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Transformations - Digipad by La Digitale

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Une application en ligne pour créer des murs multimédias collaboratifs proposée par La Digitale

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Trouver le centre et le rapport d'une homothétie

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Trouver le centre et le rapport d'une homothétie

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3e Trouver le centre et le rapport d'une homothétie

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Cours Maths [3ème] Construction d'une homothétie

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Agrandissement réduction : Effet sur le volume

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Agrandissement réduction : Effet sur le volume

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Agrandissement réduction : Effet sur le volume

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Agrandissement réduction : Effet sur l'aire

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Agrandissement réduction : Effet sur l'aire

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Agrandissement réduction : Effet sur l'aire

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Rotation : construction de l'image d'un point

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Rotation : construction de l'image d'un point

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Rotation : construction de l'image d'un point

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Exercices corrigés : agrandissement et réduction

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Exercices corrigés : agrandissement et réduction

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HOMOTHETIES

Réalisation : R.FournelImages : freepik, canva

Reconnaître une transformation niveau

Homothétie : trouver l'image niveau

Homothétie : le rapport - niveau

Homothétie : constructions - niveau

Homothétie : propriétés niveau

Homothétie : l'animation, c'est ici !

MARIE in homothétiville

Marie, le chat adore se balader mais elle s'est perdue ! Kévin te propose de la retrouver si en échange tu lui donnes les réponses au devoir maison de maths ...

Donner le rapport de l'homothétie de centre 0 qui permet d'obtenir la figure B à partir de la figure A :

Donner le nom de la figure qui a une aire 4 fois plus grande que la figure A :

1/5

VALIDER

Bien joué ! Clique pour continuer !

Aide : Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k².

Donner le rapport de l'homothétie de centre 0 qui permet d'obtenir la figure C à partir de la figure A :

Donner le nombre par lequel on doit multiplier l'aire de la figure A pour obtenir l'aire de la figure C

2/5

VALIDER

Bien joué ! Clique pour continuer !

Aide : Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k².

Donner le nom de la figure obtenue si on applique l'homothétie de centre 0 et de rapport 3/5 à la figure E

Donner le nombre par lequel on doit multiplier l'aire de la figure E pour obtenir l'aire de la figure C

3/5

VALIDER

Bien joué ! Clique pour continuer !

Aide : Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k². Par exemple si k = 4/7 alors k² = k x k = 16/28.

Donner le nom du point qui est le centre de cette homothétie

Sachant que EF = 3 cm, donner la longueur EP (préciser l'unité)

4/5

VALIDER

Bien joué ! Clique pour continuer !

Voici les images des points d'une figure par une homothétie de rapport 4 :

Aide : L'image du centre d'une homothétie est lui-même. Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k.

Sachant que l'angle CIL mesure 50°, donner la mesure de l'angle NDR (préciser l'unité).

Le triangle LAC a une aire de 1,5 cm², donner l'aire du triangleRON (préciser l'unité).

5/5

VALIDER

Bien joué ! Clique pour continuer !

Voici les images des points d'une figure par une homothétie de rapport 4 :

/

/

/

/

Aide : Dans une homothétie les mesures des angles sont conservées. Dans une homothétie de rapport k, les aires sont multipliées par k².

Bien joué !Grâce à toi Duchesse est rassurée !

Bien joué !Grâce à toi Duchesse est rassurée !

Concours de la plus grosse citrouille

C'est bientôt le grand jour du concours de la plus grosse citrouille de Hayangeville. Chaque année Lola la sorcière gagne le concours depuis 324 ans ! Arriveras-tu a mettre fin à cette malédiction ?Le secret de son engrai magique se cache dans son grimoire !

Pour ouvrir le grimoire la sorcière te met à l'épreuve !Tu devras relever 3 défis !

Défi 1 Coche les cases du tableau ci-dessous.Si les réponses sont correctes un message apparaît !

Bien joué ! Clique pour continuer !

Défi 2 Dans chaque cas coche le rapport de l' homothétie de centre O qui transforme M en M'.

9/2

X

5/11

0

8

0

4

2

Rapport figure 1

Rapport figure 3

Rapport figure 4

Rapport figure 2

C'est bien, mais il faut faire un sans faute !

Bien joué ! On continue !

Aide : OM' = rapport x OM Cas n°1 : 8 = rapport x 4 donc rapport = 8 : 4 = 2 Appliquer la même méthode pour trouver les autres rapports !

Aie ! Revoie la leçon !

Dans chaque cas donner le rapport de l'homothétie qui transforme le polygone ABCDEen A'B'C'D'E'.

VALIDER

Bien joué ! Grimoire ouvert !

Malheureusement la sorcière a jeté un sort à son grimoire : toute personne arrivant à l'ouvrirsera transformée en citrouille ...

Un agriculteur italien à Chiantirada Poggerino, en Toscane, aura bientôt sa place dans le World Guinness Record pour avoir produit une citrouille pesant 1.226 kg qui est désormais la plus grosse citrouille au monde.

par LEMENTEC

Aide les animaux de la forêt à faire des provisions pour l'hiver ! Pour cela tu devras relever 6 défis !

Bien joué ! On continue !

Défi 1 :

Bien joué ! On continue !

Quelle est la figure qui est l'image de la figure F2 par l'homothétie de centre O et de rapport 2 ?

Quelle est la figure qui est l'image de la figure F2 par l'homothétie de centre O et de rapport -0,5 ?

Aie ! Revoie la leçon !Répondre par F1, F2 etc ...

VALIDER

Défi 2 :

Bien joué ! On continue !

Quelle est la figure qui est l'image de la figure F2 par l'homothétie de centre O et de rapport -1 ?

Quelle est la figure qui est l'image de la figure F1 par l'homothétie de centre O et de rapport -0,5 ?

Aie ! Revoie la leçon !Répondre par F1, F2 etc ...

VALIDER

Défi 3 :

Bien joué ! On continue !

Quelle est l'image du point C par l'homothétie de centre A et de rapport 2 ?

Quelle est l'image du rectangle BCHG par l'homothétie de centre A et de rapport 2 ?

Aie ! Revoie la leçon !

VALIDER

Défi 4 :

Bien joué ! On continue !

Quelle est l'image du point G par l'homothétie de centre G et de rapport 3 ?

Quelle est l'image du rectangle GHML par l'homothétie de centre G et de rapport 3 ?

Aie ! Revoie la leçon !

VALIDER

Défi 5 :

Bien joué ! On continue !

Quelle est l'image du point I par l'homothétie de centre E et de rapport 2 ?

Quelle est l'image du rectangle HINM par l'homothétie de centre E et de rapport 2 ?

Aie ! Revoie la leçon !

VALIDER

Défi 6 :

Bien joué ! On continue !

Quelle est l'image de la figure B4 par l'homothétie de centre O et de rapport 1/3 ?

Quelle est l'image de la figure B5 par l'homothétie de centre O et de rapport -3 ?

Aie ! Revoie la leçon !

VALIDER

Grâce à toi les animaux ont réuni des provisions suffisantes pour passer l'hiver !

1/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une symétrie axiale. En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

2/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une symétrie centrale. En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

3/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une translation. En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

4/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une homothétie (symétrie centrale exclue).En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

6/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une translation . En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

6/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une translation . En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

7/8 Clique sur le numéro de la figure qui correspond à une homothétie (symétrie centrale exclue). En cas de réponse correcte un message apparaîtra.

1

2

3

Bien joué ! Clique pour continuer !

8/8 Recyclage : ranger les monstres des déchets dans le bac correspondant puis valider.

Bien joué ! Tu peux retourner au menu !

Symétrie axiale

Symétrie centrale

Translation

Eh non ! Consulte l'aide !

Homothétie(sauf sym centrale)

1/5

A

B

Placer les points A' et B' images respectives des points A et B par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

A'

B'

Eh non ! Consulte l'aide !

Bien joué ! On continue !

