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Académie de Dijon

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Résoudre des problèmes à l'aide des réglettes Cuisenaire

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Cette instance Peertube est mise à disposition par le Ministère de l'Éducation Nationale, de la Jeunesse et des Sports.

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"Manipulations incarnées" avec les réglettes (Le Dantec)

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"Manipulations incarnées" avec les réglettes (Le Dantec)

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Manipulations incarnées avec des réglettes

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Manipulations incarnées avec des réglettes On a tous entendu parler des réglettes Cuisenaire et pour cause : elles permettent aux élèves de comprendre des concepts abstraits pas toujours faciles à illustrer. Dans cet article, Olivier Le Dantec nous présente ce formidable outil pouvant être utilisé tout au long des cycles 2 et 3, voire même...

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The tasks in this feature use Cuisenaire rods to help learners visualise and explore the links to be made between proportionality, equivalence, comparison, difference and pattern. If you do not have physical rods, then our Cuisenaire environment will be a useful supplement.

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The tasks in this feature use Cuisenaire rods to help learners visualise and explore the links to be made between proportionality, equivalence, comparison, difference and pattern.

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Ateliers sur l’emploi des réglettes cuisenaire

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Ateliers sur l’emploi des réglettes cuisenaire

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Séquences par des référents maths de Lyon

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Séquences par des référents maths de Lyon

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3 éléments-clés pour la construction du nombre - différents moyens d'appréhension - un processus d'apprentissage axé sur la découverte et la vérification - une priorité : donner du sens au nombre

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Brissiaud : Les Noums CP. Manuels et logiciel.

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Brissiaud : Les Noums CP. Manuels et logiciel.

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Les Noums CP - Fichier de l'élève en 2 volumes + application - Ouvrage papier | Éditions Retz

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La nouvelle méthode de maths... motivante et efficace !

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Document Eduscol 2016

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cuisenaire rods the way of zen 170 a half add a third

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Les barres Cuisenaire en classe : 15 vidéos

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Les barres Cuisenaire en classe : 15 vidéos

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We are indebted to Caroline Ainsworth whose video record of her students at primary school actively exploring some mathematical concepts, allows us to share the joy and excitement of children working as mathematicians.

Caroline has achieved an impressive level of understanding for her students and has willingly shared the accrued know-how of some 8 years of self development in the use of the Cuisenaire material, with guidance from Madeleine Goutard and Dr Caleb Gattegno.

Caroline Ainsworth has been interviewed by Pete Griffin from NCETM on her research and work with the Cuisenaire Rods and in particular the work of Madeline Goutard.

Caroline recently won The Award for Teacher of the Year in a Primary School in the Pearson Teaching Awards 2015.
These videos are hosted locally and will require a short time to download before playing.

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Cuisenaire Rods in the Classroom - Cuisenaire Rods in the Classroom

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We are indebted to Caroline Ainsworth whose video record of her students at primary school actively exploring some mathematical concepts, allows us to share the joy and excitement of children working as mathematicians.

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Replay - Webinaire Les Noums CP : enseigner les maths autrement

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Les Noums CP - Les Noums et les nombres en couleurs

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Odd and even numbers with Cuisenaire rods

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Webinaire sur les réglettes Cuisenaire au cycle 2

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Webinaire sur les réglettes Cuisenaire au cycle 2

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Webinaire sur la présentation de la méthode Cuisenaire au cycle 2

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Réglettes Cuisenaire 3-12 ans expliquées aux parents

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Réglettes Cuisenaire 3-12 ans expliquées aux parents

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Les réglettes Cuisenaire expliquées aux parents, livre

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Les réglettes Cuisenaire expliquées aux parents - Comment enseigner autrement et mieux le calcul a ses enfants de 3 à 12 ans - Livraison sous 48h

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Didacto, c'est environ 2700 jeux intelligents de 0 à 120 ans. Didacto sélectionne depuis plus de 20 ans des jeux éducatifs de qualité chez plus de 100 éditeurs, parce que pour nous, " Jouer " et " Apprendre " peuvent être les deux facettes d'une même action.

C'est parce que nous sélectionnons les meilleurs jeux pour les écoles, les crèches, mais aussi des jeux pour les ludothèques, les centres de loisirs, etc., que Didacto peut proposer à tous un très large catalogue de jeux pour s'amuser, apprendre, comprendre, et grandir ! Notre promesse : trouver pour vous les jeux les plus pertinents pour la classe comme pour la maison : des jeux de logique avec Smart Games, les puzzles colorés de Djeco, les réglettes cuisenaire pour apprendre à compter autrement, les Attrimaths pour s'initier à la géométrie et aux fractions, des jeux Bioviva, fabriqués en France et traitant d'écologie et du développement de l'enfant, les indémodables de chez Haba, plus de 200 jeux en bois, des jeux de construction pour développer la motricité et l'imagination, des loisirs créatifs pour éveiller le talent des enfants, etc. Vous n'avez pas fini d'être surpris !

Qu'il s'agisse de cadeaux d'anniversaires originaux, de jeux pour les seniors ou pour un enfant dyslexique ou dyspraxique, des grands jeux de société classiques pour les dimanches en famille, de jeux coopératifs, de jeux pour le voyage, de jeux pour revoir ses tables de multiplication ou progresser en conjugaison, toute l'équipe de Didacto est sur le pont pour dénicher plus de 300 nouveaux jeux par an !

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fichier réglettes jeux et activités 7 - 8 ans

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Fichier Réglettes jeux et activités 7 - 8 ans

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Didacto, c'est environ 2700 jeux intelligents de 0 à 120 ans. Didacto sélectionne depuis plus de 20 ans des jeux éducatifs de qualité chez plus de 100 éditeurs, parce que pour nous, " Jouer " et " Apprendre " peuvent être les deux facettes d'une même action.

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Par le petit fils de Cuisenaire, avec des barres auxquelles il a ajouté des trous sur une face.

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Du calcul et des maths, Yvves Cuisenaire

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Paru le 29 mai 2019 chez Cuisenaire Yvves - eBook - Comparez les prix en ligne et téléchargez ce livre . ISBN 9782960241105 / 978-2-9602411-0-5.

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Donne 1 pour valeur à n'importe quelle barre

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Donne 1 pour valeur à n'importe quelle barre

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cuisenaire rods the way of zen 100 call "one" anything

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Unboxing a Seton Pollock Colour-Factor Set

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L'ús de les regletes permet descobrir i elaborar conceptes matemàtics a través de l'experimentació (colors, mides, ordre, nombres), adquirir formes d'expressió i representació adequades, efectuar seriacions i classificacions, desenvolupar la competència numèrica, descobrir i aplicar els principis bàsics a l'comptar, reconèixer els nombres fins al 9, iniciar-se en el càlcul i el simbolisme numèric, descompondre nombres, comprendre la unitat i la desena, conèixer la sèrie numèrica fins al 100, conèixer la suma, resta, multiplicació i fins a la divisió, descobrir relacions d'equivalència i inclusió i propietats de la suma, establir relacions de semblança i diferència, equivalència, conèixer i emprar quantificadors (llarg, menys, més, igual, curt, el mateix ...)

Aquesta caixa de regletes es basa en el desenvolupament de Maria Antònia Canals

Caixa de fusta amb 310 regletes, amb una base de 1x1cm, pintades amb pintures no tòxiques. Les regletes són prismes de fusta, d'un cm quadrat de secció i diferents longituds, que van des de 1 cm fins a 10 cm, cadascuna amb un color diferent.

inclou:

310 peces de regletes de fusta de diferents colors

CD amb documentació amb la filosofia i l'aprenentatge de Maria Antònia Canals

En caixa de fusta massissa

Aquest set de regletes és l'original amb la codificació de colors segons Maria Antònia Canals.

"Els mestres han de ser feliços fent matemàtiques, d'aquesta manera els alumnes també ho seran" (Mª Antònia Canals) "

Interessant article de M.A. Canals Marta Mata aquí.

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Regletes numèriques Maria Antònia Canals - enviament Gratuït - kinuma.com

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Comprar reglets numèrics de fusta segons Maria Antònia Canals de diferents longituds d'Ardidac ref. 8950 online a la botiga de recursos educatius kinuma.com. Les regletes permeten descobrir i elaborar conceptes matemàtics a través de l'experimentació, reconèixer els números de l'1 a l'10, descompondre nombres, comprendre la unitat i les desenes.

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Modéliser pour aider à résoudre des problèmes au cycle 2

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Modéliser pour aider à résoudre des problèmes au cycle 2

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"Les guides fondamentaux pour l'enseignement" (Éducation Nationale). P. 77 à 114.

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Il en existe aussi pour les niveaux supérieurs.

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Structural Arithmetic PK&K: Teacher Guide (Experimenting with Numbers)

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This teacher's guide illustrates and describes games that teachers can play with children to help them learn number concepts, problem solving and simple addition to 10.

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Réglettes Cuisenaire trouées sur une face

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Réglettes Cuisenaire trouées sur une face

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Par un petit fils de George Cuisenaire

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Un matériel de manipulation et d'apprentissage pour faciliter la perception, la construction et la mémorisation des nombres.

Ce matériel, mis au point par Gai Savoir, est l'aboutissement de 60 ans de pratique dans les écoles, de la méthode de Georges Cuisenaire.

Ces réglettes possèdent les mêmes caractéristiques que les réglettes Cuisenaire (formats et coloris) mais une des faces comporte des alvéoles permettant ainsi de visualiser d'emblée leur valeur numérique de 1 à 10.

La mise en action simultanée des trois types de mémoire (visuelle - auditive - tactile) active les différentes facultés, accélère le processus d'apprentissage et compense l'une ou l'autre déficience éventuelle de perception.

La boîte de 86 réglettes des nombres ®

La boîte comprend :

- 86 réglettes alvéolées, soit les réglettes de chaque couleur en quantité nécessaire pour compter jusqu'à 30 (ou s'en approcher le plus possible),

- un plateau en acryl (10 x10 cm) servant de "table de travail" lors de la manipulation des réglettes,

- livré avec une notice pédagogique.

Réf: 146801 - 16,95€
A partir de 24 boîtes - 15,50€

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Les Nombres en couleurs | La méthode Cuisenaire

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Un matériel de manipulation et d'apprentissage pour faciliter la perception, la construction et la mémorisation des nombres. Ce matériel, mis au point par Gai Savoir, est l'aboutissement de 60 ans de pratique dans les écoles, de la méthode de Georges Cuisenaire.

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Les Noums CP-CE1 - Réglettes (boite de 126) - Matériel | Éditions Retz

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La nouvelle méthode de maths… motivante et efficace !Découvrez la boite de 126 réglettes Noums à manipuler, idéale pour 6 élèves.

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Brissiaud : Les Noums CP. Manuels et logiciel.

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Brissiaud : Les Noums CP. Manuels et logiciel.

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Les Noums CP - Fichier de l'élève en 2 volumes + application - Ouvrage papier | Éditions Retz

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La nouvelle méthode de maths... motivante et efficace !

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Teaching Numbers to 10: Fact Strategies

Counting Board

The Counting Board allows children to fit colored blocks into grooves, so children become familiar with the structure of numbers even before they are introduced to the number names or symbols. All pieces on the Counting Board are removable, allowing the teacher to provide the appropriate level of scaffolding for students while focusing on each concept within ten.

The Counting Board is used to teach:

Understanding quantity

Sequencing

Counting

Relationships between numbers (more and less, before and after, between)

Number names

Numerals (number symbols)

Discovering Size Relationships

Children discover size relationships and the structure of numbers within ten while completing the "puzzle" of the Counting Board. Even before learning the number names, students learn to match the size of the block to its groove. They discover that each block has its place in the sequence, and they learn the meaning of bigger, biggest, smaller, smallest. An important part of this stage is helping children begin to reason about numbers, construct arguments and critique those of others with the support of concrete manipulatives. These are important early concepts that must be mastered in order to reason meaningfully about numbers.

Learning to Count - Identifying Blocks by Their Number Names

When being introduced to the Counting Board children progress through the same sequence as they do in learning to talk. First, meaning is developed through actions and the perception of visual relationships; then in later experiments, the number names are introduced and used to identify the blocks. The children rapidly learn the number names and associate them with quantities represented by the blocks.

Introducing Number Symbols 1 to 10

The number symbols from 1 to 10 are introduced by attaching the number guide to the counting board and asking the children to match the symbols on the markers with the identical symbol on the number guide.

Learning to Associate the Number Block with the Number Symbol

Children indicate their recognition by drawing a line from the block to its symbol.
(A page fromStructural Arithmetic Workbook I.)

Number Relationships

Temple Ary, math specialist and teacher trainer, working with first grade children at Harlem Success Academy in New York City. Temple is using the Counting Board to teach the numbers 1 to 10 and to show what numbers mean. The children can see the pattern of how the numbers increase by a single unit, the difference in length and height, the order of the numbers, and their relationship to one. She has not yet introduced the written symbols for the numbers because she wants the children to get these number sense concepts first.

