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Juego Pasapalabra adaptado a los contenidos de estadística. Sirve para asimilar conceptos una vez estudiados y conocer diferentes definiciones de estos.

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Hilos de twitter que van explicando los contenidos añadiendo animaciones  permitiendo una mejor comprensión de los conceptos. Se publican posteriormente en una página web donde se encuentran todos organizados. Aquí se presentan dos ejemplos.

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Explicación del concepto de media muestral a partir de animaciones.

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Explicación del diagrama de cajas acompañado de imágenes y videos para facilitar su comprensión y ver ejemplos de su utilidad.

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Ejemplo típico de la estadística. Explicación de la teoría que subyace. Se acompaña de una página que permite la simulación para la comprobación de los resultados.

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Crítica a comentarios de twitter para explicar los bulos que circulan por las redes y las matemáticas que hay detrás de ellos

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Gráficos interactivos que permiten la simulación de la distribución binomial para diferentes valores de los parámetros. A partir de estas simulaciones se proponen diferentes ejercicios para la comprensión del contenido.

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Una vez vista la teoría sobre probabilidad, se propone una actividad sobre la Paradoja del Cumpleaños. Para ello los alumnos van realizando una serie de tareas que se resuelven mediante la redacción de un documento, acompañado de las diferentes simulaciones que se piden, todas ellas explicadas en cada una de las tareas. La realización de la actividad será individual y, en este caso, no se necesitará estar conectados permanentemente a un medio comunicativo con el profesor, ya que se considera que los alumnos tienen la suficiente madurez para realizar la tarea por ellos mismos y preguntar las dudas al profesor en caso de encontrarse con problemas en la realización.. Estas preguntas se pueden realizar por e-mail.

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La teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extremadamente rico en paradojas, verdades que chocan tan fuertemente con el sentido común, que son difíciles de creer aún después de habernos enfrentado con sus pruebas.

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Simulación de experimentos estadísticos acompañados de la teoría necesaria para su comprensión.

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Contenidos:
- Test de hipótesis. Contraste para la media y para la proporción.

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Contenidos:
- Población y muestra. Métodos de selección de una muestra. Tamaño y representatividad de una muestra.

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Contenidos:
- Media y desviación típica de la media muestral y de la proporción muestral. Distribución de la media muestral en una población
normal. Distribución de la media muestral y de la proporción muestral en el caso de muestras grandes.

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Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Contenidos:
- Distribución binomial. Caracterización e identificación del modelo. Cálculo de probabilidades.

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Cociales II. Contenidos:
- Estadística paramétrica. Parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de una muestra. Estimación puntual.

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Contenidos:
- Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos.

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Matemáticas y Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I y II. Contenidos:
-Sucesos. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa. Axiomática de Kolmogorov.
- Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos.
- Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades

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"Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente". Esta afirmación, que podría parecer cierta, en realidad no tiene mucho sentido en términos de probabilidad. En los próximos párrafos analizaremos el porqué.

Antes de comenzar, quiero dejar claras las condiciones del tema que vamos a comentar. Lo que sigue se refiere a experimentos aleatorios independientes (es decir, su resultado en un momento dado no influye en el resultado del mismo experimento en otro momento, como puede pasar al lanzar un dado o una moneda) con un número finito de resultados en el que conocemos la probabilidad de cada uno de ellos.

Vamos al tema. Esta entrada me vino a la mente después de ver un tuit del famoso tuitero deportivo @2010MisterChip. Otro tuitero, @ScottiePeppino, le comentaba lo siguiente a raíz de una apuesta que el primero había realizado:

@2010MisterChip hombre, siendo un hombre de estadísticas como eres, apostar por el equipo que lleva sin ganar en ese estadio 30 partidos...

- Scottie Peppino (@ScottiePeppino) 11 de abril de 2016

A lo que MisterChip contestaba lo siguiente

Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente. Estadística pura y dura 😉 https://t.co/ylyJpoVa6g

- MisterChip (Alexis) (@2010MisterChip) 11 de abril de 2016

Si accedéis al mismo podéis ver mi respuesta

@2010MisterChip Esto...Hablando de azar (si citas "estadística" supongo que te refieres a eso), lo que has dicho no es para nada correcto

- gaussianos (@gaussianos) 11 de abril de 2016

y algunas más de otros tuiteros. Todos intentábamos hacerle ver que había caído en una famosa falacia estadística, pero, hasta el día de hoy, la única respuesta que he visto de MisterChip es la siguiente (si hay alguna más decídmelo):

Cambia "jugador" por "mal jugador" y estaremos de acuerdo. https://t.co/03oXVSLo9H

- MisterChip (Alexis) (@2010MisterChip) 11 de abril de 2016

Si analizamos el tema de manera probabilística (entiendo que ésa era la intención de MisterChip al hablar de "estadística"), el asunto es como sigue: estamos ante un experimento aleatorio con dos posibles resultados (victoria de equipo de casa o victoria del equipo visitante, no consideramos el empate) en el que tenemos la probabilidad de cada uno de ellos (se podría hablar de cómo se determinan dichas probabilidades, pero eso es otro tema). Además, dichos resultados son independientes.

Si realizamos el experimento, podemos obtener cualquiera de los dos resultados. Imaginemos que gana el equipo de casa. Si volvemos a realizar el experimento, la pregunta es la siguiente: ¿ha aumentado la probabilidad de que gane el equipo visitante? La respuesta es NO. Para hacer un análisis probabilístico correcto, en este caso tenemos que considerar que el resultado obtenido en un enfrentamiento no influye en lo que pasará en el enfrentamiento siguiente (los resultados son independientes).

La creencia de que muchos resultados "hacia un lado" aumentan la probabilidad de que en la siguiente ocasión la cosa irá "hacia el otro lado" o, más en general, que los resultados obtenidos influyen en los siguientes (vamos, que el juego "tiene memoria") se denomina falacia del jugador. Uno de los ejemplos más conocidos de esta falacia es el caso que se dio el 18 de agosto de 1913 en una de las ruletas del casino de Monte Carlo. En aquella ocasión, la bolita cayó la friolera de ¡¡26 veces seguidas!! en el negro. Lo que ocurrió es que, a medida que iban saliendo "negros", los jugadores iban apostando cada vez más al "rojo", porque entendían que con tantas apariciones del negro era mucho más probable que en la siguiente tirada saliera rojo. Y no, esto no es así: la probabilidad de rojo no aumentaba en este caso. Tomando la ruleta como un juego de probabilidades, y dando un 0.5 al rojo y un 0.5 al negro (esto no exacto, pero para el caso en el que estamos nos vale), esas probabilidades se mantienen en cada tirada independientemente de lo que saliera en tiradas anteriores (la ruleta "no tiene memoria"). ¿Qué ocurrió? Pues no es difícil imaginarlo: el casino ganó muchísimo dinero en ese rato.

