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Scomporre un polinomio nel prodotto di polinomi di grado più basso.

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È la proprietà distributiva “letta” al contrario.
Quando si usa: quando tutti i termini del polinomio sono divisibili per lo stesso monomio.
Come si usa: si divide il polinomio per il fattore comune.
Come si scrive: il polinomio da scomporre è uguale al prodotto fra il divisore e il quoziente.

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Divisione di un polinomio per un monomio

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Divisione di un polinomio per un monomio

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Per usare il raccoglimento totale, devi saper calcolare la divisione tra un polinomio e un monomio.

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Come il raccoglimento totale, ma si cercano i fattori comuni solo ad alcuni, e non a tutti, i termini del polinomio.

Quando si usa: quando il polinomio conta un numero pari di termini e se solo alcuni di questi hanno fattori comuni.

Come si usa: si scelgono due o più termini del polinomio e si divide per il fattore che hanno in comune.

Come si scrive: la somma dei termini scelti è uguale al prodotto tra il fattore raccolto e, tra parentesi, la somma dei quozienti ottenuti.

# data[].attributes.headline
Il grado del polinomio di partenza è uguale alla somma dei gradi dei fattori

# data[].attributes.subject
Il grado del polinomio di partenza è uguale alla somma dei gradi dei fattori

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Ad esempio: un polinomio di quarto grado può essere scomposto nel prodotto di

due polinomi di secondo grado (4=2+2),

due di primo e uno di secondo grado (4=1+1+2),

quattro di primo grado (4=1+1+1+1),

uno di tre e uno di primo (4=3+1).

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Alcuni polinomi non si possono scomporre

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Alcuni polinomi non si possono scomporre

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I polinomi che non si possono scomporre in fattori a coefficienti reali si dicono irriducibili.

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Prova a verificare se il polinomio che devi scomporre è un trinomio speciale oppure il risultato di uno dei prodotti notevoli.

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E' un polinomio:

di secondo grado,

con tre termini.

Si può scomporre facilmente se:

riesci a trovare due numeri, chiamiamoli a e b, che

sommati danno il coefficiente del termine di primo grado

moltiplicati danno il prodotto tra il termine noto e il coefficiente del termine di secondo grado.

Come si scompone?

si scrive il coefficiente del termine di primo grado come somma dei numeri a e b trovati,

si ottiene un polinomio di secondo grado con quattro termini,

si procede con il raccoglimento parziale.

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Sono polinomi ottenuti come risultato di moltiplicazioni particolari.

I più utili da ricordare sono:

Quadrato di binomio (il prodotto di un binomio per se stesso);

Quadrato di trinomio (il prodotto di un trinomio per se stesso);

Cubo di binomio (il prodotto di tre copie dello stesso binomio);

Differenza di quadrati (il prodotto tra la somma di due quantità e la differenza delle stesse quantità);

Somma o differenza di cubi (il prodotto tra la somma, o la differenza di due quantità e il "falso quadrato")

# data[].attributes.body
Perché "notevole"?
E' il prodotti di un binomio per se stesso.

Come lo riconosco?
E' un polinomio:

di secondo grado

con tre termini

due termini sono i quadrati di due quantità e il terzo termine è il doppio prodotto delle stesse quantità.

Come si scompone?

Individuo i due termini che sono i quadrati di qualcosa. Chiamo questi “qualcosa” basi.

Verifico che il doppio del prodotto tra le basi è uguale al termine che non ho finora considerato del trinomio di partenza.

Il trinomio di partenza è uguale al quadrato del binomio che è la somma algebrica delle basi.

# data[].attributes.body
Perché "notevole"?
E' il prodotti di un trinomio per se stesso.

Come lo riconosco?
E' un polinomio:

di secondo grado

con sei termini

tre termini sono i quadrati di tre quantità e gli altri tre sono il doppio dei prodotti dei termini iniziali presi a coppie (primo e secondo, primo e terzo, secondo e terzo).

Come si scompone?

Individuo i tre termini che sono i quadrati di qualcosa. Chiamo questi “qualcosa” basi.

Verifico che il doppio del prodotto tra le basi, prese a due a due, è uguale ai tre termini che non ho finora considerato del trinomio di partenza.

Il polinomio di partenza è uguale al quadrato del trinomio che è la somma algebrica delle basi.

# data[].attributes.body
Perché "notevole"?
E' il prodotti di un binomio per due copie di se stesso.

Come lo riconosco?
E' un polinomio:

di terzo grado

con quattro termini

due termini sono i cubi di due quantità, un termine è il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, l'altro è il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo.

Come si scompone?

Individuo i due termini che sono i cubi di qualcosa. Chiamo questi “qualcosa” basi.

Verifico che uno dei due termini rimanenti è uguale al triplo del prodotto tra il quadrato della prima base e la seconda base.

Verifico che l'ultimo termine rimanente è uguale al triplo del prodotto tra la prima base e il quadrato della seconda.

Il polinomio di partenza è uguale al cubo del binomio che è la somma algebrica delle basi.

# data[].attributes.body
Perché "notevole"?
E' il prodotto tra la somma di due quantità per la differenza tra le stesse quantità.

Come lo riconosco?
E' un polinomio:

di secondo grado (o comunque di grado pari)

con due termini

è una differenza tra i quadrati di due quantità.

Come si scompone?

Individuo le quantità che, elevate al quadrato, sono uguali ai due termini del binomio. Chiamo queste quantità basi.

Il polinomio di partenza è uguale al prodotto tra la somma delle due basi per la differenza tra le due basi.

# data[].attributes.body
Perché "notevole"?
E' il prodotto tra la somma algebrica di due quantità per un trinomio detto falso quadrato (perché somiglia a un quadrato di binomio).

Come lo riconosco?
E' un polinomio:

di terzo grado (o comunque di grado multiplo di tre)

con due termini omogenei (cioè con lo stesso grado complessivo).

Come si scompone?

Individuo le quantità che, elevate al cubo, sono uguali ai due termini del binomio. Chiamo queste quantità basi.

Il polinomio di partenza è uguale al prodotto tra la somma algebrica delle due basi per un trinomio detto falso quadrato.

Il falso quadrato è formato dal quadrato della prima base più il quadrato della seconda base, più il prodotto tra la prima e la seconda base, cambiato di segno.

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Tipo questo!

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Se devo scomporre il polinomio A(x) e so già che esso è divisibile per un altro polinomio B(x), posso eseguire la divisione A(x):B(x).
Troverò un polinomio Q(x) che è anche lui divisore di A(x) e potrò scrivere che A(x)=B(x)*Q(x).