Pattern Boards

By presenting a discrete number of 1-blocks carefully arranged in an organized structure, the Pattern Boards invite children to discern the relationship between numbers. For example, the difference between odd and even is readily apparent. This difference is not evident to the child when he or she is presented with a random array of cubes or any other set of objects. The Pattern Boards are a concrete representation of what is commonly referred to as "the ten frame."

The Pattern Boards are used to teach:

Counting

Quantity

Subitizing

Number names

Odd and even patterns

One and two more/less

Doubles and neighbors within 10

Addition and subtraction within 10

Problem solving within 10

The following sketches are from Experimenting with Numbers.

Naming the Pattern Boards and Putting Them in Sequence

Children are asked to recognize whether they have the Pattern Board that will hold the block pattern displayed by the teacher. Through this and other activities, students expand and generalize their understanding of quantity and sequence, learning the names of the different Pattern Boards in the same way they learned the block names.

Learning about Even Number Patterns

The concept of even numbers is demonstrated by placing the pattern boards in sequence from 1 to 10. The children then observe that the even patterns are built from pairs of 1-blocks which are partners.

Learning to Write the Symbol 8

In this workbook page (fromStructural Arithmetic Book I) children learn to write the symbol 8 and to study the quantity for which it stands and the place it comes in the sequence of even numbers.

Even Numbers

Temple Ary with second graders at Harlem Success Academy in New York City, using the Pattern Boards to teach odd and even. When the units are displayed on the 10 grid, it is much easier to see the pattern of the single units in the odd and even numbers. The Structural Arithmetic program introduces numbers and their patterns in different ways so that children get a thorough understanding. Here the numbers are broken up into single units. In the counting board they are represented in a length model.

10-Box

The 10-Box can be used to teach and reinforce the sequence of numbers by building a staircase from 1 to 10. This tool can also be used to teach addition, subtraction and problem solving within 10. Additionally, students use the 10-box to practice their combinations of 10 through activities and games.

Learning the Combinations that Make 10- Finding Missing Addends

Students learn to find the missing addend in combinations of 10. The teacher places a block in the 10-box and asks the child to find the block that goes with it to be as big as 10.

From Experimenting with Numbers.

Recording Addition Facts

In this workbook page, children are asked to write the missing addend in the blanks. They draw on their knowledge of the blocks which went together in the 10-box.

From Structural Arithmetic Book I.

﻿

Number Box 1 to 10

These Number Boxes for numbers 1-10 model the concept of hierarchical inclusion as well as the fact-families for each number up to 10. Early on, students can be challenged to put the blocks in order, using size relationships to create the "staircase" for each number without the scaffolding provided by the Counting Board. Children are encouraged to verbalize their thinking. They realize that the number 5 is made up of smaller numbers 1-4 (hierarchical inclusion) and that there are many ways to make each number. Children discover that only even numbers can be represented by two of the same size block (doubles facts).

The Number Boxes are used to teach:

Sequencing

Hierarchical inclusion

Fact families for the numbers up to 10

The relationship between addition and subtraction

Fact fluency within 10

Problem solving with addition and subtraction within 10

Discovering all the combinations to make a number

Children discover that there are many ways to make a number and all the patterns in those combinations: each block appears twice, providing a visual presentation of the associative principle ("turn-around" facts), and the inverse relationship between the two addends (one staircase goes up while the other side goes down).

FromExperimenting with Numbers.

Equation Template

The Equation Template allows young children to translate into symbolic form what they are discovering about the combinations of numbers. They become acquainted with the meaning of the symbols and the structure of an equation. Equivalence is simultaneously represented in its concrete and abstract forms.

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Set A: Early Number Sense - Numbers 1 to 10

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These materials correspond with Teacher's Guides for Experimenting with Numbers, and Structural Arithmetic I (included). Used to teach number concepts to 10, as well as addition/subtraction fact strategies to 10. Time and money concepts are also covered. Student Workbook for Structural Arithmetic I can be ordered separ

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Barres Cuisenaire colorées façon perles Montessori

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Barres Cuisenaire colorées façon perles Montessori

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Grande boite de reglettes en bois Georges Cuisenaires .

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Construction, mathématiques, apprendre le calcul et les mathématique.

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Regletas numéricas Maria Antònia Canals: qué son y cómo utilizarlas en infantil y primaria

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Manuel pour les réglettes de Maria Antònia Canals

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Manuel pour les réglettes de Maria Antònia Canals

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La col*lecció Els Dossiers de la Maria Antònia Canals recull una mostra dels materials que l'autora ha anat elaborant al llarg de la seva dilatada trajectòria, conjuntament amb el gabinet GAMAR de la Universitat de Girona.

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Full colour Cuisenaire e-book + 35 whiteboard slides by Mike Ollerton by Helen Williams and Simon Gregg
Whether you work with young children or older learners the use of practical materials is fundamental to developing conceptual understanding.

The book illustrates how you can use Cuisenaire rods with your learners, whatever age they may be. The diagrams give the detail of how the mathematical concepts are represented while the photos give authenticity, showing them being used by learners. The ideas in the book can be used to deepen the understanding of your learners so they can master the structure of the number system

A set of whiteboard slide accompanies the e-book to help you transform your learners' understanding of the structure of number and calculation, and focus on what is being learnt.

The ideas can be used to deepen understanding of your learners sothey can mater the structue of the number system.

Suitable for EYFS KS1 KS2 KS3 KS4 KS5 Adult

This title is also available as a Printed book with downloadable whiteboard slides

I highly recommend this ATM book by Helen Wiliiams, Simon Gregg and Mike Ollerton, A must buy for any maths teachers (and an easy, fun read)
Drew Foster @drewfoster0

The Cuisenaire book is so nicely written. I see connections to lots of other ideas on each page. The questions they included open up conversations & ideas.
Judy Keeney

A must for EVERY mathematics teacher
Robert J Smith

Further work with Cuisenaire Rods - Caleb Gattegno (founder member of the ATM) once saw children using Cuisenaire rods and described their actions as an 'illumination'. Gattegno subsequently set out on a long programme to explore and propagate their use worldwide. There are two films on the ATM website that feature Caleb Gattegno working with a group a children using Cuisenaire Rods.

Cuisenaire® Rods - a trademark registered to Educational Solutions (UK) Ltd - with permission.

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cuisenaire - from early years to adult downloadable publication

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Cuisenaire - from Early Years to Adult - written by Mike Ollerton, Helen Williams and Simon Gregg

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Full colour Cuisenaire e-book + 35 whiteboard slides by Mike Ollerton by Helen Williams and Simon Gregg Whether you work with young children or older learners the use of practical materials is fundamental to developing conceptual understanding. The book illustrates how you can use Cuisenaire rods with your learners, whatever age they may be.

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Livres de Cuisenaire, Gattegno et Goutard sur les "Nombres en couleur"

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Livres de Cuisenaire, Gattegno et Goutard sur les "Nombres en couleur"

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"nombres en couleurs" - Livres d'Occasion ou Neufs - Comparez les prix

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Le matériel officiel, copié partout.

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Georges Cuisenaire was teaching at his school in Thuin in Belgium when he invented these now famous rods as a means of helping his pupils with their study of arithmetic. He made then a discovery now established as a vital component in mathematics teaching today. He found that by making use of children's natural inclination to play, and giving them an appealing material which demonstrated the relationships on which mathematics is based, it was possible to provide understanding for them all.

Many years passed before the work he was doing spread to other countries, but the use of the rods in schools today is probably world wide. The work started by Cuisenaire remained relatively unknown for twenty years or more until a meeting between him and a visiting lecturer from the University of London, Dr Caleb Gattegno, mathematician and lifelong educator, who instantly recognised its power and educational value. Gattegno's contribution was to develop the uses and applications of the rods, providing a new teaching approach and a completely revised curriculum for mathematics. His insight into the ability of children led him to the realisation that they are capable of far more than traditional teaching has ever produced; and his expectations have been borne out by children all over the world who have startled teachers with their remarkable grasp of mathematics.

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Georges Cuisenaire was teaching at his school in Thuin in Belgium when he invented these now famous rods as a means of helping his pupils with their study of arithmetic. He made then a discovery now established as a vital component in mathematics teaching today.

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Organiser l'école de façon à respecter les rythmes de l'enfant : avant bien d'autres, Maria Montessori avait expérimenté et pensé une progression par cycles pour l'éducation des enfants. Avec ce texte, L'enfant, elle nous présente le premier de ces cycles, de 0 à 6 ans ; les trois autres seront développés dans De l'enfant à l'adolescent. L'Enfant reste le texte de référence de Maria Montessori et la meilleure introduction à sa méthode pédagogique. Jusqu'ici, la traduction française de cet ouvrage majeur ne proposait que les deux premières parties de la version originale espagnole, auxquelles manquaient déjà quatre chapitres. Certains paragraphes avaient été tronqués, et d'autres déplacés. La troisième partie, constituée de sept chapitres, avait été totalement omise.
Voir le site de l'éditeur
L'enfant est l'avenir de l'Homme - La formation de Londres, 1946.

Ce livre est constitué d'une série de cours que Maria Montessori donna en 1946 en Angleterre, où elle rentra avec son fils Mario après sept ans d'exil en Inde. Cette formation, dispensée six ans avant sa mort, révèle la grande sagesse de Maria Montessori : elle qui a voyagé autour du globe et observé intensément et scientifiquement une multitude d'enfants, aura passé sa vie à étudier, non pas uniquement la petite enfance, mais le développement humain dans son ensemble, c'est-à-dire, l'enfance, les années d'école primaire et l'adolescence.

Cette série de trente-trois conférences, prises en note par l'une de ses assistantes, aura des répercussions pédagogiques immenses, en ce sens qu'elle est devenue le fondement des cours donnés par l'Association Montessori internationale (AMI).
Cette formation complète était jusqu'ici inédite en français.
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À l'heure où les guides pratiques sur la méthode Montessori se multiplient, voici celui que Maria Montessori a elle-même conçu pour " entrer dans les familles ", écrit en espagnol en 1939 (étayant une première version de 1914 en anglais). Inédite en français, cette version historique a néanmoins gardé toute son actualité. Dans ce manuel, qui n'est pas seulement pratique, Maria Montessori présente aussi la philosophie de sa pédagogie en rappelant son objectif final : servir la Paix. Elle insistait en effet sur le fait que l'éducation était la meilleure arme pour la Paix, et qu'il fallait, pour l'atteindre, considérer l'enfant comme le guide de son éducation. Qui mieux que lui-même sait ce qui est bon pour son propre développement ? Maria Montessori écrivait il y a 60 ans : "L'enfant a un pouvoir que nous n'avons pas : celui de bâtir l'homme lui-même".
Voir le site de l'éditeur Voir le site de l'éditeur
Connue surtout pour sa méthode pédagogique touchant aux premières années de la scolarisation - à travers les "Maisons des enfants" dont on célèbre cette année le centenaire -, Maria Montessori (1870-1952) s'est également intéressée aux premières relations de l'enfant dans sa famille. Une réalité très sensible aujourd'hui où bon nombre de parents ne savent plus se situer dans une juste relation avec leurs enfants qui puisse concilier respect et autorité.

Ce livre rassemble les textes inédits d'une série de conférences données en 1923 à Bruxelles sur ce thème. Maria Montessori propose à sa manière un guide à l'intention des parents et éducateurs, pour éviter toute incompréhension ou tentation d'autoritarisme.
Voir le site de l'éditeur
Qui suis-je ? Quel est mon rôle dans l'univers ? Vivons-nous seulement pour nous-mêmes ? Quel est le sens de notre combat quotidien ? La réponse constitue le programme de l'éducation du potentiel humain que Maria Montessori propose dans cet ouvrage, publié en 1948, pour aider les enseignants à comprendre les besoins des enfants âgés de 6 à 12 ans. Elle nous révèle ici le secret du succès de sa méthode : stimuler intelligemment l'imagination créatrice de l'enfant pour éveiller son intérêt, puis faire germer dans son esprit les graines de la science se rapportant toujours à une idée centrale et inspiratrice : le plan cosmique. Tout et tous se reconnaissent et se rejoignent dans celui-ci en servant le grand objectif de la Vie : travailler ensemble pour le bien commun.
Tout en retraçant le récit passionnant de l'évolution de notre planète, de l'apparition des premiers hommes et des civilisations les plus anciennes, l'auteur souligne l'importance de la préparation des enseignants, thème central dans la pensée montessorienne : ceux-ci, dit-elle, doivent être au service exclusif de l'être humain tout entier, c'est-à-dire d'un homme en mesure d'exercer librement et de manière responsable sa volonté et son esprit critique, sans préjugés ni craintes d'aucune sorte. C'est en cela que réside l'actualité et la modernité de la pensée de Maria Montessori.
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Plus que jamais la paix reste à faire. Plus que jamais, peut-être, elle sera dans les prochaines décennies un enjeu de survie de l'humanité. Plus que jamais elle se fera dans la tête des hommes. Car la paix, comme l'avait bien compris Maria Montessori, n'est pas la non-guerre. Ce n'est pas seulement affaire de diplomatie, d'armée et de cessez-le-feu. Trop souvent les peuples qui gagnent la guerre perdent la paix qui suit, car les valeurs nécessaires pour gagner la guerre - simplification, obéissance aux ordres, clarté de la distinction entre amis et ennemis, etc. - n'ont rien à voir avec les valeurs nécessaires pour construire une paix durable - la capacité à admettre et comprendre la complexité, la capacité à coopérer avec l'autre, l'esprit critique, le sens du compromis, la perception aiguë de l'unité et de la diversité simultanée du monde.

