# data[].attributes.headline
Упрямые логики -Белово

# data[].attributes.subject
Упрямые логики -Белово

# data[].attributes.body
Узнать комбинаторную задачу можно как правило по тому,как поставлен вопрос.К примеру задача с вопросом: "сколькими способами...", считается комбинаторными.

# data[].attributes.headline
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.subject
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.body
Узнать комбинаторную задачу можно если задать к условию вопрос  который звучит как «Сколько вариантов?» или «Сколькими способами?».  Необходимо выяснить, возможно ли составить комбинацию определённого вида, и сколько различных комбинаций можно составить.

https://clck.ru/LzKWU

# data[].attributes.headline
Ну, погоди! - Белово

# data[].attributes.body
Ну, погоди! - Белово

Чтобы узнать комбинаторную задачу нужно задать к условию данного вопрос, такой как: "Сколько вариантов решения?" или "Сколькими способами можно решить задачу?". Нужно узнать, возможно ли составить комбинацию, а также сколько всего можно составить комбинаций разного вида.

# data[].attributes.body
В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
ТЕМА

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В СИСТЕМЕ

РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

ВЫПОЛНИЛА: учитель начальных классов

высшей категории

Москва

2016

Содержание

1.Введение с.3

2.Основная часть с.4- 13

3.Заключение с.14-15

4.Список литературы с.16

Введение

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. Одним из первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т. д.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д

Основная часть

Задачи комбинаторного характера по - прежнему для начальной школы классифицируются, как задачи повышенной трудности. Они не связываются с усвоением основных вопросов курса и не согласовываются с логикой построения его содержания.

В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

В 90-х гг. начинают разрабатываться альтернативные учебники математики для начальных классов, включающие в свой курс изучение комбинаторных задач. Например, учебники по математике (программа "Школа 2000..."), учебники и тетради на печатной основе (система ), учебники авторов , (система ), авторского коллектива , (УМК "Школа 2100") содержат соответствующий материал как органическую часть курса математики. К учебникам разработаны тетради на печатной основе "Учимся решать комбинаторные задачи" для учеников 1 - 5 классов.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные. Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики.

Комбинаторные задачи можно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, а включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами (без использования специальных формул).

ФГОС второго поколения начального общего образования определяет новые требования к уровню подготовки младших школьников, что предполагает необходимость переосмысления педагогами начальной школы как самого подхода к процессу обучения младших школьников, так и необходимость внесения корректив в методику преподавания отдельных предметов, среди которых начальный курс математики.

Особую актуальность приобретает целенаправленное формирование у младших школьников "умения учиться" через учебный предмет. В этой связи, дополнительное включение в содержание базового курса математики в начальной школе комбинаторных задач - задач, требующих осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчёта их числа несомненно, способствует совершенствованию приемов умственной деятельности младшего школьника, формированию у него способности комбинировать, осуществляя "поиск тех или иных преобразований" .

, связывают развитие комбинаторного мышления младшего школьника со становлением умственных операций, теоретического мышления, считающегося основным "новообразованием младшего школьного возраста" с развитием творческих способностей ребенка. Таким образом, обучение школьников решению комбинаторных задач на уроке математики позволяет комплексно решать задачи, направленные на получение обучающимся как предметного, так и метапредметного, личностного результата.
Для внедрения комбинаторных задач в практику работы учителя начальных классов созданы сегодня реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики в учебный процесс.

В современной учебно-методической литературе представлен опыт обучения школьников решению комбинаторных задач. Между тем далеко не каждый учитель начальных классов может с уверенностью говорить о том, что его ученики могут с легкостью решать задачи. Решение комбинаторных задач может представлять для них особую сложность, так как связано с обучением школьников абстрагированию, перенесением практического действия в план умственного, связано с умениями анализа, синтеза, классификации объектов, представляющих сложность на начальном этапе обучения.

Существуют следующие методы решения комбинаторных задач:

Метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления)

Табличный метод (здесь все условия вносятся в таблицу, возникает решение)

Дерево вариантов (дети получают начальные знания о графах)

Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1-2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3-4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым позволяя в основной школе при изучении некоторых тем теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.

Комбинаторные задачи являются средством:

1. Реализации методической концепции, выражающей необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения программного содержания.

2. Овладения способом моделирования на доступном для младших школьников уровне.

3. Расширения у учащихся представлений о различных видах математических задач и способах их решения (перебор, таблицы, дерево вариантов)

4. Развития таких свойств мышления как гибкость, вариативность, креативность.

В конце изучения курса математики в начальной школе учащиеся владеют способами решения комбинаторных задач, умеют составлять математически

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор.

Рассмотрим одну из них.

Учащимся предлагается следующая проблема: " У тебя 60 рублей. Родители отпустили тебя в парк покататься на каруселях.

Предлагаются следующие расценки.

Вход в парк - 5 рублей

"Колесо обозрения" - 10 рублей

"Сюрприз - 35 рублей.

"Американские горки" - 45 рублей

"Комната смеха" - 25 рублей

Какой выбор ты сделаешь, если ни один из аттракционов нельзя посетить дважды?

Ребенок, анализируя задачу, приходит к построению такой математической модели:

Реальность - постановка условий - составление возможных вариантов - выбор варианта. Тем самым ребенок ставит следующие условия:
Ребенок должен войти в парк, потратить 5 рублей. Стоимость всех посещенных аттракционов должна быть меньше, либо равна 55. Ни один из аттракционов не должен быть посещен дважды.
Затем у ребят возникают следующие варианты.

Делая свой выбор, ребенок останется на конкретном варианте и воплощает его в реальности.

Система работы по обучению младших школьников решению комбинаторных задач складывалась в течение четырёх лет практической работы с данным видом задач и основана на анализе учебно-методических рекомендации учителей-исследователей, публикуемых в специальных методических изданиях.

Изучив методическую литературу по исследуемой проблеме, некоторые публицистические статьи (, , ) были выделены виды комбинаторных задач и этапы их решения, для последующего практического включения в базовый курс математики. Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перебора.
На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и "жизненные" задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека). Например, для обеспечения мотивации решения комбинаторных задач можно предложить детям задачу-игру "День-ночь", "Башенки". Подобные игры с успехом можно проводить во время физминуток.
"Жизненные" задачи", показывающие возможность применения комбинаторики в повседневной деятельности человека также направлены на формирование простых мыслительных операций. Например, интерес у ребят вызывает следующая задача:
"У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух - пятидесятирублевые. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?" В ходе решения задача обыгрывается: к доске вызываются 4 учеников, получающие модели купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Вызываю "кассира" и даю ему "билеты"). Находим два возможных варианта решения: 1. - 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 - 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. Данные задачи могут предлагаться утомившимся учащимся в конце урока математики.
Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходить эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач.

2. Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с новыми видами комбинаторных задач: задачами, решаемыми методом организованного перебора; с помощью таблиц; с помощью графов; с помощью дерева возможных вариантов.
При знакомстве школьников с ходом решения задач методом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Перед тем, как знакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач - с помощью таблиц, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц и сформулировать определение понятия "таблица", например такое: таблица - это перечень сведений, числовых данных, приведенных в определенную систему и разнесенных по графам (строкам и столбцам). Примеры задач, решаемых с помощью таблиц:
"Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?"

Перед решением данной задачи вспоминаем разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.

Получается такая таблица:

Проверь, правильно ли заполнена таблица?

Вспоминаем разрядный состав чисел, используемых в задаче. Находят ошибки сами.

"В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ".

Эту задачу предлагаю учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, даю детям возможность самим составить и заполнить таблицу по аналогии.

При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками. Связи между объектами могут обозначаться линиями и стрелками, если нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов. Новое для школьников понятие "граф" рассматривается на уроке помощью следующей задачи:
"Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?"
Сначала выясняем с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет, составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.

Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа - деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.

С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в процессе овладения школьниками содержанием начального курса математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой - осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, расположенных уже на 1-х страницах учебника математики, направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения.

Дополнительно предлагаю задачи из печатной тетради "Учимся решать комбинаторные задачи". В ней содержится дополнительный материал к учебнику "Математика" автор . К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.

Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления.

В качестве домашнего задания попросить детей попробовать самим составить комбинаторные задачи. Дети составляли их по аналогии с теми, которые решали в классе, например: "Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2,4,0, если цифры не повторяются? Если цифры повторяются?".

Сначала это была небольшая группа детей, но потом им понравилось самим составлять такие задачи и задавать их другим. Постепенно к творческой работе включился весь класс.

Наблюдения за деятельностью детей на уроке математики показывают, что к окончанию второго класса даже у детей с заниженным логическим мышлением появился интерес к решению комбинаторных задач.

