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Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos.
Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

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Los números naturales son el: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… etc. Como vemos estos números no admiten fracciones (decimales).Por otro lado, se dice que los números naturales siempre tienen un número sucesor. Y los números naturales no discriminan entre números pares e impares, los comprenden a todos ellos. No admiten fracciones ni tampoco números negativos. Se distinguen de los números enteros, ya que los enteros también comprenden a los números negativos. En cuanto a la expresión escrita de los números naturales, estos se representan con la letra N, en mayúscula. Cabe aclarar que el número cero en ocasiones es considerado como un numero natural, pero generalmente no es así.Los números naturales además son la base primordial sobre la cual se fundamentan todas operaciones y funciones matemáticas, la suma, restas, multiplicaciones y divisiones. También a las funciones trigonométricas y las ecuaciones.

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Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C .Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.
Los números enteros se representan en una recta numérica, teniendo el cero en medio y los números positivos (Z+) hacia la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados extendiéndose hasta el infinito. Normalmente se transcriben los negativos con su signo (-), cosa que no hace falta para los positivos, pero puede hacerse para resaltar la diferencia.

De esta manera, los enteros positivos son mayores hacia la derecha, mientras que los negativos son cada vez más pequeños a medida que avanzamos a la izquierda. También puede hablarse del valor absoluto de un número entero (representado entre barras |z|), que es equivalente a la distancia entre su ubicación dentro de la recta numérica y el cero, independientemente de su signo: |5| es el valor a.

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Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse tal y como los números naturales, pero siempre obedeciendo a las normas que determinan el signo resultante, de la siguiente manera:
Suma. Para determinar la suma de dos enteros, debe prestarse atención a sus signos, según lo siguiente:

Si ambos son positivos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo positivo. Por ejemplo: 1 + 3 = 4.

Si ambos signos son negativos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo negativo. Por ejemplo: -1 + -1 = -2.

Si tienen signos diferentes, en cambio, deberá restarse el valor absoluto del menor al del mayor, y se conservará en el resultado el signo del mayor. Por ejemplo: -4 + 5 = 1.

Resta. La resta de números enteros atiende también al signo, dependiendo de cuál sea mayor y cuál menor en cuanto a valor absoluto, obedeciendo a la regla de que dos signos iguales juntos se convierten en el contrario:

Resta de dos números positivos con resultado positivo: 10 – 5 = 5

Resta de dos números positivos con resultado negativo: 5 – 10 = -5

Resta de dos números negativos con resultado negativo: (-5) – (-2) = (-5) + 2 = -3

Resta de dos números negativos con resultado positivo: (-2) – (-3) = (-2) + 3 = 1

Resta de dos números de distinto signo y resultado negativo: (-7) – (+6) = -13

Resta de dos números de distinto signo y resultado positivo: (2) – (-3) = 5.

Multiplicación. La multiplicación de enteros se realiza multiplicando normalmente los valores absolutos, y luego aplicando la regla de los signos, que estipula lo siguiente:

Más por más igual a más. Por ejemplo: (+2) x (+2) = (+4)

Más por menos igual a menos. Por ejemplo: (+2) x (-2) = (-4)

Menos por más igual a menos. Por ejemplo: (-2) x (+2) = (-4)

Menos por menos igual a más. Por ejemplo: (-2) x (-2) = (+4)

División. Funciona igual que la multiplicación. Por ejemplo:

(+10) / (-2) = (-5)

(-10) / 2 = (-5)

(-10) / (-2) = 5.

10 / 2 = 5.

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El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta, es decir, que había números que no se podían expresar mediante un número fraccionario.

Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario. Estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observaron que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto se demostró la no completitud de los números racionales y se dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables". Al principio, la aparición de estos números extraños desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues su existencia ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.

Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

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Clasificación , representación y operaciones de los números irracionales .

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Clasificación , representación y operaciones de los números irracionales .

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Números algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados.

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

Números trascendentes, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número Pi (π) (número de Arquímedes) y (e) (número de Euler) son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. Por ejemplo:

0,1234567891011121314151617181920212223...

1,01001000100001000001000000100000001...

Representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.
Los números irracionales π y e por citar algunos, se representan usando su expansión decimal ubicando en la recta aproximadamente su lugar (respetando el orden).
En el caso de algunos números irracionales como ± √2, ± √3, ± √5±,… pueden representarse exactamente en la recta mediante el uso de una regla y compás
Por ejemplo, para representar ± √2 consideramos un triángulo rectángulo equilátero de catetos 1, con uno de sus vértices en el origen de la recta (ver figura 1). Luego con un compás trazamos una circunferencia de radio la hipotenusa de dicho triángulo (que es √2). La intersección de esta circunferencia con la recta real es el número √2 a la derecha, y -√2 a la izquierda (ver figura 1). De manera análoga se puede representar ± √5. En este caso, se toma un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.

2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre es irracional.

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:

1. 2 + √3 es irracional.

2. 2 · √5 es irracional.

El inverso aditivo de un número irracional, también lo es.

El inverso multiplicativo de un irracional , también lo es.

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Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia

de  60,  mientras  que  los  egipcios  usaron,  sobre  todo,  las  fracciones  con

numerador  igual  a  1.  En  la  escritura,  la  fracción  la  expresaban  con  un

óvalo,  que  significaba  parte  o  partido,  y  debajo,  o  al  lado,  ponían  el

denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los  griegos  y  romanos  usaron  también  las  fracciones  unitarias,  cuya

utilización persistió hasta la época medieval.

En  el

siglo  XIII,  Leonardo  de  Pisa,  llamado  Fibonacci,  famoso,  entre  otras

cosas  por  la  serie  de  Fibonacci,  introdujo  en  Europa  la  barra  horizontal

para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de

los números decimales tal y como los conocemos hoy.

A  finales  del  siglo  XVI,  Simon  Stevin  desarrolló  y  divulgó  las  fracciones

decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas,

centésimas,  milésimas,  etc.,

pero  los

escribía  de  una  forma  complicada;

así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A  principios  del  siglo  XVII,  los  números  decimales  ya  aparecieron  tal  y

como  los  escribimos  hoy,  separando  con  un  punto  o  una  coma  la  parte

entera de la parte decimal. Lo

s números decimales se impusieron, en casi

todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII,

concretamente en 1792.

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Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por {Q}.
El término “racional” proviene de razón, como parte de un todo (por ejemplo: “Tocamos a razón de tres por persona”).

Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes.

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“La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano”.En primer lugar, su interés era dar con las raíces reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, lo redescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía.

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definición matemática de los números complejos .

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definición matemática de los números complejos .

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Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i, o en forma polar.
¿Cómo se calculan los números complejos?
Un número complejo tiene la forma a+bi, donde a, b ∈ R. a se llama parte real de z y se escribe a = Re(z), y b se llama parte imaginaria: b = Im(z). OBSERVACION: a y b son números reales. El conjugado del número complejo z = a+bi, es z = a−bi.