Date de parution : 20 août 2001
EAN : 9782220048901
Voir le site de l'éditeur
Comment assurer la formation de l'homme sans passer par l'enfant, sans aider celui-ci à grandir comme être de liberté et de créativité, comme être ouvert à tous les possibles ? Comment faire en sorte que cette formation rejaillisse à sa manière sur le destin de toute l'humanité ?

Toute sa vie, Maria Montessori a tenté de répondre à la question à travers ses écrits et la création d'écoles nouvelles. Dans cet ouvrage, elle insiste en particulier sur deux convictions fortes. Elle voit d'abord dans l'éducation le seul moyen de construire la paix entre les hommes. Elle explique ensuite combien l'enfant vient au monde en possession de directives intérieures qui permettront aux adultes de rendre cette éducation effective. C'est à partir de cette richesse déjà présente et qu'il convient de cultiver que l'enfant peut voir se développer sa personnalité propre. Ecrit en Inde et publié en 1949, ce texte apparaît comme le testament spirituel de Maria Montessori et livre la clef de toute son oeuvre.

Date de parution : 1er novembre 2005
Collection : Education
Nombre de pages : 137
Format : 21 x 13 cm
EAN : 9782220056548
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"N'élevons pas nos enfants pour le monde d'aujourd'hui. Ce monde n'existera plus lorsqu'ils seront grands. Et rien ne nous permet de savoir quel monde sera le leur: alors, apprenons-leur à s'adapter". Cette phrase de Maria Montessori nous dit l'actualité de sa pensée pédagogique, forgée par l'expérience en 1907 d'une pré-école dans un quartier populaire de Rome; un lieu qu'elle avait elle-même nommé "la maison des enfants". Ouvrage capital dans la pensée de son auteur, La pédagogie scientifique fut le premier livre de Maria Montessori (1870-1952) publié en France. Avec L'enfant et L'esprit absorbant de l'enfant, il compte parmi les oeuvres majeures de la grande pédagogue.

Date de parution : 2 novembre 2004
Collection : Education
Nombre de pages : 261
EAN : 9782220055589
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Comment éduquer les enfants, instruire et construire leur liberté sans avoir d'eux une approche globale, en ignorant tout de leur environnement et de leur milieu de vie ? Comment vraiment les considérer comme des personnes humaines à part entière, avec leurs potentialités intellectuelles, corporelles, mais aussi ludiques et spirituelles ? Autant de questions que se posait déjà la grande pédagogue Maria Montessori (1870-1952) voici plus d'un siècle. Si le premier volume de la Pédagogie scientifique s'attache à décrire l'expérience fondatrice de la " Maison des enfants ", le second approfondit davantage des thèmes chers à l'auteur autour de l'éducation élémentaire. Ainsi du rôle du corps et de la préparation des pédagogues, de l'ambiance dans la classe, de la place de l'attention et de la volonté, de l'imagination et de l'intelligence. Un apport majeur à la théorie éducative.
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Le premier volume de la Pédagogie scientifique décrivait l'expérience fondatrice de la Maison des enfants, s'attachant aux 3-6 ans. Le second approfondissait, autour de l'éducation élémentaire, des thèmes chers à Maria Montessori (rôle du corps, de l'environnement, de la préparation des pédagogues...). Ce troisième volume, en réalité, ne fait qu'un avec le second. Il expose les principaux développements pédagogiques dans toutes les matières : mathématiques, grammaire, dessin, musique... en s'appuyant sur l'expérience sensorielle des premières périodes de croissance. L'enfant, de 6 à 12 ans, passe à l'abstraction. Indisponible en français depuis de nombreuses années, il complète et clôt l'ouvrage majeur de la pédagogue italienne.
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L'éducation a pris aujourd'hui une importance insoupçonnée : elle ne vise pas seulement à évoluer à l'intérieur de l'école, mais elle s'étend au-delà, pour s'allier à la science, à la sociologie... Les termes de "nouvelle éducation", de "pédagogie scientifique" s'appliquent au mouvement ardent d'une réforme qui est le résultat d'une aspiration profonde, éprouvée par toute l'humanité... Oui, l'enfant nous a ouvert un monde nouveau et nous a révélé un homme meilleur. Cet homme, nous ne devons pas seulement l'instruire ; il nous faut le défendre tout comme le trésor le plus précieux de l'humanité; et il nous faut le servir afin qu'il nous fasse ses révélations parce que nous avons besoin de lui. Publié pour la première fois en 1936 chez Desclée de Brouwer, ce livre reprend la grande conférence prononcée à la Sorbonne en juin de la même année par Maria Montessori (1870-1952). Avec des accents de profondeur et de sensibilité, la grande pédagogue italienne présente de manière ramassée les grandes intuitions de sa démarche.
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En 1943, la grande pédagogue Maria Montessori (1870-1952) donne une série de conférences à New Delhi, en Inde : c'est l'occasion pour cette inlassable militante d'une éducation nouvelle, tout orientée vers l'éveil et le développement de l'enfant, d'expliciter avec brio son point de vue. Dans un monde déchiré, en plein conflit mondial, marqué par un effondrement des valeurs qui n'est pas parfois sans rappeler celui que nous connaissons aujourd'hui, elle propose une méthode permettant au tout petit de grandir et de trouver sa place. Pour Maria Montessori, il ne s'agit pas seulement d'un destin individuel, mais aussi de l'avenir du monde. Aujourd'hui, dans de nombreux pays, des écoles mettent en oeuvre sa démarche pédagogique et des milliers d'éducateurs s'inspirent de ses grandes intuitions.
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Ecrit à l'origine en espagnol et publié à Barcelone en 1934, ce livre fait partie des premiers écrits par Maria Montessori, après la Pédagogie scientifique notamment. Jamais traduit en français, il s'articule avec De l'enfant à l'adolescent. À sa manière, ce texte de l'auteur de L'enfant est une brillante approche des mathématiques fondées sur son travail pédagogique. Dès l'âge de 7-8 ans, l'enfant peut abordes des figures mathématiques complexes grâce à une méthode très originale. À en croire certains, cette méthode agrémentée de nombreux schémas en quadrichromie permet de transformer le cauchemar de l'apprentissage des mathématiques en activité ludique. Michel Lanternier, fondateur de l'école Montessori de Limoges, est à l'origine de cette traduction à laquelle a participé Marie-Louise Pasquier.
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"Le monde de l'éducation est une espèce d'île où les individus, déracinés du monde, se préparent à la vie en y restant étrangers." Cette critique, radicale, que Maria Montessori adressait à l'école, l'a conduite à penser et à expérimenter une autre pédagogie. L'esprit absorbant de l'enfant est le dernier ouvrage écrit par Maria Montessori. Elle le présente comme "un chaînon dans le développement de notre pensée et de notre oeuvre pour la défense des forces de l'enfance..."
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Bibliographie de Maria Montessori | Association Montessori de France

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Organiser l'école de façon à respecter les rythmes de l'enfant : avant bien d'autres, Maria Montessori avait expérimenté et pensé une progression par cycles pour l'éducation des enfants. Avec ce texte, L'enfant, elle nous présente le premier de ces cycles, de 0 à 6 ans ; les trois autres seront développés dans De l'enfant à l'adolescent.

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Montessori : les "tiges de longueur" de "l'escalier rouge et bleu"

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Montessori : les "tiges de longueur" de "l'escalier rouge et bleu"

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Les relations factorielles mises en valeur : multiples de 2, 3, et 5.

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Math Ecole 1 à 50 - Revue de Mathématiques pour l'école - UNIGE

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Caleb Gattegno présente les réglettes aux enfants

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Caleb Gattegno présente les réglettes aux enfants

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Le grand propagateur des réglettes les présente au Canada en 1961. C'est brillant mais regardez bien, il montre souvent la réponse aux élèves !

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Les Mathématiques : un jeu d'enfants - 1961 ONF/NFB

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Panneaux créés par Cuisenaire. Archives du Valais

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Les doubles mis en valeur (sauf la famille bleue qui comprend 9)

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La première boite, éditée par Duculot-Roulin

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La première boite, éditée par Duculot-Roulin

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Documentaires - L’as des réglettes - Play RTS

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Maurice est un as du calcul, grâce à la méthode des réglettes.

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Histoire et enjeux des barres depuis Tillich (1806) jusqu'aux Noums de Brissiaud.

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À l'occas ion de la visite du ministre de l'éducation de Singapour dans une classe française expérimentant sa nouvelle méthode de compréhension des nombres, Rémi Brissiaud évoquait ses sources d'inspiration : " Sur le Facebook du ministre, Les Noums-CP est présenté comme s'inspirant de la méthode de modélisation de Singapour. Oui, mais il ne faut pas oublier que nous nous inspirons également des nombres en couleurs de Cuisenaire et, évidemment, de Picbille. "
Pour bien comprendre je suis revenu aux sources mentionnées par Rémi Brissiaud mais aussi à la grande histoire des barres/réglettes/tiges de calcul depuis Ernst Tillich en 1806 et j'ai découvert plusieurs ancêtres qui avaient les mêmes objectifs : initier aux nombres comme relations entre des quantités. Chaque matériel avait son originalité et, au moins pour une part, sa pertinence. Nous verrons ce que changent les choix de Brissiaud et les possibilités d'un logiciel informatique.
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Rémi Brissiaud contribue depuis plus de 30 ans, par ses publications scientifiques et ses manuels, à initier les élèves aux nombres comme " relations entre des quantités " en favorisant, pour le dénombrement et le calcul, des stratégies de décomposition et recomposition plutôt que de comptage 1 à 1 ou de surcomptage. Par exemple : connaître certaines décompositions additives de 10 permet de résoudre avec aisance l'opération 7+4 ; si j'ai appris que 10=7+3 et 4=3+1, je peux envisager 7+4 comme (7+3)+1=11). Rémi Brissiaud a proposé plusieurs pistes pour permettre à de jeunes enfants de mettre en relation des quantités et de mémoriser ces relations, notamment s'appuyer sur des " collections témoins organisées " ou " nombres figuraux " (doigts de la main, dés reconfigurés autour du repère cinq, configurations Herbinière-Lebert qui s'appuient sur les doubles). Ces collections témoins permettent de faire l'économie du comptage un à un, favorisent l'apprentissage de certaines décompositions à privilégier dans notre système décimal et, grâce à leur organisation spatiale stable et régulière, permettent de former clairement chaque nombre à partir des précédents et de faire valider par les élèves leurs anticipations concernant les décompositions et recompositions des nombres.

Dans cet esprit, Rémi Brissiaud avait dès les années 90 encouragé la fabrication par l'enseignant.e d'un matériel tombé en désuétude : les plaquettes de Suzanne Herbinière-Lebert ; et il avait créé son propre matériel: les " réglettes avec cache " puis plus récemment les " boîtes de Picbille ".

WWTK (sous la marque DragonBox) avait développé une application grand public appelée "Numbers" dans laquelle figurait une première version des " noums ". Rémi Brissiaud a été recruté pour modifier l'application et surtout proposer un nouvel environnement didcatique complet pour les écoles primaires.

Pendant l'année scolaire 2016-2017, 40 classes (600 élèves) ont expérimentée la méthode en . En France deux classes de CP (50 élèves) l'ont aussi utilisée à Saint-Raphaël (Var) avec Rémi Brissiaud engagé comme maître surnuméraire à mi-temps. En 2019-2020 la méthode a été librement mise à disposition des enseignants de France pour une expérimentation plus large. Rémi Brissiaud présente personnellement la méthode sur une chaîne dédiée et l'évoque sur le site Internet du Café Pédagogique.

J'essaye ici de comprendre le choix du matériel employé principalement par Brissiaud (des réglettes colorées appelées " noums ") au regard des objectifs visés et des moyens supplémentaires offerts par rapport aux réglettes utilisées précédemment par les pédagogues.

Les " noums " de Rémi Brissiaud (1 ère partie)

La méthode " Les Noums-CP " s'appuie principalement sur des réglettes représentant les nombres de 1 à 10 : les " noums ". Ces réglettes de couleurs distinctes sont d'une longueur de 1 à 10 cubes d'un cm mis bout à bout. Les élèves les manipulent au moyen de pavés de plastique indivises et sur un écran.