¿Por qué entonces pensamos de esta errónea manera (y, si somos jugadores, tan perjudicial para nuestro bolsillo)? Pues porque tendemos a pensar que si los resultados anteriores se desvían sustancialmente de lo que marcan las probabilidades, dicha desviación se corregirá pronto para dejarlo todo "como debe ser" (en este caso, mismo número de rojos que de negros). Eso es, a todas luces, falso. Y de este error por nuestra parte se aprovechan a veces los organizadores de este tipo de juegos, dándonos, por ejemplo, los números calientes y los números fríos (intentando así influir en nuestra percepción sobre las probabilidades de cada número en la siguiente tirada). De hecho, en juegos tipo la ruleta, en una situación como ésta de tantos "negros" seguidos podría ser más razonable pensar que dicha ruleta está "trucada" (premeditadamente o no, eso no es importante) para que salgan más "negros" que "rojos", por lo que quizás tendría más sentido volver a apostar al "negro" en la tirada siguiente (esta forma de razonar se conoce como principio de Hume).

Y un último detalle. Es también interesante distinguir entre "número de veces que se ha producido cada resultado" y "probabilidad de cada resultado". Que las probabilidades sean iguales no significa, ni mucho menos, que conforme aumentamos el número de realizaciones del experimento las veces en las que sale cada resultado tiendan a igualarse. Voy a poner un ejemplo para intentar explicar qué quiero decir:

Imaginemos que tiramos una moneda 100 veces y salen 40 caras y 60 cruces. En este caso, llevaríamos un 40% de caras y un 60% de cruces. Imaginemos que seguimos tirando la monda y llegamos a 1000 tiradas, obteniendo 460 caras y 540 cruces. Las probabilidades se van acercando, 0.46 para "cara" y 0.54 para "cruz", pero la distancia entre el número de veces de cada una es mayor (antes era 20 y ahora es 80).

Recordad: la probabilidades en estos casos se calculan dividiendo casos favorables entre casos posibles. Por ello, aunque las probabilidades se vayan igualando, la diferencia de las veces que sale cada uno de los resultados puede ser cada vez mayor.

Se ha escrito mucho sobre la falacia del jugador, y en internet podéis encontrar gran cantidad de artículos sobre el tema. Os dejo éste del maestro Adrián Paenza: La falacia del jugador.

Sobre la manera de determinar las probabilidades de cada uno de los resultados quería hacer un comentario. ¿Tiene sentido tomar los resultados anteriores entre ambos equipos para determinar dicha probabilidad? Si la respuesta es afirmativa, el hecho de que un equipo haya perdido los últimos enfrentamientos directos debería entonces, bajo mi punto de vista, hacer que la probabilidad de victoria del "perdedor habitual" baje respecto a estimaciones anteriores, pero nunca que suba. Y si no lo veis, ahí va un ejemplo:

Imaginemos que el Granada ha perdido 20 veces seguidas en el Bernabéu, y que "su" probabilidad de victoria era de 0.1. ¿Significa eso que si vuelven a jugar ahora en el Bernabéu tienen una probabilidad mayor de ganar?

Pues yo creo que no. A ver qué pensáis vosotros.

Y sobre el hecho de que los resultados anteriores puedan influir en la mente de los jugadores del equipo "perdedor habitual", cabrían las dos posibilidades. Podría ser de manera positiva (más ganas de romper la mala racha) o de manera negativa (como llevan muchos años perdiendo no se ven con capacidad de ganar). Pero eso significaría que introducimos efectos externos en el análisis (podrían añadirse más: la buena o mala temporada que está haciendo cada uno, la moral que se tiene en esa época, si se juegan algo importante en ese momento o no...), efectos que no tienen que ver con la probabilidad. Por ello no cabría hablar de estadística en este caso.

Este artículo participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Pimedios.es.

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No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria - Gaussianos

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"Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente". Esta afirmación, que podría parecer cierta, en realidad no tiene mucho sentido en términos de probabilidad. En los próximos párrafos analizaremos el porqué. Antes de comenzar, quiero dejar claras las condiciones del tema que vamos a comentar.

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En la vida en general, hay un montón de cosas que, si no se empiezan por el principio no hay forma de entenderlas. Pero ¿cuál es el principio en estadística?

Yo diría que, si hubiese que empezar por un "principio" sería por las bases de la probabilidad, pero, a nada que avancemos un poco nos encontramos con un par de conceptos con los que empiezan la mayor parte de los cursos de estadística: Población y muestra. ¿Qué los une? ¿Qué los diferencia? ¿Me dejas que te cuente?

La población o el todo

Si nos vamos a la definición de la RAE del término Población, vemos que las primeras acepciones hacen referencia a aquello que seguramente ya os imaginabais. Definiciones relacionadas con un conjunto de personas y el lugar en que habitan. Sin embargo, la definición que más nos interesa en este caso es la quinta.

Cuando hablamos de población en estadística nos referimos a un conjunto de elementos sobre los que queremos estudiar una determinada característica. De hecho, lo que define a una población estará determinado por la investigación que se quiera realizar. Por ejemplo:

Podemos hablar de "las personas con Diabetes tipo II" para estudiar sobre ellas el efecto de un nuevo fármaco.

O hablar de "las personas menores de 18 años" para estudiar la incidencia de adicción al juego en dicho grupo.

Pero también podemos pensar en poblaciones donde los elementos no son personas como cuando se estudia la evolución de una enfermedad en un tipo de árbol frutal. Incluso podemos hablar de poblaciones en las que no hay elementos individuales si no que se trata de algo continuo como el estudio de la presencia de una bacteria en el sistema de aguas de una ciudad.

Estas poblaciones son relativamente fáciles de imaginar por sus características, pero... ¿cuál seria la población si queremos estudiar si una moneda esta trucada o no? ¿Podríamos pensar en la población como el conjunto infinito de todos los posibles lanzamientos? ¿Y si queremos estudiar la proporción de bombillas defectuosas que produce una máquina? La población, de nuevo, serían todas las bombillas que salen de esa máquina.

Como veis, hay poblaciones más sencillas que otras a la hora de definirlas pero es muy importante tener claro, además de el "qué queremos estudiar", sobre quién o qué lo queremos estudiar.

