# data[].attributes.headline
Різні способи доведення теореми Піфагора

# data[].attributes.subject
Різні способи доведення теореми Піфагора

# data[].attributes.body
Цікаве для перегляду

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Нехай A, B, C - вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два прямокутники кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Для формального доведення, нам необхідні чотири елементарні леми:

1. Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона).

2. Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту.

3. Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін.

4. Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми).

Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, конгруентним з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.

Нехай ACB - прямокутний трикутник з прямим кутом CAB.

На кожній стороні BC, AB, і CA побудуємо квадрати CBDE, BAGF та ACIH в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда, і залежить від постулату паралельності.

З точки A проводимо пряму паралельну до BD і CE. Вона перпендикулярно перетне відрізки BC та DE в точках K та L, відповідно.

Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

Кути CBD і FBA - обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

Трикутники ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

Оскільки точки A, K і L - колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD ( BDLK = BAGF= )

Аналогічно міркуючи, отримаємо CKLE = ACIH =

З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата , або + = .

Нехай квадрат, побудований на одному з катетів (на малюнку це квадрат, побудований на більшому катеті), розташований з тієї ж сторони катета, що і сам трикутник. Тоді продовження протилежного катету сторони цього квадрата проходить через вершину квадрата, побудованого на гіпотенузі. Досить порівняти площі фігур, що нас цікавлять з площею одного трикутника (він заштрихований) - площа цього трикутника дорівнює половині площі квадрата і одночасно половині площі прямокутника

Нехай ABC- прямокутний трикутник, в якому кут Cпрямий, як показано на малюнку. Проведемо висотуз точки C, і назвемо Hточку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACHподібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBHтакож подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо

BC=a, AC=b, AB=c, тоді a/c=HB/a, b/c=AH/b

Якщо додати ці дві рівності, отримаєм

Іншими словами, Теорема Піфагора:

Доведення Гофмана

Побудуємо трикутник АВС з прямим кутом С

Побудуємо відрізок BF рівний CB, BF перпендикулярний CB

Побудуємо BE рівний AB, BE перпендикулярний AB

Побудуємо AD рівний AC, AD перпендикулярний AC

Точки F, C, D належать одній прямій

Так як чотирикутники ADFB и ACBE рівновеликі, т. Трикутники ABF і ЕCB рівні. Трикутники ADF і ACE рівновеликі

Віднімемо від обох рівновеликих чотирикутників спільний для них трикутник АВС, отримаємо:

Доведення Мьольманна

Площа даного трикутника з однієї сторони дорівнює 1/2ab, а з другої - 1/2pr, де р - півпериметр, r- радіус вписаного кола. В прямокутному трикутнику r=1/2(a+b-c).
Маємо 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)

0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)

Розташуємо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів

, а розгорнутий кут -

Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною "a+b", а з іншої - сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що і необхідно було довести

Нехай АВС - даний прямокутний трикутник з прямим кутом С. Проведемо висоту CD з з вершини прямого кута С.
По означенню косинуса кута (Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи) соsА=AD/AC=AC/AB. Звідси AB*AD=АС ² Аналогічно соsВ=BD/BC=BC/AB. Звідси AB*BD= ВС ². Додаємо почленно дві рівності. Так як AD+DB=AB, маємо:
Теорема доведена

Нехай АВС - прямокутний трикутник з прямим кутом С, побудований на векторах. Тоді справедлива векторна рівність

Існує цілий ряд доведень теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і на гіпотенузі, розрізають так, що кожної частини квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння докази достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивись!", Як це робилося в творах стародавніх індуських математиків. Слід, однак, зауважити, що насправді доказ можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить важко зробити, однак може (особливо при великій кількості частин) зажадати досить тривалої роботи.

Тут в якості складових частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF.
Розкладання на трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку.

На малюнку допоміжні лінії змінені за пропозицією Нільсена.

На малюнку дано досить наочне розкладання Бетхер.

У підручниках нерідко зустрічається розкладання зазначене на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на більшій катета, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення

Зображене на малюнку розкладання належить Гутхейль; для нього характерне наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить за собою випадок рівнобедреного прямокутного трикутника.

