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De acuerdo con Sears y Zemansky (2004), el Movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo de movimiento oscilatorio en el que una fuerza restauradora actúa proporcionalmente al desplazamiento con respecto a una posición de equilibrio, y siempre en dirección opuesta.

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La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento:
Fx=−kx

La constante "k" es la constante de fuerza del sistema y siempre es positiva.

El desplazamiento x y la fuerza Fx​ tienen signos opuestos, es decir, la fuerza siempre apunta hacia la posición de equilibrio.

Se cumple la ley de Hooke: el sistema (como un resorte ideal) sigue una relación lineal entre fuerza y desplazamiento.

El sistema se considera ideal y sin fricción.

La aceleración no es constante, pero también es proporcional al desplazamiento y con signo opuesto:

a=−kmx

La oscilación es simétrica y periódica, alrededor del punto de equilibrio.

Aplica solo si las condiciones son ideales: sin fuerzas externas y con pequeños desplazamientos.

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Según Blatt en su estudio del movimiento armónico simple, existen diversos tipos de péndulos que pueden analizarse bajo este marco teórico; y cada uno de ellos presenta características particulares, pero comparten principios fundamentales que permiten describir su comportamiento mediante las mismas ecuaciones básicas del M.A.S.

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1. PÉNDULO ELÁSTICO

Sistema físico que combina el movimiento oscilatorio de un péndulo con la capacidad de estiramiento de un resorte. Está compuesto por una masa suspendida de un resorte que puede elongarse, permitiendo que el movimiento sea tanto angular como lineal (vertical). (Contreras, 2019)

Consideraciones

Dos grados de libertad: oscilación angular y elongación del resorte.

Acoplamiento no lineal: el movimiento no sigue una trayectoria simple, ya que las fuerzas restauradoras dependen tanto del ángulo como de la elongación.

Energía mecánica: involucra energía cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica.
ET=U+K
Sistemas conservativos o con amortiguamiento: dependiendo de si se considera o no la pérdida de energía.

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2. PÉNDULO SIMPLE

Sistema idealizado compuesto por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa, que oscila en un plano vertical bajo la acción de la gravedad.

Consideraciones

Modelo idealizado: Asume que la masa del hilo es despreciable y que no existen fuerzas de fricción como la resistencia del aire.

Movimiento armónico simple: Para desplazamientos angulares pequeños, el movimiento es periódico.

Dependencia del período: El período de oscilación T es independiente de la masa de la partícula y está dado por:
T=2π√L/g​

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3. PÉNDULO FÍSICO

También conocido como "péndulo compuesto", es un cuerpo rígido que oscila alrededor de un eje horizontal fijo que no pasa por su centro de masa.

Consideraciones

Distribución de masa: A diferencia del péndulo simple, la masa del cuerpo no se concentra en un punto, sino que está distribuida a lo largo de su estructura.

Ecuación del movimiento: El movimiento puede describirse mediante la ecuación:

I=(d2θ)/(dt2)=-mgdsin(θ)

Aplicaciones: Este modelo es relevante en situaciones donde la distribución de masa no es despreciable, como en relojes de péndulo y en estudios de dinámica de cuerpos rígidos.

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4. PÉNDULO CON TORSIÓN

Es un objeto rígido suspendido de un alambre que, al girar, experimenta un momento de torsión restaurador proporcional al ángulo de giro. (Serway Y Beichner, 2002)

Consideraciones:

- El movimiento es oscilatorio rotacional alrededor del eje del alambre.

- La constante de torsión κ mide la rigidez del alambre frente a la torsión.

- No se requiere que el ángulo θ sea pequeño, mientras no se exceda el límite elástico del alambre para evitar deformación permanente.

- El sistema es un oscilador armónico simple en rotación.

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Movimiento armónico simple en péndulo y en resorte (Diferencias)

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Movimiento armónico simple en péndulo y en resorte (Diferencias)

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El movimiento armónico simple es un tipo de movimiento oscilatorio en el que la aceleración del cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento respecto a una posición de equilibrio, y dirigida hacia dicha posición.

Movimiento armónico simple en péndulo

Un péndulo simple consiste en una masa puntual (m) suspendida de un hilo inextensible y sin masa de longitud (L), oscilando bajo la gravedad (g). Por otro lado, la ecuación que se emplea para determinar la fuerza restauradora es:

F=−mgsin(θ)

En el péndulo simple el periodo no depende de la masa, solo de longitud y la gravedad. Además depende del ángulo para determinar si es M.A.S, es decir, que si el ángulo sobrepasa los 15∘ se considera un M.A.S no tan exacto.