Si ahora intentamos establecer la relación con el lenguaje de la probabilidad podemos hablar de la distribución de la variable de interés. Si conociésemos por completo una población conoceríamos la distribución de probabilidad de dicha variable: una normal, una gamma, una Binomial etc. o quizás una nueva distribución desconocida. De ahí que hagamos referencia a una "población normal" cuando estamos suponiendo que la variable se comporta de forma normal en la población completa.

Si estuviésemos en esa situación, podríamos establecer a la perfección el valor de todos los parámetros de la distribución, la media (que en ese caso llamamos Esperanza), la varianza o los cuantiles, en el caso de una variable continua o la probabilidad de cada categoría, en el caso de variables discretas.

Pero... ¿podemos contarlo todo?

Sin embargo, ahora viene el gran problema, ¿Podemos medir toda la población? La respuesta suele ser "no" por motivos muy diversos.

En poblaciones infinitas y/o continuas queda bastante claro que es imposible llegar a todos sus elementos, pero incluso en poblaciones que podríamos considerar finitas tampoco suele ser viable por cuestiones, principalmente, de tiempo y dinero.

Pensemos, por ejemplo, en estudiar la resistencia de un lote de 1000 tornillos. Si probamos cuanto cuesta romperlos todos i) moriremos del aburrimiento ii) Nos quedaremos sin los 1000 tornillos del lote, y seguramente no es lo más aconsejable ¿no crees?

Recurrimos entonces al concepto de muestra. La muestra son elementos de la población elegidos de forma inteligente y cuidadosa para que representen a la población general y nos ayuden a aproximar las características de la variable de interés en la población general. Vamos, que nos permitan estimar los parámetros de los que hablábamos hace unos párrafos.

A la hora de seleccionar la muestra es importante tener en cuenta dos cuestiones. La primera es su tamaño.

¿El tamaño importa?

El tamaño de la muestra está principalmente relacionado con la precisión con la que nos aproximaremos al comportamiento de la variable en la población general. A veces podemos caer en la tentación de pensar que una muestra más grande será siempre mejor, pero lo cierto es que, en este caso, no siempre se cumple la idea de cuanto más azúcar más dulce y, de hecho, existe toda un área dentro del diseño de experimentos dedicada a estudiar el tamaño óptimo de una muestra teniendo en cuenta factores asociados a la variable de interés y al tipo de estudio que se quiere realizar. (un buen ejemplo lo podéis encontrar en este hilo de @Picanumeros:

Como cada vez que se habla sobre una encuesta en Twitter, han aparecido vehementes quejas sobre el escaso tamaño de una muestra de 30.000 (!) hogares y un total de 62.400 (!!!) personas para estimar la prevalencia del COVID-19, así que vuelvo a dejar este gráfico por aquí. pic.twitter.com/0tFXuwiIwU
- Picanúmeros (@Picanumeros) April 7, 2020

El otro aspecto fundamental es lo representativa que sea la muestra de la población. Básicamente, si queremos estudiar la probabilidad de enfermedad cardiovascular en la población de "personas de más de 45 años" pero, para ello, elegimos más hombres que mujeres, posiblemente la estimación de dicha proporción será mayor que la real, algo que en estadística se conoce como sesgo.

Y, ¿Cómo la elegimos?

Para elegir la muestra correctamente es necesario tener una población bien definida y recurrir a los métodos de muestreo adecuados. Algunos de los más conocidos son:

El Muestreo Aleatorio Simple, según el cual elegimos a la muestra completamente al azar dentro de la población. Le pones un número a cada elemento, haces un sorteo y coges los seleccionados.

El Muestreo Estratificado consiste en identificar grupos que se van a comportar de forma diferente dentro de la población (por ejemplo, hombres y mujeres en el caso de enfermedades coronarias). Dentro de estos grupos elegimos al azar consiguiendo así que ambos "estratos" estén bien representados.

El Muestreo por Conglomerados parte de una situación en la que tenemos a la población separada en grupos similares entre sí (municipios, por ejemplo) y dentro de ellos encontramos toda la variabilidad existente. En ese caso, lo que hacemos es seleccionar al azar entre los conglomerados y después llevar a cabo alguno de los dos muestreos anteriores en cada grupo.

Existen muchísimos más tipos de muestreo, pero para conocerlos yo consultaría a un experto en diseño como @picanumeros o @TessaSanMar.

Finalmente, queda un caso interesante que da pie a la reflexión en estos tiempos ¿qué sucede si creemos que podemos medir toda la población? Un caso habitual en la era del BigData.

Una reflexión para terminar

Imaginemos, por ejemplo, que queremos estudiar la variabilidad de la tasa de desempleo en los municipios españoles. Hoy en día, entidades como el INE nos permiten tener acceso a este tipo de información al completo. Sin embargo, lo que estos datos nos ofrecen son una foto fija de un proceso medido, posiblemente, con error. David Spiegelhalter en su libro The Art of Statistics, hace referencia a estas situaciones incidiendo en que resulta útil considerar dichas observaciones como una muestra de un proceso aleatorio mayor. Algo así como un proceso que comprendería los todos valores que podría haber tomado la variable en otras dimensiones en las que podríamos haber medido esa variable bajo las mismas circunstancias. Muy filosófico quizás, pero nada alejado de la realidad.

Si has llegado hasta aquí, gracias por leerme.

Este post esta especialmente dedicado al alumnado del Máster en Bioestadística de la Universitat de Valencia (@MBioesta_UV) que con esto empezamos mañana.

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En la vida en general, hay un montón de cosas que, si no se empiezan por el principio no hay forma de entenderlas. Pero ¿cuál es el principio en estadística? Yo diría que, si hubiese que empezar por un "principio" sería por las bases de la probabilidad, pero, a nada que avancemos un poco nos encontramos con un par de...

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En ciencia, como en la vida, establecemos hipótesis sobre cómo se construye la realidad y si determinadas acciones pueden cambiarla.

El método científico exige recopilar evidencia que nos permita descartar o no dichas hipótesis. Pero ¿Cómo cuantificamos la evidencia?

¿Me dejas que te cuente?

El comienzo del principio

El contraste o test de hipótesis es una técnica cuyos primeros usos se remontan al Siglo XVIII cuando John Arbuthnot (1667-1732) quiso comprobar si nacía el mismo número de mujeres que de hombres, un problema que también intrigó a Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Sin embargo, su formalización no llegaría hasta el Siglo XX, momento desde el cual, Sir Ronald Fisher (1880-1962) por una parte, y Jerzy Neyman (1894-1981) y Egon Pearson (1895-1980) por otra, empezaron a ser considerados los padres del contraste de hipótesis, aunque las herramientas que desarrollaron eran distintas y sus enfrentamientos personales sonados.

