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Teselado en la Alhambra, Granada, España

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Maurits Cornelis Escher (Artista neerlandes 1898-1972) nunca fue un estudiante sobresaliente y sus conocimientos matemáticos formales se reducían a los que tenía de la educación superior. Comenzó a estudiar arquitectura, pero lo abandonó para centrarse en su carrera de artista gráfico. A pesar de esta carencia teórica, las matemáticas y la geometría son un elemento clave de su trabajo. El holandés estaba tan interesado en conceptos como la teselación y la división regular del plano —que descubrió en la Alhambra de Granada en 1936 donde pasó días copiando cuidadosamente los diseños geométricos que decoraban el palacio— que los convirtió en un elemento central de su obra. Decenas de sus grabados están rellenos de repeticiones de figuras animadas cuyos espacios crean nuevas formas.

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"La Alhambra de Granada es la fuente de inspiración más fértil de todas las que he bebido". M. C. Escher

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La Alhambra de Granada fue concebida como el hogar del emir y su corte para mostrar el poderío de los sultanes nazaríes, y en su interior se encuentran algunos de los ejemplos más extraordinarios de arte andalusí.

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Un teselado regular o teselado con polígonos regulares es un teselado del plano que emplea un solo tipo de polígonos regulares. Estos patrones geométricos han sido ampliamente utilizados con fines decorativos desde la antigüedad. El primer tratamiento matemático sistemático del tema fue el de Kepler.

Un teselado regular es una familia de polígonos regulares, congruentes entre sí, que cubren completamente el plano euclidiano sin que haya superposiciones entre ellos. Hay solamente tres polígonos regulares que permiten teselar el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

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Límite circular IV (cielo e infierno (1960), xilografía de M. C. Escher

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(Grabado en madera, 1960). En esta obra Escher combina dos técnicas: por un lado, la partición regular del plano con un bello patrón combinado de ángeles y demonios, blancos y negros, que rellenan la escena sin huecos; por otro, el «límite infinito» de un modelo de disco de Poincaré. Este disco permite abarcar el infinito en un círculo de tamaño limitado, gracias a la geometría hiperbólica, en la que a medida que un punto se aleja del centro, es cada vez más pequeño.

Su serie Límite circular presenta teselaciones circulares cuyas piezas se hacen infinitamente pequeñas conforme se acercan al borde.

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Una teselación regular del plano consiste en cubrir todo el plano con polígonos regulares. Mientras que el plano euclidiano existen sólo tres teselaciones regulares (con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos), en el plano hiperbólico es posible construir infinitas teselaciones.

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Cascada (Litografía). Maurits Cornelis Escher. 1961

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La obra constituye uno de los ejemplos más característicos de la técnica de Escher: elaborar obras de arte a partir de determinados efectos ópticos. En esta ocasión, el efecto óptico elegido es uno originado por el problema de la representación del espacio tridimensional sobre la superficie bidimensional de un lienzo: es imposible distinguir un elemento que se extiende hacia el fondo de otro que se eleva si no es a través de ciertos juicios realizados por el cerebro apelando a criterios no únicamente geométricos.
La litografía está basada en una construcción geométrica imposible, el Triángulo de Penrose, desarrollado a la vez y de forma independiente por Oscar Reutersvärd en 1934 y por Roger Penrose en 1958.
Así, el agua, al no poder ascender, tiene necesariamente que fluir hacia el fondo de la figura. Pero, de repente, el cuadro, al hacer caer el agua en cascada, lanza un poderoso mensaje al cerebro de quien lo observa rompiendo sus certidumbres espaciales.

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La figura imposible que más destaca es el denominado triángulo de Penrose. Se trata de un aparente triángulo tridimensional que no se puede construir en la realidad. Aparenta ser un sólido construido por tres segmentos rectos cuya sección es cuadrada, cuya unión forma ángulos rectos. Tales propiedades no pueden darse a la vez en un cuerpo tridimensional en un espacio euclídeo. Esta figura, también llamada “tribar” fue creada por Oscar Reutersvärd y redescubierta por Roger Penrose años después.

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Las teselaciones de los mosaicos escherianos

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Las teselaciones de los mosaicos escherianos

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Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana. Cumple con dos requisitos: que no queden huecos y que no se superpongan las figuras. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Escher admiraba profundamente las teselaciones del complejo palaciego Alhambra, de Granada, España, y dedicó muchos años de su vida a la creación de diferentes series de teselaciones.
Sin duda, la parte fundamental de la obra de Escher la constituye la división regular del plano. Era su principal obsesión y forma parte, de una manera o de otra, de la mayoría de sus producciones. Desglosando el plano en figuras de pájaros, peces, reptiles y figuras humanas, como en un rompecabezas, Escher ha logrado incorporar muchas de sus divisiones del plano en composiciones memorables: los mosaicos escherianos.

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Un GIF (Graphics Interchange Format) es un archivo de imagen que se anima mediante la combinación de varias imágenes o un solo vídeo. Los archivos GIFs suelen usar un algoritmo de comprensión que se denomina codificación LZW que favorece la no degradación y pérdida de calidad de la imagen.
La imágenes dentro de un archivo GIF se muestran de forma sucesiva, lo que genera un pequeño vídeo animado sin sonido.

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Wayne Roberts, acuarela transparente sobre Fabriano rugoso, 56cm x 76cmuna composición interactiva intuitiva , colección de P & F Mitchell

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El discreto encanto de lo continuo y el continuo encanto de lo discreto

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El discreto encanto de lo continuo y el continuo encanto de lo discreto

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La matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. En cambio, la matemática continua estudia conceptos como la continuidad y el cambio continuo. Es decir, los procesos en matemática discreta son finitos y contables.

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Inicio:
1-Presentación los artistas M. C. Escher y Wayne Robert.
2-A continuación se explica la utilización de las técnicas matemáticas en sus obras: Teselado, Geometría hiperbólica, Triángulo de Penrose.

Desarrollo:
1ro-Teselado.
Cada estudiante recibe una figura con la que desarrollarán teselados variados.
2do-Geometría hiperbólica.
En grupos de dos estudiantes, reciben un círculo donde desarrollará una imagen, partiendo de la división del plano hiperbólico del Círculo de Poincaré. Deberá ser pintado de manera discreta (puntillismo) o continua (degrade).
3ro-Triángulo de Penrose.
Se desarrollará el concepto de bucle o ciclos eternos haciendo hincapié en el concepto de infinito.
Se propondrá la realización de un gif animado.
Se procederá a la explicación del recurso de stop motion utilizando la aplicación https://play.google.com/store/apps/details?id=com.cateater.stopmotionstudio

Cierre:
Se subirán todos las producciones a la plataforma Padlet.

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Create and Edit animations from images, stickers and text