Aide : abscisse de A' = 2 x OA abscisse de B' = 2 x OB

2/5

A

B

Placer les points A' et B' images respectives des points A et B par l'homothétie de centre O et de rapport 0,5.

A'

B'

Eh non ! Consulte l'aide !

Bien joué ! On continue !

Aide : abscisse de A' = 0,5 x 0A abscisse de B' = 0,5 x OB

3/5

A

B

Placer les points A' et B' images respectives des points A et B par l'homothétie de centre O et de rapport -2.

A'

B'

Eh non ! Consulte l'aide !

Bien joué ! On continue !

Aide : abscisse de A'= -2 x OA abscisse de B'= -2 x OB

4/5

A

B

Placer les points A' et B' images respectives des points A et B par l'homothétie de centre O et de rapport -2/5.

A'

B'

Eh non ! Consulte l'aide !

Bien joué ! On continue !

Aide : abscisse de A'=-2/5 x OA abscisse de B'=-2/5 x OB

5/5

par Olivier Rigaud

Cliquer sur Commencer puis construire l'image de la figure par l'homothétie indiquée en déplaçant les points. Cliquer sur le papillon pour valider la réponse. Tu auras 3 constructions à réaliser.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Alors, voilà, depuis le temps qu'on te dit de ne pas marcher les yeux fixés sur ton téléphone...ce qui devait arriver, arriva......

Te voilà perdu dans les bois......

La nuit est tombée, il te faut vite trouver un refuge......

Oh mais.......on dirait qu'il y a quelque chose là bas.....

Crée par Valérie BARROVECCHIO

OUIIIIIII....c'est bien une petite cabane.....tu es sauvé pour cette nuit !!!

Dépêche toi d'y aller !

Parfait pour la nuit !

Ah ah.....tu y as cru !!!!mais la peur, le froid et la faim te font halluciner.....

Ah bah.....du coup, c'est moins bien...mais bon, ça ira quand même pour la nuit !

marteau=on

batmobile=on

avancement=0

bouclier=on

casque=on

avancement=0

Mais il fait vraiment trop sombre....et si tu allumais le briquet ?

Ah ah.....tu y as cru !!!!mais la peur, le froid et la faim te font halluciner.....

Eh.....regarde d'un peu plus près...tu ne trouves pas que certains objets sont bizarres ici ?

avancement=44

batmobile=on2

casque=on3

marteau=on1

bouclier=on0

BRAVO !Il ne reste plus qu'à sortir d'ici....

La figure ci-dessous est formée de triangles équilatéraux désignés chacun par un numéro.

bouclier=cache

avancement+1

1)Quel est le transformé du triangle n°40 par la translation qui transforme A en B ?

2)Quel est le transformé du triangle n°40 par la rotation de centre C qui fait passer du point D au point E ?

3)Quel est le transformé du triangle n°40 par la symétrie de centre D ?

4)Quel est le transformé du triangle n°40 par la symétrie axiale d'axe (CD) ?

VALIDER

//-----VARIABLES UTILISATEUR---- var solution = ["13", "43", "34","23"]; //entrez vos réponses attendues var ordre = 1; // 0 ou 1 - tapez 1 si l'ordre des réponses est important (on peut vouloir faire retrouver des mots mais les champs réponses sont équivalents ) var espace = 0 ; //0 ou 1 - tapez 1 si les réponses doivent être nettoyées des espaces de début et fin var casse = 1; // 0 ou 1 - tapez 1 si la casse (majuscules/minuscules) doit être respectée var correct=1; // 0 ou 1 - tapez 1 pour visualiser les erreurs (couleurs rouge / vert) var tentative=0; // 0 ou 1 - tapez 1 pour afficher le nombre des tentatives var maxtentative=0; // 0 pour illimité - tapez le nombre des tentatives maximales autorisées (tentative doit être à 1) var unefois=0; //0 ou 1 - tapez 1 pour empêcher de recommencer lors d'une session (le couise sera bloqué) (tentative doit être à 1) //------VARIABLES A NE PAS MODIFIER--- function getParent(name) { var pnode = document.getElementById(name).parentNode.parentNode.parentNode; while (pnode.getAttribute('id') == null) { pnode = pnode.parentNode; } pnode = pnode.parentNode.parentNode; return (pnode); } function getTexte(name) { var pnode = getParent(name); if (pnode.querySelector('font')!=null) { var lastDiv=pnode.querySelector('font'); } else if (pnode.querySelector('.genially-view-text').querySelector('div')!=null) { var lastDiv=pnode.querySelector('.genially-view-text').querySelector('div'); } else { var lastDiv=pnode.querySelector('.genially-view-text'); } return lastDiv; } var refparent=document.getElementById('INITcouise').parentNode.parentNode.parentNode.parentNode.parentNode.parentNode; var refpage=refparent.getAttribute('id'); var stop='niet'+refpage; if(sessionStorage.getItem(stop)!=null) {var niet = sessionStorage.getItem(stop);} else {var niet=0} var question; var reponse = []; var faux = 0; if (document.getElementById('boncouise')){var BON = getParent('boncouise');} if (document.getElementById('erreurcouise')){var PASBON = getParent('erreurcouise');} if (document.getElementById('masquecouise')){var MASQUE = getParent('masquecouise');} //--- DISPARITION FENETRE ---- setTimeout(function() { document.getElementsByClassName('icon-close')[0].click() }, 10); document.getElementById('genially-view-modal').style.visibility = "hidden"; //--- RECUPERATION DES REPONSES for (var i = 1; i

la ligne courbe représente la côte ;P est unphare ; C un clocher ; B une balise ; R un rocher ; V un voilier.

Thor voyage sur le voilier. Il lance son marteau M qui se déplace selon les transformations suivantes :

Place les points M1 , M2, M3 sur le quadrillage.

marteau=cache

avancement+1

M effectue une translation qui transforme R en P et parvient en M1 ;puis il se déplace de M1 à M2 par une rotation de centre C et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ;enfin, à partir de M2, il rejoint en ligne droite la position M3, image de M2 par la symétrie de centre B.

M

M1

M2

M3

la ligne courbe représente la côte ;P est unphare ; C un clocher ; B une balise ; R un rocher ; V un voilier.

Thor voyage sur le voilier. Il lance son marteau M qui se déplace selon les transformations suivantes :

Place les points M1 , M2, M3 sur le quadrillage.

marteau=cache

avancement+1

M effectue une translation qui transforme R en P et parvient en V1 ;puis il se déplace de M1 à M2 par une rotation de centre C et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ;enfin, à partir de M2, il rejoint en ligne droite la position M3, image de M2 par la symétrie de centre B.

M

M2

M1

M3

Sachant qu'un carreau du quadrillage représente 1 carré de 1 mille marinde côté, exprime, au dixième près, la longueur du trajet parcouru par lemarteau de Thor entre M et M3 (c'est-à-dire M M1+l'arc M1M2+M2M3). On donnera la réponse FINALEen km.