В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с деревом возможных вариантов, когда способ перебора можно заменить схемой. Схему-дерево возможных вариантов можно располагать по-разному.

Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Серёжу, чтобы мальчики и девочки чередовались?

Сначала записываем все возможные варианты расположения детей на скамейке (перебор), потом заменяем схемой.

А теперь прошу заполнить самостоятельно схему-дерево, если корень дерева расположен вверху.

Такие задачи решить самостоятельно дети затрудняются, поэтому решение задач - коллективное. Составляем таблицу, проводим наблюдения по условию и перебираем варианты.

В учебнике математики за 4 класс более часто встречаются задачи данного вида и решаются они на уроках с подробным разбором.

Большую роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет процесс дифференциации заданий по уровню сложности. Для учеников, испытывающих особые трудности в решении комбинаторных задач, предлагаются дифференцированные по уровню сложности задания.

1. Сколько четырёхзначных чисел, в которых 6 тысяч, можно записать цифрами 6, 5, 2?

Пониженный уровень: Составить все возможные варианты записи этих чисел.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

2.В класс пришли четыре новых ученика: Коля, Вася, Саша и Петя. Как учитель может рассадить этих учеников за две свободные парты? Сколько вариантов выбора у него есть?

Пониженный уровень: составить все возможные варианты, пользуясь способом перебора.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

Комбинаторные задачи встречаются в пропедевтическом курсе "Информатика в играх и задачах" , Включение комбинаторных задач в начальный курс информатики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Благодаря пропедевтическому курсу изучение комбинаторных задач в начальной школе закладывает прочную основу, позволяющую не тратить время на изучение данного материала в базовой школе, а использовать полученные ранее знания для обобщения и развития знаний школьника с информационной точки зрения.

Изучение информатики в начальной школе предполагает развитие у школьников логического мышления, формирование начальной компьютерной грамотности, развитие алгоритмических навыков и системных подходов к решению задач, расширение кругозора в области знаний, тесно связанных с информатикой.

Курс "Информатика в играх и задачах" , в целом реализует перечисленные цели и задачи. Осваивая этот курс, младшие школьники учатся сравнивать, анализировать, обобщать, абстрагировать, видеть структурные, иерархические и причинно-следственные связи.

Среди задач, решение которых способствует умственному развитию младших школьников, значительное место занимают комбинаторные задачи. В них рассматриваются различные комбинации из заданных объектов, удовлетворяющие определенным условиям. Учащиеся знакомятся с графами, "деревом решений", приобретают навыки решения нестандартных задач.

Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотичного перебора.

На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и "жизненные" задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека).

Учитывая возрастные особенности учащихся, целесообразно при решении комбинаторных задач на этом этапе использовать игровые ситуации, приемы раскрашивания.

Примеры задач:
Раскрась домики синей и желтой краской так, чтобы они были разными. Сережа, Антон и Денис пришли в кафе. В каком порядке мальчики могут встать в очередь?
На подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходит эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач.

Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с новыми видами комбинаторных задач: задачами, решаемыми методом организованного - системного перебора.

При знакомстве школьников с ходом решения задач методом системного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Примеры задач:

1.Три белки запаслись на зиму грибами, орехами и ягодами. Что может заготовить каждая белка, если она соберет по два вида каждого запаса?

2.Даниил закрыл свой велосипед на замок с секретным кодом, составленным из двух цифр, и обратил внимание, что сумма этих цифр равна 10. На завтра он забыл код, но к счастью запомнил сумму цифр. Он решил выписать все возможные варианты. Помоги ему вспомнить код.

3. Третий этап. Обучение школьников решению задач системным перебором с использованием средств организации перебора (таблиц, графов, дерева решений).

Работа с графическими средствами отнесена на третий этап, так как, во-первых, при решении задач с небольшим числом элементов нет необходимости их использования, во-вторых, "язык" графов и таблиц не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется специальное ознакомление с ним.

Примеры задач:

1. Мама купила сыну 7 воздушных шаров синего и красного цвета. Сколько синих и сколько красных шаров могла купить мама, если известно, что синих шаров было больше, чем красных?

2.Раним утром Мартышка, Слоненок и Попугай обменялись рукопожатиями каждый с каждым. Сколько всего было рукопожатий?

В процессе решения можно познакомить учащиеся и с понятием ориентированного графа.

Примеры задач:

3.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3,4,5?

В дальнейшем при работе с графами можно использовать такие методические приемы: проверь правильность построения графа, дополни граф, построй граф, выбери граф для задачи, придумай условие задачи по заданному графу.

Заключение

Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников.

Решение комбинаторных задач способствует развитию вариативности мышления - направленности мыслительной деятельности на поиск различных путей решения задачи, когда на это нет специального указания.

Уже после первого года обучения у школьников наблюдается положительная динамика в развитии логического мышления Уровень развития логического мышления повышается от класса к классу.

К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников. Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления. В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приемы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Методики решения комбинаторных задач на уроках математики в 1-4 классах доказывает свою эффективность на практике. Наблюдение за деятельностью детей в процессе самостоятельного решения ими комбинаторных задач на уроке показывает, что учащиеся, усваивая алгоритм решения комбинаторных задач, приобретают уверенность в своих силах, дети учатся находить варианты выхода из проблемной ситуации, приобретают уверенность в своих силах.

Учащиеся в большинстве своем успешно справляются с учебной деятельностью. Полученные навыки решения комбинаторных задач во многом определяют способность большинства обучающихся справляться с задачами повышенного уровня сложности, предлагаемых в контрольных работах по математике. Сами обучающиеся, по результатам устного опроса, проведенного в классе, отмечают, что "им нравится решать сложные задачи", "нравится работать с консультантами", "ломать голову", "самим находить верное решение". Как показывает опыт работы, решение комбинаторных задач увлекает младших школьников, они с большим удовольствием начинают заниматься придумыванием и составлением собственных комбинаторных задач, что становится началом элементарной исследовательской и творческой деятельности. Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные.

В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей. В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования.

Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики. Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения комбинаторных задач в процесс обучения активно реализуется в массовой школьной практике.

Кроме очевидной связи комбинаторных задач с практикой или с реальностью наблюдаются положительные эмоции у детей, интерес, волнение, радость, удивление. Все это облегчает для ребенка волевое усилие, необходимое для решения стоящей перед ним задачи, стимулирует его деятельность.

Таким образом, решение комбинаторных задач положительно влияет на формирование приемов умственной деятельности, расширяются представления о задаче

литературы:

1.Методика обучения школьников решению комбинаторных задач// Начальная школа, 1994, №12
2. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики// Начальная школа, 1992, №1. С.20-22
3. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов //Начальная школа, 1995, №1. С.21-24
4. Характеристика комбинаторных задач// Начальная школа, 1994, №1

5. Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы// Российская государственная библиотека

6., Методика преподавания информатики в начальной школе (1-4 классы) на примере курса "Информатика в играх и задачах"// М.: Педагогический Университет "Первое сентября", 2011

7. Концепция обучения математике в начальной школе// Начальная школа, 1996,№10.С.48-57
8. Обучение младших школьников решению текстовых задач.- Смоленск: Ассоциация ХХI век,2011.
9. , Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 1 - 2 классов четырехлетней начальной школы. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011
10. , Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь по математике для учащихся 3 класса. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011.
11. , Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 4 класса четырехлетней начальной школы. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011.
12. Математика. Учебник для первого класса четырёхлетней начальной школы.- Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2011.
13. Математика. Учебник для второго класса четырёхлетней начальной школы.- Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2011.
14. Математика. Учебник для третьего класса четырёхлетней начальной школы.- Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2012.
15. Математика. Учебник для четвёртого класса четырёхлетней начальной школы.- Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2012.

# data[].attributes.attachment_link.title
Тема омбинаторные задачи в системе развивающего обучения в начальной школе

# data[].attributes.attachment_link.description
ТЕМА КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В СИСТЕМЕ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ ВЫПОЛНИЛА: учитель начальных классов высшей категории Москва 2016 Содержание 1.Введение с.3 2.Основная часть с.4- 13 3.Заключение с.14-15 4.Список литературы с.16 Введение Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми.