Ronald Fisher desarrollo la técnica conocida como Null Hypothesis Significance Testing (NHST) que establece una única hipótesis conocida como hipótesis nula (H ₀). Se trata una representación matemática de aquello que se considera cierto por defecto (que nacen el mismo número de hombres que de mujeres, que un tratamiento no tiene efecto, ...) y se busca comprobar si los datos son compatibles con ella. Si no lo son, pues algo está pasando (nacen más niños que niñas, el tratamiento tiene un efecto ...). Pero si sí lo son, pues no puedo decir nada más, seguiré teniendo que pensar que nada ha cambiado y seguir recopilando información. Algo así como pensar que, en un juicio, no has tenido suficientes pruebas para declarar culpable al acusado.

Por otra parte, la metodología de Neyman-Pearson establece dos hipótesis: la hipótesis nula (H ₀), con una definición similar a la de Fisher, y la hipótesis alternativa (H A) que pretende captar aquello que puede estar sucediendo si la nula no es cierta. Para decantarse por una o por otra, se establecen regiones denominadas de aceptación-rechazo, que delimitan cuando los datos son compatibles con una u otra hipótesis. Para hacerlo debemos tener en cuenta que se pueden cometer dos tipos de error, el error tipo I al rechazar H ₀ erróneamente y el error tipo II al rechazar H A de forma incorrecta.

Cada uno de esos errores tiene asociada una probabilidad de ocurrir. En concreto,

será la probabilidad de error tipo I, más conocida como nivel de significación, y

la probabilidad del error tipo II donde a

la llamamos potencia del contraste. Cabe destacar que ambos valores tienen una interpretación frecuentista, y representan el porcentaje de veces que nos equivocaríamos al tomar la decisión si repitiésemos muchas veces el mismo experimento.

Pero, tanto en el caso de Fisher como en el de Neyman-Pearson estamos hablando de establecer límites y de medir la compatibilidad de los datos con la(s) hipótesis, y eso, ¿cómo lo hacemos?

Vayamos a la práctica

Para ilustrarlo vamos a pensar en que queremos establecer si la altura media de las personas adultas de una población es 1.70 m. Según Fisher esa sería H ₀ y no habría nada más que esa hipótesis. Si lo escribimos matemáticamente sería algo así como H ₀:

.

Neyman-Pearson añadirían una hipótesis alternativa perfilando que es lo que esperamos encontrar si la altura ha cambiado. Puede ser simplemente que sea distinta de 1.70 dando igual su valor, o que queramos comprobar si ahora es mayor o menor. En esta ocasión vamos a utilizar la opción "bilateral" es decir, nos da igual si ha aumentado o disminuido, solo queremos saber si ha cambiado H A:

Tenemos que recurrir entonces, a un concepto que ya comentamos cuando hablábamos de estimación: los estadísticos. En concreto, cuando estamos haciendo un contraste de hipótesis utilizamos lo que se denominan estadísticos de contraste, un valor resumen de los datos construido en base a la formulación de la hipótesis nula.

Para el caso concreto de la altura, asumiendo que se comporta siguiendo una distribución normal, el estadístico de cabecera es el estadístico t que calcula la diferencia entre la media observada y la hipotética y divide entre la variabilidad existente. Porque, no solo cuenta lo diferentes que sean las medias, también el hecho de que esa diferencia pueda ser fruto del azar o no.

Cada estadístico tiene una distribución en el muestreo bajo la hipótesis nula, es decir que, si la hipótesis nula es cierta, el estadístico debe comportarse de una forma concreta. En el caso del ejemplo, el estadístico t se comporta siguiendo una distribución t-student, distribución que tiene una curiosa historia. Además de esta distribución teórica, el estadístico tomará un valor concreto en los datos observados, en nuestro ejemplo podría haber sido t = -2.3.

A partir de la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula y de su valor observado en el experimento, la estrategia de Fisher es calcular el valor p o p-valor (traducción directa del inglés p-value). Lo que Fisher tenia en mente era ¿Cómo de probable es haber observado ese valor si la hipótesis nula es cierta? Pero, claro, la probabilidad de un valor concreto para una variable continua es 0, da igual el valor. Se recurre entonces a pensar en la probabilidad de haber observado ese valor o uno más extremo.

En nuestro ejemplo, la idea sería calcular la probabilidad (utilizando la distribución t-student) de ser menor que -2.3 y mayor de 2.3. El tomar los valores positivo y negativo viene determinadoporque nos da igual que la diferencia hubiese sido positiva o negativa. El resultado, en este caso es 0.04.

Establecemos entonces un umbral, y si el p-valor es menor que dicho umbral, rechazamos H ₀. El valor más usado por Fisher era 0.05 y, atendiendo a esa elección, nuestro resultado nos indicaría que los datos no son compatibles con H ₀.

En el caso de Neyman-Pearson, el enfoque es diferente. Lo que hacemos en ese caso es establecer unos límites (sin pensar en el valor observado del estadístico). Esos límites determinan los valores del estadístico para los que diremos que los datos no son compatibles con H ₀.

En el caso de nuestro ejemplo, los umbrales, conocidos como valores críticos se sitúan en -1.7 y 1.7. Por tanto, nuestra observación, quedará en la región de rechazo (como era de esperar)

Puede ser que alguien haya visto la expresión "aceptar H ₀ " y haya querido matarme o dejar de leerme... pero creo que es importante explicar esta idea.

Cuando todo se mezcla

En algún momento de la historia las concepciones del contraste de hipótesis de Fisher y el de Neyman-Pearson se mezclaron y se convirtió en tabú hablar de aceptar H ₀. Se trata de una concepción que viene heredada de la filosofía de Fisher quién, recordemos, solo establecía una hipótesis que tenia que ver con lo que se asumía por defecto... el "inocente hasta que se demuestre lo contrario" de la estadística.

Sin embargo, en la percepción de Neyman-Pearson, al haber dos hipótesis nos quedaremos con una o con otra, usemos o no la palabra aceptar. Y hagamos lo que hagamos, lo haremos asumiendo una probabilidad de error. Una probabilidad que, en el caso de rechazar H ₀, la tenemos muy clara, pues es el nivel de significación establecido. Sin embargo, al aceptarla (o no rechazarla), ese valor ya no está tan claro pues

es un valor que no solemos establecer de antemano. A la determinación de

se le conoce como análisis de la potencia y es un tema muy interesante al que merece la pena dedicar un post a parte.

En definitiva, hablar o no de aceptar H ₀ es más una cuestión de lenguaje y de que el deseo de toda investigación sea rechazarla para demostrar que algo ha cambiado. Lo importante es entender que tomemos la decisión que tomemos, existe un error asociado y que es importante medir su posible impacto.