Ajoutons que les unités de base composant ces réglettes (le " noum 1 ") peuvent aussi être organisées sur l'écran en collections témoins privilégiant le repère 5 ou le repère 2. On utilise à cet effet d'une part des réglettes à deux compartiments de 5 cases mis bout à bout, similaires aux " boîtes de Picbille " inventées par Brissiaud pour ses précédents manuels ; d'autre part des grilles de deux colonnes de 5 cases chacune (nommées ailleurs " grilles de 10 ") qui se remplissent ici comme les plaquettes Herbinière-Lebert. Notons l'excellente fonctionnalité permettant de faire apparaître à l'écran d'autres nombres figuraux (doigts, schémas de doigts ou dominos privilégiant le repère 5) dont l'élève devra anticiper comment ils " rempliront " les deux " boîtes ". Cette attention à ce que l'élève anticipe le résultat de son action et le valide ensuite lui-même est une juste préoccupation de Brissiaud depuis longtemps (voir notamment le système de rabats de ses Albums à calculer et les caches de la boîte de Picbille). L'expérience de l'équivalence de plusieurs représentations analogiques des nombres est aussi un atout important de cet outil.

Pour distinguer la valeur de chaque " noum " opaque (sans " radiographie "), Brissiaud ne s'appuie pas sur les seuls rapports de longueur. Il utilise la couleur, comme George Cuisenaire ou Catherine Stern notamment (cf. plus bas), mais à titre secondaire d'aide-mémoire et comme moyen de repérer rapidement chaque " noum ", de le distinguer facilement des autres. Le principal et nouveau moyen utilisé par Brissiaud est en effet de faire figurer en haut de chaque réglette (sur la tête du " noum ") une collection témoin d'yeux organisée autour du repère 5. Il me semble que la couleur sert d'abord à fixer dans la mémoire cette collection témoin organisée et la quantité qu'elle représente ; pour sa part la longueur des réglettes sert d'abord ici à valider les anticipations des élèves sur les décompositions-recompositions.

Rémi Brissiaud remédie ainsi sans doute à plusieurs problèmes qui pouvaient être rencontrés par les élèves avec certaines réglettes qui ont précédé son matériel. Voici lesquels :

En marquant les unités de base sur chaque réglette on court le risque que l'élève compte un à un sans pouvoir prendre appui sur cette quantité dénombrée pour la mettre en relation avec d'autres quantités. Prenons l'exemple de l'opération 5+2 avec l'aide de deux réglettes données à l'élève : soit il surcompte (il récite la comptine numérique " cinq, six, sept " en allant deux numéros plus loin que " cinq ", tout en pointant sur les réglettes une unité à chaque mot prononcé, ce qui ne garantit pas qu'il ait eu conscience d'avoir ajouté deux à cinq) ; soit même il recompte à partir de 1 (incapable de prendre en compte 5 comme une quantité, il résout 5+2 par le recomptage des cinq unités de la première réglette et le surcomptage des 2 unités de la dernière réglette).

En ne marquant pas les unités de base sur chaque réglette on court le risque que l'élève numérote la réglette elle-même comme avec une simple étiquette, sans comprendre que le mot-nombre désigne la somme des x unités qui composent la réglette. Ce sont alors des réglettes qui sont mises en relation avec d'autres réglettes mais pas des quantités avec d'autres quantités : l'élève apprend par cœur la table des associations de couleurs ou de mots-nombres mais il ne manipule ni ne comprend les nombres.

Les réglettes pouvaient être utilisées uniquement comme une illustration matérielle du problème à traiter fournissant par simple lecture le résultat : on vérifie seulement ce que nous a appris le maître (4+5=9) en plaçant une réglette de 4 au bout d'une réglette de 5 et en comparant la longueur des deux réglettes avec celle de 9. Alors qu'il s'agit plutôt grâce au matériel d'anticiper le résultat et de le valider soi-même. Je ne mentionne pas ici d'autres problèmes pourtant importants, liés à celui-ci, concernant l'usage des réglettes.

(Avec les réglettes graduées 1 à 10 unités sont représentées alignées alors qu'un élève ne peut pas saisir immédiatement plus de 3 éléments subitizing) et qu'avec des éléments alignés l'élève ne peut pas s'appuyer sur une configuration spatiale facilitant la décomposition en plus petits nombres.

Je reviendrai plus longuement sur les " noums " à la fin de ce texte. Voyons à présent plus précisément de quoi il retourne avec les outils pédagogiques antérieurs aux " noums " de Rémi Brissiaud. Celui-ci n'évoque que les réglettes de George Cuisenaire mais j'examinerai brièvement tous les matériels similaires que j'ai rencontrés, c'est-à-dire uniquement ceux basés sur des barres/tiges/réglettes qui représentent chaque quantité d'emblée comme un tout, une nouvelle unité, et pas les matériels composés d'unités à assembler bout à bout comme les bouliers, les prismes de Fröbel, Weidner, Schminke, Tacey (les Unifix) ou les tuiles de Fuson. Je ne parlerai pas non plus d'autres barres de calcul qui ne visent pas à l'initiation aux premiers nombres, comme celles de Madeya.

Quand ce sera possible j'examinerai non seulement le matériel mais aussi la situation précise proposée aux élèves pour voir si elles permettent de favoriser une authentique mise en relation des quantités, une stratégie de décomposition-recomposition des nombres et une tâche d'anticipation qui permettent d'entrer dans la conceptualisation du nombre.

Le " Rechenkasten " de l'Allemand Ernst Tillich (1780-1807).

Le " Rechenkasten " (boîte de calcul / calculateur) d'Ernst Tillich, présenté au public en 1806, consiste en une centaine de prismes en bois à section carrée longs de 1 à 10 pouces. Il existe 10 exemplaires de chaque barre hormis le cube-unité de 1 pouce d'arête qui est disponible en vingt exemplaires à cause de son usage plus fréquent. Les barres sont rangées dans une boîte de dix compartiments en terrasse d'une hauteur adaptée à chaque barre placée verticalement. (Cf. illustration). Sur le couvercle de la boîte on peut assembler et séparer les barres afin d'établir les relations entre elles. A côté d'une barre de 8 pouces les élèves pouvaient disposer quatre barres de deux pouces ou deux barres de quatre pouces ou huit barres d'un pouce, etc.

Puisque rien ne venait distraire l'œil (ni couleur, ni forme), on comprend l'importance particulière de disposer d'une boîte pour ordonner les barres selon leur valeur numérique. Cela évitait sans doute aux élèves d'apprendre par cœur une table des associations de mots-nombres sans signification numérique. Ils devaient sans doute constamment se référer à l'ordre des barres dans la boîte de présentation et s'appuyer sur les rapports de longueur. Il faudrait préciser l'usage pédagogique précis dans le texte de Tillich que je n'ai pas pu consulter.

*

Plusieurs outils didactiques inspirés des barres de Tillich virent le jour, en Allemagne surtout, à la fin du 19 ème siècle et au début du 20 ème. Leurs autrices et auteurs jugèrent préférables de ne pas s'appuyer seulement sur la longueur relative des barres. Toutes et tous marquèrent les unités qui composent les barres et plusieurs illustrèrent sur les barres elles-mêmes certaines relations entre les quantités. Plus tard et hors d'Allemagne, d'autres pédagogues renouèrent avec des barres indivises à la manière de Tillich.

Variante la plus simple des barres de Tillich, les 66 blocs furent créés aux environs de 1914 par Mina Audemars et Louise Lafendel à la Maison des Petits de l'Institut J.-J. Rousseau de Genève. Les barres sont de couleur naturelle et les séparations entre unités marquées d'un trait.

L'élève pouvait donc compter les unités une à une... et peut-être lui arrivait-il de s'en contenter plutôt que de prendre appui sur cette quantité dénombrée pour la mettre en relation avec d'autres quantités.

Créé au plus tard en 1914 et présenté c omme une variante des barres de Tillich, le Rechenkasten de Wander représente néanmoins les unités de base qui composent chaque barre : des cubes en bois blanc ou noir hauts d'environ 5 cm.

Les couleurs noire et blanche alternent sur les cubes qui composent les barres. Maria Montessori fera un choix similaire avec ses barres alternant les couleurs rouge et bleu.

Ici aussi l'élève pouvait donc compter les unités une à une... et peut-être lui arrivait-il de s'en contenter plutôt que de prendre appui sur cette quantité dénombrée pour la mettre en relation avec d'autres quantités.

L' " Educational Appliance " de John Kneeshaw

En 1915 l'Etats-Unien John Kneeshaw dépose le brevet d'un matériel éducatif du même esprit que celui de Wander. Il utilise non pas des barres mais des plaques rectangulaires figurant les unités par des disques, qui pouvaient coulisser dans un panneau comportant plusieurs rangées, ce qui permettait sans doute de comparer plusieurs manières de former une même quantité, même si Kneeshaw se contente de proposer à l'enseignant d'illustrer des additions avec ce matériel. Les disques pouvaient être d'une seule couleur ou de couleur différente selon leur nombre mais Kneeshaw n'exploite pas le potentiel de cette idée.

Le " Rechenkasten " de Fritz Adam

Créé avant 1901 , le Rechenkasten d'Adam contient soixante-dix barres prismatiques bicolores munis de bandes de séparation, pour représenter les nombres de 1 à 10. Les barres sont d'une hauteur de 3 à 30 cm. Les deux couleurs des faces (noir ou blanc) permettaient de placer bout à bout deux baguet tes tout en les distinguant.

Les barres du Rechenkasten pouvaient être insérées dans les rigoles d'un Rechenbrett présentant les nombres de 1 à 6 ou de 1 à 10 sous forme d'un escalier gradué, ce qui qui permettait d'étudier les décompositions des premiers nombres.

Un autre Rechenbrett (muni d'une grille de 10 sur 10) permettait d'insérer 100 unités et d'étudier le passage de la dizaine : Pour ajouter 9 à 86, on disposait 8 barres blanches de 10 unités et une barre blanche de 6 unités puis on était obligé de décomposer 9 en une barre noire de 4 unités et une barre noire de 5 unités.

L'usage de deux couleurs illustre bien que l'on met en relation des quantités et permet de comprendre et mémoriser ces relations.Cette solution me parait supérieure à celle proposée par Wander qui distinguait, par l'alternance des couleurs des cubes unités de chaque barre, seulement les unités de base et pas les quantités obtenues.

Le " Rechenkasten " de Franz Posner et Adam Langer (1836-1919).

Conçu en 1894 par Franz Posner et propagé par Adam Langer, l'appareil de Posner-Langer comprend vingt-six pièces de bois : deux cubes unités de base ; deux prismes à base carrée pour chacun des nombres 2 à 9, tous gradués ; sept dizaines graduées et une plaque de 50 divisée en dizaines par des lignes longitudinales (sans marque des unités). Les cinq unités inférieures des barres 6 à 10 sont de couleur rouge.

Cet outil privilégie la représentation de certaines relations : les décompositions additives de 5 et de 10 et les nombres 5+n jusqu'à 10. Cet appui sur le repère 5 est précieux dans notre système décimal. Il est pertinent d'autre part parce que des unités représentées analogiquement ne peuvent pas être saisies immédiatement au-delà de 3, d'autant moins lorsqu'elles sont en ligne ; le repère coloré de 5 permet donc de limiter le comptage un à un et de mettre chaque quantité en relation avec 5 (complément à 5 ou 5+n). Brissiaud s'appuiera lui-aussi sur le repère du 5 et introduira un repère intermédiaire du 3.

Le " Rechenkasten " de Wilhelm Müller

Le Rechenkasten de Wilhelm Müller (ou Mueller), conçu en 1901, est constitué de 50, 60 ou 100 pièces - barres ou cubes - disposées en gradins. Le haut des barres comporte l'écriture chiffrée du nombre représenté. Les barres sont divisées en cubes-unités par des rainures sombres. Les cubes qui les composent comportent une couleur (parmi cinq) sur une face. Je n'arrive pas à trouver l'information de l'attribution et de l'usage précis de ces couleurs. Puisqu'elles sont au nombre de cinq, il n'y en a sans doute pas une différente sur chacune des quatre faces visibles. Chaque couleur est-elle associée aux nombres de 1 à 5 (un peu comme dans les barres d'Artur Kern au milieu du 20 ème siècle) ? C'est peu probable au vu de la barre centrale qui alterne manifestement les 5 couleurs tous les deux cubes. Sur le dessin, deux barres dressées sur le couvercle semblent en effet illustrer des décompositions de 10 : 5+5 et 2+2+2+2+2 (5x2). La barre de droite compte 11 cubes dont je ne discerne pas l'alternance des couleurs mais les trois cubes supérieurs sont manifestement décalés pour montrer qu'ils peuvent tourner et ainsi faire apparaître en couleur certaines décompositions d'un nombre.

Cet outil permet donc comme le précédent de mettre en relation, sur la barre elle-même, une quantité avec une autre. Mais ce sont ici toutes les relations qui peuvent être mises en valeur. Pour l'initiation au calcul, Brissiaud rappellera plus tard qu'il y a déjà 45 décompositions additives à deux termes et qu'il faut privilégier pour les premières années d'initiation, au-delà du nombre 5, les doubles (et doubles+1) ainsi que 5+n.Cet outil reste toutefois très intéressant, notamment pour les niveaux d'étude ultérieurs pour lequel il semble avoir été aussi destiné.