avancement+1

marteau=cache

VALIDER

MM1 =

M1M2 =

M2M3 =

MM3 =

1 mile marin = 1852 m

MM3 =

miles

km

M1

M3

M2

M

miles

miles

miles

//-----VARIABLES UTILISATEUR---- var solution = ["2,24|2,2", "7,85|7,9", "8,94|8,9","19,03|19","35,2"]; //entrez vos réponses attendues var ordre = 1; // 0 ou 1 - tapez 1 si l'ordre des réponses est important (on peut vouloir faire retrouver des mots mais les champs réponses sont équivalents ) var espace = 0 ; //0 ou 1 - tapez 1 si les réponses doivent être nettoyées des espaces de début et fin var casse = 1; // 0 ou 1 - tapez 1 si la casse (majuscules/minuscules) doit être respectée var correct=1; // 0 ou 1 - tapez 1 pour visualiser les erreurs (couleurs rouge / vert) var tentative=0; // 0 ou 1 - tapez 1 pour afficher le nombre des tentatives var maxtentative=0; // 0 pour illimité - tapez le nombre des tentatives maximales autorisées (tentative doit être à 1) var unefois=0; //0 ou 1 - tapez 1 pour empêcher de recommencer lors d'une session (le couise sera bloqué) (tentative doit être à 1) //------VARIABLES A NE PAS MODIFIER--- function getParent(name) { var pnode = document.getElementById(name).parentNode.parentNode.parentNode; while (pnode.getAttribute('id') == null) { pnode = pnode.parentNode; } pnode = pnode.parentNode.parentNode; return (pnode); } function getTexte(name) { var pnode = getParent(name); if (pnode.querySelector('font')!=null) { var lastDiv=pnode.querySelector('font'); } else if (pnode.querySelector('.genially-view-text').querySelector('div')!=null) { var lastDiv=pnode.querySelector('.genially-view-text').querySelector('div'); } else { var lastDiv=pnode.querySelector('.genially-view-text'); } return lastDiv; } var refparent=document.getElementById('INITcouise').parentNode.parentNode.parentNode.parentNode.parentNode.parentNode; var refpage=refparent.getAttribute('id'); var stop='niet'+refpage; if(sessionStorage.getItem(stop)!=null) {var niet = sessionStorage.getItem(stop);} else {var niet=0} var question; var reponse = []; var faux = 0; if (document.getElementById('boncouise')){var BON = getParent('boncouise');} if (document.getElementById('erreurcouise')){var PASBON = getParent('erreurcouise');} if (document.getElementById('masquecouise')){var MASQUE = getParent('masquecouise');} //--- DISPARITION FENETRE ---- setTimeout(function() { document.getElementsByClassName('icon-close')[0].click() }, 10); document.getElementById('genially-view-modal').style.visibility = "hidden"; //--- RECUPERATION DES REPONSES for (var i = 1; i

Le polygone ABCDEF est noté P. Dessine, sur cette figure:a) l'image P1 de P par la symétrie axiale de centre C.b) l'image P2 de P par la symétrie axiale par rapport à la droite (DE).c) l'image P3 de P par la translation qui transforme C en A.d) l'image P4 de P par la rotationde centre B d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre..

batmobile=cache

avancement+1

O

P4

P2

P3

P1

P3

batmobile=cache

avancement+1

P1

l'image de P par la symétrie centrale de centre C.

l'image de P par la symétrie axiale par rapport à la droite (DE).

l'image de P par la translation qui transforme C en A.

l'image de P par la rotationde centre B d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre..

Le polygone ABCDEF est noté P.

1°)Montre que les triangles EFG et FEH sont égaux.

JE SAIS QUE

PROPRIÉTÉ

CONCLUSION

avancement+1

casque=cache

l'Angle GEF = l'angle EFHl'Angle GEH = l'angle HFGl'Angle GEF = l'angle EHFl'Angle EGF = l'angle EHF

EG = HFGF = EHGH = EF

[EF] est un côté commun aux 2 trianglesGH = EFEG = EF

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre des côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.Si deux triangles ont un côté de même longueur et des angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont égauxSi deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.

Les triangles EGF et EHF sont égauxEHF = EGFL'égalité est bien vérifiée

2°) En déduire que EH=FG.

JE SAIS QUE

PROPRIÉTÉ

CONCLUSION

avancement+1

casque=cache

EH = FGLes triangles EGF et EHF sont égauxL'égalité est bien vérifiée

les triangles GEH et EHF sont égaux.EG = HFl'Angle GEF = l'angle EFH

Si deux triangles sont égaux alors ils ont leurs 3 côtés de même longueur.Si deux triangles sont égaux alors leurs angles sont, deux à deux, de même mesure.Si deux triangles sont égaux alors ils sont pareils.

X

X

X

O

M

E

E

T

I

S

R

Déjàproposé

Ah oui....un beau chateau serait parfait.....mais avant, une dernière énigme !

Recommence !

I

Comment s'appelle une transformation qui conserve les longueurs ?

Le jeu du pendu

Aie... c'est pas çaregarde dans ton cours !

BRAVO !mais ne recommence pas....pas de téléphone en marchant !

Il ne te reste plus qu'à remplir ce formulaire....

# data[].attributes.attachment_link.title
Copie - 3_EG_Transformations_CV2122Genially sans titre by vbarrovecchio on Genially

# data[].attributes.attachment_link.description
Alors, voilà, depuis le temps qu'on te dit de ne pas marcher les yeux fixés sur ton téléphone...ce qui devait arriver, arriva...... Te voilà perdu dans les bois...... La nuit est tombée, il te faut vite trouver un refuge...... Oh mais.......on dirait qu'il y a quelque chose là bas.....

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SymétrieS, translation et rotation

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Symétrie axiale

Symétrie centrale

Translation

Rotation

Il y a 8 enveloppes cachées dans cette salle, à toi de les trouver et de m'envoyer les messages !Bonne chance !Mme SOULIER

Merci à Florence Rebolini, Aurore Ch Ce, Cath Maurice, Marie Darif, Carine Daux, Jean-Yves Labouche et Mme Lacoste.

Pense à t'entraîner avec l'application "Transformations".

# data[].attributes.attachment_link.title
4ème - CV transformations avec rotation by SOULIER Hélène on Genially

# data[].attributes.attachment_link.description
Symétrie axiale Symétrie centrale Translation Rotation Il y a 8 enveloppes cachées dans cette salle, à toi de les trouver et de m'envoyer les messages !Bonne chance !Mme SOULIER Merci à Florence Rebolini, Aurore Ch Ce, Cath Maurice, Marie Darif, Carine Daux, Jean-Yves Labouche et Mme Lacoste. Pense à t'entraîner avec l'application "Transformations".

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Niveau : Troisième (ou tout au long du cycle 4 en sélectionnant les cas)

Chapitres : Transformations géométriques
Inédit, publié le 27/06/2020 On n'hésitera pas, si nécessaire, à créer et à nommer des objets : points, droites etc...

Dans la saga des jeux vidéos Zelda, la Triforce est un symbole immédiatement reconnaissable par tous les fans de la série : ces derniers sont nombreux, et de tout âge, depuis 1986. Dans cette saga, la Triforce est une relique qui symbolise les trois déesses d'or du royaume imaginaire d'Hyrule : la déesse de la Force (Din), la déesse de la Sagesse (Naryu) et la déesse du Courage (Farore).

Ce symbole est très simple à décrire : il est représenté par 3 triangles équilatéraux de mêmes dimensions qui forment un quatrième grand triangle (et séparés par un triangle " vide " ayant aussi la forme d'un triangle équilatéral retourné et de mêmes dimensions), comme on peut le voir sur l'image ci-dessus. C'est donc une figure avec de très nombreuses symétries. L'objectif de ce problème est justement de rebalayer toutes les possibilités de transformations géométriques vues au collège qui permettent de reconstruire le symbole à partir de l'un des trois triangles.

En Annexe 1, on a représenté le symbole de la Triforce. On considère que le triangle de départ est le triangle ABC, à partir duquel on va construire les deux autres triangles A 1B 1C 1 et A 2B 2C 2 pour compléter le symbole (on remarque que les points B et A 1, C et A 2, puis C 1 et B 2 se confondent).
Indice : on pourra se servir des axes trouvés à la question 1). D'autres moyens existent...
Tâche à effectuer :
Pour chaque question, vous devez, après avoir répondu à la question, retracer le symbole de la Triforce en partant du triangle ABC uniquement et en y appliquant la ou les transformations géométriques qui ont été indiquées dans la question. Vous pouvez utiliser la Feuille Réponse. Il ne sera pas nécessaire de justifier pourquoi les solutions proposées fonctionnent, mais il faudra par contre laisser impérativement, pour chaque dessin, les traits de construction - les différences entre chaque dessin devant être visibles.