Знайомий нам малюнок теореми Піфагора укладемо в прямокутну рамку, напрямки сторін якої збігаються з напрямками катетів трикутника. Продовжимо деякі з відрізків фігури так, як вказано на малюнку, при цьому прямокутник розпадається на кілька трикутників, прямокутників і квадратів. Викинемо з прямокутника спочатку кілька частин так щоб залишився лише квадрат, побудований на гіпотенузі. Ці частини наступні:
трикутники 1, 2, 3, 4;
прямокутник 5;
прямокутник 6 і квадрат 8;
прямокутник 7 і квадрат 9;
Потім викинемо з прямокутника частини так, щоб залишилися тільки квадрати, побудовані на катетах. Цими частинами будуть:
прямокутники 6 і 7;
прямокутник 5;
прямокутник 1 (заштрихований);
прямокутник 2 (заштрихований);
Нам залишилося лише показати, що відібрані частини рівновеликі. Це легко бачити в силу розташування фігур. З малюнка ясно, що:
прямокутник 5 рівновеликий самому собі;
чотири трикутника 1,2,3,4 рівновеликі двом прямокутникам 6 і 7;
прямокутник 6 і квадрат 8, взяті разом, рівновеликі прямокутнику 1 (заштрихований);;
прямокутник 7 разом з квадратом 9 рівновеликі прямокутнику 2 (заштрихований).

Загальна ідея таких доказів полягає в наступному.
Від двох рівних площ потрібно відняти рівновеликі частини так, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в іншому-квадрат, побудований на гіпотенузі. Адже якщо в рівностях
В-А = С і В1-А1 = С1
частина А рівновелика частини А1, а частина В рівновелика В1, то частини С і С1 також рівновеликі.
На класичному рисунку до теореми Піфагора приставлені зверху і знизу трикутники 2 і 3, рівні вихідному трикутнику 1. Пряма DG обов'язково пройде через C. Зауважимо тепер (далі ми це доведемо), що шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі. Якщо ми від першого з них віднімемо трикутники 1 і 2, то залишаться квадрати, побудовані на катетах, а якщо від другого шестикутника віднімемо рівні трикутники 1 і 3, то залишиться квадрат, побудований на гіпотенузі. Звідси випливає, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.
Залишається довести, що наші шестикутники рівновеликі. Зауважимо, що пряма DG ділить верхній шестикутник на рівновеликі частини; те саме можна сказати про прямий CK і нижньому шестикутнику. Повернемо чотирикутник DABG, що становить половину шестикутника DABGFE, навколо точки А за годинниковою стрілкою на кут 90; тоді він співпаде з чотирикутником CAJK, складовим половину шестикутника CAJKHB. Тому шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі.

Метод геометричних перетворень

Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90 ° так, щоб він зайняв положення трикутника A'CB '. Продовжимо гіпотенузу A'В 'за точку A' до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок В'D буде висотою трикутника В'АВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник A'АВ'В. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA 'і СВВ' (або на два трикутники A'В'А і A'В'В).

S(A'AB'В) = (a ² + b ²) / 2

Трикутники A'В'А і A'В'В мають загальну основу і висоти DA і DB, тому:

S(A'AB'B) = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB) / 2 = c ² / 2

Порівнюючи два отриманих вирази для площі, отримаємо:

Існує багато доказів теореми Піфагора, проведених як кожним з описаних методів, так і за допомогою поєднання різних методів.
Використані джерела

Я пізнаю світ. Дитяча енциклопедія. Математика. М.1997
Энциклопедия для детей. Математика. Главный редактор М.Д.Аксенова. М. "Аванта +", 1998
Энциклопедический словарь юного математика./Сост. А.П.Савин. М. Педагогика - Пресс. 1997
Глейзер Г.И. История математики в школе. М. Просвещение, 1981
М.И.Бурда, Н.А.Тарасенкова Геометрия 8

# data[].attributes.attachment_link.title
Різні способи доведення теореми Піфагора

# data[].attributes.attachment_link.description
Нехай A, B, C - вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два прямокутники кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах.

# data[].attributes.headline
Єгипетський трикутник

# data[].attributes.subject
Єгипетський трикутник

# data[].attributes.attachment_link.title
Єгипетський трикутник

# data[].attributes.attachment_link.description
Землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута користувались таким способом. Мотузок ділили вузлами на 12 рівних частин і кінці...

# data[].attributes.headline
Одна задача-весь 8 клас

# data[].attributes.subject
Одна задача-весь 8 клас

# data[].attributes.attachment_link.title
Все про прямокутний трикутник. Одна задача - весь 8 клас.

# data[].attributes.headline
Прямокутний трикутник

# data[].attributes.subject
Прямокутний трикутник