Les " tiges de longueur " du " grand escalier " (barres numériques rouges et bleues) et les " barrettes de perles " colorées de l'Italienne Maria Montessori (1870-1952)

La médecin italienne Maria Montessori ouvrit dans un quartier pauvre de Rome une " Casa dei Bambini " en 1906 et publia son premier ouvrage pédagogique en 1909 : Il Metodo della Pedagogia Scientifica applicato all'educazione infantile nelle Case dei Bambini.

Elle conçut deux matériels importants dans l'histoire des barres de calcul : les " tiges du grand escalier ", pour le premier âge, et les " barrettes de perles ", pour les enfants de 7 à 11 ans.

Les " tiges de longueur " (aste delle lunghezze) du " grand escalier " rouge et bleu.

Les " tiges de longueur ", représentent les nombres 1 à 10. Elles sont de section carrée de 2,5 cm de côté et peintes alternativement en rouge et en bleu tous les 10 cm.

Suivant le même principe que les barres de l'Allemand Wander, ces barres mettaient en valeur les unités qui composent la réglette. Il existe donc un risque de compter un à un sans réellement dénombrer la quantité et pouvoir la mettre en relation avec d'autres. Mais ce risque est atténué par l'objectif assigné par la pédagogue et par l'objet lui-même qui permet de manipuler des groupes d'unités, contrairement au comptage de groupes d'objets déplaçables :

" L'importance de ce matériel fondamental est qu'il donne une idée claire du nombre. En effet, quand un nombre est nommé il existe comme un objet, une unité par lui-même. [...] Quand un enfant nous montre le 9, il manipule une barre inflexible - un objet complet en lui-même et pourtant composé de neuf parties égales qui peuvent être comptées. "

Certes Maria Montessori recommande de nommer successivement chaque barre présentée par ordre croissant en pointant ses parties : " un, deux : c'est deux " ; " un, deux, trois : c'est trois ". L'élève n'a donc pas théâtralisé oralement l'itération de l'unité (un et encore un : deux ; et encore un : trois) et n'a pas verbalement signifié que chaque quantité s'obtient en ajoutant 1 à la quantité précédente. Mais il ne s'est pourtant pas contenté de numéroter des cases et d'appliquer la règle dépourvue de signification du " dernier mot-nombre prononcé correspond à la quantité totale d'éléments ". Il a tout de même eu affaire à des quantités puisque l'éducatrice lui a désigné la barre qu'elle empoigne ou pointe du doigt et c'est cette barre tout entière qui compte 2 ou 3 unités. Cette barre est une nouvelle unité (" one united whole "). Ainsi pour ajouter 8 et 2 l'enfant prendra deux barres : l'une composées de 8 unités et l'autre de deux unités. Cette situation, écrit Maria Montessori, vaut bien mieux que celle consistant à faire compter un par un deux tas de cailloux sans que l'élève comprenne facilement qu'il vient d'ajouter 2 à 8, tout occupé qu'il était de faire défiler caillou après caillou.

Les perles colorées

Le " matériel des perles " colorées fut conçu après le " grand escalier ", pour l'école élémentaire. Il suivait le même principe mais il était plus petit et fourni en assez d'exemplaires pour qu'un grand nombre d'enfants puissent effectuer en même temps le " travail avec les perles ".

Chaque boîte disponible pour un enfant comportait cinq jeux de ces barrettes. Une à dix perles en verre brillant étaient glissées sur des tiges métalliques recourbées aux extrémités. Chaque barrette possédait des perles d'une couleur distincte : 1, rouge ; 2, Vert ; 3, rose ; 4, jaune ; 5, bleu ciel ; 6, gris ; 7, blanc ; 8, violet/lavande ; 9, turquoise/bleu foncé ; 10, orange.

Je n'ai pas trouvé chez Montessori ou chez ses commentateurs de justification du choix de ces couleurs et de leur attribution. Quand on veut se procurer aujourd'hui des perles Montessori dans le commerce on trouve même bizarrement d'autres couleurs : 6 est violet (plus ou moins foncé) et 8 marron. Les couleurs des perles ne jouaient donc pas de rôle d'illustration de relations entre les quantités mais servaient plutôt à distinguer les barrettes et à les identifier : " Petit à petit l'enfant cesse de compter les perles et reconnaît les nombres par leur couleur. Il sait que la bleue foncée c'est 9, la jaune 4, etc. Presque sans s'en rendre compte, il en vient à compter par couleurs plutôt que par quantités de perles et effectue ainsi des opérations réelles en calcul mental. "

Compter par couleurs plutôt que par quantités... On entrevoit le risque d'une telle méthode. Néanmoins par cette formule surprenante Maria Montessori insiste sur le fait que l'enfant ne compte plus une à une les unités de base qui composent les perles mais appréhende la nouvelle unité représentée par la barrette.

Par ailleurs Catherine Stern (voir plus bas), formée à la pédagogie Montessori, remarqua que lorsque les chaînes de perles étaient mises bout à bout, leur longueur excédait celle de la chaîne de perles représentant la somme des nombres, ce qui n'aidait pas à rendre visibles les relations entre les nombres. C'est pourquoi elle les remplaça par des réglettes.

Mentionnons pour terminer, parmi les différents dispositifs à base de perles développés par Maria Montessori, les perles noires et blanches utilisées dans l'exercice du "serpent positif" pour travailler les compléments à 10. Ces barrettes de 1à 9 perles comptent de 1 à 5 perles noires. De la 6 èmeà la 9 ème perle la couleur est le blanc. Ces barrettes présentent l'intérêt de s'appuyer sur le repère 5 pour éviter de compter 1 à 1.

Instituteur depuis 1911 et auteur d'ouvrages de pédagogie tels " Leçons promenades ", il utilise après la Seconde guerre mondiale des bandelettes de carton coloré puis, en 1947, les premières réglettes en bois dont la forme et la couleur seront fixées après maints essais dans la brochure " Les nombres en couleur " publiée en 1951. Le matériel, d'abord diffusé par la Maison Duculot (1951), sera grandement popularisé avec le concours de Caleb Gattegno à partir de 1953 et la fondation en Grande-Bretagne de la Cuisenaire Company la même année. Des associations Cuisenaire fleurirent dans le monde entier et le matériel est encore largement utilisé aujourd'hui.

Les " nombres en couleur ", pour éviter le comptage un à un, ne comportaient pas de marque des unités de base. Cuisenaire était ainsi sans doute le premier pédagogue à renouer avec l'intuition de Tillich. Mais chez Cuisenaire une couleur était associée par convention à chaque longueur de réglette afin de faciliter la mise en relation des quantités représentées. Cuisenaire, bon musicien, considérant qu'il y avait une analogie entre la musique et les nombres, s'était appuyé sur le fait qu'un tuyau d'orgue dont la largeur est le double d'un autre tuyau produit une note plus basse d'une octave. Il groupa alors les nombres en familles de doubles dans un but pédagogique. À chaque nombre était attribué une couleur, à la fois pour l'identifier et pour induire une relation avec un autre nombre :

Famille jaune : 5 et 10 de couleur jaune et orange.

L'avantage d'un tel matériel pour la compréhension des structures mathématiques et le passage vers l'abstraction était indéniable et l'essor des mathématiques modernes n'enrailla pas son développement, contrairement à celui des plaquettes Herbinière-Lebert. Rémi Brissiaud loua aussi en 1989 la capacité des réglettes Cuisenaire à faire anticiper aux élèves les relations entre les quantités et à vérifier eux-mêmes ces relations.

En revanche Brissiaud jugea, à la suite de Piaget, que " la façon dont ces relations sont apprises est très dépendante de la pédagogie de l'enseignant : le risque est grand que cet apprentissage résulte d'une simple mémorisation liée à l'apprentissage du code de couleurs, à force de répétitions, plutôt qu'il ne résulte des mises en relation (...) " Brissiaud vit un risque plus grand encore avec les enfants de maternelle : confrontés à des réglettes non-divisées en unités ils peuvent seulement comparer une réglette " 7 " avec sept unités mises bout à bout, ce qui est moins clair. Et le nom des réglettes ajoute à la difficulté car, la notion de longueur étant introduite dans le cursus après l'étude des premiers nombres, Cuisenaire nommait " réglette 7 " la réglette longue de 7 cubes unités. Brissiaud conclut que l'usage de ce matériel en grande section de maternelle " suppose l'accès à des conventions difficiles à construire avec de jeunes enfants. " Il leur préféra des réglettes qui sont des " collections témoins organisées " plutôt que des longueurs, quitte à trouver d'autres solutions pour éviter le comptage 1 à 1.

Concernant les couleurs des réglettes, le Britannique Seton Pollock jugea en 1961 que leur attribution devait manifester plus rigoureusement les relations mathématiques entre les nombres. En effet les "familles" de couleur étaient définies par Cuisenaire à partir " d'une couleur-clé sans égard pour aucun autre composant dans la couleur résultante. Ainsi deux verts se trouvent dans la famille bleue (produits par l'ajout de jaune au bleu). Un brun se trouve dans la famille rouge (produit par l'ajout de bleu et de jaune au rouge). Un orange se trouve dans la famille jaune (produit par l'ajout de rouge au jaune). "

Cette imperfection dans l'illustration des relations entre les quantités renforce peut-être le risque inhérent à des réglettes aux unités de base non marquées : ce sont parfois les couleurs de chaque réglette qui sont apprises par cœur et mises en relation par simple entraînement avec d'autres couleurs plutôt que les quantités et la compréhension de leurs relations.
Les " Rods " de l'États-unien Frank P. Belcastro
Notons pour finir une déclinaison intéressante des réglettes Cuisenaire :

Les réglettes de Belcastro, créées probablement en 1989, sont identiques aux réglettes Cuisenaire à ceci près qu'elles ne sont pas des " nombres en couleur " mais pour ainsi dire des " nombres en texture " : les couleurs sont remplacées par " des rainures longitudinales, des rainures horizontales et des trous. Les réglettes de longueur de base 2, 4 et 8 ont des rainures longitudinales. Des rainures horizontales se trouvent sur les tiges de longueur de base 3, 6 et 9. Les tiges représentant 5 et 10 sont percées de trous. Les tiges pour 1 et 7 n'ont pas de marques mais se distinguent en raison de la grande différence de longueur. " Ce matériel était destiné aux élèves avec déficience visuelle. [*]
Le " Novel System of Numerical Representation " du Britannique Ian MacFarlane Smith

Trois Britanniques entreprirent de rationnaliser le système des couleurs de Cuisenaire : Seton Pollock, MacFarlane Smith et Clegg. Seul Seton Pollock diffusa sa méthode avec un certain succès.

Le psychologue Ian Macfarlane Smith s'inscrit lui-même dans la lignée de Seguin, Montessori, Stern et Cuisenaire. Auteur de tests de capacité spatiale, persuadé de l'importance d'aides visuelles pour l'enseignement des mathématiques, il entend améliorer le système de Cuisenaire qui présente comme défaut principal de regrouper les nombres au sein de familles sans leur attribuer une teinte semblable. MacFarlane Smith propose en 1956 :

De regrouper par famille seulement les nombres en progression géométrique

D'attribuer à chaque famille une seule et même teinte qui ne varie que par la nuance plus claire ou plus foncée

D'attribuer des teintes aux nombres successifs dans l'ordre du cercle chromatique selon une longueur d'onde définie par " l'équation polaire d'une spirale logarithmique, d'une courbe telle que le rayon augmente en progression géométrique à mesure que l'angle augmente en progression arithmétique ".

Selon cette méthode, 0 est noir, 1 gris, 2 rouge foncé, 3 vert foncé, 4 rouge, 5 orange, 6 vert, 7 bleu, 8 rouge clair, 9 vermillon, 10 orange, 11 jaune clair, douze vert clair. Les nombres sont ainsi liés par le facteur 2 (doubles, moitiés, quadruples) plus clairement que le fit Cuisenaire (d'autant que ce dernier avait associé 9 à 3 et 6).

Les " Colour factor blocks du Britannique Algernon Frederick Seton Pollock (1910-1983) "

Les blocs de l'avocat Seton Pollock reprennent en 1961 le procédé de Cuisenaire en modifiant l'attribution des couleurs : les dix réglettes (douze en Grande-Bretagne du fait du système de monnaie et de mesure) étaient regroupées par couleur selon leurs relations factorielles. Tous les multiples de 2 (2, 4, 6, 8, 10) contiennent la couleur primaire rouge, les multiples de 3 (3, 6, 9) du bleu et les multiples de 5 (5, 10) du jaune. Le 1 est incolore et le 7 gris. Au sein de chaque famille les nuances de couleur vont du plus clair au plus foncé. Il faut lire le brevet d'invention pour prendre la mesure de la rigueur raffinée du système de couleurs

Sans doute les élèves retenaient-ils ici moins facilement la valeur associée à chacune de ces nuances pastel qui ne frappent pas l'œil ; mais cela pouvait être un avantage : ce sont les rapports entre quantités que les élèves pouvaient sans doute retenir le plus facilement et ils pouvaient appréhender la quantité en comparant les longueurs et les nuances de couleurs.Ce système était donc un compromis habile entre l'aride pureté des barres d'Ernst Tillich (que Pollock estimait favorablement) et le chatoiement des réglettes Cuisenaire.