# data[].attributes.headline
 Индейцы-42-БЕЛОВО

# data[].attributes.subject
 Индейцы-42-БЕЛОВО

# data[].attributes.body
,ХэйХэй-Хэй-Хэй

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
Привет всем, с вами снова мы, самые топовые ребятки.
Если индеец, или любой другой человек, хочет определить , является ли задача комбинаторной, то он внимательно читает условие.
Если в условии задачи поставлен вопрос о нахождении нескольких вариантов/способов  решения.
Чуть ли не каждый день мы сталкиваемся с комбинаторными задачами и решаем их, даже не осознавая, что мы решали задачу. В этом и прелесть комбинаторики
С вами были ИНДЕЙЦЫ, до скорого

# data[].attributes.body
Ребята, всем привет!
Если вы задаетесь вопросом, является ли задача комбинаторной или же нет, то вы правильно сделали, что обратились именно к нам. Мы команда " Оптимисты" и мы поможем вам ответить на этот вопрос.
Если в условии задачи сказанно, что требуется перебрать все возможные варианты комбинаций каких-либо чисел, символов, букв и т.д. или посчитать количество таких комбинаций, то эта задача является комбинаторной.
В повседневной жизни, мы не раз решали или решаем такой вид задач, при этом даже и не знаем, что они являются комбинаторными.
Надеюсь мы помогли вам определиться и ответить на ваш вопрос. С вами была группа " Оптимисты", желаем удачи, до встечи!

# data[].attributes.headline
Команда " КРЕПКИЙ ОРЕШЕК -Белово"

# data[].attributes.subject
Команда " КРЕПКИЙ ОРЕШЕК -Белово"

# data[].attributes.body
http://www.pinterest.ru/pin/655273814512390892/

# data[].attributes.body
Комбинаторная задача позволяет определить, что во многих из них используются различные элементы, которые могут быть определены в определенном порядке.

# data[].attributes.headline
Пифагор-Киселевск

# data[].attributes.subject
Пифагор-Киселевск

# data[].attributes.body
Комбинаторика – раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, – возник в XVI в., когда большое место занимали азартные игры в жизни общества того времени. Проблема азартных игр и явилась движущей силой развития комбинаторики. Поэтому комбинаторную задачу можно узнать по ее вопросу: количество способов, количество комбинаций

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
немного жизы

# data[].attributes.body
Комбинаторная теория является одной из важнейших областей математики, без знания которой не обойтись ни менеджеру, ни программисту, ни другим специалистам. Знать, как проводится решение задач по комбинаторике, значит быть востребованным работником, умеющим решать широкий круг практических задач.

Два основных правила комбинаторной теории

Теория комбинаторики основывается на двух основных принципах – это правило сложения и правило умножения. Рассмотрим их подробнее.

Правило сложения: Пусть объект А мы можем выбрать из множества mm способами, а объект В можно выбрать nn способами, то объект «А+В» можно выбрать m+nm+n способами.

Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть mm шариков, а во втором ящике – nn шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать m+nm+n способами.

Правило умножения: Пусть объект А выбирается mm способами, объект В выбирается nn способами, то оба объекта можно выбрать mnmn способами.
Все очень просто – каждый из mm способов выбора объекта А комбинируется с каждым из nn способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.

Рассмотрим простой пример: сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9∗10=909∗10=90 чисел.

Это были главные правила, на которые опираются все методы решения задач по комбинаторике

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Правила комбинаторных задач

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор "либо , либо " можно осуществить способами.

Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами.

Пусть = < , , . >, = < , , . > и А - число элементов множества . Составим декартово произведение множеств и , т.е. множество пар ( , .

Тогда правило произведения записывается следующим образом:

Пример 6. Сколько существует двузначных чисел?

Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то = <1, 2, . 9>, = <0, 1, 2, . 9>и

Размещениями из элементов по называются такие выборки, которые, имея по элементов, выбранных из числа данных элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из элементов по обозначим Используя основное правило комбинаторики, получаем

Если , то - число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками. Их число находится по формуле

Выборки из элементов, взятых из данных , отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из элементов по . Число таких сочетаний находится

Пример 7. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, испанского - на любой другой из этих пяти языков?

Решение. Поскольку важен порядок, с какого языка задается перевод на другой, то для ответа на вопрос необходимо найти число размещений из пяти по два.

Пример 8. В соревнованиях на первенство университета по волейболу участвуют 8 команд. Насколько более продолжительным будет турнир, организованный по круговой системе, чем по олимпийской?

Решение. При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречался с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч, а по олимпийской только - 7 (четыре встречи в финала, две - в полуфинале и одна в финале).

В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как

Число перестановок , в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й - раз, а -й - раз, находится следующим образом:

Пример 9. Сколько "слов" можно получить, переставляя буквы в слове МАТЕМАТИКА?

Решение. Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы новых "слов", но буква "М" употребляется в "слове" 2 раза, "А" - 3 раза, "Т" - 2 раза, оставшиеся три буквы - по разу. Следовательно, искомое число будет в раз меньше, чем , и равно

Число сочетаний с повторениями из элементов по выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 10. В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному?

Решение. Зашифруем каждую покупку 8 пирожных единицами по 5 сортам, разделяя сорта нулями. Тогда каждой покупке будет соответствовать упорядоченный набор из 8 единиц и 4 (= 5 - 1) разделительных нулей, а общее число покупок будет соответствовать числу перестановок этих нулей и единиц . Таким образом,

Вопросы для самоконтроля

1. Основные правила комбинаторики и их иллюстрация на графе.

2. Порядок решения комбинаторных задач.

3. Приведите примеры размещений и перестановок без повторений.

4. Свойства сочетаний без повторений.

5. Как получить треугольник Паскаля, и где он применяется?

6. Приведите примеры выборок с повторениями.

7. Каких выборок больше: с повторениями или без повторений?

8. Что понимают под словом длины над алфавитом ?

I 11. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?

12. Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз?

13. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь друг за другом?

14. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 учебников по комбинаторике, 4 - по алгебре и 3 - по математическому анализу, если учебники по каждому предмету одинаковые?

15. На физмате работают 76 преподавателей. Из них 49 знают английский язык, 32 - немецкий и 15 - оба языка. Сколько преподавателей на физмате не знает ни английского, ни немецкого языков?

16. В цветочном магазине продаются цветы 4 сортов. Сколько можно составить различных букетов из пяти цветов в каждом?

II 17. В азбуке Морзе буквы представляются последовательностями тире и точек. Сколько символов потребуется, чтобы закодировать буквы русского алфавита?

18. Какова вероятность выиграть хотя бы один из призов в спортлото?

III 19. Доказать с помощью комбинаторных рассуждений тождество

cito-web.yspu.org

Урок по теме "Правило умножения для комбинаторных задач". 6-й класс

Разделы: Математика

Образовательные: К концу урока учащиеся должны:

Иметь представление о переборе всех возможных вариантов, о простейших комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения;

Уметь решать простейшие комбинаторные задачи, используя правило умножения и правило деления для комбинаторных задач;

Знать о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения.

формированию познавательного интереса к предмету;

воспитанию чувства патриотизма.

развитию речи; творческого мышления;

развитию умения излагать информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории.

I. Актуализация знаний

Слово учителя: В нашей повседневной жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда нам приходится подсчитывать возможные варианты тех или иных событий.

В пятом классе мы с вами уже познакомились с достоверными, невозможными и случайными событиями. Познакомились с простейшими комбинаторными задачами, т.е. задачами в которых приходилось осуществлять перебор всех возможных вариантов, или как говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Слово "комбинаторика" происходит от латинского combino - соединяю. Давайте вспомним основные теоретические положения:

1. Какие задачи называются комбинаторными? (задачи в которых осуществляют перебор всех возможных вариантов);

2. Как называется раздел математики, занимающийся поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую? (комбинаторика);

3. Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?

4. Как часто вы комбинируете в реальной жизни?

5. Каким способом вы умеете решать комбинаторные задачи?
("дерево" вариантов);

6. В чем заключается метод решения задач по "дереву " вариантов?

II. Изучение нового материала

Давайте вспомним один из способов решения комбинаторных задач.

Задача. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны - свой флаг?

Какой способ вы использовали в 5-м классе для решения такой задачи?

(построение "дерева" возможных вариантов).

Построим "дерево" вариантов и ответим на вопрос задачи. (Учащиеся работают в группах, затем правильность выполнения работы проверяется на слайде 1)

Используя дерево возможных вариантов, мы можем подсчитать, сколько стран могут использовать такую символику.

Таким образом, получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.

Вопрос на который вы должны знать ответ: какой из представленных на рисунке флагов является Государственным флагом России? (Российский флаг "триколор" выделен на этой схеме).

Что означает каждый цвет флага? Белый цвет означает мир, чистоту, совершенство; синий - цвет веры и верности; красный - энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.

"Дерево" вариантов можно считать геометрической моделью рассматриваемой ситуации.

Рассмотрим вторую задачу: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

(Учащиеся работают в группах несколько минут).

Слово учителя: С какой проблемой вы столкнулись?

Предполагаемый ответ учащихся. "Дерево" вариантов имеет много "веток". Так как вариантов много, то можно легко допустить ошибку в подсчете всевозможных способов.