1) Déterminer les caractéristiques (axes) des deux symétries axiales (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle ABC, de retrouver les deux autres triangles du symbole. On décrira comment trouver ces axes à partir des côtés du triangle ABC uniquement.
Annexe 1

Feuille réponse

2) a) Déterminer le centre de la symétrie centrale qui permet de retrouver, à partir du point A, le triangle " vide " CBB 2.
b) Déterminer ensuite les centres des deux symétries centrales (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle CBB 2, de retrouver les deux autres triangles du symbole.

3) Déterminer les caractéristiques (centre, angle, sens) de deux rotations (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle ABC, de retrouver les autres triangles du symbole.

4) Déterminer les caractéristiques des deux translations (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle ABC, de retrouver les autres triangles du symbole.

5) a) Déterminer les caractéristiques (centre, rapport) d'une homothétie qui permet, à partir du triangle ABC, de trouver les sommets du grand triangle AB 1C 2.
b) Sur quel point faut-il appliquer cette homothétie pour trouver le point B 2 ?

# data[].attributes.attachment_link.title
Problème 133 - Le symbole de la Triforce

# data[].attributes.attachment_link.description
Niveau : Troisième (ou tout au long du cycle 4 en sélectionnant les cas)Chapitres : Transformations géométriquesInédit, publié le 27/06/2020 Dans la saga des jeux vidéos Zelda, la Triforce est un symbole immédiatement reconnaissable par tous les fans de la série : ces derniers sont nombreux, et de tout âge, depuis 1986.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Niveau : Troisième

Chapitres : Transformations géométriques (Homothéties)

Première distribution (en Devoir Surveillé) le 19/12/2019
Dans le 7 ème tome des aventures d'Harry Potter, le jeune sorcier se met en quête de retrouver les Reliques de la Mort avant que son pire ennemi, Voldemort (il ne fallait pas prononcer son nom ?), ne les trouve. Les Reliques de la Mort sont représentées par un symbole (dessiné sur la Figure 1) composé de 3 éléments : un triangle équilatéral, qui symbolise la Cape d'Invisibilité, qui encadre un cercle évoquant la Pierre de Résurrection (on dit que c'est le cercle " inscrit " dans le triangle), et une hauteur du triangle représentant la baguette de Sureau.

Figure 1 - Le symbole des Reliques de la Mort

Le symbole est rencontré à de nombreux moments dans l'univers d'Harry Potter, notamment sur un collier porté par le père de Luna Lovegood, Xenophilius.

Un jour, Harry Potter souhaite examiner le collier de Xenophilius dans les détails. Pour cela, il lance le " Sortilège d'Engorgement " (Amplificatum) sur l'objet pour l'agrandir. La situation est représentée en Annexe. On imagine Harry Potter lançant le sort issu du bout de sa baguette magique (représenté par un point H) sur l'objet, qu'on représentera uniquement par le symbole des Reliques de la Mort. Le sort lancé par Harry est assimilé à une homothétie de centre H et de rapport 2,5.

1) Dessiner sur le schéma en Annexe le collier agrandi après le sortilège lancé par Harry Potter.

Les dimensions réelles de l'objet initial sont indiquées sur la figure de l' Annexe, qui n'est donc pas à l'échelle réelle. Dans les questions suivantes, on fera donc attention à calculer des longueurs et des aires réelles (inutile donc de mesurer sur la figure!).

2) Calculer la longueur du symbole de la Baguette de Sureau agrandie.

3) a) Calculer l'aire du disque initial (la Pierre de Résurrection) et du triangle initial (la Cape d'Invisibilité).

b) En déduire les aires de ces deux symboles agrandis.

4) Une fois terminée l'observation du collier agrandi, Harry Potter décide de le ramener à sa taille initiale en appliquant un " Sortilège de Ratatinage " (Reducio) qui permet de réduire un objet. Malheureusement, Harry Potter, toujours maladroit, se trompe et réduit le collier agrandi plus que prévu en appliquant une homothétie, toujours de centre H, mais de rapport 1/4.
Annexe (Figure qui n'est pas à l'échelle réelle)

a) Construire sur le même schéma en Annexe l'objet réduit.

b) Quel est le rapport de l'homothétie que Harry Potter aurait dû appliquer pour ramener l'objet à sa taille initiale ?

c) Quel est le rapport des longueurs entre celles de l'objet désormais trop réduit et celles de l'objet initial ? Et le rapport des aires ?

Formulaire
Aire d'un triangle : Base x Hauteur : 2
Aire d'un disque de rayon R: π x R 2

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Problème 079 - Harry Potter et le symbole des Reliques de la Mort

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Niveau : TroisièmeChapitres : Transformations géométriques (Homothéties)Première distribution (en Devoir Surveillé) le 19/12/2019 Dans le 7ème tome des aventures d'Harry Potter, le jeune sorcier se met en quête de retrouver les Reliques de la Mort avant que son pire ennemi, Voldemort (il ne fallait pas prononcer son nom ?), ne les trouve.

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Niveau : Troisième (utilisable tout le long du collège en sélectionnant les logos)

Chapitres : Transformations géométriques
Inédit, publié le 25/09/2019
Les " apps " (abbréviation de " applications ") des ordinateurs, tablettes et smartphones ont certainement révolutionné nos existences dans les dernières décennies. Les nouvelles générations d'adolescents vivent aujourd'hui au rythme des applications et de leurs fonctionnalités. Beaucoup d'entre elles sont aujourd'hui connues mondialement et se reconnaissent notamment grâce à leurs logos.
Question pour le plaisir : retrouver le nom des apps derrière ces logos... Logo 1

Logo 2

Logo 3

Logo 4

Logo 5

Logo 6

Logo 7

Logo 8

Logo 9

Logo 10

Logo 11

Objectif du problème :
Retrouver les transformations géométriques reconnaissables dans les logos des apps ci-dessous.

On précisera si possible les éléments caractéristiques de ces transformations : axes de symétrie axiale, centre de symétrie centrale, centre et angle de rotation, translation etc.... Dans le cas des homothéties, on retrouvera le centre de l'homothétie mais on ne cherchera pas le rapport de l'homothétie.

On se concentrera uniquement sur les formes, pas sur les couleurs.

Note : Pour le logo 11, analyser uniquement le motif au centre du logo.

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Niveau : Troisième (utilisable tout le long du collège en sélectionnant les logos)Chapitres : Transformations géométriquesInédit, publié le 25/09/2019 Les " apps " (abbréviation de " applications ") des ordinateurs, tablettes et smartphones ont certainement révolutionné nos existences dans les dernières décennies. Les nouvelles générations d'adolescents vivent aujourd'hui au rythme des applications et de leurs fonctionnalités.

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Choisir VRAI ou FAUX pour chacune des affirmations proposées.

Autre exercice pour s'entrainer: https://learningapps.org/14020913

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Chaque image représente une homothétie. Relie cette image avec le rapport de l'homothétie.

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Dans la construction ci-dessous, faire varier le rapport k de l'homothétie et observer comment la figure évolue.

Pour faire varier k, utiliser le curseur.

Les points A, B, C et O peuvent être déplacés.

Dans la construction ci-dessous, faire varier le rapport k de l'homothétie pour observer que la droite (AB) et son image (A'B') restent parallèles.

Pour faire varier k, utiliser le curseur.

Les points A, B et O peuvent être déplacés.

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Tout sur l'homothétie : explication, définition et méthodes de construction de l'image d'un point ou d'un polygone. Vidéos et animations interactives. Pour se préparer au DNB (brevet des collèges)

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Exercice de maths : Rotation dans un pavage carré

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clique sur le bon carré image par une rotation dans le pavage

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Exercice de maths : Trouver l'image d'un point par une translation

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Donne les coordonnées de l'image du losange ABCD par la translation donnée.

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À propos de ce chapitre

Ce chapitre porte sur un concept dont les graphistes des jeux vidéos se servent quotidiennement : les transformations ; plus précisément les translations, les rotations, les symétries axiales et les homothéties. Vous allez apprendre à appliquer ces transformations à une figure. Et aussi à retrouver la transformation dans laquelle telle figure est l'image de telle autre.

