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El objetivo de la estimación puntual es aproximar el valor del parámetro desconocido (tiempo medio de ejecución de un algoritmo, altura media de las mujeres de una población, diferencia del resultado medio entre dos tratamientos médicos, proporción de gente que mejora con un tratamiento médico…)

Para ello se utiliza la información de la muestra
(x1, x2,…, xn)
(x1,x2,…,xn), a través de un estimador.

Algunos estimadores frecuentes son:

Media muestral, para estimar la media teórica de una variable X.

x= x1 + ⋯ + xn
n

Proporción muestral, para estimar una proporción p:

Varianza muestral: para estimar la varianza teórica de una población, se puede usar la varianza de una muestra:

Cuasi-varianza muestral:

En el capítulo de estadística descriptiva, ya comentamos que el R, por defecto, al calcular la desviación típica de una muestra, mediante el comando sd, calcula directamente la cuasi-varianza y luego obtiene la raíz cuadrada.

La evaluación del estimador sobre la muestra fija da lugar a una estimación puntual.

Cálculo de la media muestral tomando la muestra fija

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Estamos diciendo que un estimador es una aproximación de un parámetro teórico o desconocido de una población. Para estimar la media de la altura de una población, podemos seleccionar una muestra y calcular la media aritmética de la muestra. Ahora bien, también tendría sentido usar como estimador el siguiente:

¿Cuál de los dos se aproxima más al verdadero valor desconocido? En principio, no habría manera de saberlo, puesto que deberíamos conocer el valor teórico (el desconocido). Por eso, interesa estudiar propiedades de los estimadores, que nos permitan decidir entre usar unos u otros para los casos concretos.

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Una primera propiedad deseable para un estimador es que el centro de la distribución de los valores que puede tomar coincida con el valor del parámetro que queremos aproximar.

A esta propiedad se le llama insesgado. Así, un estimador insesgado es aquel cuya media coincide con el valor del parámetro a estimar.

Veámoslo con un ejemplo para entenderlo mejor: supongamos que deseamos tener una estimación de la estatura media de los hombres mayores de 18 en una población. Podriamos ponernos en medio de la calle y seleccionar aleatoriamente una muestra de n hombres, medir su estatura (o preguntársela) y calcular después la media aritmética de los datos obtenidos. Esa sería una estimación puntual; llamémosla x1

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Algunos estimadores insesgados de mínima varianza son:
-La media muestral cuando la muestra proviene de una distribución normal.
-La varianza muestral cuando la muestra proviene de una distribución normal.
-La proporción muestral cuando la muestra proviene de una distribución binomial.

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-Método de los momentos
Se basa en igualar los momentos muestrales con los momentos poblacionales.
-Método de máxima verosimilitud
Se basa en maximizar la función de verosimilitud MV (que mide lo verosímil o creíble que resulta cada valor de θ cuando se ha obtenido una muestra concreta).

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-El EMV siempre esta dentro del espacio paramétrico.
-El estimador de máxima verosimilitud es, bajo condiciones generales, se distribuye asintóticamente (cuando el tamaño muestral tiende a infinito) según una normal.
-El EMV es un estimador consistente (en el limite, para muestras grandes, tiende a tener el valor del parámetro).
-El EMV es asintóticamente insesgado (tiende a ser insesgado).
-El EMV es asintóticamente eficiente (tiende a tener mínima varianza)

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Es el segundo ejercicio