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Solucionar un triángulo rectángulo | Razones trigonométricas | Ejemplo 1

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Un triángulo rectángulo, como el resto de triángulos, puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siempre que no sean los tres ángulos. En este caso, de entrada ya se conoce un ángulo, que es recto.

La operativa general es porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° (por lo que la suma de los dos ángulos agudos es de 90°) y por el teorema del seno.

También es útil en la resolución, aunque no se ha empleado aquí, el teorema de la tangente.

1. Se conoce un cateto b y su ángulo agudo adyacente A

Si conocemos un cateto (por ejemplo el b)y su ángulo agudo adyacente (en este caso, el ángulo A), se resuelve así:

La misma solución para el cateto b y su ángulo agudo opuesto B, sólo que A = 90° - B.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar o bien Triangulo-total.exe

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A

Por otro lado, si se conoce la hipotenusa c y un ángulo agudo (en este caso, el ángulo A), se resuelve de la siguiente manera:

Aplicamos que sen 2 A = 2sen A · cos A, por las razones trigonométricas del ángulo doble.

3. Se conocen los dos catetos a y b

Conociendo los dos catetos a y b, tenemos:

4a. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c

Si son conocidos el cateto b y la hipotenusa c, la resolución es:

4b. Se conoce la hipotenusa y el perímetro

El área, con esos dos datos de partida se puede calcular con la fórmula:

Para deducir esta fórmula basta con la fórmula del perímetro, la del área y el teorema de Pitágoras. Aquí se muestra el proceso:

Sabiendo el área y la hipotenusa, podemos hallar la altura sobre ella h c:

Por el teorema del seno, hallamos un ángulo agudo sobre el triángulo formado por el cateto b como hipotenusa y la altura h c y la proyección sobre c. Tambien hallamos el ángulo restante:

Y nos quedan los dos catetos, que los obtenemos por el seno de sus ángulos respectivos:

4c. Se conoce un ángulo agudo y el área

El otro ángulo agudo se calcula así:

La base, el cateto b se calcula con esta fórmula. Se deduce la fórmula del teorema del seno y de la fórmula del área de un triángulo sabiendo un lado y sus dos ángulos adyacentes. Aquí sabemos esos dos ángulos ( A = C) y el área.

Con las razones trigonométricas de ángulos que difieren 90° el valor de las razones trigonométricas de 90° y simplificando, se halla el lado b así:

Finalmente, el tercer lado, c, la hipotenusa, se halla por el teorema de Pitágoras:

5. Cuando el triángulo rectángulo es también isósceles

En este caso, los dos catetos a y b son iguales. También son iguales y de 45° los dos ángulos agudos A y B y además, el ángulo C es recto.

Veamos tres casos:

5.1. Se conoce un cateto y un ángulo agudo

Si se conoce un cateto y un ángulo agudo, que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.

5.2. Se conoce la hipotenusa

Aplicamos el teorema de Pitágoras, siendo los catetos a y b y la hipotenusa c.

Tenemos los lados y ángulos iguales (45°) y el área.

5.3. Se conocen los dos catetos

Si son conocidos los dos catetos que, al ser iguales se comprueba que el triángulo también es isósceles, la resolución es:

5.4 Conociendo el área, hallar los lados

Uniendo por sus hipotenusas dos triángulos rectángulos isósceles iguales, obtenemos un cuadrado cuya área es el doble del área de triángulo rectángulo isósceles dado:

El área de un cuadrado es:

Como el área dada del triángulo rectángulo isósceles es la mitad de la del cuadrado:

Y, por Pitágoras se obtiene la hipotenusa b:

Se ha resuelto determinando los tres lados (y los tres ángulos previamente conocidos de un triángulo rectángulo isósceles) a partir del área.

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Resolución de triángulos rectángulos - Universo Formulas

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Un triángulo rectángulo , como el resto de triángulos, puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siempre que no sean los tres ángulos. En este caso, de entrada ya se conoce un ángulo, que es recto.

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Todas la razones trigonométricas relacionan un ángulo con dos lados, es decir, tres variables. Por tanto, a la hora de elegir que razón utilizar, deberá ser aquella que sepamos al menos dos de las tres variables.

Tenemos que ir jugando con estas fórmulas según los datos que nos de el enunciado del problema.

Existen dos casos posibles que podemos encontrarnos en los problemas o ejercicios de resolución de triángulos rectángulos  que son:

Que conozcamos dos lados y nos pregunte por algún ángulo o el otro lado

Que conozcamos un lado y un ángulo y nos pidan calcular cualquier otro lado o ángulo

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Ejemplos de resolución de triángulos rectángulos 

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Ejemplos de resolución de triángulos rectángulos 

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Vamos a ver, todo lo que te acabo de explicar con un ejemplo. Tenemos un triángulo del que conocemos 2 de sus lados.

Nos piden calcular el lado b y el ángulo B:

Para calcular el lado b, lo hacemos mediante la fórmula de Pitágoras, ya que en esa fórmula se relacionan los 3 lados y sólo nos queda por conocer 1 un lado.

De la fórmula de Pitágoras despejamos el cateto mayor, que corresponde con el lado b

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Y ahora sustituimos valores y calculamos:

C = b (es el lado que estamos calculando)

c = 3 m

H = 5 m

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Nos ha quedado una ecuación, de la que tenemos b como incógnita.