La interpretación del p-valor

Otra de las interpretaciones erróneas, derivadas de la mezcla de los dos paradigmas es la interpretación del p-valor como un nivel de significación. Algo que se puede ver en la mayor parte de los estudios que presentan los resultados como p<0.001 o p<0.01 o p<0.00001 dependiendo del p-valor obtenido, y que entienden que, al obtener un p-valor menor la probabilidad de error tipo I es más baja. Algo que es erróneo, principalmente porque la interpretación del p-valor no es frecuentista. No se puede interpretar como el número de veces que erraríamos al rechazar H ₀ .

Además, uno de los problemas añadidos del p-valor es su interpretación como la probabilidad de H 0 . Sin embargo, lo que estamos suponiendo al calcular el p-valor es que dicha hipótesis es cierta, y por tanto, su probabilidad solo puede ser 1. Esta interpretación tendría sentido si estuviésemos trabajando desde una perspectiva Bayesiana pero no desde el punto de vista de Fisher.

Todos estos errores de interpretación llevaron a la American Psicological Association a rechazar el uso del contraste de hipótesis tal y como Fisher lo entendía. Se produjeron, a demás numerosas réplicas críticas de la comunidad estadística. Toda una problemática de la que ya os he hablado en este blog

Si has llegado hasta aquí, solo me queda darte las gracias por leerme y desear que te haya sido útil. Hasta otro post!

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En ciencia, como en la vida, establecemos hipótesis sobre cómo se construye la realidad y si determinadas acciones pueden cambiarla. El método científico exige recopilar evidencia que nos permita descartar o no dichas hipótesis. Pero ¿Cómo cuantificamos la evidencia? ¿Me dejas que te cuente?

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Applets interactivos de Matemáticas de utilidad didáctica para Educaciãn Secundaria

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Repaso de Estadística Matemáticas y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I.

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Ruleta de Palabras: Estadística (Matemáticas - 4º - Educación media - estadistica - estadísticas)

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Recursos educativos (Ruleta de Palabras): Estadística (Matemáticas - 4º - Educación media - estadistica - estadísticas) - Conceptos generales de estadística.

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¿Cómo dirías que es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Pues ahora calcúlala. ¿Coincide tu intuición con lo que dicen las matemáticas?

¿Cuántas personas necesitamos reunir para que dos de ellas coincidan en el día de su cumpleaños con una probabilidad mayor del 50%?. Piensa en una cifra antes de seguir leyendo.

La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probablidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es casi del 100% para 366 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos).

En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Cuando se propone este problema por primera vez y se pide una estimación sobre el tamaño mínimo que debería tener un grupo para que sea más probable que improbable que dos personas compartan el día del cumpleaños, la mayoría de las personas se equivoca por completo.
La respuesta intuitiva que se da a menudo es 183, es decir 365 dividido entre dos. La cantidad correcta no es algo a lo que la gente pueda llegar fácilmente y, ciertamente, no por intuición. Es bastante extraño que las primeras estimaciones sean inferiores a 40. Y sin embargo la respuesta es 23..

La clave para entender estas "sorprendentes" recurrencias es pensar que hay muchas posibilidades de encontrar parejas que cumplan años el mismo día.
Un análisis superficial asume que 23 días (cumpleaños de las 23 personas) es una fracción demasiado pequeña del posible número de días distintos (365) para esperar repeticiones. Y así sería si esperáramos la repetición de un día dado. Pero las repeticiones, en el caso supuesto, pueden darse entre dos días cualesquiera, con lo que éstas pueden combinarse entre sí de un número de formas que aumenta rápidamente con el número de elementos a considerar. Así:

Entre dos personas C1 y C2 sólo cabe una posibilidad de repetición de cumpleaños: Cl=C2.

Con tres ya hay tres posibilidades (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3)

Con cuatro ya habría seis, (4x3)/2=6 .

Con un grupo de 10 personas, (10x9)/2=45 posibilidades

Con 23 personas, hay (23×22)/2 = 253 parejas distintas, cada uno de ellas es una candidata potencial para cumplir la paradoja

Y así sucesivamente, en uno de 40, ya son 780 las parejas, y 1770 si juntamos 60 personas.

No hay que malinterpretar lo que nos dice esta paradoja: Si entramos en una habitación con 22 personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted, no es del 50%, es mucho más baja, sólo hay un 6% de probabilidades. Esto es debido a que ahora sólo hay 22 parejas posible y se necesitan 253 personas para que haya más de un 50% de probabilidades de que esto ocurra.
El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.

En los jugadores del Osasuna (liga 2005/06) hay coincidencias de cumpleaños

De un total de sólo 19 monarcas españoles desde los reyes Católicos, coinciden Carlos II con Carlos IV (11 de noviembre) y José I con Juan Carlos I (5 de enero).

De los 40 presidentes de USA hasta Reagan: Polk y Harding nacieron un 2 de noviembre.

Puedes creer que esto puede ser casualidad o si eres mal pensado que esta preparado, por eso nada mejor que hacer un estudio probabilístico riguroso de esta paradoja

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de n personas, por lo menos dos de ellas coincidan en su cumpleaños?, desechamos los años bisiestos y los gemelos, y asumimos que existen 365 cumpleaños que tienen la misma probabilidad.

Solución utilizando la regla de Laplace y la Combinatoria

El truco es calcular primero la probabilidad de n personas tengan cumpleaños diferentes

Sea el suceso A = {"al menos dos personas celebran su cumpleaños a la vez"} y su complementario A c = {"no hay dos personas que celebren su cumpleaños a la vez"}

Caso particular: n=5

El número de casos posibles de celebración de cumpleaños, suponiendo el año de 365 días, es:
365 ⁵ = 6,478 × 10 12

El número de casos favorables : como la primera de las personas puede haber nacido uno de los 365 días del año, la siguiente unos de los 364 días restantes y así sucesivamente, resultan 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10 12 casos de que no existan dos personas que hayan nacido el mismo día .
Aplicando la regla de Laplace

P(A c) =casos favorables/casos posibles =6,303 / 6,478 = 0,973

p(A) = 1 - p(A c) = 1 - 0,973 = 0,027

El problema puede generalizarse para una reunión de n personas. La probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es:

Para n = 23, 30 y 50 la probabilidad mencionada es: 0.51, 0.71 y 0.97 respectivamente. Como se ve, para n = 23 existe, aproximadamente, una probabilidad a la par que por lo menos coincidan dos cumpleaños, y cuando n= 50, tenemos casi la certeza de que ocurrirá la coincidencia

Numérica y gráficamente, las posibilidades de que distintos grupos de personas compartan cumpleaños son las siguientes:

Solución utilizando la regla de Laplace y la regla del producto

Otra manera de plantear el problema para que la solución no parezca tan sorprendente es que si se juntan 23 personas en una habitación, calculamos las opciones de que no compartan cumpleaños.