Movimiento armónico simple en resorte

Una masa (m) está conectada a un resorte ideal de constante elástica (k), sin fricción ni amortiguamiento. El sistema puede orientarse horizontalmente (sin gravedad afectando la elongación) o verticalmente (con el peso equilibrado en la posición de equilibrio).Aquí se emplea la ley de Hooke la cual se representa como:

F=-kx

Aquí el periodo no depende de la amplitud (si el resorte es ideal). Además su energía total se conserva, la cual es la suma de la energía cinética y energía potencial elástica.

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Una gráfica de posición vs tiempo es una representación visual que muestra cómo la posición de un objeto cambia a lo largo del tiempo. La pendiente de la línea en esta gráfica revela la velocidad del objeto, y la dirección de la pendiente indica si el objeto se mueve en dirección positiva o negativa.

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Una gráfica de velocidad vs. tiempo muestra cómo cambia la velocidad de un objeto a medida que pasa el tiempo. El eje horizontal representa el tiempo, mientras que el eje vertical representa la velocidad. En una gráfica de velocidad-tiempo, la pendiente de la línea (o la curva) representa la aceleración del objeto. El área bajo la curva entre dos puntos en el tiempo representa el desplazamiento del objeto en ese intervalo de tiempo.

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Representa la aceleración de un objeto en función del tiempo. Se construye trazando los valores de aceleración en el eje vertical (y) y los valores de tiempo en el eje horizontal (x). Esta gráfica puede proporcionar información valiosa sobre el movimiento del objeto, incluyendo si está acelerando, desacelerando o manteniendo una aceleración constante.

# data[].attributes.body
Elongacion (x) : Representa la posición de una particula en función del tiempo. Su unidad de medida es el metro (m)

‎Frecuencia (f) : Representa el número de oscilaciones o vibraciones en un segundo. Unidad de medida el Hertzio (Hz)

‎Periodo (T) : Representa el tiempo que se tarda en cumplir una oscilación completa. Su unidad de medida es el segundo (s).

‎Amplitud (A) : Representa la elongación máxima y su unidad de medida es el metro(m)

‎Frecuencia angular (ω) : Representa la rapidez de cambio de la fase del movimiento. Su unidad de medida es radianes sobre segundos

‎

‎

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Dinámica del M. A. S : Fuerza restauradora

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Dinámica del M. A. S : Fuerza restauradora

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Como lo mencionaron Sears y Zemansky, la fuerza restauradora en un Movimiento Armónico Simple (MAS) es una fuerza que actúa sobre un objeto y lo devuelve a su posición de equilibrio.

‎Según la Ley de Hooke se puede definir que la fuerza restauradora (F) es proporcional al desplazamiento(x) desde la posición de equilibrio

‎ F= -kx

‎siendo k la constante del resorte siempre positiva

‎

‎

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Ecuaciones del movimiento armónico simple

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Ecuaciones del movimiento armónico simple

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Segun Sears y Zemansky las ecuaciones del movimiento armònico son:

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Describe dónde se encuentra la partícula en cualquier momento t.

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El desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio. Siempre es positivo.

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Indica qué tan rápido ocurre la oscilación. Se mide en radianes por segundo (rad/s).

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El instante en el que evaluamos la posición.

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El ángulo de fase en t=0. Determina la posición inicial de la partícula.

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Describe la rapidez y dirección del movimiento.

La velocidad es máxima cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio (x=0) y es cero en los extremos (x=±A).

# data[].attributes.body
Describe el cambio de velocidad.

La aceleración es máxima en los extremos (x=±A) y es cero en la posición de equilibrio (x=0). Siempre apunta hacia la posición de equilibrio, opuesta al desplazamiento.

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Energía en el Movimiento Armónico Simple.

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Energía en el Movimiento Armónico Simple.

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En un sistema con Movimiento Armónico Simple ideal (sin fricción), la energía mecánica total (E) se conserva. Esta energía se transforma continuamente entre energía cinética y energía potencial.

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Asociada al movimiento del cuerpo.

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Asociada a la posiciòn del cuerpo.

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Suma de la energìa cinetica y Potencial es constante

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4. Energìa total en funciòn de la amplitud (A):

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4. Energìa total en funciòn de la amplitud (A):

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La energìa mecànica total tambièn se puede expresar en tèrminos de la aplitud del movimiento, ya que en los puntos de màxima elongaciòn (x=±A), la velocidad es cero (v=0) y toda la energìa es potencial.

