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Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes y sus tres ángulos correspondientes son iguales. La congruencia significa que uno puede superponerse exactamente sobre el otro mediante traslaciones, giros y/o reflexiones.

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Criterios de congruencia (con ejercicio y solución para cada uno)

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Criterios de congruencia (con ejercicio y solución para cada uno)

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A) LAL (Lado–Ángulo–Lado / SAS)

Enunciado criterio: Si en dos triángulos se tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre esos dos lados también es igual, entonces los triángulos son congruentes.

Ejercicio (LAL):
En los triángulos △ABC y △DEF se sabe que: AB = DE = 6 cm, AC = DF = 8 cm y ∠A = ∠D = 60°. Demuestra que los triángulos son congruentes y encuentra ∠B = ?

Solución:
Por los datos, en △ABC y △DEF se cumple Lado–Ángulo–Lado (AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF), luego △ABC ≅ △DEF.
Como son congruentes, los ángulos correspondientes son iguales: ∠B = ∠E. Si además se pide el valor numérico de ∠B y no hay más datos, solo podemos afirmar la igualdad ∠B = ∠E. Si se necesita valor numérico, habría que dar más información (por ejemplo la medida de algún otro ángulo). (Importante: el ejercicio muestra la aplicación del criterio; en problemas concretos se añaden datos para calcular medidas).

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B) ALA (Ángulo–Lado–Ángulo / ASA)

Enunciado criterio: Si en dos triángulos se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos con las mismas medidas, los triángulos son congruentes.

Ejercicio (ALA):
En △PQR y △STU se sabe que ∠P = ∠S = 50°, ∠Q = ∠T = 60° y el lado PQ = ST = 7 cm (lado comprendido entre los ángulos). Demuestra que los triángulos son congruentes.

Solución:
Los triángulos tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido entre ellos igual ⇒ criterio ALA aplica ⇒ △PQR ≅ △STU. Por congruencia, sus lados y ángulos correspondientes son iguales: por ejemplo QR = TU y ∠R = ∠U.

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C) LLL (Lado–Lado–Lado / SSS)

Enunciado criterio: Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Ejercicio (LLL):
En △XYZ y △ABC se cumple XY = AB = 5 cm, YZ = BC = 6 cm, ZX = CA = 7 cm. Demuestra que los triángulos son congruentes.

Solución:
Los tres lados correspondientes son iguales ⇒ criterio LLL aplica ⇒ △XYZ ≅ △ABC. Por tanto, los ángulos correspondientes también son iguales (∠X = ∠A, ∠Y = ∠B, ∠Z = ∠C).

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Teoremas relevantes (con ejercicio y solución cada uno)

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Teoremas relevantes (con ejercicio y solución cada uno)

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Teorema del triángulo isósceles

Enunciado: Si un triángulo tiene dos lados iguales (es isósceles), entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales. Y su recíproco: si tiene dos ángulos iguales, los lados opuestos a ellos son iguales.

Ejercicio (Isósceles):
En △MNO, MN = MO. Si ∠N = 50°, encuentra ∠O y ∠M.

Solución:
MN = MO ⇒ ∠N = ∠O. Como ∠N = 50° ⇒ ∠O = 50°. La suma de ángulos del triángulo: ∠M + 50° + 50° = 180° ⇒ ∠M = 80°.

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Enunciado: En un triángulo equilátero todos sus lados son iguales y todos sus ángulos miden 60°.

Ejercicio (Equilátero):
△RST es equilátero y su lado mide 9 cm. Demuestra que ∠R = 60° y calcula el perímetro y el área (usa fórmula área = (√3/4)·lado²).

Solución:
Por ser equilátero, ∠R = ∠S = ∠T = 60°. Perímetro = 3·9 = 27 cm. Área = (√3/4)·9² = (√3/4)·81 = 81√3 / 4 cm².

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Teorema del triángulo rectángulo (Pitagoras)

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Teorema del triángulo rectángulo (Pitagoras)

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Enunciado (Pitagoras): En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2c2=a2+b2.

