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1. Elementos de un Modelo de Colas

Clientes: personas o entidades que requieren un servicio.

Servidores o canales de servicio: recursos que atienden a los clientes.

Cola o fila: lugar donde los clientes esperan si todos los servidores están ocupados.

Disciplina de la cola: orden en el que los clientes son atendidos (FIFO, LIFO, por prioridad, etc.).

Capacidad del sistema: número máximo de clientes permitidos en el sistema (en cola + servicio).

Fuente de población:

Infinita: la llegada de un cliente no afecta la probabilidad de nuevas llegadas.

Finita: el número de clientes potenciales es limitado.

Tasa de llegada (λ): promedio de llegadas por unidad de tiempo.

Tasa de servicio (μ): promedio de servicios completados por unidad de tiempo por cada servidor.

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2. Distribuciones de Probabilidad

A. Distribuciones en los modelos de colas:

Markoviana (M): tiempos entre llegadas y servicios son exponenciales. No tienen memoria, ideales para modelar procesos aleatorios simples.

Determinística (D): tiempos constantes. Se usa para procesos muy controlados.

General (G): distribución arbitraria. Representa la realidad con más precisión, pero requiere más análisis.

B. Distribuciones Discretas:

Bernoulli: éxito o fracaso en un solo intento.

Binomial: número de éxitos en n intentos.

Binomial negativa: intentos necesarios hasta obtener r éxitos.

Geométrica: intentos hasta el primer éxito.

C. Distribuciones Continuas:

Exponencial: tiempo entre eventos en un proceso de Poisson.

Erlang: suma de k variables exponenciales, ideal para procesos con varias etapas.

Weibull: usada para tiempos de falla o vida útil de productos.

Log-normal (lo-normal): tiempo de servicio sesgado positivamente, común en procesos reales.

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3. Estructura de los Problemas de Líneas de Espera

Identificar el tipo de sistema: M/M/1, M/M/c, M/G/1, etc.

Determinar parámetros: tasa de llegada (λ), tasa de servicio (μ), número de servidores (c), capacidad del sistema (K).

Calcular:

Probabilidad de que haya n clientes (Pn).

Longitud promedio en el sistema (L) y en la cola (Lq).

Tiempo promedio en el sistema (W) y en la cola (Wq).

Utilización del sistema (ρ = λ / cμ).

Probabilidad de que el cliente tenga que esperar.

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4. Proceso de los Modelos de Colas Existentes

Modelos de nacimiento y muerte: evolución del número de clientes en el sistema con tasas de llegada y salida.

Modelos Markovianos: simples, con tiempos entre eventos exponenciales.

Modelos multicanal: múltiples servidores atendiendo a una misma cola.

Modelos con capacidad limitada: la entrada se bloquea si el sistema está lleno.

Modelos con prioridad: clientes se atienden con base en su nivel de urgencia o importancia.

Redes de colas: múltiples estaciones de servicio conectadas, como en procesos logísticos o sistemas informáticos.

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5. Tipos de Sistemas de Colas

M/M/1: llegada y servicio exponencial, un solo servidor.

M/M/c: c servidores, llegadas y servicios exponenciales.

M/G/1: llegada exponencial, servicio con distribución general.

G/M/1: llegada general, servicio exponencial.

M/M/∞: infinitos servidores, sin tiempo de espera.

M/M/1/K: sistema con capacidad máxima de K clientes.

Sistemas sin espera: el cliente es rechazado si no puede ser atendido inmediatamente.

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6. Características de los Sistemas de Colas

Número de servidores (c)

Capacidad máxima del sistema (K)

Tipo de llegada y de servicio (distribución)

Disciplina de la cola (FIFO, prioridad, etc.)

Población fuente (finita o infinita)

Tiempo de servicio (constante o variable)

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7. Mecanismo de Servicio

Modo de atención:

Paralelo (varios servidores)

Secuencial (varios pasos)

Tiempo de atención:

Constante (determinístico)

Variable (aleatorio)

Asignación:

Por orden de llegada

Por prioridad

Número de servidores: 1, c, o ∞

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8. Costos de Cola y Servicios

Costo por espera: afecta satisfacción del cliente.

Costo de servicio: mantenimiento de infraestructura y personal.

Costo de clientes perdidos: cuando abandonan o no pueden ingresar al sistema.

Costo total esperado = costo de espera + costo de servicio.

Objetivo: minimizar el costo total manteniendo un nivel aceptable de servicio.

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9. Proceso de Poisson

Modelo probabilístico que describe la frecuencia de llegadas aleatorias en el tiempo.

Características:

Independencia entre eventos.

La probabilidad de más de un evento en un instante es nula.

Se relaciona con la distribución exponencial para el tiempo entre llegadas.

Base fundamental para los modelos Markovianos (M/M/1, etc.).

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10. Notación Kendall

Se utiliza para describir modelos de colas en forma A/S/c/K/N/D, donde:

A: distribución del tiempo entre llegadas (ej. M, D, G)

S: distribución del tiempo de servicio

c: número de servidores

K: capacidad máxima del sistema (opcional)

N: tamaño de la población fuente (opcional)

D: disciplina de la cola (opcional, comúnmente FIFO)

Ejemplo: M/M/1 significa:

Llegadas Markovianas (exponenciales),

Servicios Markovianos,

1 servidor.

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11. Redes de Colas (Queuing Networks)

Conjunto de sistemas de colas interconectados.

Clientes pueden moverse entre estaciones según ciertas probabilidades.

Tipos:

Abiertas: entrada y salida del sistema desde/hacia el exterior.

Cerradas: número fijo de clientes circulando.

Muy útiles para modelar procesos en cadena, como producción o servicios integrados.

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12. Aplicaciones Reales de la Teoría de Colas

Salud: gestión de pacientes en emergencias, citas médicas.

Call centers: asignación de operadores, tiempos de espera.

Sistemas de transporte: semáforos, estaciones de peaje, aeropuertos.

Manufactura: estaciones de trabajo, inspección de calidad.

Informática: balanceo de carga en servidores, routers de red, procesamiento de tareas.

Banca y servicios al cliente: diseño de ventanillas y turnos.