Une critique possible de ce matériel pour la première initiation aux nombres est qu'il ne privilégie pas les décompositions additives considérées par Rémi Brissiaud, sans doute à juste titre, comme fondamentales pour la compréhension des premiers nombres : doubles (et doubles+1) et 5+n.

L' " Apparatus for teaching or studying mathematics " du Britannique Gerald Alexander Clegg

Gerald Alexander Clegg juge le mélange de couleurs de Seton Pollock à la fois romantique et compliqué. Romantique car il ne voit pas ce qu'il y a de mathématique à établir une analogie entre un mélange de couleurs et la multiplication, d'autant que les proportions de chaque couleur dans le mélange obtenu ne tiennent pas compte du ratio des facteurs premiers représentés par ces couleurs. Compliqué car les élèves ne pourraient pas en pratique, selon lui, s'appuyer sur ces trop nombreuses couleurs et mélanges pour se représenter les relations entre quantités ; ils auraient tendance à seulement identifier chaque quantité à la couleur de la réglette, et encore avec difficulté vu les nuances de couleur choisies par Seton Pollock (ce que je trouve pour ma part plutôt un avantage de ce point de vue car forçant à revenir aux relations).

En 1980 Clegg adopte donc un " registre de relations " ou " code de relations " qui ne mélange pas les couleurs mais les juxtapose : des bandes colorées sur la largeur de chaque réglette représentent les facteurs premiers.

Les couleurs choisies importent peu pour Clegg tant qu'elles se distinguent bien les unes des autres puisqu'elles ne visent qu'à identifier un facteur premier.

Pour les réglettes qui représentent un nombre ayant plusieurs facteurs premiers, Clegg attribue à chaque bande colorée une hauteur proportionnelle à la grandeur des puissances du facteur. Par exemple : 10=2 1x5 1. Le ratio est ici 1:1 donc les deux bandes se partagent également l'espace. 12=2 2x3 1. Le ratio est ici 2:1. Donc la bande violette (associée par exemple à 3) occupera un tiers de la surface tandis que la bande verte (couleur associée par exemple à 2) occupera les deux tiers de la surface.

Le cube unité est entièrement blanc.

Les réglettes représentant un nombre qui n'a qu'un seul facteur premier ne comportent qu'une seule couleur sur toutes leurs faces hormis sur celles carrés aux deux extrémités du prisme qui sont toujours blanches ou neutres.

Les réglettes représentant un nombre ayant deux facteurs premiers comportent le " registre de relations " (deux bandes colorées) sur deux faces opposées tandis que les deux autres faces sont chacune d'une des deux couleurs.

Les réglettes représentant un nombre ayant trois facteurs premiers comportent le " registre de relations " (trois bandes colorées) sur une face tandis que les trois autres faces sont chacune d'une des trois couleurs.

Je ne sais pas si ce dispositif, dont je ne connais que le brevet d'invention, a jamais été commercialisé ou même diffusé. Gerald Alexander Clegg avait aussi inventé un dispositif analogue pour enseigner les fractions.

María-Antonia Canals fut scolarisée dans l'école de ses tantes qui avaient introduit pour la première fois en Catalogne la pédagogie Montessori. Après avoir enseigné dans différentes écoles elle créa seule une école en 1962 dans un quartier de population immigrée et agrégea à son œuvre de nombreux enseignants. Elle ne cessa depuis lors de former des enseignants, notamment à l'université, et de susciter des associations d'enseignants. Retraitée depuis 2001, elle est professeure émérite de l'Université de Gérone où elle a fondé le GAMAR (Gabinet de Materials i de Recerca per la Mattemàtica a l'escola). L'association des maîtres Rosa Sensat a ouvert en 2014 à Barcelone un " Centre d'Activitats i d'Àmbit de Reflexió per l'Educació Matemàtica ( CAÀREM) de Maria Antònia Canals " sur le modèle du GAMAR.

En 1970 elle observe, comme Catherine Stern, que la longueur de deux barrettes de 3 et 5 perles juxtaposées n'était pas la même que celle d'une barrette de 8 perles mais plutôt celle d'une barrette de 9 perles à cause des boucles métalliques bloquant les perles aux extrémités de la réglette. De ce point de vue, le matériel Montessori ne facilitait pas l'addition et la mise en relation des quantités. Les élèves devaient contourner la difficulté en comptant les perles une à une. Canals se tourne donc vers les réglettes Cuisenaire qui présentent l'avantage d'être juxtaposables et non-graduées. Elle finit par changer les couleurs, pour des questions de propriété intellectuelle d'après ce que je comprends, mais aussi manifestement pour mettre en valeur les relations factorielles entre les nombres. Elle réserve l'usage de ces réglettes non-graduées aux enfant d'école élémentaire car elle considère que les plus petits comprennent difficilement que le cube unité de base soit représenté par une réglette et que la réglette longue de deux ou trois cubes soit aussi une seule réglette indivise. On retrouve ici la critique faite à Tillich à l'époque de la création des premières barres de calcul, que Canals reprend à son compte uniquement pour les premières années d'apprentissage (correspondant à notre école maternelle).

A la même période María-Antonia Canals découvre avec enthousiasme les " blocs logiques " et les " blocs multibase " du Hongrois Zoltán Pál Dienes. Les blocs de base 10 du mathématicien comprennent des cubes-unité, des barres de 10 graduées, des plaques carrées de 100 (10 réglettes de 10) graduées et des cubes de 1000 (10 plaques de 100 superposées) gradués.

Canals entreprend de tirer parti à la fois du matériel Cuisenaire et du matériel Dienes en les unifiant à sa manière. Aux réglettes recoloriées elle ajoute des plaques carrées représentant le carré de chaque nombre et des cubes représentant le cube de chaque nombre, chacun de la même couleur que le radicande et entièrement lisse, sans marque des unités.

L'originalité principale du matériel de M.A. Canals tient donc à l'ajout des carrés et des cubes. Les réglettes de Maria-Antonia Canals s'inscrivent dans la lignée de celles de Cuisenaire car elles ne comportent pas de marque des unités de base, elles attribuent une couleur distincte à chaque quantité et elles représentent certaines mises en relation de ces quantités par la proximité des couleurs.

Comme Seton Pollock dont elle ne parle pas, Canals met en valeur les relations factorielles auxquelles correspondent des familles de couleur similaires hormis l'étrange choix de couleur pour les multiples de 5 (vert, donc composite) et pour le 7 (jaune, qui entre dans la composition du vert...).

Les réglettes mesurent 1 cm 2 de section.

L'essentiel de mes informations vient de : María Sotos Serrano, Didáctica de las matemáticas y desarrollo profesional de una maestra. El caso de Maria Antònia Canals i Tolosa, Thèse doctorale, Faculté d'éducation de l'Université de Salamanque, 2015. Pages 183, 187 et annexes.

María-Antonia Canals, Las Regletas, Associacío de Mestres Rosa Sensat, " Los dossiers de María-Antonia Canals " 110, Barcelona, 2011. [Il existe une version en catalan].

Les " number blocks " de l'Américaine d'origine allemande Catherine Stern, née Käthe Brieger (1894-1973).

Contemporains des réglettes Cuisenaire, les blocs de Stern utilisaient deux procédés simultanément : une couleur distincte pour chaque réglette et la marque des unités composant chaque réglette. Était-ce une solution aux problèmes respectifs des matériels Montessori et Cuisenaire ?

Docteure en physique, Käthe Brieger épousa en 1919 Rudolf Stern. Käthe Stern se forma à la méthode Montessori de 1921 à 1923 puis elle ouvrit le premier jardin d'enfant Montessori à Breslau en Allemagne (aujourd'hui Wroclaw, Pologne) en 1924. Le jardin d'enfant accueillit après l'école des enfants plus âgés et devint aussi un centre de formation d'enseignants. Quand elle dirigeait le jardin d'enfant elle écrivit des articles et publia trois livres (1932 et 1933) présentant sa " pédagogie Montessori étendue " en lien avec les dernières découverts en psychologie de l'enfant et avec les principes de Fröbel. Luthérienne d'ascendance juive, elle dut renoncer à sa fonction en 1934 à cause du régime nazi. C'est alors qu'elle conçut ses premiers matériels de lecture et d'arithmétique, à commencer par les blocs de calcul pour remplacer les chaînes de perles montessoriennes. Quand les perles montessoriennes étaient mises bout à bout, leur longueur excédait celle de la chaîne de perles représentant la somme des nombres, ce qui n'aidait pas à rendre visibles les relations entre les nombres. Assembler des cubes fut la solution de Catherine Stern. Elle avait d'abord utilisé des réglettes non-colorées et les enfants devaient alors compter les unités pour distinguer les réglettes les plus longues. Elle jugea préférable d'attribuer une couleur à chaque réglette pour que chacune soit immédiatement reconnue. Ce fut Leo Hendrik Baekeland, l'inventeur de la Bakélite (précurseur du plastique) qui lui fabriqua des blocs de couleur et un rail numérique dans lequel les blocs pouvaient être mesurés. En 1934, à l'invitation des jardins d'enfants suisses, Käthe Stern est réputée avoir présenté pour la première fois son matériel mathématique. Dans le cadre de la " 5ème formation avancée pour les institutrices de jardin d'enfants ", du 4 au 13 octobre à Berne, elle donna une conférence sur " La méthode Montessori et le système Montessori étendu " .

Après une première tentative d'émigration en France en 1933, c'est finalement aux États-Unis qu'elle s'exila en 1938. Elle y développa encore son matériel à la Windward School (White Plains, Etat de New-York). En 1939 Max Wertheimer (un des fondateurs de la Gestaltpsychologie) lui écrivit combien il appréciait ses méthodes concrètes d'enseignement de l'arithmétique. Catherine Stern devint son assistante de recherche de 1940 à 1943 (mort de Wertheimer). C'est en lien avec les travaux de Wertheimer que Catherine Stern donna à sa méthode le nom d'" arithmétique structurelle ". En 1944 Stern fonda la Castle School. Elle présenta sa méthode et son matériel d'enseignement en 1949 dans : . Son matériel fut distribué aux Etats-Unis à partir de 1950 par Houghton Mifflin et rapidement en Grande Bretagne (où il disparut au milieu des années 1980 mais fut redécouvert dix ans plus tard par les créateurs de Numicon qui empruntèrent largement le matériel mais remplacèrent notamment les blocs par les réglettes Cuisenaire). Aux Etats-Unis la famille de Catherine Stern continue de former des enseignants et de distribuer son matériel.

Catherine Stern avait d'abord utilisé des réglettes non-colorées dont les enfants comptaient les unités pour distinguer les réglettes les plus longues. Elle jugea préférable d'attribuer une couleur à chaque réglette pour que chacune soit immédiatement reconnue. Elle fit l'expérience que les enfants ne faisaient pas de confusion entre les couleurs et les quantités qui leur étaient associées. Afin de s'en assurer elle n'utilisait pas forcément les mêmes couleurs pour son autre matériel phare : les " pattern boards " (planchettes trouées pour recevoir des cubes-unités selon une organisation spatiale identique à celle des plaquettes Herbinière-Lebert qui groupe les unités par deux).

Certes les couleurs des réglettes n'illustrent pas des relations entre les quantités représentées mais permettent seulement de bien distinguer les réglettes entre elles et particulièrement deux réglettes de longueur proche. Il semble pourtant que le matériel échappe au risque d'un simple apprentissage de correspondances entre couleurs. D'une part c'est la visée explicite constante de Catherine Stern d'enseigner la structure des nombres. D'autre part sur chaque réglette sont représentées les unités qui la composent. Enfin, la compréhension des nombres se fait en parallèle avec les " pattern boards " qui organisent différemment les collections témoins, avec le même objectif de mettre en relation les quantités. L'élève ne photographie donc pas des couleurs ou des organisations spatiales mais il accède par des représentations analogiques distinctes aux mêmes rapports entre des quantités.

Certes l'élève pourrait se contenter de compter les cubes composant chaque réglette. Mais la couleur permet d'identifier plus rapidement la réglette et le comptage n'intervient qu'en vérification éventuelle. Par ailleurs il vient en un deuxième temps dans la démarche didactique de Stern. Les premiers exercices avec de tout jeunes enfants se font au moyen d'une planche dans laquelle sont creusées des rigoles graduées pouvant accueillir les réglettes ordonnées de 1 à 10. L'enfant apprend à faire correspondre les réglettes avec les rigoles de longueur identique sans passer par le comptage ni le nom des nombres mais seulement par la comparaison sensible des longueurs. Plus tard les enfants utilisent un rail numérique ( number track) dans lequel les réglettes sont mesurées sans compter un à un.

Pour autant que je puisse en juger théoriquement, l'alliance de la couleur, de la graduation et d'une autre représentation analogique est très pertinente au regard des écueils qu'on peut rencontrer en utilisant des réglettes et l'invention de Catherine Stern est sans doute la plus proche de ce que proposera plus tard Rémi Brissiaud.

