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Álgebra I - Hilda R. Santamaría C. 4 - 815 - 999

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Álgebra I - Hilda R. Santamaría C. 4 - 815 - 999

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Los siguientes teoremas, atribuidos a Joseph Louis Lagrange, se conocen con la denominación Teorema de Lagrange:

Teorema de Lagrange (teoría de grupos), teorema que relaciona el orden de un grupo finito G (su número de elementos) con el orden de cualquiera de sus subgrupos.

Teorema de Lagrange (teoría de números), permite expresar la solución general de la ecuación diofántica 61x ² + 1 = y ² (solución propuesta por Joseph-Louis de Lagrange en 1767).

Teorema de Lagrange, también conocido como teorema del valor medio, o teorema de los incrementos finitos, o teorema de Bonnet-Lagrange, teorema fundamental del cálculo integral, que señala las propiedades de las funciones derivables en un determinado intervalo (resultado teórico muy importante, pues es usado muy reiteradamente para demostrar otros teoremas).

Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, también conocido como la conjetura de Bachet, y que Joseph Louis Lagrange demostró en 1770.

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Corolario 1. Si G es un grupo finito y x está en G, entonces o(x) |o (G).

Corolario 2. Si H es un grupo finito y x es elemento de H, implica xo(H) = e.

Proposición de Euler. Si m es un entero positivo y b es primo con m, entonces bφ(m) ≡ 1mód m.

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Sea el grupo G = {1,-1, i, -i}, con la operación multiplicación de complejos. Entonces se pueden obtener los siguientes órdenes:

El orden del grupo completo es 4, ya que el grupo está formado por cuatro elementos. O sea, ord (G) = 4.

El orden del elemento 1 es 1, o sea, ord (1) = 1.

El orden del elemento -1 es 2, o sea, ord (-1)= 2, puesto que (-1) · (-1) = 1.

El orden del elemento i es 4, o sea, ord (i) = 4, puesto que = i · i · i · i = (-1) · i · i = (-1) · (-1) = 1.

El orden del elemento -i es 4, o sea, ord (-i)= 4, puesto que (-i) · (-i) · (-i) · (-i) = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · i · i · i · i = 1 · 1 · i · i · i · i = 1.

Sea G = Z n  el grupo formado por las clases de equivalencia módulo n, donde la operación del grupo es la suma. Entonces el orden de cualquier elemento k ≠ 0 es n/d, donde d es el máximo común divisor entre n y k.

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Si el orden del grupo G es 1, entonces el grupo se denomina grupo trivial. Dado un elemento a, ord(a) = 1 si y solo si a es la identidad.

Si un elemento de G tiene orden 2 entonces es igual a su inverso. Si todos los elementos del grupo tienen orden 2 el grupo resulta abeliano dado que:

ab = (bb) ab (aa)

= b (ba) (ba) a

= ba

Si G es un grupo y a es un elemento del mismo, se denota a = {a k: k elemento de  Z} el subgrupo generado por a. Entonces el orden del elemento a es igual al orden del subgrupo a.

En el caso que ord(a) = n elemento de N es finito, el subgrupo a nos queda isomorfo a Z n. Cuando el orden de a es infinito, obtenemos que a es isomorfo a Z.

Todos los elementos de un grupo finito tienen un orden finito.

Es más, por el teorema de Lagrange se sabe que el orden de cualquier elemento divide al orden del grupo.

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En teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas, el término orden se utiliza en dos sentidos estrechamente relacionados:

El orden de un grupo es su cardinalidad, es decir, el número de elementos que tiene.

El orden, a veces período, de un elemento a de un grupo es el entero positivo m más pequeño tal que am = e (donde e denota el elemento identidad, también llamado neutro, del grupo, y am denota el producto de m copias de a). Si no existe tal m, se dice que a tiene un orden infinito.

Denotamos el orden de un grupo G por ord (G) o |G| y el de un elemento a elemento de G por ord (a) o |a|.

Se puede notar que el orden de un elemento (en el segundo sentido expuesto) coincide con el orden del subgrupo generado por dicho elemento (en el primer sentido).

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Orden de un Grupo y Teorema de Lagrange                       

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Orden de un Grupo y Teorema de Lagrange                       