Supongamos que está solo en una habitación. Las opciones de que todos los de la habitación tengan un cumpleaños diferente son obviamente del 100% o, en el lenguaje de probabilidad,1.

Ahora entra otra persona. Las probabilidades de que tenga un cumpleaños distinto del nuestro son 364/365 (Vamos a ignorar los años bisiestos en este cálculo), o 0,9973, que es lo mismo que el 99,73%.

Entra un tercero. La probabilidad de que esa persona tenga un cumpleaños distinto del de usted y del segundo es 363/365. La probabilidad de que los tres tengan cumpleaños diferentes es 364/365 veces 363/365, o 0,9918.

Así que las opciones de que 23 personas tengan distintos cumpleaños son 364/365 * 363/365 * 362/365 x 361/365 x ... x 343/365, que da como resultado 0,493. Esto significa que hay un 49,3% de posibilidades de que todos los de la habitación tengan cumpleaños diferentes y, a la inversa, un 50,7% de posibilidades de que al menos dos compartan cumpleaños.

En contraste, la probabilidad que cualquiera en una habitación de n personas tengan el mismo día de cumpleaños que ustedestá dada por

que para n = 23 sólo da alrededor de 0,061, y se necesitaría al menos una n de 253 para dar un valor de 0,5.

Esta paradoja reviste multiples formas. Con la siguiente puedes ganar varias apuestas:
Esperar si se repiten las dos últimas cifras de la matrícula en quince automóviles anotados al azar. La probabilidad es ahora de 0,67: ganaré dos de cada tres veces, pero ganaría, como antes, en cinco de cada seis tomando diecinueve matrículas en vez de quince.

La explicación es análoga a la anterior.

El procedimiento más cómodo para calcular la probabilidad de repetición es considerar la contraria. La probabilidad de no repetición entre dos matrículas, según el teorema de las probabilidades compuestas, será:

Ya que la segunda matrícula puede "optar" entre 99 casos favorables sobre 100 para no repetirse.En el caso de tres matrículas:

Para las 15 matrículas :

Por lo que la probabilidad de que haya al menos una repetición: q ₁₅ = 1 - 0,3313 = 0,6687

Para un número mayor de repeticiones, la probabilidad aumenta rápidamente. Así:

Es decir, que un número de matrículas igual al cuarto de las posibles garantiza prácticamente la repetición.

Curiosidad: al estudiar estas dos versiones de esta paradoja hemos podido combrobar que:
Cuanto mayor es el número de casos posibles considerados, menor es en términos relativos el número de elementos que hay que comparar entre sí para garantizar repeticiones

El número de matrículas que habría que ir cotejando para que la probabilidad de alguna repetición fuera al menos 0,50 (¡el punto donde la apuesta sería equitativa!), sería 13, lo que supone un 13 % del número de matrículas posibles

Sin embargo, para el caso del cumpleaños, ya vimos que esta probabilidad se alcanzaba para 23 personas, lo que, respecto a las 365 fechas posibles, supone sólo un 6,3 %.

Simulación con Excel:
En Excel podemos generar número aleatorios con la función ALEATORIO.ENTRE(Valor inferior; Valor superior). Mira este sencillo ejemplo de Simulación con Excel", actualiza los datos todas las veces que creas necesario para poder aproximarte a la probabilidad de que en grupo de 23, 50 o 75 personas, haya coincidencias en cumpleaños. También puedes ver, en la hoja solución, la probabilidad de que en un grupo de "n" no haya coincidencia de cumpleaños

Simulaciones, en la red, con applet de Java (en inglés):

Un magnifico applet de Java: genera una lista al azar de cumpleaños repetidas veces, tu puedes elegir el tamaño del grupo (por defecto es 15). Te permite generar listas de 1 en 1 o de 100 en 100 con la ventaja de que como va acumulando los resultados de coincidencias, calcula la probabilidad frecuentista del experimento. Y de paso va marcando los puntos de la gráfica que relaciona el número de personas de un grupo y la probabilidad de que haya coincidencias de cumpleaños .

Random Birthday Applet simula al azar listas de días del año y anota coincidencias.

La paradoja del cumpleaños tiene aplicaciones prácticas en el campo de la criptografía y la estadística. Nos indica, por ejemplo que para generar colisiones en una función aleatoria perfecta (en particular, funciones hash) de n bits, con una probabilidad del 50% aproximadamente, se requieren solo 2n/2 intentos.

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¿Cómo dirías que es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Pues ahora calcúlala. ¿Coincide tu intuición con lo que dicen las matemáticas? ¿Cuántas personas necesitamos reunir para que dos de ellas coincidan en el día de su cumpleaños con una probabilidad mayor del 50%?.

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Actualmente estamos trabajando en un libro de texto para Viendo la Teoría. Abajo encuentras un link para descargar el borrador en pdf. Por el momento sólo contamos con la versión en inglés. Puedes darnos tus comentarios acerca del texto aquí.

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Paradoja de Monty Hall

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Bienvenidos a uno de los problemas mas curiosos de las matemáticas, el problema de Monty Hall.

1.Descripción del problema
2.Análisis intuitivo
3.Simulador de Monty Hall
4.Análisis matemático
4.1.Análisis matemático con probabilidad condicional
5.Solución intuitiva
6.Explicación
7.Conclusiones

1.Descripción del problema

Imaginad que estáis en un concurso y que yo soy el presentador

Detrás de una de estas 3 puertas hay un coche nuevo. Y detrás de las otras dos hay cabras (si cabras!!).

Tenéis que elegir una puerta y vamos a suponer que para ejemplo que elegís la puerta 1 (recordad que tenéis que ganar el coche nuevo y no una cabra...)

Yo que puedo ver lo que hay detrás de cada puerta descarto una de las puertas que tiene una cabra, abriendo la número 3 en este caso, y ahora os hago la siguiente pregunta, ¿quieres cambiar la puerta 1 por la 2?, o lo mas importante para el objetivo de este video, ¿crees que eso importa?

El problema de Monty Hall es uno de los problemas más famosos de probabilidad y viene del concurso televisivo de los 70 Let's Make a Deal. El nombre hace referencia a su famoso presentador, y a su conocido juego de las 3 puertas. Donde se escondía un coche entre una de ellas, y el concursante debía elegir una puerta. Tras descartar otra de las puertas, Monty Hall preguntaba al concursante si quería cambiar de puerta o quedarse la que había elegido. Y es aquí donde empieza el verdadero juego.

