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Determinar, analíticamente: i) el alcance, ii) la altura máxima e iii) el tiempo que permanece en el aire, para un objeto lanzado, desde el piso, con la siguiente velocidad inicial

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Utilicen el siguiente simulador para realizar el lanzamiento de una bala de cañón

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En este caso, el vector ya se nos da expresado en sus componentes de "x" y "y". El primer termino, 8i, indica su velocidad en el componente "x", (v0x), mientras que el segundo término, 10j, indica si velocidad en el componente "y", (v0y). Al tener los componentes de los vectores no es necesario usar las fórmulas de v0x = v0cos(theta) o v0y = v0sen(theta), ya que nos da directamente el valor.

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Procedimiento. (Tiempo que permanece en el aire).

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Procedimiento. (Tiempo que permanece en el aire).

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Para sacar lo pedido en el ejercicio usamos una fórmula para graficar la parábola que este vector crea. La fórmula utilizada fue: y(t) = v0y(t)-1/2(g)(t^2).
Donde:
y(t) = posición del objeto
t = tiempo
v0y = velocidad inicial en el componente "y"
g = gravedad
Lo primero fue calcular el tiempo en el que el objeto termina su recorrido, es decir, donde su altura es 0.
Por lo que sustituimos los valores conocidos. Gravedad como 9.81 y "y(t)" como 0.
Luego resolvimos para hacer la ecuación más sencilla y factorizamos el tiempo para poder conocer su valor, ya que es lo que nos interesa.
Al despejar la variable "t", podemos concluir que el tiempo tomar el valor de 2.04 seg, al volver a tocar el piso.

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Aquí lo que nos dan es una velocidad inicial del proyectil y el ángulo de salida del mismo, por lo que para empezar con el procedimiento lo primero que tenemos que hacer es descomponer su velocidad inicial en sus componentes "x" y "y" ya que más delante trabajaremos con estos.

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Al conocer el tiempo total del objeto en el aire, tomando en cuenta que no hay fuerzas externas, podemos asumir que el objeto alcanza su altura máxima a la mitad del tiempo total, ya que es cuando va a la mitad de su recorrido.
Usamos la misma fórmula con la que calculamos el tiempo,
y(t) = v0y(t) - 1/2(g)(t^2). Solo que ahora sustituiremos la variable "t", para poder conocer la posición del objeto.
Antes de sustituir la "t", hay que tomar en cuenta que la altura máxima se alcanza a la mitad de su recorrido, por lo que se dividirá el tiempo sobre 2, para conocer la altura máxima.
Se sustituye "t" como 1.02 seg, "g" como 9.81 m/s^2 y "v0y" como 10 m/s
Finalmente resolvemos y nos dará como resultado el número 5.1 m, indicandonos su altura máxima.

# data[].attributes.body
Una vez aplicadas las fórmulas que obtuvimos en base a las funciones trigonométricas lo único que tenemos que hacer es sustituir y resolver.
V0x = (30m/s)(Cos 70) = 10.26
V0y = (30m/s)(Sen 70) = 28.19

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Procedimiento. (Tiempo que permanece en el aire)

# data[].attributes.subject
Procedimiento. (Tiempo que permanece en el aire)

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En este caso debemos utilizar la fórmula de este vector (al ser una parábola hacia abajo sabemos que será de naturaleza cuadrática negativa) la cual será:
y(t) = v0y(t) -1/2(g)(t^2)
Donde:
t = tiempo
v0y = velocidad inicial en el componente "y" = 28.19 m/s
g = gravedad = 9.81 m/s^2
Para resolverla lo que tenemos que hacer primero es igualar a cero la función (ya que es en este momento cuando termina su recorrido el vector).
Luego despejamos la "t" que es el tiempo que buscamos (Para despejar en este caso lo que podemos hacer es factorizar para obtener los dos valores de "t").
Una vez despejado el término que buscamos sustituimos los valores (la V0y y la gravedad) y así obtenemos el valor de t que nos indica el tiempo en que el vector vuelve a una altura 0, es decir, que el proyectil vuelve a llegar al suelo y que en este caso fue de:
t = 5.75s.

# data[].attributes.body
Para calcular el alcance del objeto tomamos ahora la velocidad en el componente "x", es decir v0x y la usaremos en la fórmula x= v0x (t).
Donde:
v0x = velocidad inicial en "x"
x = alcance
t = tiempo
Se sustituirá el valor del tiempo total en que el objeto terminó su recorrido en la variable "t", es decir 2.04 seg. Mientras que se tomará el valor del componente en "x" del vector para la "v0x".
Finalmente resolvemos y nos dará como resultado 16.32 m, indicándonos el alcance del objeto.

# data[].attributes.body
Para obtener la altura máxima (también conocida como "ymáx" debido a que es el valor más alto en el eje de la "y" dentro de nuestra gráfica) utilizamos nuevamente la función:
y(t) = v0y(t) -1/2(g)(t^2), pero ahora lo que hacemos es sustituir el valor de "t" (5.75s), junto con "V0y" (28.19m/s) y "g" (9.81m/s^2).
Antes de sustituir el tiempo tenemos que considerar que el punto máximo de nuestra gráfica se encuentra a la mitad de su recorrido, es decir, a la mitad del tiempo que le toma al proyectil en caer, por lo que en lugar de sustituir el tiempo total ("tT") sustituimos el tiempo total entre 2 ("tT/2").
Al resolver la ecuación nos dará en valor del punto más alto en el eje "y", es decir, la altura máxima que para esta ecuación nos da:
ymáx = 40.5m

# data[].attributes.body
Para obtener el alcance máximo (también conocido como "xmáx") en este caso lo que tenemos que hacer es utilizar el componente en "x" de la velocidad y sustituirlo en la fórmula:
xmáx = (v0x)(tT)
Donde:
xmáx = alcance máximo en "x"
v0x = velocidad inicial en el componente "x" = 10.26 m/s
tT = tiempo Total = 5.75 s
El siguiente paso será sustituir todos los valores dentro de la ecuación y resolver, lo que en este caso nos dará el valor del alcance máximo ("xmáx") que para esta ecuación da un resultado de:
xmáx = 59m

# data[].attributes.body
Para comprobar nuestros resultados lo que podemos hacer es utilizar uno de los muchos simuladores y programas disponibles en la web (en nuestro caso usamos el simulador publicado al inicio de esta explicación).
Al introducir los datos de:
v0 = 30 m/s
θ = 70°
Nos da los valores que resolvimos en la parte de arriba, aunque de una forma un poco más acertada debido a que al hacerlos a mano se puede perder exactitud gracias a los decimales y el redondeo, por ejemplo, los resultados del simulador fueron:
tT/2 = 2.87
t = 5.74
ymáx = 40.51
xmáx = 59.05
Que como podemos observar son casi exactamente los mismos valores que obtuvimos, por diferencias de 0.1 o 0.05.

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Alexandro Herrera Carrasco - A01569090
José Daniel López Grajeda - A01569153
Erwin Vázquez Guerrero - A01563562
Dulce Estefania Gutierrez Carrillo - A01563665

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Para comprobar los resultados usamos un programa, en este caso Excel, para ver el comportamiento de nuestras variables. En la gráfica pusimos en el eje "x", su alcance, mientras que en el eje "y" colocamos su altura y lo podemos observar en la siguiente gráfica. Aunque no es el método más exacto para comprobar podemos concluir que nuestros resultados son correctos ya que los valores son muy parecidos.