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Espace et géométrie - Les transformations | Cycle 4 | Khan Academy

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Ce chapitre porte sur un concept dont les graphistes des jeux vidéos se servent quotidiennement : les transformations ; plus précisément les translations, les rotations, les symétries axiales et les homothéties. Vous allez apprendre à appliquer ces transformations à une figure. Et aussi à retrouver la transformation dans laquelle telle figure est l'image de telle autre.

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Effets d'une symétrie axiale sur une figure

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ED - Résoudre des problèmes utilisant les transformations du plan

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TICE (geogebra) - Effet d'une symétrie centrale - position relative de droites

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TICE (geogebra) - Effets d'une symétrie centrale

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Rappels

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L es 17 types de pavage(1)

Voici les noms des 17 types utilisés en cristallographie,
CLIQUER chaque nom dans le tableau pour animer le type correspondant.

U n exemple : le type p6m

l existe cinq façons de paver le plan sans retourner les carreaux : -translation du motif ou Si l'on retourne les carreaux, on trouve douze façons supplémentaires de paver le plan. ème siècle tous les groupes distincts d'isométries du plan et de l'espaceFedorov et le mathmaticien allemand Pour reconnaître la famille d'un pavage on peut suivre l'algorithme suivant Voir . les L es 17 types : un algorithme de reconnaissance
I

Cela donne dix-sept pavages dits "périodiques" du plan. L es cristallographes ont déterminé et classifié au XIX ,
Schönflies ont indépendamment retrouvé les résultats de Bravais en les présentant dans un cadre groupal.

pages de Xavier Hubaut sur les groupes de pavage .
Il est arrivé avec son équipe associer pour 15 des 17 groupes un seul type de "pav" et pour les deux groupes restants deux types, soit au total 19 types de "pavs".
.les 19 types et l'algorithme de Dominique Ribault : http://www.polytess.info

Les noms proposés ici correspondent aux noms utilisés en cristallographie.

. l'algorithme donné par Pierre Jullien qui découvrit la méthode des enveloppes, il fut le premier directeur de l'IREM à Grenoble (1971-1976).
Evgraf Stepanovitch Fedorov a montré en 1891 (Université de Saint-Petersbourg),
qu'il n'existe que 17 types de pavage du plan (heptadécacité).
Ces types sont classés suivant l'agencement des rotations et des symétries qu'on peut y trouver.
Ils constituent ce que l'on appelle les groupes cristallographiques par analogie avec les groupes conservant les cristaux dans l'espace euclidien à 3 dimensions.

Nous regardons ici, les pavages du plan "périodiques" ou répétitifs,
c'est à dire invariants par un groupe discret de translations et, par conséquent, par un des 17 groupes cristallographiques.
Il existe toujours une isométrie qui amène un pavé sur un autre pavé quelconque, mais qui de plus conserve l'ensemble du pavage.
Ce pavage s'étend à l'infini ; il existe des translations dans des directions différentes. On peut caractériser, en partie, le pavage en décrivant son groupe.
Ce groupe contiendra toujours des translations dans plusieurs directions, mais aussi des rotations, des symétries axiales, des symétries glissées.
Les arabes ont développé de très beaux pavages géométriques.
En effet, ils ne devaient pas représenter Allah et ont puisé leur inspiration dans la géométrie.
Ils ont créé en Andalousie de merveilleux chefs d'uvre pour décorer palais et mosquées en utilisant toutes les dispositions possibles.
Ce sont de vrais précurseurs dans le domaine des pavages.
(parfois sous la forme de détermination des réseaux cristallins, sans expliciter l'aspect groupal).
Le premier d'entre eux est le Français Auguste Bravais (1811-1863) qui a publié les résultats, en 1847,
sous forme d'une classification des réseaux : les 230 réseaux de Beauvais à 3 dimensions.
Par la suite, vers 1890 l e cristallographe et mathématicien russe
-rotation du motif de 60°, 90°, 120° et 180° (symétrie centrale).

Le pavage est-il identique à son reflet dans le miroir ?

NON

Angle minimal de rotation ?

Nombre de directions
d'axe de symétrie ?

OUI

Y-a-t-il des rotations entre les mailles ?
Si oui de quel angle ?

0

0

Rectangulaire glissant

pg ou pg2

1

0

Glissage ? non

Rectangulaire monosymétrique

0

Glissage ? oui

Rhombique monosymétrique

180°

Rectangulaire glissant
symétrique

2

0

Rectangulaire bisymétrique

3

0

Hexagonal tri-symétrique

4

Carré totalement symétrique

6

Hexagonal totalement symétrique

Sur les mosaïques de l'Alhambra on trouve des exemples des 17 types vus précédemment.

L'Alhambra ! L'Alhambra ! Palais que les génies
Ont doré comme un rêve et rempli d'harmonies,
Victor Hugo
Forteresse aux créneaux festonnés et croulants
Où l'on entend la nuit de magiques syllabes
Quand la lune, à travers les mille arceaux arabes,
Sème les murs de trèfle blanc.

Le palais de l'Alhambra se dresse sur une colline à l'Est de Grenade.
Chef-d'uvre de l'art arabe il fut commencé au XIIme siècle puis
agrandi et embelli pendant près de quatre cents ans.

Télécharger un logiciel pour créer des pavages selon les types précédents ICI

Voir aussiRAOUL RABA (1) Les secrets des pavages editions Sciences & Images
A.DELEDICQ R.RABA Le MONDE DES PAVAGES ACL - éditions du Kangourou

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alhambra groupe pavage 17 type types groupes maths mathmatiques mathematiques construction gabarit motif  pavages escher  perruche flash translation rotation dplacement glissement transformation gomtrique puzzle gabarit angle quart  tour maurits cornelius escher fedorov raoul raba  raoul raba

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Th Eveilleau Philippe eveilleau philippe

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L es 17 types de pavage(1) Voici les noms des 17 types utilisés en cristallographie, CLIQUER chaque nom dans le tableau pour animer le type correspondant. U n exemple : le type p6m l existe cinq façons de paver le plan sans retourner les carreaux : -translation du motif ou Si l'on retourne les carreaux, on trouve douze façons supplémentaires de paver le plan.

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges

Pavages du plan

Ce sujet d'apparence ludique est en fait d'une grande importance tant en mathmatiques qu'en chimie et cristallographie o les structures gomtriques molculaires et minrales peuvent tre classifies grce aux proprits d'invariance des pavages plan par les isomtries usuelles de la gomtrie affine, lmentaires ou composes : translations, symtries, symtries glisses et rotations. On pourra se rfrer la page consacre aux isomtries du plan et de l'espace. Une tude prcise des pavages plans fait appel la thorie des groupes de transformations initie par F. Klein. Les pavages de surfaces 3D font intervenir de subtiles proprits de topologie, voire de gomtrie diffrentielle.

➔ Dans le cas du plan, nous restons ici un niveau relativement lmentaire. Pour une tude plus formelle de la notion de pavage, on pourra consulter, entre autres rfrences cites , le document in fine Pavages du plan par Yves Benoist sur le site de l'cole polytechnique ( ( rf. 9) et la preuve du thorme de Fedorov rf. 10).

La photo ci-dessous reprsente une portion de carrelage hexagonal d'une terrasse. Les carreaux (ou pavs ou tuiles ) de ce carrelage ont une forme mathmatique prcise : ce sont ici des hexagones rguliers identiques . En faisant abstraction des joints qui les assemblent, au sens mathmatique, l'ensemble de ces carreaux constituent une partition du sol de la terrasse : les pavs ne se recouvrent pas et leur runion recouvre totalement la terrasse. En restant dans le champ concret, le pavage du plan s'interprte galement en terme de motif de papier peint ou de nappe de table

Pavage urbain souvent rencontr

Le fait que les pavs soient identiques se traduit mathmatiquement par un qualificatif plus prcis : ils sont isomtriques . Chacun est l'image d'un autre par une isomtrie du plan qui peut donc tre :

une translation;

une rotation;

une symtrie centrale (en fait une rotation d'angle 180);

une symtrie axiale;

une symtrie glisse (compose d'une symtrie axiale et d'une translation);

et tout compos de ces isomtries.