2.Análisis intuitivo

Estoy seguro que muchos de vosotros pensáis que no existe diferencia entre quedaros la puerta o cambiarla. Si quedan dos puertas y un coche, cualquiera de las dos opciones es lo mismo ya que si cambiáis la puerta podéis ganar o perder el coche y si no la cambiáis también podéis ganar o perder, lo cual deja a cada puerta con un 50% de probabilidad. Pero, es eso cierto?

Vuestra intuición puede deciros que si, pero creéis que vuestra intuición ha analizado el problema correctamente, ¿crees que puedes confiar en tu instinto?

3.Simulador Monty Hall

Para salir de dudas he creado un simulador que recrea las reglas de este juego y vamos a ver que resultados nos ofrece para ambas elecciones, así que, no os lo perdáis:

Este hace exactamente lo que hemos descrito, así vamos empezamos a jugar y nos pide elegir una puerta, la elegimos y el presentador nos abre otra puerta donde no está el coche. Después nos hace elegir entre cambiar de puerta o quedárnosla.
Quedándonos siempre la puerta:
Vamos a probar primero quedarnos la puerta que hemos elegido, así que jugamos muchas partidas al simulador, y llegamos a la conclusión de que ganamos el coche aproximadamente un 30% de las veces que hemos jugado (que nos muestra el porcentaje de éxito).
Cambiando siempre la puerta:
Si en cambio elegimos cambiar nuestra puerta por la otra, y repetimos esto muchas veces en el simulador, llegamos a la conclusión de que esta vez ganamos el coche aproximadamente un 60% de las veces. Lo cualhace que ambos resultados sean muy diferentes.
¿No te lo crees? Pruébalo tu mismo JUGAR A MONTY HALL
Pensábamos que daría igual, pero hemos visto que cambiar de puerta nos hace ganadores en un porcentaje superior que quedarnos la puerta que teníamos, y parece ser bastante superior. Entonces ¿qué está pasando?

4.Análisis Matemático

Si analizamos el problema a nivel matemático nos daremos cuenta que esto es un problema simple de probabilidad, donde todos los posibles resultados del experimento de elegir una puerta son 3:

elegir coche, elegir una cabra, o elegir la otra cabra.

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:
G: "Ganar el coche sin cambiar de puerta" G': "Ganar el coche cambiando de puerta"
Vamos a estudiar la probabilidad de cada suceso por separado:

Sin cambiar de Puerta

Así que vamos a empezar por no cambiar de puerta.

Si el concursante elige el coche, y no cambia la puerta, ganará el coche seguro, porque aguantará su puerta hasta el final.

De la misma manera si el concursante elige una cabra, y no cambia la puerta, nunca podrá ganar el coche.

Como hay 1 solo caso donde gana de 3 elecciones posibles, la probabilidad de ganar el coche si no cambia de puerta es de 1/3. Lo cual es aproximadamente un 33,33% de posibilidades de ganar. Eso es 1 de cada 3 veces, lo que os deja en desventaja para poder ganar el coche.

Vamos a ver ahora cual es la probabilidad si decide cambiar de puerta:

Cambiando de Puerta

Si el concursante elige el coche, y cambia la puerta, ya nunca podrá ganarlo ya que siempre lo cambiará por una cabra. No parece un buen comienzo.

En cambio fijaros que si elige una cabra, el presentador siempre le enseña la otra cabra. Esto descarta automáticamente una de las cabras, lo que implica que el concursante va a cambiar obligatoriamente la cabra que tiene por el coche. Como hay 2 cabras como posibles elecciones ganaremos el coche dos de cada 3 veces por lo que la probabilidad de ganar el coche cambiando de puertas de 2/3. Lo cual duplica las probabilidades de un 33,33 a un 66,66%. Esto nos da una mayor ventaja de ganar el coche.

4.1.Análisis Matemático con Probabilidad Condicional

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:
A: El concursante elija la puerta donde está el coche" B: "El concursante elija la puerta donde hay una cabra"
Y por último el suceso que estamos buscando que es:
G: "Que el concursante gane el coche"
La probabilidad de elegir la puerta con el coche como véis es 1 entre 3, y la de elegir la puerta con una cabra es 2/3 , pero, ¿cual es la probabilidad de ganar?
P(A)=1/3 P(B)=2/3 P(G)=?
Para ganar podemos hacerlo de cualquiera de las dos maneras. Elegir el coche y ganar o elegir una cabra y ganar, por tanto
P(G)= P((A y G) ó (B y G))
Lo que traducido al lenguaje matemático sería:

P(G)=P((A∩G) ∪ (B∩G))(Simplemente tenéis que cambiar los símbolos de y por intersección y la o por unión)

Pues bien la probabilidad de una unión es la suma de probabilidades por lo que podemos separar la probabilidad en 2 más sencillas
P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)
Si utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada y despejamos la intersección nos queda:
P(G)=P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B)
Ahora solo tenemos que calcular la probabilidad de ganar para cada estrategia:

Probabilidad sin cambiar de Puerta

Si hemos decidido quedarnos con la puerta que teníamos:

En el caso de tener un coche, habremos ganado seguro, ya que no lo vamos a cambiar, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será del 100% o 1
P(G|A)=1
Pero esto solo sucederá cuando tengamos un coche y tenemos 1/3 de probabilidades de elegirlo, por lo que la probabilidad de elegir el coche y ganar es de 1·1/3 que es 1/3
P(A)=1/3 P(A∩G)=P(G|A)·P(A)=1·1/3=1/3
En el caso de tener una cabra, si nos quedamos la puerta nunca vamos a ganar por lo que la probabilidad condicionada al suceso será 0, y al multiplicarlo por las probabilidades de tener una cabra sigue siendo 0, lo cual es lógico si ya vemos que es imposible elegir la cabra y ganar el coche desde el principio.
P(G|B)=0 P(B)=2/3 P(B∩G)=P(G|B)·P(B)=0·2/3=0
Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si nos quedamos la puerta es de 1/3.
P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)=1/3 + 0=1/3
Esto podemos resumirlo como (Coche,Cabra,Cabra)

Probabilidad cambiando de Puerta

Vamos ahora a elegir cambiar de puerta siempre:

En el caso de tener un coche, perdemos el coche seguro, ya que lo vamos a cambiar por una cabra, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será 0
P(G|A)=0
Y la probabilidad de coger el coche y ganar será 0.
P(A)=1/3 P(A∩G)=P(G|A)·P(A)=0·1/3=0
Si en cambio elegimos una cabra, fijaros que el presentador siempre nos elimina la otra cabra, por lo que solo quedará el coche cuando cambiemos de puerta, por lo que ganaremos siempre el coche.
P(G|B)=1
Esto sucederá solamente cuando tengamos una cabra, pero hay que tener en cuenta que la probabilidad de elegir una cabra es 2/3, por lo que la probabilidad de tener una cabra y ganar es de 1·2/3 que es 2/3
P(B)=2/3 P(B∩G)=P(G|B)·P(B)=1·2/3=2/3
Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si cambiamos de puerta es de 2/3
P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)=0 + 2/3=2/3
Esto podemos resumirlo como (Cabra,Coche,Coche)

5.Solución intuitiva

Si no cambiamos de puerta vemos claro que al haber dos cabras y un coche tenemos 1/3 de posibilidades de ganar el coche.

