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Algunas de la definiciones y teoremas investigados son extensos ,por lo que estan ubicados en varias notas lo cualse diferencia por el color de cada tema.

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Es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático. La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva).

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Una de las aplicaciones de las integrales es el cálculo directo de áreas. Recordamos que si f es una primitiva de F, esto es, si

∫F(x)dx=f(x)+C⇔f′(x)=F(x)

Entonces, la integral definida de F entre los extremos a < b es, por la Regla de Barrow,

∫baF(x)dx=f(b)−f(a)

Se cumple que este resultado coincide, bajo ciertas restricciones, con el área de la región encerrada entre la gráfica de F y el eje de las abscisas (eje OX) en el intervalo [a, b]:

El área de la región A viene dada por la integral definida

A=∫baF(x)dx

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región negativa

Si la gráfica de la función está por debajo del eje, entonces el resultado de la integral es negativo:

Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral:

A=∣∫baF(x)dx∣

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La relación entre derivada e integral definida queda estabelcida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, queestablece que, dad una función f(x), su función integral asociada F(x) cumple necesariamente que:
F'(x)=f(x)

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A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a,b], denominado Regla d Barrow:
* Se busca primero un función F(x) que verifique que F'(x)=f(x).
* Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo:
F(a)  y F(b).
* El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

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La Integral Definida de una función se usa para calcular las áreas de recintos planos, los cuales están delimitados por curvas y rectas.

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El área encerrada entre las gráficas de las funciones f y g en el intervalo [a, b] viene dada por la integral de la resta de las funciones:

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Espero les sirva de mucho, compañeros.

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1: El integrando debe ser la función cuya gráfica es mayor menos la función cuya gráfica es menor.
2: La integral dada representa el área de la región puesto que

∫ba(f(x)−g(x))dx =∫baf(x)dx−∫bag(x)dx

(El área A es el área que hay bajo la gráfica de f menos el área que hay bajo la gráfica de g).

3: Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas o bajo dicho eje, hay que proceder según se explicó anteriormente.

4: Nótese que el intervalo sobre el que se define la integral coincide con los puntos donde las gráficas se cortan (interceptan).

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Procedimiento del ejercicio #1 del grupo 2.
Espero sea de su agrado y les sirva de apoyo.
( con las respectivas correciones)

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Solucion de los problemas con sus respectivas correciones