Слово учителя: Давайте ребята попробуем обойтись без "дерева" вариантов, и, используя логические рассуждения и здравый смысл подсчитать количество данных двузначных чисел.

7. Какая цифра у интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться?

Ответ: Любая из заданных цифр кроме цифры 0. Не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0.

Слово учителя: Значит, цифрой десятков может служить одна из цифр 1, 2, 3 или 4. Поэтому в первой группе только 4 "ветви".

8. Сколько вариантов для цифры единиц возможно для каждого из этих случаев?

Ответ: Возможны пять вариантов - 0, 1, 2, 3, 4.

Всего получаем 4*5 = 20 вариантов.

Про такой способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

Слово учителя: Сформулируем правило умножения.

Если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент - b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a *b.

Слово учителя: Рассмотрим несколько устных задач на применение правила умножения.

У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? (3*5=15)

В 5-м классе в субботу 4 урока: математика, русский язык, информатика и музыка. Сколько можно составить вариантов расписания в субботу? (4*3*2*1=24).

III. Выполнение упражнений

В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия?

А) Для выбора девочки в качестве дежурного есть 15 вариантов. Если девочка дежурной назначена, то имеется 13 вариантов выбора мальчика в качестве второго дежурного.

Всего: 15*13= 195 способов.

Ответ: 195 способов.

Б) Для выбора первого дежурного имеется 28 способов. Для каждого из них существует 27 способов выбора второго дежурного.

Всего 28*27 = 756 способов.

Но среди этих 756 пар есть одинаковые пары. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждому ученику присваивается номер). Тогда ясно, что например, пара "ученик №1, ученик №2" и пара "ученик №2 , ученик №1" это одна и та же пара. Таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: 756:2= 378

Ответ: 378 способов.

В данной задаче мы использовали с вами правило деления. Давайте его сформулируем: если при подсчете искомых комбинаций мы каждую из них подсчитали т раз, то нужно поделить найденное количество комбинаций на m.

Слово учителя: итак, сегодня, вы познакомились еще с одним способом решения комбинаторных задач: использование правила умножения и правила деления для подсчета возможных вариантов.

Давайте сравним известные вам способы решения комбинаторных задач.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как решать задачи по комбинаторике?

Комбинаторная теория является одной из важнейших областей математики, без знания которой не обойтись ни менеджеру, ни программисту, ни другим специалистам. Знать, как проводится решение задач по комбинаторике, значит быть востребованным работником, умеющим решать широкий круг практических задач.

Возникновение комбинаторной теории

Комбинаторика - это область математики, изучающая вопрос, сколько разных комбинаций (наборов) можно составить из элементов заданного множества. При этом нужные комбинации подчиняются определенным требованиям, что приводит к различным методам решения задач по комбинаторике.

Истоки этой науки были положены знаменитым математиком и философом Готфридом Лейбницем.

Два основных правила комбинаторной теории

Теория комбинаторики зиждется на двух основных принципах - это правило сложения и правило умножения. Рассмотрим их подробнее.

Правило сложения: Пусть объект А мы можем выбрать из множества $m$ способами, а объект В можно выбрать $n$ способами, то объект "А+В" можно выбрать $m+n$ способами.

Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример - пусть в одном ящике есть $m$ шариков, а во втором ящике - $n$ шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать $m+n$ способами.

Правило умножения: Пусть объект А выбирается $m$ способами, объект В выбирается $n$ способами, то оба объекта можно выбрать $mn$ способами.
Все очень просто - каждый из $m$ способов выбора объекта А комбинируется с каждым из $n$ способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.

Рассмотрим простой пример: сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
Можно составить 90 чисел - первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается $9*10=90$ чисел.

Это были главные правила, на которые опираются все методы решения задач по комбинаторике. Еще больше теории о началах комбинаторики вы найдете в онлайн учебнике: Элементы комбинаторики онлайн.

Готовые решения задач по теории вероятностей, в том числе по комбинаторике - более 400 решений. Найди свою задачу:

Примеры решения задач по комбинаторике

Перейдем к более продвинутым случаям и рассмотрим другие понятия комбинаторики.

Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке?
Ответ - 120 способов. Первую книгу можем выбрать 5 способами, вторую книгу 4 способами и т.д. Перемножая числа с 5 до 1, получим 120.

С этой задачи начинается понятие факториала. N-факториал или N! - это количество перестановок из N объектов, вычисляемое по формуле $P_N =N!= 1*2*3*...*(N-1)*N$.

Следующий пример - в чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу. Сколькими способами можно распределить золотые, серебряные и бронзовые комплекты?
Ясно, что золотые медали может получить любая из команд, значит золотого призера (объект А) можно выбрать 18 способами. Остается два комплекта и 17 команд. Серебряным медалистом может стать одна из 17 команд, а бронзовым - одна из 16 команд. Значит, серебряного и бронзового медалиста можно выбрать 17 и 16 способами.
Итого, три комплекта медалей могут распределиться 18*17*16 = 4896 способами.

www.matburo.ru

Правило умножения для комбинаторных задач

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: Усвоение новых знаний
Образовательные цели / задачи педагога на уроке:

создать условия для формирования представлений о комбинаторных задачах, переборе всех возможных вариантов, о дереве возможных вариантов, как о геометрической модели рассматриваемой ситуации, о записи произведения первых п натуральных чисел в виде факториала, о решении комбинаторных задач, применяя способы перебора возможных вариантов; с помощью графа, называемого деревом вариантов; правила умножения.
Образовательные цели / задачи учащегося на уроке:
Иметь представление о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, понятии записи произведения первых п натуральных чисел в виде факториала, о правиле умножения; овладеть умением решать комбинаторные задачи, применяя различные способы.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению темы; осознают важность и необходимость знаний для человека.

Предметные: знают о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия):

познавательные: ориентируются на разнообразие способов решения задач;
регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения; умеют участвовать в диалоге, осмысливать точку зрения собеседника, признавать право на свое мнение, развернуто обосновывать суждение;

коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Учебник, мультимедиа проектор, компьютер, карточки с набором задач для групповой работы, карточки для рефлексии.

1) Организационный момент.

2) Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели урока.

3) Актуализация опорных знаний.

4) Изучение нового материала.

5) Первичное закрепление новых знаний.

6) Исторический экскурс.

7) Обобщение нового знания. Включение нового знания в систему ранее изученного.

8) Итог урока. Рефлексия содержания учебного материала.

9) Информация о домашнем задании.

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Проверка готовности класса к уроку. Организация внимания.

2. Мотивация учебной деятельности. Постановка цели урока.

Учитель формулирует цели и задачи урока, предлагает провести урок под девизом:

"Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет". (Г.В.Лейбниц)
3. Актуализация знаний
Учитель напоминает учащимся, что знакомство с темой этого урока началось еще в 5 классе и предлагает учащимся решить задачу №1 различными способами:

Задача №1 (Слайд №3)
Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 0 и 7.
Проверка решения задачи осуществляется на доске, с обсуждением всех предложенных способов решения ( Слайд № 4)

4. Изучение нового материала.

Учитель вводит понятие комбинаторика, комбинаторные задачи:

В математике есть задачи, подобные решенной нами, в которых требуется составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных расположений (комбинаций) элементов некоторого множества, составленных по определённому правилу, такие задачи называют комбинаторными.

Раздел математики, именуемый комбинаторикой, изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами.

Учитель подчеркивает важную роль комбинаторики как одной из ветвей математики. (Слайды № 5 - 6)

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования, с которыми мы с вами познакомимся подробнее на факультативных занятиях.

Учащимся предлагается решить задачу №2.

Задача №2. ( Слайд №7)

Сколько пальцев на лапах у 20 обезьян?

20 обезьян, у каждой 4 лапы, на каждой лапе - 5 пальцев.

Получаем 20 х 4 х 5 = 400

Можно рассуждать и так:

Одну обезьяну можно выбрать 20 способами.

1 лапа - 4 выбора.

1 палец - 5 выборов.

Итого 20 х 4 х 5 = 400 пальцев.

Вернемся к задаче №1 и обратим внимание на третий способ решения: 2 х 2 = 4.

Учитель предлагает учащимся сформулировать общее правило для решения данных задач.

Учащиеся приводят свои варианты формулировок. После обсуждения учитель формулирует правило умножения для комбинаторных задач:

Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то пару А и В можно выбрать m х n способами. (Слайд 8)

5. Первичное применение нового знания.

Задача № 3. (Слайд №9)

В четверг в шестом классе должно быть 5 уроков: русский язык, литература, математика, история и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Проверка решения на доске. 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 (вариантов)

Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день, если:

а) последний урок-физкультура;

б) последний урок физкультура, а первый -математика?