La " bûchette d'or " de la Française Paulette Calcia (1904-1985)

Matériel méconnu, les bûchettes de Paulette Calcia furent inventées en 1959 " pour l'enseignement des quatre règles d'arithmétique, pour la formation et la décomposition des nombres dans les grandes sections maternelles et les cours préparatoires ". Ce matériel apporte une solution intéressante en permettant de visualiser successivement plusieurs représentations du nombre : deux faces opposées étaient graduées, une autre donnait l'écriture chiffrée du nombre, une dernière était vide, " de manière à ce que l'éducateur puisse s'assurer d'une part que l'enfant se représente bien les unités, à la vue des faces graduées [...] et d'autre part que l'enfant est capable de décomposer les chiffres, à la vue de la face numérotée [...] et enfin que l'enfant est apte à évaluer les grandeurs à la vue de la face vierge [...] de chaque bûchette. " (Cf. brevet de 1967 précisant celui de 1959).

" Pour les écoles maternelles, il est recommandé de se servir d'abord de la face unie, ensuite de la surface graduée, en troisième lieu de la surface chiffrée. " (Cf. notice)

Je regrette l'utilisation quelque peu passive de la Bûchette d'or, préconisée par Paulette Calcia dans son deuxième brevet d'invention, qui ne met pas en valeur l'anticipation par l'élève du résultat d'un calcul et omet de présenter l'intérêt du matériel comme outil de validation de cette anticipation et de sa stratégie : " On apprend à l'enfant à reconnaître le bâtonnet d'après le nombre de cases qu'il comporte. L'enfant peut faire une addition élémentaire ; par exemple pour additionner 3 et 4, il choisit les bâtonnets 3 et 4 qu'on lui a indiqués comme représentant respectivement les nombres 3 et 4. Il les met bout à bout et voit que l'addition de ces deux bâtonnets donne le chiffre 7. "

En revanche, certaines graduations des bâtonnets Calcia permettent avec bonheur de reconnaître les nombres en s'appuyant sur la reconnaissance rapide de certaines de leurs décompositions plutôt que sur le comptage 1 à 1 : " Pour mieux repérer certaines graduations caractéristiques et permettre à l'enfant de mieux compter, certains traits départageant les cases sont plus renforcés et plus longs, c'est ainsi pour les graduations du milieu des chiffres pairs 4, 6, 8 et 10. Dans le cas du chiffre 9 représenté par le bâtonnet comportant neuf cases, ce sont les graduations départageant le bâtonnet en trois parties égales qui sont renforcées. "

Le " Rechenkasten " d'Artur Kern (1902-1988)

Artur Kern, d'abord auteur d'ouvrages sur l'orthographe et la lecture, présenta son matériel de calcul en 1955. Familier des travaux de Piaget, Gattegno et Stern, il choisit pour ses barres colorées de représenter la décomposition de chaque nombre en facteurs 2, 3, 4, ou 5 (ou en somme de nombres identiques et du complément) par l'alternance de couleurs sur chacune des quatre faces rectangulaires des barres (par exemple 8 est décomposé en : 2+2+2+2 ; 3+3+2 ; 4+4 ; 5+3 ; cette décomposition est représentée par l'alternance des nuances foncée et claire de la couleur attribuée à chacun des facteurs). D'autre part la face carrée supérieure de chaque barre est colorée de la couleur du plus grand diviseur strict du nombre représenté (par exemple : 8 est de la couleur de 4 ; 9 de la couleur de 3 ; 7 est incolore).

Les barres sont fabriquées en bois clair avec des rainures entre les cubes-unités de base. En plus des dix barres colorées, des barres longues de 1 à 5 cubes sont de couleur naturelle. Elles servent notamment pour représenter les soustractions. Il y a 33 pièces au total qui comptent en tout 100 cubes.

Les barres comptent quatre familles de couleur (bleu, jaune, vert, rouge) et deux nuances par couleur (foncé et clair) :

5 (rouge) ; 5+1, 5+2, 5+3, 5+4, 5+5 (rouge foncé et rouge clair)

4 (vert) ; 4+1, 4+2, 4+3, 4+4 (vert foncé et vert clair) ; 4+4+1, 4+4+2 (alternance de vert foncé, et vert clair)

3 (jaune-orange) ; 3+1, 3+2, 3+2, 3+3 (orange et jaune clair) ; 3+3+1, 3+3+2, 3+3+3, 3+3+3+1 (alternance d'orange et jaune clair)

2 (bleu) ; 2+1, 2+2 (bleu foncé, bleu clair) ; 2+2+1, 2+2+2, 2+2+2+1, 2+2+2+2+2 (alternance de (bleu foncé et bleu clair)

Les faces des barres sont colorées comme suit :

Kern fit un choix similaire à celui de Posner et Langer, Müller, Cuisenaire, Seton Pollock et - dans une certaine mesure - Calcia : celui de mettre en relation, sur la barre elle-même, une quantité avec une autre. Il se rapproche sans doute plus de Müller par sa volonté de représenter un grand nombre de décompositions.

Son matériel échappe donc parfaitement à la critique de Rémi Brissiaud concernant les réglettes indivises de Cuisenaire pour des enfants de grande section de maternelle. Nul besoin ici de " conventions difficiles à construire avec de jeunes enfants " puisque il est inutile de comparer une réglette " 7 " avec sept unités mises bout à bout. Et pour autant l'enfant n'est pas conduit par le matériel à compter 1 à 1 mais il est constamment renvoyé à des relations. Je me demande toutefois comment le Rechankasten de Kern favorisait l'anticipation, puisqu'un pédagogue non averti pouvait se contenter de faire constater aux enfants les relations représentées sur la barre.

Les " réglettes avec cache " du Français Rémi Brissiaud

Les réglettes avec cache ont été décrites par Rémi Brissiaud en 1989 dans Comment les enfants apprennent à calculer et éditées la même année par Retz. Elles sont constituées de petits carrés en carton de 2cm sur 2 cm pointés en leur centre. Ces unités sont juxtaposées pour former des réglettes de 2 à 10 carrés. Des " caches " en carton permettent de masquer 5 points d'une réglette. Un autre jeu de réglettes contient aussi 10 réglettes mais les 5 premiers points sont d'emblée masqués par un cache. On appelle ces dernières " réglettes avec cache ".

Le matériel pour 6 élèves comprend : 110 carrés unités, 4 jeux de réglettes sans cache contenant chacun dix réglettes qui correspondent respectivement aux nombres de un à dix, 6 jeux de réglettes sur lesquelles une suite de cinq unités est remplacée par un cache, 28 caches de cinq, 8 réglettes de dix constituées par la juxtaposition de deux caches de cinq.

Ce matériel permet de s'appuyer sur le groupement de 5, comme les mains, pour reconnaître rapidement un nombre. Il permet aussi de mettre en relation des quantités plutôt que de compter 1 à 1. Par exemple : une réglette de 6 avec cache (5 points cachés et 1 visible) et une réglette de 2 peuvent être analysées comme 5+3=8.

Comme avec les autres réglettes on peut schématiser les relations numériques, anticiper et vérifier en posant la réglette correspondante sous d'autres réglettes juxtaposées. Mais ici l'enfant est amené plus explicitement à pratiquer un " calcul pensé ". Brissiaud donne l'exemple d'un élève qui chercherait à savoir ce qu'il faut ajouter à 3 pour avoir 7.

Les réglettes avec cache permettent deux schématisations dont la solution ne s'obtient pas tout de suite en comptant 1 à 1. A gauche il faut chercher le complément à 5 et ajouter 2 ;à droite il faut chercher ce qui reste quand on retire 1 à 5.

Rémi Brissiaud n'avait sans doute pas trouvé là la solution définitive aux problèmes qu'il cherchait à résoudre. C'est pourquoi les réglettes avec cache furent remplacées ultérieurement, par les " boîtes de Picbille ".

Les " boîtes de Picbille " de Rémi Brissiaud

Les " boîtes de Picbille " ne peuvent pas être qualifiées strictement de réglettes au sens des outils précédemment évoqués car ce sont des boîtes compartimentées de longueur identique dans lesquelles sont placées des jetons déplaçables. J'en parle tout de même au titre d'évolution des " réglettes avec cache " de Rémi Brissiaud (qu'elles ont remplacées) et d'ancêtre revendiqué des " Noums " du même Brissiaud.

Dans la version initiale des boîtes de Picbille, les deux compartiments de 5 cases étaient dissociables, ce qui occasionnait des confusions chez certains élèves entre une boîte de 10 et une boîte de 5. Brissiaud réunît donc les deux boîtes en 2012 en séparant les deux compartiments avec un repère noir. A la même date le système de fermeture des couvercles permit aussi de repérer la 3 ème case de chaque compartiment (là où un décrochage permet de placer le pouce pour ouvrir le couvercle) et de s'appuyer sur le repère 3 (limite de la quantité d'objets perceptible immédiatement) pour représenter 5.

L'emploi des jetons déplaçables renforce-t-il l'action par rapport à l'emploi des réglettes ? L'emploi de deux caches renforce en tout cas la simulation mentale. De ce point de vue le même objectif aurait sans doute pu être atteint avec des réglettes insérées dans un rail avec caches (cette invention avait d'ailleurs été déposée à l'I.N.P.I. par Brissiaud en 1986 dans son "dispositif pour enseigner les concepts arithmétiques" dont les "réglettes avec cache" sont une application).

Mais l'emploi de jetons présente tout de même un avantage si l'élève doit anticiper comment une collection de jetons inorganisée remplira ses boîtes de Picbille (Cf. la deuxième situation de l'activité décrite dans la notice : " Les jetons sont en dehors des boîtes : Combien y aura-t-il de boîtes pleines et de jetons isolés ? ") Les enfants groupent les jetons par 10 et ceux qu'on ne peut pas grouper par 10 sont disposés comme sur les points d'un dé à l'aide du groupement intermédiaire de 5 qu'on retrouve aussi dans les boîtes. Brissiaud ne précise pas comment se fait le groupement par 10. On peut penser qu'il utilise aussi le groupement par 5 en s'aidant de la collection témoin des points du dé, mentalement d'abord pour les plus experts, puis éventuellement en déplaçant les jetons.

En effet, comme le dit ailleurs Rémi Brissiaud, l'élève doit aussi apprendre à organiser lui-même les collections en s'aidant de l'organisation figurale des collections témoins conventionnelles. Rémi Brissiaud considère en effet que, pour accéder à une organisation mentale des nombres, l'enfant doit s'appuyer sur une organisation figurale mais aussi la dépasser, non seulement en variant les organisations figurales (doigts de la main, dés, Herbinière-Lebert, etc.) mais aussi en organisant lui-même des groupements. Il donne l'exemple de ces deux collections :

" Ces collections ne sont pas organisées de manière classique et pourtant, dès qu'un enfant analyse chacune de ces figures comme ayant 4 points sur la gauche et 1 point sur la droite, ou bien encore comme ayant 3 points en haut et 2 points en bas, il faut considérer ces collections comme des collections organisées. En effet, le mot " organisé " renvoie avant tout à une organisation mentale et c'est en variant l'organisation figurale que l'enfant accède à l'organisation mentale, jusqu'à analyser ainsi des collections qui n'ont plus aucune organisation figurale, l'enfant formant lui-même les groupements. Ainsi, si l'on voulait être précis, il faudrait parler de collections dont l'enfant sait analyser l'organisation figurale pour, dans un second temps, utiliser cette organisation alors qu'elle n'est plus prégnante de façon figurale. "
Le rôle des collections-témoins organisées autour du repère 5.
Les " noums " de Rémi Brissiaud (2 ème partie)

Présentons maintenant en détail les caractéristiques des " noums " de Rémi Brissiaud.

La première nouveauté des " noums " par rapport aux réglettes précédentes est la représentation des quantités par des collections-témoins organisées autour du repère 5. Ces représentations sont mises en valeur sur les " noums " de telle sorte que les décompositions privilégiées visuellement par les réglettes en elles-mêmes sont les décompositions 5+n, à la différence de celles privilégiées par Cuisenaire (doubles) et Pollock (multiples).

Ajoutons que les " noums " 3, 5, 8 et 10 n'ont pas des yeux semblables, au contraire des autres " noums ".

Le " noum " 5 a un seul œil, qui est fermé car il est le repère sur lequel s'appuie les nombres représentés par les " noums " 6 à 10.

Le " noum " 10 ouvre un grand œil central entouré de 9 petits yeux ouverts : il me semble que ce grand œil ouvert fait écho à l'œil fermé du " noum " 5 comme pour signifier que le repère du 5 prépare le repère du 10. Dessiner un grand œil central sur le " noum " 10 c'est aussi signifier que 10 est une nouvelle unité et un repère fondamental pour les nombres supérieurs. Quant au choix de dessiner 9 autres yeux plus petits en couronne plutôt que de continuer à s'appuyer sur le repère du 5, c'est peut-être encore pour manifester que 10 est un nouveau repère.

