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Philip Glass risponde ad una domanda di un giornalista così: "Si tratta di un genere di calcoli molto diverso. *(quello di Boulez ed il suo)* La difficoltà che io trovo con quel tipo di musica *(di Boulez)* è che ha un impatto concettuale, ma non uditivo. I calcoli ritmici sui quali si basa la musica indiana possono essere percepiti da tutto il pubblico e diventano un'esperienza fisica. In quel caso le dimensioni mentale, sensoriale ed emotiva formano un tutto unico. Quando invece la musica diventa troppo concettuale, io perdo l'interesse. E' per questo che, quando mi sono dedicato alla musica, ho messo da parte le basi concettuali della Matematica."

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Esempio di tabella utilizzata da Boulez per le sue composizioni

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Esempio di tabella utilizzata da Boulez per le sue composizioni

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La tabella mostra la corrispondenza istaurata tra i numeri da 1 a 12 (infatti vengono usate solo 12 note) e i parametri del suono ad

essi abbinati. Le altezze sono formate da una serie dodecafonica

I valori di durata sono ottenuti moltiplicando il valore base di 1/32 per ciascuno dei numeri interi fino a 12. Le intensità sono costituite da 12 indicazioni dinamiche comprese e ordinate tra pppp e ffff. Ai numeri 4 e 10 non corrispondono tipi di attacco.

https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjAhNn31bPdAhVIKBoKHWhQAGUQjRx6BAgBEAQ&url=http%3A%2F%2Fmath.unipa.it%2F~grim%2Fconv_aicmgrim05_galante.pdf&psig=AOvVaw1WVCLSTN5Nva4ICB2WN0R4&ust=1536780043409984
link per vedere l'immagine della tabella (pagina 3)

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Rappresentazione della musica nella matematica

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Rappresentazione della musica nella matematica

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Inoltre è importante sottolineare che una qualsiasi linea melodica è rappresentabile nello spazio costruendo un semplice Piano Cartesiano e ponendo sull'asse delle ordinate i valori relativi alle altezze sonore e su quello delle ascisse la dimensione temporale. Ecco un esempio

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La generazione uscita dagli orrori della seconda guerra mondiale  voleva rinnegare tutto il linguaggio musicale che era venuto prima di essa. Ecco allora che per la prima volta l'Io creatore vine sostituito dal calcolo numerico. L'operazione più radicale in questa direzione vine compiuta da Pierre Boulez.
L'artista nella prima delle tre parti di "Structures" vuole raggiungere il "grado zero", eliminando completamente la soggettività emotiva dell'autore e per farlo applica le trasformazioni geometriche attraverso una rigidissima griglia numerica.
Nella seconda e terza parte invece Boulez riporterà la sua musica ad una "discorsività" umana.

Structure I & II
https://www.youtube.com/watch?v=EmErwN02fX0

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La prima volta in cui Glass è stato notato è nel 1974 con "Musica in dodici parti", un'opera in cui vi sono dodici voci o linee di contrappunto e che viene ora chiamata la più grande architettura sonora di ciò che in musica si sarebbe chiamato minimalismo.
In questa musica vi sono delle piccole strutture melodico-armoniche ripetute centinaia di volte. "Musica in dodici parti" è perciò l'inizio di una corrente musicale nata negli Stati Uniti negli anni '60, appunto chiamata "minimalismo". (Anche se Glass alla domanda:"come avrebbe chiamato questa corrente?" Risponde:""Musica del processo''. E' una musica in cui forma e contenuto coincidono: le strutture ritmiche diventano il contenuto."

Tuttavia Philip Glass ha davvero raggiunto il successo con due trilogie: il commento musicale ai film di sole immagini di Godfrey Reggio e il ciclo di opere sugli uomini che hanno cambiato il mondo nella scienza, nella politica e nella religione.

in un'intervista Glass ha affermato:
"Benchè la Matematica e la musica siano linguaggi astratti autonomi, si intersecano nel campo delle strutture ritmiche."
"La Logica era precisamente la parte della Matematica che mi interessava. La gente pensa che sia qualcosa di astratto, ma in realtà non è altro che il modo in cui concettualizziamo qualsiasi cosa. E certamente la mia è una musica logica, nel senso che affida la proporzione e l'equilibrio a strutture razionali ben definite."
Successivamente alla frase "Anche nella matematica ci sono emozioni" risponde:
"E' verissimo, ma in genere la gente non lo sa e non le conosce. E' proprio questo che bisognerebbe riuscire a trasmettere attraverso la musica e il teatro."

Musica in 12 parti, parte 1
https://www.youtube.com/watch?v=8f8Zp-i6Lis

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La musica di Bach è più vicina alla perfezione matematica di qualsiasi altra musica.
più studiosi hanno analizzato le composizioni del grande musicista dal punto di vista matematico ed hanno riscontrato risultati decisamente interessanti. Infatti Bach utilizzava metodi assimilabili ad algoritmi. Egli partiva da un tema (una breve serie di note) e lo ripeteva, tutto o in parte con delle variazioni.

Esistono diversi modi per variare un tema:

Da un tema si possono costruire le varie voci traslandole sull’asse dei tempi, così da farle sovrapporre al tema con un certo ritardo (es: canone di “Fra Martino”).

