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Ejercicios interactivos de triángulos - Vitutor

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Ejercicios interactivos con solución y evaluación de triángulos, ejercicios resueltos paso a paso, 1º de ESO.

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En caso de sismo o terremoto

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UN POCO DE HUMOR

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x.

Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa.
La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

* Algunas observaciones y propiedades.

- En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de " radian".

- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:

En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y "b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, "a" es negativo y "b" positivo.

- Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.

- Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:

lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:

- La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.

* La función seno.

Por y = sin y = sen x ) se entiende la función con valores de x (o castellanizado x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.

Por otra parte, se considera a x positivo cuando partiendo de las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.

En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes, mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de x radianes. Por ejemplo el x de las figuras de arriba podría ser un radian, por supuesto en Matemáticas se considera que:

1 + 2 equivale a 1 radian, 1 + 4 equivale a 1, 1 + 6 equivale a 1, .....
2 - 1 equivale a - 1, 4 - 1 equivale a -1, 6 - 1 equivale a -1, .....

En definitiva, x + 2 k (siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que: sin x = sin ( x + 2 k ) .

* Gráfica de la función y = sin x.

Observe cómo la función y = sin x es positiva en el intervalo [0, ], y es negativa en el intervalo [ , 2 ], asimismo se anula en los puntos x=0, x= , x=2 .

* La función coseno.

Por y = cos x se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.

* Gráfica de la función y = cos x.

Observe cómo la función y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [ /2, 3 /2], asimismo se anula en los puntos x= /2, x=3 /2.

* La función tangente.

Por tan y = tg x) se entiende la función con valores de x (también denotado x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos x = k /2, para k entero (positivo o negativo).

* Gráfica de la función y = tg x.

Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [- /2, 0], se anula en los puntos x=0, x= , x=2 ... (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x. Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo. Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c".

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Luego de revisar el siguiente video, elabore un organizador gráfico con la clasificación de los triángulos.

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Clasificacion de los triangulos segun sus lados para niños

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Cuanto mide cada lado?

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Portal Educativo - Aprenderás los diferentes criterios para saber si dos triángulos semejantes.

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Imprima y resuelva las siguientes actividades

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▷▷Triángulo Escaleno | Perímetro y Área del Triángulo Escaleno

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El 👉Triángulo Escaleno👈 es un tipo de triángulo que se caracteriza por tener los tres lados de diferentes longitudes. Aprenda a calcular el perímetro y área del triángulo escaleno con ejercicios resueltos. ¡Verás que fácil es!

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CON

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Congruencia de triángulos

Se denomina ángulos congruentes a aquellos que tienen la misma medida.

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes:

2. Criterio (L, A, L) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

3. Criterio (A, L, A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.

4. Criterio (L, L, A>)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo opuesto mayor de estos lados congruentes.

El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no necesariamente de igual tamaño.

Ejemplo: Se obtienen triángulos semejantes al:

i) Al trazar paralelas a lados del triángulo: ii) Al ampliar o reducir un triángulo:

Dos triángulos serán semejantes, si sus ángulos son iguales y sus lados homólogos proporcionales; donde los lados homólogos son los opuestos a ángulos i guales , indicándose la semejanza por el símbolo .

Criterios de semejanza de triángulos

1 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

Semejanzas y diferencias entre los triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

Donde , se la razón de semejanza.

Propiedades de los triángulos:

Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Según sus lados

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

GOOGLE. WIKIPEDIA. SEMEJANZAS ENTRE LOS TRIANGULOS (EN LINEA)(no especifica lugar de publicación)

GOOGLE. VITUTOR. CRITERIOS DE SEMEJANZA. (EN LINEA) (no especifica lugar de publicación)

Google. Imprega concepto de semejanza de triángulos (en línea) (no especifica lugar de publicación)

GOOGLE. Wikipedia. Ejemplos de congruencia de triángulos. (En línea) (no especifica lugar de publicación)

GOOGLE.Wikipedia. concepto de congruencia de triángulos. (En línea) (no especifica lugar de publicación)

Jueves 7 de febrero de 2013

GOOGLE. Vitutor direfencias entre los triángulos (en línea.) (no especifica lugar de publicación)

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Congruencia de triángulos Se denomina ángulos congruentes a aquellos que tienen la misma medida. La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan y lados de igual medida o congruentes. Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

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  Un triángulo es el polígono que resulta de unir 3 puntos con líneas rectas.        Todo triángulo tiene 3 lados (a, b y c), 3 vértices (A, B y C) y 3 ángulos interiores (A, B y C)        Habitualmente se llama lado a al lado que no forma parte del ángulo A. Lo mismo sucede con los lados b y c y los ángulos B y C.