Проверка решения на доске 4 х 3 х 2 х 1 = 24 (варианта)

Проверка решения на доске 3 х 2 х 1 = 6 (вариантов).

Учитель обращает внимание учащихся на то, что решение задачи можно записать в виде:

1 х 2 х 3 х 4 = 4!

1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 5! и знакомит учащихся с понятием "факториал". (Слайд №10)

Учащиеся вычисляют значение выражения: 6! - 5!

Решение: 720 - 120 = 600

6. Исторический экскурс

Трое учащихся получили индивидуальное домашнее задание подготовить к данному уроку сообщения по теме "Из истории развития комбинаторики".

При подготовке сообщений детям предложен поиск информации с использованием:

а) библиотечного фонда (" История математики в школе" Г.И. Глейзер, М., Просвещение; 1983г.)

Ребята слушают сообщения одноклассников и задают вопросы. Выступающие отвечают на вопросы сами или с помощью учителя. Приложение 1.

7. Обобщение нового знания. Включение нового знания в систему ранее изученного.

Учитель формулирует проблемный вопрос:

Вспомните героев литературного произведения, которые в споре решают комбинаторную задачу? (Герои басни И.А. Крылова "Квартет" осел, козел, мартышка и косолапый мишка)

Может ли комбинаторика помочь нам в реальной жизни?

Учащиеся обсуждают вопрос и высказывают свое мнение.

Учитель обобщает высказанные мнения. Многие жизненные проблемы требуют для своего решения комбинаторного подхода, умения просчитать все возможные варианты и с учетом дополнительных условий выбрать наилучший. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают ситуации, которые имеют не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, чтобы выбрать наиболее подходящее для конкретного случая. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

Люди, которые владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций.

Для того чтобы увидеть связь комбинаторики и повседневной жизни мы проведем конкурс на звание лучшего экскурсовода, который познакомит ребят с достопримечательностями города Тихвина. (Слайд № 11)

Класс учащихся разбивается на пять групп. Каждой группе предлагается решить задачи (Приложение 2) и представить решение одной из них по выбору учителя на доске. В решениях задач должны быть показаны три различных способа. Для каждой задачи выбирается один наиболее рациональный способ.

Во время групповой работы учитель контролирует ход работы в группах, в случае крайней необходимости оказывает помощь отдельным учащимся или группе.

При проверке задач при необходимости используются (слайды №12 - 17).

По окончанию работы, членами групп дается оценка деятельности каждого учащегося в соответствии с его вкладом в решение поставленной задачи.

Подводятся итоги конкурса. Объявляются оценки.

Смотрите так же:

Бывший муж не платит алименты уже год Муж не платит алименты - КОНСУЛЬТАЦИИ ЮРИСТОВ Многие мамы, испытывающие трудности финансового характера, задаются вопросом: что делать, если муж не платит алименты? В такой ситуации имеется единственный выход: обратиться с заявлением в полицию. 157 статьей Уголовного кодекса РФ [...]

Ремесленничество налог Как стать ремесленником: пошаговая инструкция для тех, кто решил превратить хобби в заработок Как стать ремесленником и какие виды деятельности могут считаться ремеслом, объяснили в федерации профсоюзов Беларуси. Фото: Дмитрий Брушко, TUT.BY. Фото носит иллюстративный характер Как [...]

Обставина мети правило Обставина мети правило Гіпермаркет Знань>>Українська мова>>Українська мова 5 клас>>Українська мова 5 клас>> Другорядні члени речення: додаток, означення, обставина. Способи їх вираження різними частинами мови Прочитайте уривок вірша. Знайдіть у ньому назви другорядних членів [...]

Война без правил документальный На "Беларусь 3" премьера цикла документальных фильмов "Хатынь. Война без правил" 20 марта зрители "Беларусь 3" увидят премьеру цикла документальных фильмов "Хатынь. Война без правил", приуроченного к 75-й годовщине со дня трагедии в белорусской деревне. 75 лет отдаляют нас от страшного [...]

Возврат налога нерезидентам НДФЛ иностранцев: от 30 к 13 Пересчитывать НДФЛ для граждан, получивших статус резидента, можно только за отчетный год. Что же касается российских граждан, ставших нерезидентами, то у них НДФЛ облагаются только премии, отпускные и компенсации. В настоящее время организации всe чаще и [...]

Личное дело правила ведения Как формируется и ведется личное дело работника Согласно законодательству, личные дела (ЛД) обязательно должны вестись на служащих государственных учреждений, остальные предприниматели и юридические лица могут вести подобную документацию по желанию. Но иметь личное дело сотрудника на [...]

Как отремонтировать коллектор Ремонт коллектора и щеток электрических машин постоянного тока При работе генераторов и электродвигателей постоянного тока чисто наблюдается искрение на коллекторе, при этом на поверхности его появляются борозды, пластины подгорают. В результате коллектор и щетки быстро [...]

Рб закон о тунеядстве "Не ставших на путь исправления направят в ЛТП". Кого из тунеядцев освободят от полной оплаты ЖКУ Списки плательщиков полной стоимости коммунальных услуг по декрету № 1 будут готовы к 1 февраля 2019 года. Об этом заявила министр труда и соцзащиты Ирина Костевич на семинаре для местных [...]

# data[].attributes.attachment_link.title
Правила комбинаторных задач

# data[].attributes.attachment_link.description
Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения. Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор "либо , либо " можно осуществить способами. Правило произведения.

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
юморим, как истиные индейцы
https://vk.com/away.php?utf=1&to=https%3A%2F%2Fvk.com%2Fphoto311370349_457240967

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
Пау, пау, пау, всем привет, с вами Дани… Егорка, участник команды Индейцы!!!

Сегодня наша команда ответит на вопрос о том, как решаются комбинаторные задачи.

Будучи топовым пацанчиком, я знаю о двух способах решения комбинаторной задачи. А именно способ сложения и способ перемножения. Но давайте по порядку.

Если ты тру-индеец, то специально для тебя существует способ умножения. Уже из названия понятно, что варианты выбора нужно перемножить. Стильный, интересный способ, используется, когда нужно найти множество решений определяется произведением способов выбора.

Вот тебе пример решения такой задачи:

Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 7?

Первую цифру числа мы можем выбрать 4 раза, вторую тоже 4

Перемножаешь , получаешь 16.

Та-дам.

Второй способ – способ сложения.  Откроешь ты гугл, решишь узнать, что это за способ. НО найдешь там это – «Пусть объект А мы можем выбрать из множества m способами, а объект В можно выбрать n способами, то объект «А+В» можно выбрать m+n способами.»

Ты вот тоже это читаешь и пытаешься понять, что ты только что прочел. Какая-то непонятная формулировка (если ты не гений комбинаторики). Поэтому разберем этот способ на примере простой задачи
http://www.myshared.ru/slide/431459/

# data[].attributes.body
Привет, Ребята!
Сегодня мы поможем вам научиться решать комбинаторные задачки!
Для начала Вам нужно определить какой метод решения потребуется, для этого внимательно прочитайте условия задачи. Вот такие есть методы решений:

1. Правило умножения

2. Составление таблиц

3. Дерево возможных вариантов

4. Перебор возможных вариантов

Когда вы определились, начинаем рассуждать! Напрягаем все, что может нам может пригодиться!))) Надеемся, что мы вам помогли! Что?! Вы уже хотите порешать задачи???  Тогда переходите по ссылке, там вы найдете много комбинаторных задач! Удачи!

# data[].attributes.attachment_link.title
решение задач

# data[].attributes.headline
формула успеха 

# data[].attributes.subject
формула успеха 

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
что же.....
https://vk.com/away.php?utf=1&to=https%3A%2F%2Fvk.com%2Fphoto311370349_457240966

# data[].attributes.headline
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.subject
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.body
Для того, чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче. Нужно чётко определить тип соединений в задаче.

https://clck.ru/M7xNw

# data[].attributes.headline
Пифагор-Киселевск

# data[].attributes.subject
Пифагор-Киселевск

# data[].attributes.body
Важно корректно определить тип всех имеющихся в рассматриваемой задаче соединений, но при этом необходимо произвести проверку относительно того, имеются ли в ней повторы элементов, изменяются ли сами элементы, играет ли большую роль их порядок, а также относительно некоторых других факторов. Комбинаторная задача может иметь целый ряд ограничений, которые могут быть наложены на соединения. В этом случае понадобится просчитать полностью ее решение и проверить, оказывают ли эти ограничения какое-либо влияние на соединение всех элементов. Если влияние действительно имеется, необходимо проверить, какое именно.