Cette condition d'isomtrie ncessite de munir le plan d'une distance et d'une orientation : nous sommes ainsi plongs dans le monde des espaces euclidiens avec le concept de produit scalaire .

Produit scalaire et espaces euclidiens :"

Dfinition 1 :

On appelle pavage d'un espace euclidien E, toute partition de E en pavs isomtriques deux deux.

Dfinition 2 :

Lorsque E est de dimension n, un pavage est dit priodique s'il est globalement invariant par (au moins) n translations de vecteurs non colinaires.

! Cela sous-entend que le pavage n'est pas limit ! La comparaison un carrelage a donc des limites... Dans le plan, si on se limite un seul vecteur de translation, on obtiendrait concrtement une frise comme illustre ci-dessous :

Toujours, en termes concrets de carrelages (de ma maison de campagne des annes 1970...), voici un exemple de pavage priodique au moyen de pavs rectangulaires de longueur double de la largeur :

Mathmatiquement, vous constaterez que l'on passe du pav A au pav B par rotation de centre O, d'angle 90.

La runion de A et B peut s'interprter comme un pav que l'on retrouve par translations successives, rotations ou symtries glisses.

Le mme type de pavage du Real Alcazar de Sville fournie gracieusement par TripAdvisor

Thorme 1 :

Le pavage priodique du plan est possible par tout quadrilatre, convexe ou non

Pour vous en convaincre, en voici une preuve visuelle base sur le thorme de Varignon selon lequel le quadrilatre joignant les milieux des cts est un paralllogramme. Le pav initial est en jaune. On a schmatis les vecteurs de translation 2u et 2v permettant d'obtenir les pavs bleus. Les pavs roses sont obtenus par symtrie centrale par rapport aux milieux des cts. Le bloc de contour marqu en gras se reproduit au moyen des deux translations (directes ou opposes).

Thorme 2 :

Preuve : Le pavage priodique du plan au moyen de polygones convexes n'est possible que pour des polygones dont le nombre de cts n'excde pas 6 (triangles, quadrilatres, pentagones, hexagones)." rf. 6

Si un polygone rgulier de n cts est susceptible de paver le plan, notons p le nombre de polygones qui se ctoient en chaque sommet du pavage. On doit avoir 2π = p(π - 2π/n), ce qui se simplifie en np - 2p - 2n = 0. Ajoutons alors 4 dans les deux membres :

p(n - 2) - 2(n - 2) = 4, soit (n - 2)(p - 2) = 4

n et p tant entiers, on a gure le choix :

n = 3, alors p = 6 : pavage triangulaire (triangles quilatraux), 6 se ctoient en formant un hexagone rgulier.

n = 4, alors p = 4 : pavage carr .

n = 5 : pas possible.

n = 6, alors p = 3 : pavage hexagonal et c'est pour n la valeur maximale.

Thorme 3 (Pappus d'Alexandrie) :

Les seuls polygones rguliers convexes qui pavent le plan sont le triangle quilatral, le carr et l'hexagone rgulier.

"Pappus d'Alexandrie Polygones rguliers : "

Manip partir d'une tuile rectangulaire :

Thorme 4 :

Les possibilités de pavage du plan (carrelages), c'est dire du recouvrement (sans trous !) du plan par juxtapositions d'un même motif lmentaire, sont limitées à 17 catgories.

La preuve de ce rsultat a t donne la fin du 19 sicle par le minralogiste et mathmaticien russe Evgrav S. Fedorov (1853-1919) de l'universit de Saint-Ptersbourg. Cette limitation 17 exprime les diffrentes configurations de pavages (classes d'isomorphie) caractrises par les isomtries lmentaires ou composes, qui, appliques au motif rpt, conservent le pavage (invariance globale). Fedorov dnombra galement 230 types de pavages de l'espace euclidien 3 dimensions.

! Il n'est pas dit qu'il n'existe que 17 pavages du plan : on ne peut pas paver n'importe comment avec n'importe quoi, mais les choix rationnels restent illimits ! On pourra consulter l'tude de ce beau thorme

Les 17 types bnficient de noms tout aussi savants que les polydres de l'espace : rhombique monosymétrique, hexagonal trisymétrique, ... Ces appellations s'identifient aux sous-groupes d'isomtries ( ( groupe de symtrie) qui les caractrisent. Leur intervention en minralogie dans le classement des " rf. 12) cristaux conduit parler des 17 groupes cristallographiques. Les voici illustrs ci-dessous grce au beau logiciel de Marcel Morales .

Les motifs choisis sont volontairement simples car s'il est complexe la reconnaissance des translations, rotations et symtries s'avrent trs difficile et l'exemple manquerait cruellement de pdagogie !

Le codage des types est celui des cristallographes suivi de celui de (( Conway" rf. 6) et du Kangourou " rf. 4). Les appellations sont celles du Kangourou (Andr Deledicq et Raoul Raba) :

I - type p1 ( o,R0) - paralllogrammique asymtrique

II - type p2 (2222,R2) - paralllogrammique symtrique

III - type p3 (333,R3) - hexagonal 3-rotatif " explication en images

IV - type p4 (442,R4) - carr 4-rotatif

type V - type p6 (632,R6) - hexagonal 6-rotatif

VI - type pg (xx,M0g) - rectangulaire glissant

VII - type cm (x*,M1g) - rhombique monosymtrique

VIII - type pm (**,M1) - rectangulaire monosymtrique

IX - type pgg (22x,M0R2) - rectangulaire biglissant

X - type pmm (*2222,M2) - rectangulaire bisymtrique

XI - type cmm (2*22,M2R2) - rhombique bisymtrique

XII - type pmg (22*,M1R2) - rectangulaire glissant symtrique

XIII - type p3m1 (*333,M3) - hexagonal trisymtrique

XIV - type p4g (4*2,M2R4) - carr 4-rotatif glissant

XV - type p31m (3*3,M3R3) - hexagonal 3-rotatif symtrique

XVI - type p4m (*442,M4) - carr totalement symtrique

XVII - type p6m (*632,M6) - hexagonal totalement symtrique

XVII - type p6m (*632,M6) - autre cas hexagonal totalement symtrique

Voici un pavage obtenu avec le logiciel ( kali "rf. 13) :

Cet autre exemple semble assez tourment et peu esthtique... :

Il suffit de le colorier pour le trouver plus attrayant... On pourra reconnatre ici le groupe hexagonal 3-rotatif p3 (333,R3) :

Nombreux sont les motifs qui taient dj connus des ( gyptiens de l'antiquit dans l'art dcoratif. Les architectes arabes les ont magnifis ds le 12 sicle dans le clbre palais de l'Alhambra de Grenade o 13 d'entre eux sont prsents selon Pascal Chossat "rf.9) .

Espagne : palais de Grenade (Alhambra), dcoration murale (dtails). Source photos : http://www.fotosalhambra.es/blog/pagina/4/

Pavage en hexagones allongs

Mosaque byzantine (muse d'Istanbul)

U n pavage "autobloquant" trs utilis en milieu urbain

Penrose et les pavages quasi-priodiques du plan : " "Coxeter et groupe didral

1. Quel type ?.. Rp. : ∗ ∗ ∗ ici

2. Quel type ?.. Rp. : ∗ ∗ ∗ ici

∗ ∗ ∗ 3. Quel type ?.. Rp. : ici

4. Quel type ?.. Rp. : ∗ ∗ ∗ ici

➔ Pour en savoir plus :

Le monde des pavages par André Deledicq et Raoul Raba, une référence bien connue des professeurs, car elle fit partie des cadeaux du célébrissime concours Kangourou, incluant l'étude des frises, liée aux translations, rotations, symétries, symtries glisses (niveau collège, lyce) :64 pages superbement illustrées et argumentées. d. ACL - Éditions du Kangourou.