Ejercicio (Rectángulo):
En △ABC, ∠C = 90°, AC = 6 cm, BC = 8 cm (catetos). Calcula AB (hipotenusa) y determina si △ABC es congruente a otro triángulo con catetos 6 y 8.

Solución:
AB² = AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ⇒ AB = 10 cm. Cualquier otro triángulo rectángulo con catetos 6 y 8 tendrá hipotenusa 10 ⇒ por igualdad de tres lados (si se conoce correspondencia) serían congruentes (por ejemplo criterio LLL si se conocen los tres lados). También por HL (hipotenusa-cateto) en triángulos rectos, si comparten hipotenusa y un cateto, son congruentes.

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2. Demostraciones usando criterios de congruencia y teoremas relevantes

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2. Demostraciones usando criterios de congruencia y teoremas relevantes

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Problema 1 (Demostración básica con LAL)

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Problema 1 (Demostración básica con LAL)

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Enunciado: En △ABC y △DEF, se sabe que AB = DE, AC = DF y ∠A = ∠D. Demuestra que ∠B = ∠E.

Demostración:
Por los datos AB = DE, AC = DF y ∠A = ∠D, los triángulos son congruentes por LAL (SAS). Por congruencia, los ángulos correspondientes son iguales ⇒ ∠B = ∠E. ▢

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Problema 2 (Aplicación del teorema isósceles + congruencia)

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Problema 2 (Aplicación del teorema isósceles + congruencia)

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Enunciado: En △ABC, AB = AC (triángulo isósceles). Un punto D sobre el lado BC es tal que BD = DC. Demuestra que AD es perpendicular a BC (si AD además biseca el ángulo en A).

Demostración (una versión típica):
Si además se da que AD biseca ∠A, entonces ∠BAD = ∠DAC. Considera △ABD y △ADC:

AB = AC (dado),

BD = DC (dado),

∠BAD = ∠DAC (AD biseca ∠A).
Por LAL, △ABD ≅ △ADC ⇒ ángulos ∠ADB y ∠ADC son iguales. Pero ∠ADB + ∠ADC = 180° (recta BC), y si dos ángulos contiguos son iguales cada uno mide 90°. Luego AD ⟂ BC. ▢

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Problema 3 (Uso de LLL y propiedades de equilátero / isósceles)

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Problema 3 (Uso de LLL y propiedades de equilátero / isósceles)

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Enunciado: En un triángulo △XYZ se tiene XY = XZ. Se traza la mediana XM desde X hasta YZ tal que YM = MZ. Demuestra que XM es perpendicular a YZ.

Demostración:
Como YM = MZ (M es punto medio) y XY = XZ (triángulo isósceles), considera △XYM y △XZM:

XY = XZ (dado),

YM = MZ (M es punto medio),

XM = XM (lado común).
Por LLL (o LAL si reescrito), los triángulos △XYM y △XZM son congruentes ⇒ ∠XMY = ∠MXZ. Estos ángulos son adyacentes y suman 180°, por lo tanto cada uno mide 90° ⇒ XM ⟂ YZ. ▢

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Problema 4 (Combinado: congruencia y Pitágoras)

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Problema 4 (Combinado: congruencia y Pitágoras)

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Enunciado: En △ABC, ∠C = 90°, AC = 5 cm y BC = 12 cm. En △DEF, ∠F = 90°, DF = 5 cm y EF = 12 cm. Demuestra que △ABC ≅ △DEF y calcula AB y DE.

Demostración:
Ambos son triángulos rectángulos con catetos iguales: AC = DF = 5 cm y BC = EF = 12 cm. Por tanto tienen los mismos tres lados si calculamos las hipotenusas: AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ⇒ AB = 13 cm. De igual forma DE = 13 cm. Entonces △ABC y △DEF tienen los tres lados iguales (5,12,13) respectivamente ⇒ por LLL (SSS) son congruentes: △ABC ≅ △DEF. ▢