Para calcular el ángulo B, podemos hacerlo de muchas maneras. Una de ellas es utilizando la razón trigonométrica del seno por ejemplo, ya que conocemos el valor de la hipotenusa y del cateto opuesto.

En realidad podríamos utilizar cualquier razón trigonométrica porque conocemos todos sus lados:

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Sustituimos valores y resolvemos:

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Una vez conocemos el valor del seno de B, con la calculadora hemos calculado su inversa y obtenemos el ángulo. Presta atención a que la calculadora esté en grados y no en radianes.

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Super facil |  Para principiantes | Encontrar medida del angulo

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Volvamos a las partes del triangulo:

Se le llama cateto opuesto al lado que esté enfrente del ángulo de referencia.

Se le llama cateto adyacente al lado que esté tocando a ese ángulo.

b es el lado que está enfrente de B y c es el lado que está tocando al ángulo B. Pero si tomamos como referencia al ángulo C:

b= cateto adyacente
c= cateto opuesto

Entonces b es el cateto contiguo y c es el cateto opuesto.

Por tanto, para saber cuál de todas las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, tienes que utilizar para resolver un problema, lo primero que tienes que hacer es identificar tus catetos con respecto al ángulo con el que estés calculándolas.

Los lados y ángulos del triángulo rectángulo, tienen una serie de relaciones entre ellos, las cuales nos van a ayudar a calcular las medidas de los elementos que no conozcamos.

Los tres lados están relacionados por el teorema de Pitágoras.

Los tres ángulos suman entre ellos ciento ochenta.

Los lados y los ángulos se relacionan mediante las razones trigonométricas, las cuales te las explico con todo detalle en el siguiente apartado.

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Vamos ir viéndolas una por una, tomando como ángulo de referencia el ángulo B.

Relaciona el ángulo B con el cateto opuesto y la hipotenusa. En otras palabras, es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Se expresa como sen B.

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Relaciona el ángulo B con el cateto contiguo y la hipotenusa. Es la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa. Se expresa como cos B.

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Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. También entre el seno y el coseno. Se expresa como tg B.

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Es la razón inversa del coseno. Se expresa como sec B.

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Es la razón inversa del seno. Se expresa como cosec B.

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Es la razón inversa de la tangente y se expresa como cotg B.

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Ejemplos de perímetro y área de un triangulo rectángulo 

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Ejemplos de perímetro y área de un triangulo rectángulo 

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Supongamos que tengo un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 12 metros y uno de sus catetos, 8 metros ¿Cuál sería un perímetro y su área?

Primero, despejamos según el Teorema de Pitágoras:

8²+c²=122

64+c²=144

c²=80

c=8,94

Por lo tanto, el perímetro y el área serían:

P= 8+8,94+12=28,94 metros

A=(8*8,94)/2= 35,78 m2

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Según la longitud de sus lados, un triángulo rectángulo puede ser de dos tipos:

Isósceles: Cuando sus dos catetos son iguales, lo que implica que sus ángulos interiores son 90º, 45º y 45º.

Escaleno: Cuando sus lados todos tienen distinta longitud.

Cabe señalar que un triángulo rectángulo no puede ser equiláteros porque uno de sus lados (la hipotenusa) mide siempre más que los otros dos.

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Perímetro y área del triangulo rectángulo 

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Perímetro y área del triangulo rectángulo 

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En el triángulo rectángulo debe cumplirse lo siguiente:

Perímetro(P): Sería la suma de la longitud de los lados: P=AC+AB+BC

Área(A): En este caso, podemos calcular el área solo conociendo la medida de dos de lados, pues la base y la altura serán cada una un cateto. Si tengo el dato de la hipotenusa y de uno de los catetos, puedo utilizar el Teorema de Pitágoras para despejar el otro lado (lo demostraremos en un ejemplo líneas abajo). La fórmula sería la siguiente: A=AB*BC/2

Aquí abajo dejo un video sobre el teorema de Pitágoras para que recuerdes;).

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TEOREMA DE PITÁGORAS: DEFINICIÓN Y EJEMPLOS (NIVEL BÁSICO)

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El teorema significa que si conocemos las longitudes de cualesquiera dos lados del triángulo, podemos determinar la longitud del otro lado. Podemos encontrar triángulos rectángulos por todos lados: dentro de prismas y pirámides, en mapas al calcular distancia, e ¡incluso ocultos dentro de triángulos equiláteros!

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El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior que es recto, es decir, mide 90º. Este tipo de triángulo es una de sus clasificaciones de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores.
La principal característica del triángulo es que, tiene un lado de mayor longitud (llamado hipotenusa) y otros dos denominados catetos cuya unión forma el ángulo recto.

Otro detalle a notar es que cualquier cuadrado separado en dos por alguna de sus diagonales se divide en dos triángulos rectángulos (como vemos en la imagen de abajo).

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Basándonos en la imagen inferior, el triángulo rectángulo tiene los siguientes elementos:

Vértices: A, B, C.

Lados: AB, BC, AC, donde AC es la hipotenusa y AB y BC son los catetos.

Ángulos interiores: 90º,β,γ. Los tres deben sumar 180º.

Ángulos exteriores: 90º,δ,ε.

Se debe cumplir lo siguiente:

90º+β+γ=180º, β+γ=90º

β+δ=180º
γ+ε=180º

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Área y perímetro de un triángulo rectángulo | Ejemplo 1