# data[].attributes.body
Комбинаторные задачи решают при помощи различных комбинаций, перебора различных вариантов. Комбинаторные задачи напоминают игру в кубики, где для решения необходимо подсчитать количество комбинаций, составленных из этих кубиков.

# data[].attributes.body
В повседневной жизни часто встречаются объекты, которые можно рассматривать как комбинаторные. Примером является регистрационные номера машин. Регистрационный номер машины – это показатель, применяемый для идентификации автомобильного транспорта. Благодаря целой системе, разработанной уже давно, за счет присвоения индивидуальных номеров каждому автомобилю, все машины легко поставить на регистрационный учет. Затем можно координировать все движения по документации в отношении каких-либо изменений по правовладению машиной, а также фиксировать правонарушения и отслеживать должников и штрафников. Каждый такой номер в первую очередь привязан по территориальному критерию к пункту регистрации, где оформляется машина на собственника.
Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых «рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр или других объектов»
Комбинаторика связана со многими другими областями математики – алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
немного жестокости вам в ленту
https://vk.com/photo311370349_457240982

# data[].attributes.body
Комбинаторные задачи можно решить при помощи основных формул, если интересно нажми на ссылку :http://www.mathprofi.ru/formuly_kombinatoriki.pdf

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
Где же все-таки найти комбинаторные задачи? У индейцев были самые разные мысли по этому поводу, ведь комбинаторные задачи повсюду. Когда мы выбираем, в чем пойти гулять, мы неосознанно решаем комбинаторную задачу. Человек выбирает варианты и сочетания нарядов на прогулку, а это решение комбинаторики. Или, например, когда дети выбирают, куда именно пойти гулять. И ведь таких примеров очень много. Каждый человек на протяжении своего обычного дня решает подобные задачи. Они встречаются везде: начиная от работы и заканчивая обычным обедом.

# data[].attributes.body
Привет!
На самом деле, ответ на вопрос очень легкий. Так как комбинаторные задачи встречаются нам ежедневно. Например, пересылка почты, когда Вы выбираете способ доставки. Так же, когда составляете меню на праздники. Комбинаторные задачи везде!!! Ну, а если Вам хочется просто порешать задачки без жизненных примеров:) тогда наша команда укажет ссылку, где есть разнообразные задачи. Успехов всем участникам!!!

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Чтобы научиться быстро бегать, нужно много бегать. Чтобы научиться хорошо решать сложные задачи, нужно решать много простых задач. И то, и другое надо делать с умом. Последовательно тренировать определенные группы мышц, и постепенно вникать в смысл математических выражений.

Давайте рассмотрим несколько очень простых задач, сравнивая их между собой. Сравнение поможет нам понять и запомнить, как выбрать нужную формулу для подсчёта числа вариантов в той или иной ситуации. А чтобы никто не усомнился в том, что задачи действительно простые, я взяла за основу Сборник тестовых заданий к учебнику Н.Я. Виленкина и др. "Математика. 5 класс". Конечно, для пятиклассников это задания высокого уровня сложности "С", но они справляются. Дело в том, что эти задачи можно решить как простым перебором вариантов, тем быстрее, чем выше уровень обобщения, так и по формулам комбинаторики. Старшеклассникам рекомендую повторить формулы и правила комбинаторики, если вы попали на эту страницу из поисковика, миновав теорию.

Итак,
- внимательно читаем условия 2-ух задач из одной строки таблицы;
- решаем обе задачи любыми доступными способами (желательно не одним);
- открываем ответы нажатием на зеленые кнопки и сравниваем их со своими ответами;
- открываем решения и комментарии к ним нажатием на желтые кнопки.

Помните, что ваше решение не обязательно должно совпадать с моим, достаточно, чтобы оно было логичным и позволяло получить верный ответ.

Задачи и решения.

При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?

При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?

Решение.

Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось
6·5 = 30 карточек.

Решение.

В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле
С ₆ ² = 6!/2!/(6 - 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.
о вычислениях подробнее

В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?

В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.
С ₉ ² = 9!/ 2!/(9 - 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.

Решение.

Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек - 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)

Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле
А ₉ ² = 9!/(9 - 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.
о формуле подробнее

Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?

В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?

Решение.

Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле
P ₆ = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.

Решение.

Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков ("готовите стулья") и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов ("рассаживаете гостей"). Число перестановок из 5 определяем по формуле
P ₅ = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?

Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?

Решение.

В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования - сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.
С ₅ ² = 5!/2!/(5 - 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.

Решение.

На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования - размещения. Число размещений определяем по формуле
А ₁₀ ³ = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.

В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?

Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?

Решение.

Выбираем три блюда: первое, И второе, И третье. Едим каждое блюдо отдельно (независимо друг от друга). Следовательно, можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Из 2-ух первых блюд одно можно выбрать 2-мя способами, из 6-ти вторых одно можно выбрать 6-тью способами, из 4-ёх третьих одно - 4-мя способами.
2·6·4 = 48.

Решение.

Чем отличается салат от описанного ранее обеда? Обед едим последовательно, а салат перемешиваем. Выбранные овощи в салате равноправны, очередность их попадания в общее блюдо не важна. Значит наши выборки это сочетания из 6 по 3.
С ₆ ³ = 6!/3!/(6 - 3)! = 6!/3!/3! = (4·5·6)/(1·2·3) = 20.

В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одного блокнота и одной ручки?

В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?

Решение.

Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми - 7-ю способами. Применяем правило умножения
4·7 = 28.

Решение.

Выбираем одну ручку И два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из 4-ёх можем выбрать 4-мя способами, два блокнота из 7-ми - ? способами.
Чтобы определить сколько способов выбора 2-ух блокнов из 7-ми, воспользуемся формулой для числа сочетаний, т.к. для нас несущественно в каком порядке это было сделано.
С ₇ ² = 7!/2!/(7 - 2)! = 7!/2!/5! = 6·7/2 = 21.
Теперь применяем правило умножения
4·21 = 84.

На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?

Решение.

Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди.
P ₇ = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.

Задача такая же, как о гостях и стульях, но обратите внимание, насколько быстро растет число вариантов при увеличении числа переставляемых предметов.

Решение.

На каждом барабане можно выбрать 1-ну цифру из 10-ти 10-тью способами и независимо от других, поэтому применяем правило умножения:
10·10·10·10 = 10000.

Можно также считать, что нужно разместить 10 цифр на 4-ёх местах с повторениями. В комбинаторике существует раздел "Выборки с повторениями" ( см. подробнее). В данном случае нам нужна формула для размещений. Число размещений с повторениями определяется какnk, где n - количество элементов для выбора (здесь n = 10 цифр), k - объём выборки или количество возможных повторов одного элемента (здесь k = 4, одна и та же цифра может быть установлена на всех четырех барабанах). Таким образом, искомое число вариантов
10 ⁴ = 10000.

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7? (Цифры могут повторяться).

Решение.

Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
P ₃ = 3! = 1·2·3 = 6.

Решение.

Если цифры могут повторяться, то по разрядам их можно размещать независимо от друг от друга. Значит можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Одну цифру из трёх для разряда сотен можно выбрять 3-мя способами, И одну цифру из тех же трёх для разряда десятков - 3-мя способами, И одну из трёх для разряда единиц - 3-мя способами. Общее число вариантов
3·3·3 = 27.

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3?

Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).

Решение.

Трёхзначное число из двух цифр неизбежно будет содержать повторения, поэтому можно воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями, как в задаче 7b. Здесь количество элементов для выбора n = 2 цифры, количество возможных повторов одного элемента k = 3 раза, цифра в трёхзначном числе может повториться трижды, например, 777. Таким образом, искомое число вариантов
2 ³ = 8.

Но можно и проще, так как эта задача полностью аналогична задаче 8b. Также используем И-правило, выбирая одну из 2-ух цифр независимо для каждой из трёх позиций,
2·2·2 = 8.

В свою очередь, в задаче 8b можно было воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями: 3 ³ = 27. Дело в том, что формула как раз выводится с применением И-правила и теми же рассуждениями, какие описаны в решении этих задач.

Решение.

Классический случай размещений: выбираем из 3-ёх элементов без повторов и размещаем на 2-ух позициях - в разряд десятков и в разряд единиц. Число размещений определяем по формуле
А ₃ ² = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 7, 6, 5, 0, если цифры в записи числа не могут повторяться?

Решение.

Искомое число должно оканчиваться цифрой 3, так как 4, 6 и 8 делятся на 2 без остатка. Поэтому позиция единиц у нас уже занята, и остается разместить 3 цифры на 2-ух позициях - десятков и сотен. Число размещений из 3 по 2 определяем по формуле
А ₃ ² = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Решение.