3 et 8 ont les yeux fermés car ils sont des repères intermédiaires à 5 et 10. Dans l'introduction à l'édition 2016 de sa méthode " Picbille ", Brissiaud introduisait le repère du 3 en traçant une croix sur les jetons correspondant (3 ème et 8 ème jeton d'une collection de 10 jetons alignés regroupés par 5). Il rappelait que 3 est le nombre limite d'unités que l'être humain peut traiter en un seul focus de l'attention. Avec des unités alignées, un enfant doit donc utiliser le repère 3 pour utiliser le repère 5. Concrètement, l'élève identifie ici 5 comme 2+1+2. Notons que les particularités des yeux de 3 et 8 ne se retrouvent pas dans la version épurée des " noums " avec des points à la place des yeux.

Rémi Brissiaud améliore aussi un procédé utilisé par Catherine Stern. Avec elle la compréhension des nombres se fait, en parallèle des réglettes graduées, avec les " pattern boards " qui organisent différemment les collections témoins (autour du repère 2 comme Suzanne Herbinière-Lebert[lxii]), avec le même objectif de mettre en relation les quantités. L'élève ne photographie donc pas des couleurs ou des organisations spatiales mais il accède par des représentations analogiques distinctes aux mêmes rapports entre des quantités. Avec Brissiaud non-seulement on dispose d'une collection-témoin organisée mais elle est présente aussi sur la réglette. Et par ailleurs les unités de base composant les réglettes (le " noum 1 ") peuvent être organisées sur l'écran en collections témoins privilégiant le repère 5 ou le repère 2. On utilise à cet effet d'une part des réglettes à deux compartiments de 5 cases mis bout à bout, similaires aux " boîtes de Picbille " inventées par Brissiaud pour ses précédents manuels ; d'autre part des grilles de deux colonnes de 5 cases chacune qui se remplissent comme les plaquettes Herbinière-Lebert (et Stern). Et pour faire bonne mesure, d'autres nombres figuraux sont mobilisés à la place des " noums " (doigts, schémas de doigts ou dominos privilégiant le repère 5) dont l'élève devra anticiper comment ils " rempliront " les deux " boîtes ".

Le rôle des couleurs

Les deux teintes grise et noire sont respectivement attribuées aux réglettes 5 et 10 et c'est là le seul rapport entre quantités clairement illustré par les couleurs des réglettes. Il semble bien que les couleurs attribuées à chaque réglette n'illustrent (et ne privilégient donc) aucune relation arithmétique entre les nombres : il n'y a pas de regroupement par famille de multiples (Pollock) ou de doubles (Cuisenaire) par exemple.

La couleur des " noums " a pour seule utilité manifeste d'aider à distinguer chaque " noum " d'un autre et si elle sert à titre secondaire d'aide-mémoire c'est pour fixer dans l'esprit les collections témoins d'yeux ou de points qui figurent en haut de chaque " noum ". Ce sont ces collections-témoins qui sont décomposées et apprises par les élèves, pas les couleurs. Rémi Brissiaud précise : " la couleur n'est pas une propriété mathématique, elle peut même créer un obstacle à la compréhension chez les enfants les plus fragiles : ceux qui s'efforceraient de reconnaitre les Noums à partir de leur couleur n'ont pas accès au repère 5 qui, lui, a partie liée avec la compréhension (conceptualisation) des nombres. "(*)

Les couleurs retenues sont les couleurs primaires (qui ne peuvent être obtenues par le mélange d'autres couleurs) et les secondaires (obtenues par mélange de deux primaires), auxquelles il faut ajouter le noir (obtenu par mélange des trois primaires), le gris (mélange de noir et de blanc), le marron (obtenu par mélange de rouge et de noir) et le rose (obtenu par mélange de rouge et de blanc).
Le rôle des textures des monstres
La visée de plus grande distinction des couleurs entre elles est marquée par le souci de distinguer particulièrement les couleurs de deux nombres qui se succèdent (dont le " noum " a une longueur supérieure ou inférieure d'une unité) : autant que possible elles n'ont pas de couleur en commun. Pour représenter la suite des nombres, Brissiaud place en effet un " noum " de couleur primaire proche d'un " noum " d'une autre couleur primaire ou bien d'une couleur complémentaire (mélange de deux autres couleurs primaires, qui se trouve à l'opposé dans le cercle chromatique). Le noir et le gris échappent à la logique pour marquer l'importance de 5 et 10.
Le rôle des expressions des monstres
Puisqu'il qu'il n'y a que 6 couleurs primaires et secondaires, il fallait ajouter deux couleurs. Le rose (mélange de rouge et de blanc) pour le " noum 8 " et le marron (mélange de rouge et de noir) pour le " noum 9 " ont peut-être été choisis comme nuances de rouge de la plus claire (blanc) à la plus foncée (noire) pour progresser vers le noir du " noum " 10. Pourquoi des nuances du rouge (couleur du " noum " 3) et pas d'une autre couleur primaire ? Par analogie avec les " boîtes de Picbille " conçues par Rémi Brissiaud : à la troisième et à la huitième case une encoche était pratiquée pour le doigt et servait de repère (de même Brissiaud met en relief le troisième doigt dans les schémas de doigt de l'application Les Noums). Le rouge pour le " noum 3 " et le rose (composé de rouge) pour le " noum " 8 (5+3) servent donc de repère dans une représentation mettant en valeur le nombre 5. En effet Brissiaud rappelle que 3 est le nombre limite d'unités que l'être humain peut traiter en un seul focus de l'attention. Avec des unités alignées, un enfant doit donc utiliser le repère 3 pour utiliser le repère 5.
Le rôle des sons proférés par les monstres
Dans le même esprit qu'avec les couleurs, la texture des " noums " varie beaucoup pour distinguer chaque quantité : les trois premiers " noums " sont lisses, les trois suivants sont poilus, les deux d'après lisses, le suivant piqueté, le dernier strié. Et leur contour varie : extrémités plus ou moins anguleuses ou arrondies ; tracé droit, flottant ou hachuré. Etc.
Le rôle des unités de base cachées/dévoilées
Les visages des monstres et les sons qu'ils profèrent illustrent la visée de distinction de chaque " noum ". Chacun a sa propre expression. Je la décris telle que je la vois et que je l'entends : émerveillée (1), joyeuse (2), narquoise (3), triste (4), ... (5), apeurée (6), sereine (7), en colère (8), demeurée (9), ... (10). Là encore 5 et 10 échappent à la classification pour marquer leur importance dans les stratégies de calcul au sein du système décimal.

Brissiaud attribue une hauteur de note à la voix de chaque " noum " : de la plus aigüe à la plus grave de 1 à 5 et à nouveau de 6 à 10. Les sons jouent un rôle pour distinguer la représentation de chaque quantité, pour représenter l'itération de l'unité et pour s'appuyer sur le repère 5. Cette possibilité technique aurait ravi Cuisenaire : pour regrouper les quantités en familles de doubles, il s'était appuyé sur le fait qu'un tuyau d'orgue dont la largeur est le double d'un autre tuyau produit une note plus basse d'une octave.

En plus des collections témoins d'yeux organisées autour du repère 5, l'autre innovation importante apportée par Rémi Brissiaud est le "scanner" ou "radio". Le dévoilement des unités de base qui composent les " noums " se fait soit en plaçant sur eux une sorte d'appareil de radiographie qui montre ce qu'ils ont dans le " ventre ", soit en découpant du doigt les " noums " pour décomposer un nombre en plus petits nombres. Le dénombrement des unités de base sert ainsi soit à vérifier une anticipation (radiographie) soit à opérer sur les quantités elles-mêmes une fois comprises leurs relations. Compter ne dispense donc pas ici de comprendre les relations entre les quantités. Brissiaud améliore ainsi un procédé expérimenté dans une certaine mesure par Paulette Calcia avec sa " bûchette d'or " : la visualisation successive de deux représentations de la quantité. Peut-être d'ailleurs que ce procédé gagnerait à être introduit sur les " noums " solides manipulés par les élèves (graduer la face opposée à la collection témoin organisée) ?

Précisons la différence qu'il y a, du point de vue de la représentation mentale chez les élèves, entre couper un "noum" et radiographier un "noum" pour voir ce qu'il a dans le corps.

Quand un élève aux compétences fragiles coupe un "noum 4" avec son doigt autant de fois que possible, et que le "noum" se décompose en quatre unités de base, il peut penser que c'est à cause du nom du "noum", qu'il s'agit d'une simple règle : le "noum 4" donne 4. Ce n'est pas parce que nous sommes sur un écran que n'importe quelle convention peut être comprise par les élèves. Brissiaud s'est donc appuyé sur un ancrage dans le réel. Il a fait l'expérience que le scanneur / la radio justifie aux yeux des enfants les effets du découpage : c'est parce que le "noum 4" a quatre "noums" unités dans le corps qu'il peut être découpé en quatre noums unités.

Il faudrait approfondir enfin, mais Brissiaud l'a fait lui-même[lxiii], ce qu'apportent les " noums " (et l'usage de leur radiographie) à la modélisation de problèmes arithmétiques par rapport, notamment, à la " méthode de Singapour " dans laquelle " il y a un saut important entre la phase de manipulation et celle de modélisation ".

S'il faut chercher un ancêtre privilégié aux " noums " de Rémi Brissiaud, il me semble que c'est davantage Catherine Stern (qu'il ne mentionne pas concernant les " noums " ni dans Comment les enfants apprennent à calculer) que Georges Cuisenaire.

Par ailleurs, avec ses choix et les possibilités techniques dont il dispose, Brissiaud me semble avoir gagné sur tous les tableaux :

Il utilise des barres avec des unités représentées alignées, sans doute pour faciliter les mises en relation des quantités et représenter clairement l'itération de l'unité mais :

Pour éviter le comptage 1 à 1 (inévitable au-delà de 3 unités alignées sur des réglettes graduées) ou le simple apprentissage d'associations de couleurs (risque des barres indivises de Cuisenaire et Pollock), il s'appuie sur le repère 5 (comme Posner et Langer) et sur d'autres collections témoins organisées (comme Catherine Stern).

Je m'interroge plus sur les réglettes solides que Rémi Brissiaud utilise en parallèle de sa méthode avec support informatique. Quel est leur statut dans la mesure où elles sont forcément déficientes par rapport aux possibilités de l'écran ? Auraient-elles pu être graduées au dos ? Dans 15 ans on créera peut-être des barres empoignables qui rendront l'écran inutile : elles pourront dévoiler/masquer leurs unités de base à volonté, les scinder ou les rassembler par magnétisme, changer de couleur quand un nombre est recomposé, etc. En attendant, l'outil développé par Brissiaud et DragonBox est excellent et j'attends avec intérêt les retours des classes pionnières de CP.

Gonzague Jobbé-Duval, octobre 2019 (dernière modification le 16 février 2020).

Professeur des écoles. Ni mathématicien ni germanophone, ce qui serait utile à celles et ceux qui voudraient creuser la question et exploiter pleinement les sources.

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+ Note pour plus tard : Il faudra que j'aborde un jour le manuel de Guy Brousseau pour la première année d'école primaire conçu en 1962-1963 et paru en octobre 64 (daté de 1965) : BROUSSEAU, G. (1965) ; Les Mathématiques du cours préparatoire, premier fascicule ; Dunod (60 p). Il s'appuyait sur des baguettes de longueurs et de sections différentes, colorées.

En voici un commentaire par Brousseau : "Cet ouvrage en forme de manuel est un manifeste pour l'enseignement des " Mathématiques modernes " et même une sorte de provocation : les leçons et les exercices y sont suggérés de façon tout à fait laconique par des dessins. De nombreux concepts de la future Théorie des Situations s'y dissimulent, mais peuvent être déjà identifiés.

Les exercices suggérés dans cet ouvrage ont été adaptés pour être effectivement utilisés à l'école maternelle. Les préparations des leçons ont été publiées en 1972, par l'éditeur Hachette, sous le titre " Préparations et commentaires à l'usage de la maîtresse de classe maternelle ". Le compte rendu de l'interprétation qui en a été faite par les enseignantes a été publié, la même année, dans un second volume " mathématiques et thèmes d'activités ". Ces deux ouvrages étaient regroupés sous le titre " Première Mathématique " ( à consulter sur ce site)."

Jubilatoire de voir son travail commenté avec autant d'intelligence. Quelle érudition ! Quelques pts d'histoire seraient à préciser: j'ai été contacté par DragonBox alors que les noums existaient déjà. J'ai ajouté le code 5 pour les yeux, le scanner, la boite, la file de boites... https://t.co/ETm8zC9nFl
- Brissiaud Rémi (@BrissiaudRemi) October 31, 2019

Fritz Adam a notamment publié :

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Les Noums de Brissiaud : ancêtres et enjeux

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À l'occas ion de la visite du ministre de l'éducation de Singapour dans une classe française expérimentant sa nouvelle méthode de compréhension des nombres, Rémi Brissiaud évoquait ses sources d'inspiration : " Sur le Facebook du ministre, Les Noums-CP est présenté comme s'inspirant de la méthode de modélisation de Singapour.