de funciones:

Lim x→a [f(x) ± g(x)] = [Lim x→a f(x)] ± [Lim x→a g(x)] = L ± G

·       Limite de un producto:

Lim x→a [f(x).g(x)] = [Lim x→a f(x)].[Lim x→a g(x)] = L.G

·         Limite de un cociente:

Lim x→a f(x)  = Lim x→a f(x) =      L    ,  G≠0

g(x)    Lim x→a g(x)         G

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Las funciones exponencial y logarítmica de base a , a > 0 y a ≠ 1, son inversas una de la otra, por lo que sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
Se puede desplazar el punto azul situado en la gráfica de la función exponencial.

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Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica .

La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está definida como

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Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞) , lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada .

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática , pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada  es:

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La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Donde los coeficientes son números racionales y siempre a es distinto de 0.⁴​

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones tienen como elementos a los números reales.

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática y su integral, una función cuártica.

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un anillo (enteros) o campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.Las soluciones están generalmente en un cuerpo que incluye al anillo de los coeficientes. ⁵​

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante.

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Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

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na función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

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En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio lecorresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

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Se presenta cuando el dominio de la función es un subconjunto finito de . Esto significa que se limita el número de términos que se deben hallar a una cantidad finita.

Para encontrar los términos de una sucesión finita, hallamos los términos de la sucesión hasta el número n que se indique.

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Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.

En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales.

Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:
f(1),f(2),f(3),...f(n),...

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Suma de términos de una progresión aritmética

# data[].attributes.subject
Suma de términos de una progresión aritmética

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El objetivo es encontrar una fórmula que nos permita calcular la suma de los primeros términos de una progresión aritmética sin necesidad de calcularlos.
Sn= n/2[2a+(n-1)d]

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Una sucesión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por d.

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Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término.

Ejemplo

Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...

El término que ocupa la posición

N se denota por an y se denomina término general o término n-ésimo.

Ejemplo

En la sucesión de las pares, el primer término es a1=2a1=2 y el sexto es a6=12a6=12. El término general es

an=2⋅n.

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PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES
Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.. Para esto se deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.Propiedad 1 : Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.Propiedad 2 :  Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.Propiedad 3 :  Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.Propiedad 4 :  Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos , lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos .

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En las ecuaciones logarítmicas la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1.Las propiedades de los logaritmos.
2.Inyectividad del logaritmo.
3.Definición de logaritmo.
4.Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

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   ECUACIÓN EXPONENCIAL  Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

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   ECUACIÓN EXPONENCIAL  Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

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Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.

Para resolver ecuaciones racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

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Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones irracionales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

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la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental en especial de expresiones algebraicas.

En analogía con la ecuación lineal que genera una recta en el plano cartesiano, la ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuyo estudio se aborda con el nombre de Función Cuadrática y Secciones Cónicas.

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       ECUACIÓN LINEAL                                        Una ecuación lineal es una igualdad que tiene una o más variables elevadas a la primera potencia, resolverlas significa encontrar el valor de las variables con los que se cumple la igualdad.Hay unos pasos generales a seguir para resolver una ecuación lineal y son los siguientes:1.- Reducir términos semejantes si es posible2.- Pasar al lado izquierdo los términos con incógnitas y al lado derecho los que no tienen, esto se hace con las operaciones inversas, es decir si en un lado se está sumando, al otro lado de la igualdad se pasa restando.3.- Despejar la incógnita.

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       ECUACIÓN LINEAL                                        Una ecuación lineal es una igualdad que tiene una o más variables elevadas a la primera potencia, resolverlas significa encontrar el valor de las variables con los que se cumple la igualdad.Hay unos pasos generales a seguir para resolver una ecuación lineal y son los siguientes:1.- Reducir términos semejantes si es posible2.- Pasar al lado izquierdo los términos con incógnitas y al lado derecho los que no tienen, esto se hace con las operaciones inversas, es decir si en un lado se está sumando, al otro lado de la igualdad se pasa restando.3.- Despejar la incógnita.

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             ECUACIONES                Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones

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             ECUACIONES                Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones

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Paola Orellana

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Oriana Banqueth

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Laura Arias

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Cibel Mussa

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Suma o diferencia de potencias impares iguales

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

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Suma o diferencia de potencias impares iguales[editar]

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

{\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...-xy^{n-2}+y^{n-1})\,}

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Diferencia de cuadrados perfectos

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo).

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Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta dos características, términos repetidos como variables y números sin factor común, se identifica porque tiene un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común) 2+2=4 1x1=1

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Métodos de factorización

Hay varios métodos de factorización, que son aplicados dependiendo el caso. Algunos de estos son los siguientes:

Factorización por factor común

En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.

En otras palabras, se identifica el factor común de la expresión y se divide cada término entre este; los términos resultantes serán multiplicados por el máximo común divisor para expresar la factorización.

(b²x) + (b²y)

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En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma). Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos.

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Una expresión algebraica contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o dos letras. Un ejemplo de expresión con una única letra es:

3 x 2 + 4 x − 2 − x 2 + 7 x

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Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores .
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales ) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable ).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) ²

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COMPONENTES DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 

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COMPONENTES DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 

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Signo: el término puede ser positivo o negativo, si es positivo no se indica con ningún caracter, en caso contrario como la imagen inicial se indica que es negativo con un "-" que precede al coeficiente.

Coeficiente: Es el número por el cual se multiplica el resto del término en nuestro ejemplo es el 4, en caso de no tener coeficiente se entiende que es la unidad.

Parte literal: es la parte formada por las letras, puede ser cualquier letra, en nuestro ejemplo es x

.

Grado: El grado de un término es el exponente en el término. Si el término tiene más de una parte literal diremos que el grado con respecto a cualquiera de esas partes es el exponente de esa letra.