Сначала определим, сколько всего можно составить групп из 4-ёх заданных цифр по 3 с учётом порядка следования и без повторений.
А ₄ ³ = 4!/(4 - 3)! = 4!/1! = 1·2·3·4/1 = 24.
Но не все эти группы будут трёхзначными числами. Те из них, которые начинаются с цифры 0, по существу, - двузначные числа.
Сколько таких групп? Если на первом месте стоит 0, то на позициях десятков и единиц располагаются 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Определяем число размещений из 3 по 2
А ₃ ² = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Вычитая из общего числа вариантов лишние, получим
24 - 6 = 18.

Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).

Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа могут повторяться).

Решение.

Четными будут числа, оканчивающиеся на 4 ИЛИ на 6. Поэтому подсчитаем количество вариантов, заканчивающихся на одну из этих цифр, а затем воспользуемся правилом сложения (ИЛИ-правилом), чтобы определить общее число вариантов.
Если число оканчивается 4-кой, то на позициях сотен и десятков могут находиться любые 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Число размещений из 3 по 2
А ₃ ² = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Также получается, если число оканчивается 6-кой: А ₃ ² = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 = 12.

Решение.

Так же, как в предыдущем случае рассмотрим отдельно числа, заканчивающиеся 4-кой и 6-кой, а затем воспользуемся правилом сложения вариантов.
Пусть позиция единиц у нас занята цифрой 4. В этот раз в позиции десятков может стоять любая из четырёх заданных цифр (4 варианта) И в позиции сотен любая из этих же 4-ёх цифр (4 варианта), всего 4·4 = 16.
Если число оканчивается на 6, теми же рассуждениями получаем еще 16 вариантов.
Всего 16 + 16 = 32.

Задача 12a

Сколько различных дробей можно составить с использованием цифр 2, 3, 4? (В числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра.)

Решение.

Заметим, что не только в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра, но цифры вообще не могут повторяться, иначе задача не имела бы смысла. В число дробей входили бы, например, 2/3, 2/33, 2/333, 2/3333 и т.п. Таких вариантов бесконечное число.
Далее заметим, что текст "с использованием цифр" может быть понят неоднозначно: с использованием всех трёх или с выбором из них. Здесь рассмотрим более общий случай - с выбором. Выборка не может состоять меньше, чем из двух цифр, чтобы хватило и на числитель, и на знаменатель.
Дроби бывают правильные, в которых знаменатель больше числителя, например, 4/23, и неправильные, в которых числитель больше знаменателя, например, 23/4. Таким образом, возможны такие виды дробей */* ИЛИ **/* ИЛИ */**, где звёздочкой обозначено место для одной из заданных цифр. Подсчитаем число вариантов для каждого вида дроби отдельно, а затем сложим результаты в соответствии с ИЛИ-правилом.
Случай */* определяется числом размещений из 3 по 2, так как используем не все заданные цифры и важен порядок следования (например, сравните 4/3 и 3/4).
А ₃ ² = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Случай */** определяется числом перестановок из 3, так как для такой дроби нужно использовать все заданные цифры. Дроби будут различаться только расположением цифр по позициям.
P ₃ = 3! = 1·2·3 = 6.
Случай **/* аналогичен предыдущему, также определяется числом перестановок из 3. P ₃ = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 + 6 = 18.

Если вы получили ответ 12, а не 18, обязательно разберитесь почему. Это иначе понятое условие задачи? Забыты неправильные дроби? Ошибка в комбинаторике?

Комментарии.

O формуле для числа сочетаний.
Как известно, деление может быть обозначено разными символами: __,/, :
Косую черту и двоеточие удобно использовать для записи формулы в одну строку, что здесь и сделано для экономии места в таблице. Горизонтальную черту используют для записи дроби. Если формулу для числа сочетаний записать дробью, то хорошо видно, как она сокращается.

O формуле для числа размещений.
Формулу для числа размещений иногда записывают дробью с факториалами, а иногда строкой - группой сомножителей. Разумеется, оба варианта переходят друг в друга в результате преобразований. На мой взгляд, обе формулы хорошо запоминаются, первая - потому, что компактнее, вторая - потому, что хорошо произносится: "начинаем с n и записываем m сомножителей".

Выборки с повторениями.
В школьном курсе основное внимание уделяется классическим типам выборок. В комбинаторике также выведены формулы для выборок с повторениями, но в них нет необходимости для решения задач вашего уровня трудности. Достаточно просто разумных соображений и знания основных формул и правил. Привожу здесь формулы для выборок с повторениями только для того, чтобы вы знали о их существовании и при желании могли использовать для проверки своих ответов.

Здесь для сочетаний и размещений k - объем выборки, n - количество элементов множества, из которого выбираем.
Для перестановок n - количество переставляемых элементов, n₁, n₂, ... nk - число повторений. Например, в слове "темперамент" 11 букв ( n = 11), буква "т" повторяется дважды ( n₁ = 2), буква "е" - трижды ( n₂ = 3) и буква "м" - дважды ( n₃ = 2). Число возможных перестановок букв в этом слове 11!/2!/3!/ 2!

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
комбинаторика

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
перестановки

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи комбинаторики

# data[].attributes.attachment_link.description
Чтобы научиться быстро бегать, нужно много бегать. Чтобы научиться хорошо решать сложные задачи, нужно решать много простых задач. И то, и другое надо делать с умом. Последовательно тренировать определенные группы мышц, и постепенно вникать в смысл математических выражений. Давайте рассмотрим несколько очень простых задач, сравнивая их между собой.

# data[].attributes.headline
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.subject
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.body
В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

С какими выборами мы часто встречаемся в повседневной жизни?

Извечная проблема женщин, когда есть полный шкаф одежды, но «нечего» надеть.
https://clck.ru/MArij

# data[].attributes.headline
Анекдот про комбинат

# data[].attributes.body
Анекдот про комбинаторику. "Ну, Погоди!"

Год тысячу-девятьсот-какой-то там.
Два студента приходят к профессору домой сдавать экзамен по комбинаторике.
Ну, сдавали, сдавали, за картами засиделись, за костями игральными, стемнело.
А в то время и студенты, и профессора были бедные, домой их не отправишь, пришлось спать укладывать в профессорской трехкомнатной квартире.
В одной комнате - два студента, в другой - профессор с женой, в третьей - профессорская дочь. Все чин по чину, спят.
Просыпается студент, думает, что я тут лежу, как идиот, пойду-ка профессорскую дочь навещу. Глядь в одну комнату - две головы из под одеяла торчат, ну, то профессор с женой, глядь в другую - одна голова. Дочка! Юрк к ней под одеяло, спят.
Не спится и профессору. Встает среди ночи, дай, думает, пойду посмотрю, как там дочка, мало ли что от этих балбесов ждать. Шнырь в одну комнату, две головы, - ага, студенты, шнырь в другую - одна. Дочка, не иначе. Прыг - спит.
Ну, тут и второй студент проснулся, и, как вы уже догадались, отправился по стопам друга, на поиски профессорской дочки.

Утро. Просыпается профессор. Один. В комнате студентов. Хм... Заглядывает в одну комнату - там студент с дочкой, в другую - студент с женой. Чешет репу:
- Сколько лет преподаю комбинаторику, но таких перестановок еще не видел!

# data[].attributes.body
Мы думаем, что найти комбинаторную задачу можно в специальных математических сборниках, в учебниках, начиная с начальной школы, а также можно просто посмотреть вокруг и мы увидим самые разные комбинаторные задачи, которые нам приходиться решать ежедневно.

# data[].attributes.body
Комбинаторика есть в головоломках и азартных игр, комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики. Кроме того, комбинаторные методы оказались полезными в статистике,генетике,лингвистике и многих других науках.
Предлагаем посмотреть презентацию:
https://ppt-online.org/552939
Видео:

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Академия Занимательных Наук

# data[].attributes.attachment_link.title
Математика 38. Комбинаторика. Факториалы. Четвертое измерение — Академия занимательных наук

# data[].attributes.headline
Пифагор-Киселевск

# data[].attributes.subject
Пифагор-Киселевск

# data[].attributes.body
Как часто, мы жалуемся, что приходится заниматься математикой, которая нам вообще может не пригодиться. Научились считать, и хватит! А эти противные задачки, формулы! Зачем они нам вообще нужны! Где же мы ими будем пользоваться?!

С утра я открываю шкаф. Вещей много, а надеть нечего. Мама говорит: «Учись комбинировать!»

Сажусь делать аппликацию. Передо мной различные цвета бумаги, а выбрать какие - не знаю. И, опять мама: «Комбинируй! Учись сочетать цвета!»

Что же это такое «комбинируй, сочетай»? Оказывается, это комбинаторика - раздел математики!

