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Un vector​ es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido.

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¿Cómo se representa un vector gráficamente?

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¿Cómo se representa un vector gráficamente?

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Un vector es representado gráficamente, como un segmento dirigido de recta  de un punto P llamado punto inicial o origen a otro punto Q llamado punto terminal o termino. Una punta de flecha en un extremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada con una escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulos que forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas.

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Principalmente un vector tiene tres elementos: La dirección, el sentido, y el módulo.

La direccion: La dirección de un vector se representará a través de una recta contenida en el vector o de cualquier recta que se encuentre paralela a la misma, Se determinará por el ángulo que se forma entre el vector y cualquier otra recta de referencia. O sea que la dirección de la recta que está en el vector o alguna recta paralela a ella es la dirección del vector.

El sentido: El sentido del vector se refiere al elemento que describe como va el punto A hacia el extremo B; Está especificado por el orden de dos puntos en una línea paralela al vector, a diferencia de la dirección del vector que es especificada por la relación entre el vector y cualquier línea de referencia y/o plano.
Tanto la orientación como el sentido determinan la dirección de un vector.

El modulo:  El módulo  o amplitud de un vector puede ser definido como la longitud del segmento AB. Se puede representar a través de una longitud que sea proporcional al valor que tiene el vector. El módulo de un vector siempre será cero, o en otros casos algún número positivo.

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¿Qué se entiende como magnitud escalar y magnitud vectorial?

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¿Qué se entiende como magnitud escalar y magnitud vectorial?

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Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

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Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales.

Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

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Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con número y una unidad.
Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son escalares.

Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse.
30 kg + 40 kg = 70 kg

20 s + 43 s = 63 s

Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

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¿Que es un vector unitario?¿Como se conoce los vectores unitarios en las coordenadas cartesianas? ¿Tiene unidades los vectores unitarios?

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¿Que es un vector unitario?¿Como se conoce los vectores unitarios en las coordenadas cartesianas? ¿Tiene unidades los vectores unitarios?

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Los vectores unitarios son aquellos cuyo módulo, magnitud o tamaño es igual al valor numérico uno. Los vectores unitarios son de utilidad para indicar la dirección de otros vectores no unitarios.
Podemos decir que la dirección de un vector en el espacio 3D es la dirección del vector unitario u = A/A. Podemos definir entonces en cualquier espacio vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas. En el espacio cartesiano estos vectores unitarios se designan por i, j y k que tienen las direcciones de los ejes x, y, z, verificándose que A = Ax i + Ay j + Az k. Los vectores unitarios mencionados se asocian a los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) respectivamente.
En ciertas ocasiones, a los vectores unitarios también se les da el nombre de vector normalizado. En suma, podemos decir que un vector de tipo unitario es todo vector de módulo igual a uno (1). Por ende, coincide con la unidad de medida que se usa para entender la magnitud del vector.

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Dos o más vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e  igual sentido, aun cuando su punto de origen sea diferente. Recuérdese que las características de un vector son precisamente: origen, módulo, dirección y sentido.

Los vectores se representan mediante un segmento orientado o flecha. En la figura 1 se muestra la representación de varios vectores en el plano, algunos de los cuales son equipolentes según la definición dada inicialmente.

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¿Cómo se realiza la adición de más de dos vectores en forma gráfica?

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¿Cómo se realiza la adición de más de dos vectores en forma gráfica?

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Suma gráfica de vectores

Para sumar dos vectores libres u y u se toman como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

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¿Cómo se realiza la adición de más de dos vectores enforma analíticamente? 

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¿Cómo se realiza la adición de más de dos vectores enforma analíticamente? 

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- En la suma analítica de vectores se suman sus respectivas componentes.

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La resta de vectores, da como resultado otro vector, es decir, la resta de A menos B, da un vector C.
Para restar dos vectores A y B se suma A con el opuesto de vector B, es decir:

A – B = A + (- B)

Las componentes del vector A – B se obtienen restando sus componentes.

A – B = (Ax – Bx, Ay – By, Az – Bz)

Ejemplo: Sea A = (5, 2, 4) y B = (-3, 5, 9), calcula el vector A – B.

Vemos que para el vector A , 5 es la componente  “x”, 2 es  “y” y 4 es “z”.
Para el vector B, -3 es la componente  “x”, 5 “y” y 9 es “z”. Por lo tanto:

A – B = ( 5-(-3), 2-5, 4-9) = (8,-3,-5)

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Para restar solamente 2 vectores existen dos procedimientos gráficos: el método del paralelogramo y el método del triangulo. Sin embargo, si queremos resolver la resta de 3 o más vectores tenemos que usar el método del polígono.

Cuando queremos restar tres o más vectores, existe una técnica para ir más rápido en el cálculo y restar todos los vectores a la vez. Esta técnica se llama método del polígono y consiste en aplicar sucesivamente el método de la cabeza-cola de la suma de vectores.

Ahora seguro que estás pensando: ¿de la suma de vectores? Esto está mal fijo… ¡Pues no! jeje

Resulta que restar dos vectores es equivalente a sumar un vector más el vector opuesto (o negado) del vector que resta. Esto es debido a las propiedades de la suma y la resta de vectores:

Por lo tanto, los pasos que debemos seguir para restar 3 o más vectores con el método del polígono son:

1. En primer lugar, tenemos que hallar el vector inverso de cada vector que resta. Es tan fácil como invertir de dirección y de sentido todos los vectores que están restando.

2. Luego, colocamos cada vector opuesto a continuación del vector que no está restando, uno detrás del otro. De manera que el origen de un vector coincida con el extremo de otro vector.

3. Finalmente, el resultado de la resta vectorial es el vector que se obtiene al unir el inicio del primer vector con el final del último vector.

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El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el

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¿Cómo se realiza el producto escalar de dos vectores enforma analítica?

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¿Cómo se realiza el producto escalar de dos vectores enforma analítica?

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Ejemplo:

Dados dos vectores del espacio vectorial ℝn, u = (u₁, u₂, …, un) y v = (v₁, v₂, …, vn), se define el producto escalar de ambos, u · v como:

u·v = u₁ · v1 + u₂ · v₂ + … + un · vn

En todo espacio vectorial euclídeo, y por lo tanto normado, podemos usar también la definición geométrica, esta nos dice que el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo (o norma) de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forman: (Imagen)

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Ecuación para determinar la magnitud y dirección de un vector

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Ecuación para determinar la magnitud y dirección de un vector

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Para calcular la magnitud o módulo de un vector A = (Ax, Ay), conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente formula:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)² ]

Esta expresión es una aplicación del Teorema de Pitágoras.

Sea 0AxA un triángulo rectángulo, observemos que 0A es la hipotenusa; al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos:

(0A)² = (Ax)2 + (Ay)²

Es decir,

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)² ]

En tres dimensiones

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)² +(Az)2 ]