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5. Velocida (Vx) en cualquier desplazamiento (x):

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5. Velocida (Vx) en cualquier desplazamiento (x):

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Combinando la ecuaciòn de la energìa total (E=1/2​kA^2) con la ecuaciòn de la energìa total en cualquier punto (E=1/2mv^2 + 1/2kx^2), podemos despejar la velocidad:

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La rapidez màxima ocurre cuando el cuerpo pasa por la posiciòn de equilibrio (x=0). Sustituyendo x=0 en la ecuaciòn anterior

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Aplicaciones del Movimiento Armónico Simple

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Aplicaciones del Movimiento Armónico Simple

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El Movimiento Armónico Simple (MAS) tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas en la ciencia, la ingeniería y la vida cotidiana.

1. Física

Péndulos (simples y físicos): Se usan para medir el tiempo (relojes de péndulo) y estudiar propiedades gravitacionales.

Oscilaciones de resortes: Permiten analizar fuerzas elásticas, calcular constantes de resortes y diseñar sistemas amortiguadores.

2. Ingeniería y Construcción

Diseño de estructuras sismorresistentes: Se modelan las vibraciones de edificios como sistemas MAS para diseñar estructuras que soporten terremotos.

Amortiguadores de autos: Funcionan bajo principios de MAS amortiguado para absorber impactos y mejorar la estabilidad del vehículo.

3. Sonido y Música

Instrumentos musicales: Las cuerdas, tubos de viento y membranas vibran en MAS, generando sonidos con frecuencias específicas (notas musicales).

Altavoces y micrófonos: Basan su funcionamiento en la oscilación de membranas, que reproducen o captan sonidos por MAS.

4. Tecnología y Comunicaciones

Osciladores electrónicos: Utilizan MAS en circuitos RLC para generar señales de radio, TV, WiFi y más.

Sensores sísmicos: Detectan vibraciones terrestres con masas que oscilan como MAS ante movimientos del suelo.

5. Biología y Medicina

Vibraciones del tímpano: El tímpano y los huesecillos del oído vibran como sistemas MAS para detectar sonidos.

Ritmos cardíacos: Aunque no son MAS perfectos, se aproximan a patrones periódicos similares, útiles para modelos de diagnóstico.

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Una masa de 0,12Kg, suspendida de una cuerda, forma un péndulo simple de 0,75m de longitud. Se separa de su punto de equilibrio, hasta que la cuerda forma un ángulo de 15 grados con respecto a la vertical y luego se libera. Con estos datos se debe calcular:

a)     El módulo de la fuerza restauradora.

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Un cuerpo de masa m=0.2 kg cuelga de un resorte vertical con constante elástica k=20 N/m. Se deja oscilar verticalmente alrededor de su posición de equilibrio.
a) Calcular el período de oscilación.

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Una varilla homogénea de L=1.0 m de largo y masa m=0.5 kg oscila alrededor de un eje perpendicular a la varilla, ubicado a 0.1 m de uno de sus extremos. Su inercia es de 0.1217 kg/m.
a) Calcular el período de oscilación.

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Un disco de inercia I=0.02 kg/m2 cuelga de un alambre que ofrece un momento de torsión proporcional al ángulo de giro, con una constante de torsión κ=0.05 Nm/rad.

a) Calcular el período de oscilación.

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Blatt, F. J.; Pozo, V. G. Fundamentos de Física; Prentice Hall Hispanoamericana: México, 1991.

Contreras Lemus, L. A. Simulación Computacional, Desarrollo Teórico y Comparación Experimental de un Péndulo Elástico; Trabajo de graduación, Universidad de San Carlos de Guatemala, Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Física: Guatemala, mayo 2019.

Fernández, J. Ecuaciones y Gráficas del Movimiento Armónico Simple. Fisicalab. (Accedido el 8 de junio de 2024).

Gómez, V. A. Péndulo Simple. Determinación de la aceleración de la gravedad; Universidad de Valladolid: 2018.

Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física, 9.ª ed.; Wiley: 2011.

Sears, F. W.; Zemansky, M. W.; Young, H. D.; Freedman, R. A.; Ford, A. L. Física Universitaria, 12ª ed.; Pearson Educación: México, 2009.

Sepúlveda, M. E. Gráfica de V vs T. Física en línea, 2023, Puerto Rico.

Serway, R. A.; Beichner, R. J. Física para Ciencias e Ingeniería, Vol. 1; McGraw-Hill: México, 2002.

Serway, R. A.; Jewett, J. W. Física para Ciencias e Ingeniería, Vol. 1; Cengage Learning: 2014.

Tipler, P. A.; Mosca, G. Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 1; Reverté: 2005.