Умея рассуждать, перебирать различные варианты решений, т.е., владея техникой решения комбинаторных задач, людям легче найти выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации.
Сами того не замечая, мы почти всегда используем математику: расстановка мебели в комнате, подбор наряда, составление расписания в школе и многое другое - для всего нужна математика, а точнее ее раздел - комбинаторика. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.
Рассмотрим несколько задач по комбинаторике.

Задача 1. Наверное, вы знаете фильм «Кин-дза-дза». Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом «ку». А если бы алфавит у них состоял из двух букв К и У, то сколько слов было бы у них в словаре, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?

Решение: Можно составить слова: «Ку», «Кк», «Уу», «Ук».

Пример 2. Конкурс 1.

Фокус, который называется «Пять кучек карт».

Ведущий садится за стол вместе с четырьмя зрителями. Он сдает каждому (включая себя) по пять карт, предлагает всем посмотреть их и одну задумать. Затем собирает карты, раскладывает их на столе в пять кучек и просит кого-нибудь указать ему на одну из них. Далее берет эту кучку в руки, раскрывает карты веером, лицевой стороной к зрителям, и спрашивает, видит ли кто-нибудь из них задуманную карту. Если да, то ведущий (так и не заглянув ни разу в карты) сразу же её вытаскивает. Эта процедура повторяется с каждой из кучек, пока все задуманные карты не будут обнаружены. В некоторых кучках задуманных карт может вовсе не оказаться, в других же их может быть и две и более, но в любом случае карты отгадываются безошибочно. (Приложение 5)

Секрет фокуса:

Расположение загаданной карты в стопке соответствует номеру зрителя, считая слева направо вокруг стола. То есть когда загаданную карту видит зритель номер 2, то эта карта будет 2-ой, считая снизу. Если свою карту видит 4-ый зритель, то она будет 4-ой в стопке. И так далее.

Этот фокус основан на перестановке карт.
Еще можно привести множество примеров в которых используется комбинаторика, мы сталкиваемся с ней по несколько раз в день даже не замечая этого.

# data[].attributes.headline
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.subject
КРЕПКИЙ ОРЕШЕК-Белово

# data[].attributes.body
Комбинаторика помогает в реальной жизни решать различные задачи, развивать мышление.

Области применения комбинаторики:
1. производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
2. агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
3. учебные заведения (составление расписаний)
4. химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
5. лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
6. азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
7. экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
https://clck.ru/MBwMY

# data[].attributes.body
Здравствуйте!
Знание комбинаторики улучшит Вашу жизнь, так как Вы сможете быстрее решать повседневные вопросы, ведь вся наша жизнь завязана на комбинаторике. Например, тот же выбор меню, Вам нужно будет скомбинировать блюда так, чтобы они сочетались.Так же решение именно задач дастся легче. И в целом развивается мышление, ум.

# data[].attributes.attachment_link.title
комбинаторика

# data[].attributes.headline
Формула успеха

# data[].attributes.subject
Формула успеха

# data[].attributes.body
В комбинаторных задачах есть условие с вопросом ,,сколько комбинаций?вариантов?".У таких задач есть несколько вариантов решения и записи.Такие задачи можно решить: перечислением-(полный) перебор вариантов,подсчёт с помощью графов: а)Полные графы  б)дерево возможных комбинаций(граф-дерево), составление таблицы возможных вариантов, непосредственное применение комбинаторного правила умножения.

# data[].attributes.body
Задачу можно узнать по вопросу например "сколько различных вариантов числа может быть" Такая задача называется комбинаторная.

# data[].attributes.body
Решить комбинаторную задачу можно решить такими способами например: деревом, методом подбора, умножением и таблицей.

# data[].attributes.body
Комбинаторная задача может встретится когда угодно и их нужно знать например сколько у тебя будет вариантов костюмов на вечер.

# data[].attributes.body
Комбинаторные задачт могут помоч в состовлении расписаний и уроков.

# data[].attributes.headline
Формула успеха

# data[].attributes.subject
Формула успеха

# data[].attributes.body
Комбинаторные задачи можно решить несколькими методами:
перечислением вариантов, решение при помощи графа, составление возможных вариантов в таблице, умножением.

# data[].attributes.headline
Формула успеха

# data[].attributes.subject
Формула успеха

# data[].attributes.body
Комбинаторную задачу можно найти в реальной жизни, в учебнике,в сборнике задач, в школе и делая например домашнюю работу. Такие задачи окружают нас в реальной жизни. Например: ,,ты директор школы у тебя есть много вариантов школьного расписания для младших классов.Тебе нужно составить расписание для второго класса в среду.Нужно чтоб в этот день была: Математика, Русский язык и Творчество.Сколько последовательностей уроков может получиться?"Такие задачи часто участвуют в повседневной жизни.

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
пам-пам-пам
https://vk.com/photo311370349_457240896

# data[].attributes.headline
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.subject
ИНДЕЙЦЫ-42-Белово

# data[].attributes.body
Пау-пау-пау, всем привет, сегодня с вами снова мы, отдохнувшие и бодрые индейцы.

Комбинаторика  - раздел математики, который рассматривает решение задач с большим количеством вариантов решения. Действительно ли нам нужна комбинаторика в реальной жизни? Определенно да.

Элементарная прогулка с друзьями. С кем пойти?  Куда пойти? Посетить одно место, или несколько? Вот тут и появляется комбинаторика.

Комбинаторика преследует нас во всех сферах жизни, она повсюду.

Именно поэтому нужно уметь решать комбинаторные задачи, и тогда жизнь станет намного легче.

# data[].attributes.headline
Квад 6 АПарадокс Монти Холла Давайте посмотрим, как комбинаторика помогает принять нам правильное решение и как ее незнание уменьшает наши шансы на успех.В игре «Поле Чудес» часто используется парадокс Монти Холла.Вам выносят три одинаковые шкатулки. В одной из них лежит приз, например, ключ от автомобиля. Вы выбираете одну шкатулку. Понятно, что если сразу открыть вашу шкатулку, то шансы выиграть у вас – , или примерно33 %. Но ведущий, после того как вы выбрали свою шкатулку, делает следующее. Он говорит: «я открою одну пустую шкатулку среди двух оставшихся». И открывает. Он знает, где лежит ключ. И перед вами теперь две закрытые шкатулки – та, что вы выбрали и та из двух оставшихся, которую ведущий не открыл. Теперь вам разрешается передумать и поменять шкатулку,если хотите. Вопрос – нужно ли это делать? Люди думают по-разному.Одни говорят: «конечно, нужно поменять, ведь у меня был шанс выиграть ,значит, все оставшееся – это ». Другие говорят: «нет, перед нами две закрытые шкатулки, ключ в любой из них, вероятности одинаковы. Нет смысла менять решение. Просто моя вероятность выросла с до ». Вроде бы оба мнения логичны. Но они не могут быть оба одновременно верны. В этом и парадокс.

# data[].attributes.subject
Квад 6 АПарадокс Монти Холла Давайте посмотрим, как комбинаторика помогает принять нам правильное решение и как ее незнание уменьшает наши шансы на успех.В игре «Поле Чудес» часто используется парадокс Монти Холла.Вам выносят три одинаковые шкатулки. В одной из них лежит приз, например, ключ от автомобиля. Вы выбираете одну шкатулку. Понятно, что если сразу открыть вашу шкатулку, то шансы выиграть у вас – , или примерно33 %. Но ведущий, после того как вы выбрали свою шкатулку, делает следующее. Он говорит: «я открою одну пустую шкатулку среди двух оставшихся». И открывает. Он знает, где лежит ключ. И перед вами теперь две закрытые шкатулки – та, что вы выбрали и та из двух оставшихся, которую ведущий не открыл. Теперь вам разрешается передумать и поменять шкатулку,если хотите. Вопрос – нужно ли это делать? Люди думают по-разному.Одни говорят: «конечно, нужно поменять, ведь у меня был шанс выиграть ,значит, все оставшееся – это ». Другие говорят: «нет, перед нами две закрытые шкатулки, ключ в любой из них, вероятности одинаковы. Нет смысла менять решение. Просто моя вероятность выросла с до ». Вроде бы оба мнения логичны. Но они не могут быть оба одновременно верны. В этом и парадокс.

# data[].attributes.headline
Формула успеха

# data[].attributes.subject
Формула успеха

# data[].attributes.body
Мы считаем, что комбинаторные задачи можно найти в нашей жизни повсюду. Нужно только внимательнее присмотреться: сколько нарядов можно собрать из той одежды, которая висит в твоем гардеробе; сколько блюд можно приготовить из тех продуктов, которые у нас в холодильнике, сколько вариантов кода из трех цифр потребуется перебрать чтобы открыть чемодан и многое другое.