Sur le site du Kangourou , paver avec des carreaux de 4, 5 ou 6 cts : http://www.kangmath.org/pdf/paver.pdf

Pavages plans et notation de Conway : pages interactives construites avec Geogebra conduisant comprendre la notation de Conway en tudiant les translations, symtries et rotations et s'appuyant sur les figures du livre Le monde des pavages (rf.4).

Groupes et gomtries , par Brigitte Snchal - d. Hermann, Paris - 1979

Pour une tude plus formelle de la notion de pavage, on pourra consulter le document Pavages du plan par Yves Benoist sur le site de l'cole polytechnique http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups01.01.pdf

Preuve du thorme de Fedorov in Mathmatiques gnrales pour l'agrgation, Ch. XXXII
par Patrice Tauvel (univ. Poitiers), d Masson, Paris - 1992. On y trouvera galement la classification des frises.

LES SYMTRIES BRISES , par Pascal Chossat, collection Sciences d'avenir - Pour la Science, diffusion Belin - Paris, 1996.
Page personnelle de Pascal Chossat, directeur de recherche au CNRS, univ. Nice : http://math1.unice.fr/~chossat/

Pour faire vous-mme de trs beaux pavages, le logiciel de Marcel Morales (IUFM Lyon/Institut Fourier Grenoble) :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~morales/logiciel-pavage-Marcel-Morales.html

Logiciel de pavages (et frises) sur le site scienceU.com (avec notations de Conway) : http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/
(vous devrez sans doute autoriser Java dans l'onglet de scurit de son panneau de configuration).

Wallpaper Groups (notations de Conway, espace quotient) par Silvio Levy (univ. Minnesota) :
http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node12.html

Pour contempler de magnifiques pavages plan, tapez Mosaques arabes dans Google Images :
https://www.google.fr/search?q=mosaque+arabe

Pavages et cristallographie, une page de Samuel Petite, univ. de Picardie :
http://www.cmm.uchile.cl/~mschraudner/DySyCo/Slides/PetiteLecture1.pdf

M. C. Escher et pavages du plan, une tude de Xavier Hubaut (professeur mrite, ULB) :
http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm

Rponses : 1. p4m (M4) - carr totalement symtrique | 2. type p4g (M2R4) - carr 4-rotatif glissant
3. type p3m1 (M2) - hexagonal trisymtrique | 4. type p2 (R2) - paralllogrammique symtrique

© Serge Mehl - www.chronomath.com

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges Pavages du plan Ce sujet d'apparence ludique est en fait d'une grande importance tant en mathmatiques qu'en chimie et cristallographie o les structures gomtriques molculaires et minrales peuvent tre classifies grce aux proprits d'invariance des pavages plan par les isomtries usuelles de la gomtrie affine, lmentaires ou composes : translations, symtries, symtries glisses et rotations.

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Préparation au voyage

" Visite au pays des pavages " ma foi pourquoi pas ?
Au fait pouvons-nous avoir quelques détails sur le trajet ?

Bien sûr ! Pour partir il faut un billet aller : il ressemble à un carreau de salle de bain... Lorsqu'on le pose comme un carrelage, on obtient un pavage : ce sont ces images que nous allons observer, pour le plaisir des yeux puis pour comprendre leur structure. Fais apparaître les règles en cliquant dans le cadre ci-dessous : à chaque fois que tu cliques, une nouvelle règle s'affiche. Il y en a quatre.

L'image que j'obtiens de cette façon c'est finalement ce que les mathématiciens appellent aussi pavage (périodique).
Mon billet aller : la maille
Ce voyage n'a pas l'air très compliqué. À quoi ressemble mon billet ? Les mathématiciens lui donnent de nombreux noms que tu connais bien :

pas très original tout ça...

Nous appellerons une maille, tout ce qui permet de fabriquer un pavage.
Un billet désignera pour nous une maille de forme bien particulière.
La forme du billet :
Il s'agit du contour du billet. Nous allons le choisir le plus simple possible, comme celui d'un carré ou d'un rectangle. Mais si j'appuie sur le haut d'un rectangle, sa forme est changée et certains de ses angles s'aplatissent : le rectangle se transforme en parallélogramme et continue de fabriquer un pavage.

Regarde bien, si tu aplatis le billet, tu peux encore partir : bien sûr ton image va changer un peu. C'est presque comme si tu regardais ton carrelage le nez par terre.

Remarquons aussi qu'une maille avec quatre côtés a toujours la forme d'un parallélogramme. En effet, puisque je dois les poser bord à bord, c'est que les bords opposés sont parallèles : et un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est bien un parallélogramme.
Nous venons de prouver une propriété que les mathématiciens énonceraient à peu près comme cela :
Théorème : Les seuls quadrilatères pavant le plan sans tourner sont les parallélogrammes.
Finalement, nous pouvons maintenant définir notre billet ainsi :
Définition : Un billet est une maille dont la forme est un parallélogramme.
Parfois, une maille de forme plus étrange permet aussi de fabriquer le pavage, comme nous en avons l'impression sur l'image de l'article : en fait je vais t'expliquer pourquoi on pourra toujours l'échanger pour un billet en forme de parallélogramme, sans changer de pavage... mais pour l'instant, continuons nos préparatifs. Tu comprendras quand nous serons arrivés.
Achète ton billet : trois points pour un parallélogramme
Au fait, pour fabriquer un parallélogramme, tu as une idée ? Bien sûr, il y a quatre sommets à placer, mais pas n'importe comment : avec trois points placés au hasard (pas alignés), je pourrai toujours fabriquer un parallélogramme dont les trois premiers sommets sont ces points là. Dans l'animation suivante, tu peux t'entraîner à trouver la place du quatrième sommet :
Le motif du billet :
C'est le dessin sur le billet. De lui vient la richesse artistique de nos pavages. Seul le contour du dessin est important : une fois dessiné, je pourrai choisir les couleurs comme je veux et du coup, je ne tiendrai pas compte des couleurs. Dans le dessin suivant, je considérerai que toutes les mailles sont les mêmes : seule leur couleur a changé.

A ne pas manquer !
Pour profiter du voyage, voilà quelques éléments qu'il faudra bien observer dans l'image : en plus de la maille, de sa forme et du pavage, je verrai la grille constituée des formes collées bord à bord, et le réseau. Le réseau, ce sont les nœuds de la grille, comme pour un grillage.
Remarque le dessin autour d'un nœud : c'est toujours le même, on en aura besoin plus tard.

Visite au pays périodique.

Maintenant que tout est prêt nous pouvons y aller. Voici un petit aperçu de nos pavages : ils sont beaux n'est-ce pas ?

Cette photo représente une sebka du patio des Myrtes de l'Alhambra. Ce monument mythique des pavages et chef d'oeuvre de l'art islamique en Espagne a été édifié dans le courant du XIVe siècle par les rois nasrides à Grenade. Ce qu'on voit c'est régulier, mais compliqué : ce qui est compliqué c'est le motif du billet. Il y en a du travail ici pour reproduire toujours de façon identique le motif sur mon billet. L'art musulman était expert en la matière !

" Devil's pospile national monument " : un nom diabolique comme les Américains aiment à qualifier de nombreux sites naturels locaux. Ce sont des colonnes de basalte poussées dans la Sierra californienne il y a 600 000 ans. On en voit le sommet lissé par l'érosion. Ce pavage naturel est très vieux, et un peu moins régulier que le précédent.

La photo ci-dessus montre une table marquetée à la manière de Jean-François Oeben, ébéniste du roi sous Louis XV. Son talent pour les meubles à mécanisme et les marqueteries des plus fines peut se contempler encore au château de Versailles. Ce pavage de son invention nous laisse une nouvelle impression : c'est plat, pourtant je vois des cubes de Oeben... De plus en plus surprenant.