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  Un triángulo es el polígono que resulta de unir 3 puntos con líneas rectas.        Todo triángulo tiene 3 lados (a, b y c), 3 vértices (A, B y C) y 3 ángulos interiores (A, B y C)        Habitualmente se llama lado a al lado que no forma parte del ángulo A. Lo mismo sucede con los lados b y c y los ángulos B y C.

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Criterios que lo definen

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DESCRIPCION DE TRIANGULOS

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Los triángulos son polígonos que cuentan con tres lados. Cabe recordar que los polígonos son figuras planas, delimitadas por segmentos (es decir, por sus lados). El triángulo, por lo tanto, es una figura plana formada por tres segmentos.

Cuando un triángulo dispone de un ángulo recto (que mide noventa grados), se lo clasifica como un triángulo rectángulo. Los otros dos ángulos del triángulo rectángulo siempre son agudos (miden menos de noventa grados).

Características de un triángulo rectángulo

El ángulo recto en el triángulo rectángulo está formado por los dos lados de menor longitud, conocidos como catetos, mientras que el tercer lado (el de mayor extensión) recibe el nombre de hipotenusa. Las propiedades de estos triángulos señalan que la longitud de la hipotenusa siempre resulta menor que la suma de los catetos. La hipotenusa, por otra parte, siempre es más extensa que cualquiera de los dos catetos.

El famoso teorema de Pitágoras se basa en estas características de los triángulos rectángulos y señala que el cuadrado de la hipotenusa resulta idéntico al resultado de la suma de los cuadrados de los dos catetos.

De este modo, se establece la siguiente ecuación para todo triángulo rectángulo:
Hipotenusa al cuadrado = Cateto al cuadrado + Cateto al cuadrado Área = (Cateto x Cateto) / 2
Ver también: Obtuso

Este concepto se utiliza a menudo en el desarrollo de videojuegos para crear una falsa sensación de profundidad, ya que no importa la distancia de los objetos con respecto a la cámara: siempre tendrán las mismas dimensiones en pantalla. Ahora bien, si proyectamos de esta forma los catetos sobre la hipotenusa, obtenemos una media geométrica denominada altura relativa a la hipotenusa, un segmento que parte del punto en el que se encuentran ambos catetos y corta la hipotenusa de forma perpendicular.

Cuando trazamos la altura relativa a la hipotenusa, el triángulo rectángulo se convierte en tres triángulos: el original más los dos que contiene (según se observa en la imagen). Esto da lugar a ciertas relaciones métricas. Por ejemplo, la suma de ambas proyecciones es igual a la hipotenusa ( a = m + n). También es correcto decir que el producto de las dos proyecciones es igual al cuadrado de la hipotenusa, ya que h/m = n/h, y si despejamos h nos da hh = mn.

El producto entre la proyección de un cateto y la hipotenusa es igual al cuadrado de dicho cateto: b/a = m/b => bb = am. Por último, el producto de los catetos es igual a la altura relativa multiplicada por la hipotenusa: a/c = b/h => ah = bc.

Sigue en: Perpendicular

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Los triángulos son polígonos que cuentan con tres lados. Cabe recordar que los polígonos son figuras planas, delimitadas por segmentos (es decir, por sus lados)....

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SEGÚN SUS LADOS

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Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos

Los tres ángulos siempre suman 180°

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales
Tres ángulos iguales, todos 60°

Triángulo isósceles

Dos lados iguales
Dos ángulos iguales

Triángulo escaleno

No hay lados iguales
No hay ángulos iguales

¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

Triángulo acutángulo

Todos los ángulos miden menos de 90°

Triángulo rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°)

Triángulo obtusángulo

Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres
A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales

¿Adivinas cuánto miden?

Área

La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".

Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.

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Matematicas explicadas en un lenguaje sencillo, puzzles, juegos, tests y hojas de ejercicios