Una traslazione sull’asse verticale, cambia le note del tema dato e quindi la tonalità.

Invertendo il segno alla variabile dipendente o a quella indipendente, si esegue una riflessione.

E infine, uno stiramento, è una variazione di unità di misura sull’asse orizzontale e verticale.

L'opera di Bach costituisce la summa delle tendenze compositore della sua epoca. Il grado di complessità della musica di questo grande musicista lo resero un genio nel suo settore, anche se fu la causa della sua limitata fama tra il grande pubblico.

“Nessun teologo è stato così convincente come Bach: se si guarda bene, tutte le dottrine teologiche hanno lasciato delle fessure attraverso le quale si possono sbirciare difetti e bassezze indegne di una divinità. A vedere un Dio così mal parato, l’incredulità e l’ironia sostituiscono la fede. Al contrario, la musica di Bach è un’estasi che crea e rende credibili gli Dei e l’Infinito”.
Francisco Rodriguez

L'arte della fuga
https://www.youtube.com/watch?v=7Qq1UWUPCT8

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                                                                                             Aspetti matematici 

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                                                                                             Aspetti matematici 

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Quando si sviluppa un discorso sui legami tra matematica e musica è naturale che l’attenzione cada su tutto il complesso gioco di rapporti di frequenze e tempi che si descrive in termini matematici. Se la stessa divisione ritmica del metro musicale è indicata con una frazione matematica oggi sappiamo che alla base di qualunque rumore vi è un contributo di innumerevoli onde stazionarie (che non si propagano) e che qualunque suono può essere scomposto attraverso l’analisi armonica. Inoltre la musica è stata legata alla matematica anche nel suo aspetto compositivo da numerevoli musicisti tra cui Bach, Glass e Boulez.

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Pierre Boulez nasce il 26 Marzo 1925 a Montbrison, Francia.
Intraprende gli studi di matematica a Lione, ma presto li abbandona per intraprendere quelli musicali presso il conservatorio di Parigi sotto la direzione di Andrèe Vaurabourg e Olivier Messiaen. i suoi primi lavori risalgono alla fine degli anni '40 e  subito Boulez diventa una guida  nell'ambiente artistico del dopoguerra.
Dal 1976 al 1995 tiene la cattedra come di "invention, technique et langage en musique" presso il Collège de France.
Dal 1971 al 1977 fu direttore della New York Philharmonic Orchestra e per un certo periodo anche della BBC Symphony Orchestra.
Nel 2010 debutta come direttore per il Metropolitan Opera House.
Boulez riceve molti premi tra cui il Leone d'oro alla carriera nel 2012,  il premio Kyoto per le arti e la filosofia nel 2009 ed il Glenn Gould Prize nel 2002.
infine vince anche il Grammy Award alla carriera 2015.
Pierre Boulez muore il 5 Gennaio 2016 a Baden-Baden, Germania.

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Philip Glass nasce il 31 Gennaio 1937 a Baltimore, USA.
Si appassiona alla musica fin da piccolo, quando viene impiegato nel negozio di radio del padre. Frequenta l'università di Chicago e nel mentre studia anche violino e flauto. Si laurea in filosofia e matematica e decide di entrare alla Juliard school a New York mentre lavora come tassista per mantenersi. all'età di 23 anni si trasferisce a Parigi, dove conosce i più grandi compositori di musica classica del xx secolo.
Glass si appassiona anche alla musica indiana e per questo soggiorna a lungo in India.
Torna negli USA e dal 1969 inizia una lunga serie di concerti con il suo gruppo chiamato "Philip Glass Ensemble". Debutta nel 1983 come compositore per il cinema e nel 1996 compone le musiche per le Olimpiadi di Atlanta.
Attualmente Philip Glass ha 81 anni e si trova al nono posto nella classifica dei 100 più grandi geni viventi pubblicata dalla rivista inglese "The Telegraph".

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Johann Sebastian Bach nasce il 14 Marzo 1685 a Eisenach, Germania,  in una famiglia di musicisti.
All'età di 10 anni rimane orfano e viene cresciuto dal fratello maggiore che gli insegna a suonare l'organo ed il clavicembalo.
Nel 1700 si trasferisce a Luneburg, dove entra a far parte del coro della chiesa di San Michele. Successivamente diventa violinista presso la corte di Sassonia-Weimar e nel 1703 organista di San Bonifacio ad Arnstadt ed in breve tempo diventa un artista conosciuto ed ammirato. Infatti Bach si stabilisce a Weimar e tra il 1713 e il 1717 propone molti concerti che vengono seguiti ed apprezzati dai contemporanei. Inoltre in questo periodo Bach si sposa con la cugina Maria Barbara. Tuttavia, alla morte di quest'ultima, celebrerà delle seconde nozze con la cantante Anna Magdalena Wulcken.
Nel 1717 assume la carica di maestro di cappella alla corte del Principe Leopoldo di Anhalt-Cothen.
Nel 1723 si trasferisce a Lipsia ed accetta il posto di Kantor nella chiesa di San Tommaso.
Nel 1747 Bach è invitato a Potsdam dal re Federico II di Prussia ed ancora dimostra magistrali doti di improvvisazione.
Nel 1749 il compositore inizia ad affrontare problemi di salute, per poi morire a Lipsia il 28 Luglio 1750.