Ces pégases sont parmi les plus belles réalisations artistiques de pavages périodiques. Ils ont été dessinés par Maurits Cornelis Escher, artiste du milieu du XXe siècle. Très sensible à l'art islamique géométrique et aux mathématiques, il a beaucoup travaillé sur le thème des pavages. C'est curieux les chevaux ont l'air de se déplacer, tous dans le même sens, les blancs comme les rouges (eh oui, il y a des rouges).

Les lézards ci-dessus sont aussi une réalisation de M.C. Escher. Cela se complique, il y a des lézards partout... Je n'y vois plus rien que des lézards, beige, ocres, noirs, plus un seul espace vide entre tous ces lézards qui me donnent le tournis. Cette fois-ci je suis vraiment perdue.

Je voudrais bien rentrer : mais je ne trouve pas mon billet ! Comment faire pour le retrouver ?

Le retour... Pas si facile !

Retournons chez les pégases, ils semblent plus organisés. Voyons voir, un billet, quand je le reproduis et que je pose les autres côte à côte, je fabrique mon pavage :

Alors c'est d'accord, ma maille c'est un cheval ! Seul le dessin du motif est important, la couleur ne compte pas : essaye dans l'animation suivante de faire du carrelage avec les pégases. Il te suffit de déplacer l'un de ceux de la pile de gauche pour le poser à droite de la fenêtre. Ensuite tu peux glisser les suivants à côté pour remplir la fenêtre.

Oui, mais c'est une maille très tordue, et la forme de mon billet doit être parallélogramme, c'est un souci : comment retrouver un parallélogramme dans cette image ?

Le réseau : point de départ.
Commençons par ce qui est plus facile : trouver le réseau. Rappelle toi, autour d'un nœud du réseau, le dessin est toujours le même. Pour dessiner ce réseau, j'ai donc besoin de connaître les endroits où les motifs se répètent. Voilà comment nous pouvons procéder :

Je commence par marquer mon point de départ, pour ne pas me perdre. Ensuite je prends une copie de mon pavage avec mon point marqué puis je déplace ma copie : lorsque les dessins se superposent, j'indique sur l'original où se trouve le point de départ de la copie, et je continue.
À toi de jouer :

Ce que j'obtiens est un ensemble de points régulièrement espacés dans plusieurs directions. Ces espacements, ces directions ne changent pas lorsque je change mon point de départ : tu peux également le vérifier dans la fenêtre interactive ci-dessus après avoir trouvé le réseau.
Une maille ? Des mailles !
Maintenant que j'ai trouvé le réseau, je n'ai plus qu'à relier quatre points du réseau pour former une maille en forme de parallélogramme... sauf que : laquelle ? C'est que le choix ne manque pas ! Peux-tu en dessiner quelques-unes ? Rappelle-toi, trois points déterminent un parallélogramme. Tu peux remarquer que le quatrième point de la maille est toujours un point du réseau : c'est parce que l'espacement entre deux points est toujours le même dans une direction donnée.
Billet s'il vous plaît !
Maintenant que nous avons bien travaillé, il n'y a plus qu'à découper un billet retour : c'est un parallélogramme, comme au début, sauf que ton pavage a changé.
Découpe ton billet dans cette image que tu connais bien à présent ! Tu pourras contrôler qu'il fabrique le bon pavage, dans la fenêtre de droite.

Impressions de voyage.

Qu'avons nous appris au cours de ce voyage finalement ? Nous avons vu de belles choses, c'est sûr. Mais nous avons aussi compris que dans ces images qui contiennent des motifs répétitifs réguliers, nous pouvions toujours trouver un carreau de carrelage permettant de reconstituer l'image : il s'agit d'un parallélogramme que nous avons appelé " billet ".

Voilà un joli théorème ! On aime parfois lui donner le nom de " théorème du papier peint ". Il a été démontré il y a une centaine d'années. Voici comment des mathématiciens pourraient le formuler :
Théorème du papier peint : Tout motif recouvrant le plan obtenu à partir d'une maille de forme quelconque peut aussi être réalisé à l'aide d'une maille en forme de parallélogramme.
Pour le démontrer, nous avons déterminé d'abord un point de départ, puis les points du réseau, autour desquels l'image est semblable à l'image autour du point de départ. Ensuite nous avons choisi trois points du réseau qui n'étaient pas alignés : le parallélogramme formé à partir de ces trois points nous a fourni un billet convenable. Finalement, il y avait beaucoup de choix ! À présent, tu pourras t'entraîner sur les images que nous avons rencontrées à reconnaître l'un de ces carreaux.
Pour s'amuser un peu.
Si tu as bien compris, la maille en forme de cheval, c'était un carré déguisé. Fais rentrer ton cheval tout entier dans un carré : il suffit de déplacer les morceaux.
Pas toujours carré !
Comme on l'a vu, on peut toujours choisir un billet en forme de parallélogramme. En revanche, il n'est pas toujours possible de le choisir carré, comme c'est le cas pour les pégases : tu peux tester sur les cubes ci-dessous.
Côté artiste : inventons des pavages...
A présent, tu peux faire des dessins comme M.C. Escher a conçu ses pégases : dessine sur un carré ou un rectangle une ligne tordue joignant 2 côtés opposés, puis découpe et recolle de l'autre côté. De cette manière, tu fais " disparaître " les côtés recollés. Répète la même opération avec les côtés restants : le carré à disparu ! Si tu n'es pas content de ton œuvre, tu peux continuer à re-découper des morceaux (attention à ne pas en perdre !), tu peux aussi recommencer (pour faire aussi bien qu'Escher, il faudra beaucoup d'essais..)
Dans l'imaginaire du mathématicien.
Mais à quoi pensent les mathématiciens qui contemplent ces paysages ? Eh bien, ils observent, ils rêvent, ils se posent plein de questions et tentent d'y répondre. Mais si certains problèmes sont faciles à résoudre, d'autres deviennent vite très ardus, et certains même n'ont pas encore trouvé de solutions ! En voilà quelques exemples :

Peut-on paver avec n'importe quoi ? Evidemment non..on ne peut pas coller des mailles circulaires bord à bord ! Alors avec quelles formes ? Là c'est trop compliqué... Simplifions un peu, organisons-nous, changeons les règles :

Peut-on paver avec des polygones ? Nous avons vu que les seuls quadrilatères pavants sont les parallélogrammes. Si nous changions les règles ? Nous allons permettre aux mailles de tourner. Alors tous les quadrilatères peuvent faire du carrelage
.
Mais les pentagones ? et bien la réponse est... des fois oui, souvent non. Mais lesquels exactement : eh bien, on ne sait pas !

Si je peux recouvrir le plan avec une maille de forme donnée, y a-t-il toujours un réseau caché ? La réponse est : pas toujours. Parmi ces exemples exotiques, on trouve d'ailleurs un prix Nobel ... de chimie !

On pourrait continuer très, très longtemps tant les questions sont nombreuses... mais c'est tant mieux ! car c'est la difficulté des réponses qui nous permet de découvrir de nouvelles pistes et d'aborder des paysages encore inconnus.

Alors, pour finir, à toi de jouer les mathématiciens : trouve des questions, cherche des réponses !

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Préparation au voyage " Visite au pays des pavages " ma foi pourquoi pas ? Au fait pouvons-nous avoir quelques détails sur le trajet ? Bien sûr ! Pour partir il faut un billet aller : il ressemble à un carreau de salle de bain...

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Chaque image représente une homothétie. Relie cette image avec le rapport de l'homothétie.

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Associe chacune des paires de figures à la transformation qu'elles ont subie. Attention, chaque paire n'ira que dans une catégorie

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Fiche de cours : agrandissement et réduction

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Fiche de cours : agrandissement et réduction

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Carte mentale sur les transformations du plan

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Carte mentale sur les transformations du plan

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Tout ce que je dois savoir et savoir faire avant l'évaluation.

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Objectifs 2018 - 10 - Transformations du plan

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comment determiner l'image d'un triangle par une homothetie