Si cambiamos de puerta:

y elegimos el coche siempre perdemos.

y elegimos una cabra siempre ganamos.

Pero como hay 1 coche y 2 cabras, ganaremos en 2 ocasiones de 3, porque 2 de cada 3 veces elegiremos una cabra.

6.Explicación

Para esto vamos a imaginar de nuevo todos los posibles casos que pueden darse para las 3 puertas. (Fijaros que no diferenciamos el orden de las cabras, ya que eso duplica el numero de casos, pero no cambia la probabilidad)

Cuando elegimos nuestra puerta, tenemos 1/3 de probabilidades de tener el coche. Aunque el presentador abra una puerta, está condicionado por la que nosotros hemos elegido, ya que solo puede abrir una puerta que no sea la nuestra. Eso implica que siempre elimina una cabra de las otras dos puertas, pero nunca de la nuestra.

Fijaros además que en esas 2 puertas siempre hay una cabra para poder eliminar, por lo que el presentador solo descarta una cabra que era segura y nos enseña donde está, pero eso no aumenta las probabilidades de nuestra puerta, ya que nosotros podemos seguir teniendo la otra cabra las mismas veces veces. Esto implica que la puerta que elegimos al principio seguirá teniendo el coche 1 de cada 3 veces y no aumentará sus probabilidades, por mucho que quitemos una puerta.

Sorprendente, que no cambie, pero entonces ¿qué pasa con la otra puerta?

Si nuestra puerta tiene el coche 1 de cada 3 veces, las otras 2 veces estará en las otras dos puertas, por lo que ese grupo de 2 tiene lógicamente mas probabilidades de tener el coche que nuestra puerta. Simplemente tenemos que sumar la probabilidad de cada una.

Cuando el presentador abre una puerta, sabe lo que hay detrás de cada una, por lo que siempre salva el coche en caso de tenerlo. Si las dos puertas tienen el coche 2 de cada 3 veces y siempre descarta una cabra, la puerta que se salve seguirá teniendo el coche 2 de cada 3 veces, por lo que su probabilidad será la misma que tenían ambas puertas pero repartida en una. Por eso debéis cambiarla por esta.

Fijaros también que esta puerta no siempre será la misma y por eso tiene más probabilidad.

Y dicho esto, ¿estás seguro que no quieres cambiar de puerta?

Ampliación de la idea

Imaginaros ahora el mismo juego pero con 20 puertas en lugar de 3. Seguimos eligiendo 1 puerta, y el presentador elimina de la misma manera las puertas que son cabra hasta quedarse con una.

Si olvidamos por un momento nuestra puerta, y pensamos solamente en las 19 que puede eliminar el presentador. Veremos muy claroque 19 puertas tienen mucha más probabilidad que una, por lo que el coche estará la mayoría de veces en una de las puertas que tiene el presentador y solamente una en nuestra puerta. Y si este elimina todas las puertas que son cabra de ese grupo, la puerta que le quede tendrá el coche la mayoría de veces, de la misma manera.

7.Conclusiones

En conclusión el presentador solo elimina cabras de sus puertas, y eso solo puede darle ventaja a alguna sus puertas, pero nunca a la nuestra.

Como hemos visto al final tampoco era tan complicado, pero, ¿por qué no hemos sido capaces de verlo antes?

Al principio el coche puede estar por igual en cualquiera de las puertas, por eso dividimos 1 premio entre 3 puertas, y así calculamos la probabilidad para nuestra puerta. Hasta aquí es correcto.

El problema viene cuando nos abren una puerta.

Cuando el presentador nos da la opción de quedarnos con nuestra puerta o cambiarla, debemos calcular de nuevo la probabilidad de cada puerta para saber cual nos conviene más. Para esto dividimos de la misma manera que antes 1 premio entre 2 puertas, como si el premio pudiera estar por igual en cada una de ellas, pero esto no es así, ya que el descarte que hace el presentador, aumenta solo la probabilidad de una de las puertas y no de las dos por igual. Por eso el cálculo es incorrecto. (66%>33%)

Fijaros que la única manera de tener un 50% de probabilidades de ganar, es elegir cambiar de puerta o no al azar, ya que en este caso aunque una puerta sea mas probable, tenemos las mismas opciones de elegirla que la otra, por lo que las veces que cambiemos de puerta, compensará las veces que no lo hagamos. De todas maneras esto sigue siendo menos que cambiar siempre de puerta, aunque más que quedarnos siempre la puerta. (66%>50%>33%)
¿Curioso verdad?
Ahora sabemos que Monty Hall era un tipo muy astuto, al utilizar la psicología y las matemáticas. Si el concursante no cambiaba de puerta, tenía las de perder, y para tener ventaja tenía que arriesgarse y aceptar el cambio.

La realidad es que la mayoría de concursantes perdían el coche, porque muy poca gente se arriesgaba a cambiar la puerta. Quien cambiaría una puerta cuando pueden engañarte con la pregunta?. Tan solo un loco, o un matemático, y es que el engaño es precisamente eso.
¿Quién dice que las matemáticas no sirven para nada?
Si te interesan las matemáticas del juego puedes visitar mi canal de youtube math for all en Youtube donde estudio matemáticamente juegos de azar como Póker o Blackjack.

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Bienvenidos a uno de los problemas mas curiosos de las matemáticas, el problema de Monty Hall. 1.Descripción del problema 2.Análisis intuitivo 3.Simulador de Monty Hall 4.Análisis matemático 4.1.Análisis matemático con probabilidad condicional 5.Solución intuitiva 6.Explicación 7.Conclusiones Imaginad que estáis en un concurso y que yo soy el presentador Detrás de una de estas 3 puertas hay un coche nuevo.