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Definición - Límite de una función en un punto Se dice que el límite de la función f cuando x→a es l, y se escribe limx→af(x)=l si para cualquier valor ε>0 existe un número δ>0 tal que, |f(x)−l|<ε siempre que
0<|x−a|<δ.

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓNDecimos que “el límite de la función 𝑓 cuando 𝑥 tiende a c es 𝐿” y se escribe: lim𝑥→c 𝑓 (𝑥)=𝐿

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓNDecimos que “el límite de la función 𝑓 cuando 𝑥 tiende a c es 𝐿” y se escribe: lim𝑥→c 𝑓 (𝑥)=𝐿

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Límite por la izquierda de una función 𝒇 en 𝒙𝟎:

Si 𝑓 está definida a la izquierda de 𝑥0, aunque no lo esté en 𝑥0, diremos que el límite de 𝑓 cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 por la izquierda es 𝑳, si (𝑥) tiende al valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por valores menores que 𝑥0, y lo escribiremos así: lim𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥)=𝐿

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Límite por la izquierda de una función 𝒇 en 𝒙𝟎:
Si 𝑓 está definida a la derecha de 𝑥0, aunque no lo esté en 𝑥0, diremos que el límite de 𝑓 cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 por la derecha es 𝑳, si (𝑥) tiende al valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por valores mayores que 𝑥0, y lo escribiremos así:

lim𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥)=𝐿

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Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de  en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales  de una variable real.

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Si la función no está definida entorno a un punto, entonces no existe el límite en dicho punto

Ejemplo. Consideremos la función
f(x)=1x2−1 y veamos que pasa cuando
x→0:

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Cuando los límites laterales no coinciden entonces no existe el límite

Ejemplo. Consideremos la función
f(x)=|x|x y veamos que pasa cuando
x→0:

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A veces, cuando x→a los valores de f(x) crecen o decrecen infinitamente y entonces no existe el límite. En este caso se dice que la función diverge y se escribe
limx→af(x)=±∞
Ejemplo. Veamos la tendencia de la función
f(x)=1x2 cuando
x→0:

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A veces, el límite de un función en un punto puede no existir porque la función oscila rápidamente al acercarnos a dicho punto.

Ejemplo. Consideremos la función
f(x)=sen⁡1x y veamos que pasa cuando
x→0:

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Si
f(x) tiende a
l cuando x crece infinitamente, entonces se dice que l es el límite en el infinito de f(x) cuando x→+∞, y se escribe limx→+∞f(x)=l.

Si f(x) tiende a l cuando x decrece infinitamente, entonces se dice que l es el límite en el infinito de f(x) cuando x→−∞, y se escribe limx→−∞f(x)=l.

Ejemplo. Estudiemos la tendencia de f(x)=1x cuando x→±∞: