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Este problema nos desafía a cruzar todos los puentes exactamente una vez.
Euler resolvió el problema y fue el punto de partida para la teoría de Grafos.
Si remueves un puentes, ¿es posible lograr el cometido?

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Arquímides usó un método conocido como el método de agotamiento, en el que se inscribían y se circunscribían polígonos en el círculo con la idea principal de que el perímetro de los polígonos tenía que acercarse cada vez más al valor de la circunferencia del círculo mientras aumenta el número de lados.

Esta idea fue la base fundamental en la que se basaron Newton y Leibniz para inventar el cálculo integral muchos siglos después.

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Un número primo es aquel que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y sí mismo. ¡El 1 no es primo!
Para determinar si un número es primo, debemos comprobar que ningún número mayor a 1 y menor que él, lo divida. Determinar si un número es primo puede requerir muchos cálculos, y ¿si queremos hallar todos los primos que son menores o iguales que N?
Para ello se puede utilizar la Criba de Eratóstenes: se elimina todos los números que son múltiplos que los primos menores que N 1/2. Los números sobrantes (excepto el 1) son primos.

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Camino para que el caballo pase una vez por cada casilla

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La lucha del caballo de ajedrez: tablero de 4 x 4

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La lucha del caballo de ajedrez: tablero de 4 x 4

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¿Es posible que el caballo de ajedrez visite todas las casillas del tablero de 4 x 4 exactamente una vez?
En el tablero de 4 x 4 no se puede ya que cada esquina tiene sólo dos posibilidades. Removiendo las 4 esquinas sí es posible que el caballo visite una vez cada casilla restante.
Se puede hacer un grafo con un nodo por casilla y trazamos una arista si el caballo se puede mover de una casilla a la otra.
Se busca un ciclo hamiltoniano (camino que pase una vez por cada nodo).

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Derivadas fracionarias de la función seno 1

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Derivadas fracionarias de la función seno 1

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Las derivadas fraccionarias son generalizaciones que nos permiten diferenciar muchas funciones con un orden no entero. En el gráfico se puede ver varias derivadas de la función seno graficadas como líneas y como una superficie.

Existen una gran variedad de derivadas fraccionarias, las más famosas son las derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville y las de Caputo. Para los gráficos anteriores se utilizó la derivada de Grünvald-Letnikov, que se aproxima a la de Riemann-Liouville para un número grande de puntos y es muy fácil de implementar computacionalmente.

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El armonógrafo es un dispositivo mecánico que utiliza péndulos para graficar curvas. Cada péndulo tiene movimiento armónico y grafica las curvas paramétricamente

x = A sin(w ₁ t+a)
y = B sin(w ₂ t+b)

Variando las propiedades del péndulo (masa y longitud) se varía la frecuencia de oscilación y se pueden obtener distintas curvas.
La fricción disipa energía en el sistema y la amplitudes de oscilación decaen en el tiempo.

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Los sólidos platónicos o regulares son sólidos que cumplen que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí y todos los ángulos son iguales.
Existen 5 sólidos regulares:

tetraedro: 4 caras triang.

hexaedro: 6 caras cuadr.

octasaedro: 8 caras triang.

dodecaedro: 12 caras pent.

icosaedro: 20 caras triang.

Existe un camino que pase una vez por cada vértice, ¿puedes encontrarlo?

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¿Puedes adivinar un número del 1 al 1000 en 10 preguntas de respuesta sí o no?
¡Lo puedes lograr con el algoritmo de la bisección!

La idea es empezar con un intervalo y preguntar si el número es mayor o menor que el punto medio, y en cada pregunta se reduce el intervalo a la mitad. Luego de n preguntas se reduce el intervalo a 1/2n del original. Como 2¹⁰  = 1024 bastan 10 preguntas para adivinar el número.
El problema es equivalente a encontrar la descomposición binaria del número, en la cual se utilizan únicamente los dígitos 0 o 1 (bits) para representar al número.

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Animación de oleaje usando derivadas fraccionarias

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Derivadas fracionarias de la función seno 2

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Derivadas fracionarias de la función seno 2

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Las derivadas fraccionarias son generalizaciones que nos permiten diferenciar muchas funciones con un orden no entero. En el gráfico se puede ver varias derivadas de la función seno graficadas como líneas y como una superficie.

Existen una gran variedad de derivadas fraccionarias, las más famosas son las derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville y las de Caputo. Para los gráficos anteriores se utilizó la derivada de Grünvald-Letnikov, que se aproxima a la de Riemann-Liouville para un número grande de puntos y es muy fácil de implementar computacionalmente.

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Se desea escribir los números del 1 al 9 alrededor de una circunferencia de modo que la suma de dos números vecinos no sea divisible para 3, 5 ni 7.
Se puede hacer un grafo con nodos del 1 al 9 y trazamos una arista si la suma de ambos números cumple que no sea divisible para 3, 5 ni 7.
Se busca un ciclo hamiltoniano (camino que pase una vez por cada nodo). Se empieza con los nodos que sólo tienen dos aristas y luego se completa.

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Funciones que deben usar el mago y su asistente

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Un mago y su asistente hacen el siguiente truco. Hay 13 cajas vacías cerradas. Sin que el mago vea, una persona de la audiencia escoje dos cajas y esconde una moneda dentro de cada caja. Su asistente destapa una caja que no contenga una moneda. El mago escoge 4 cajas y las descubre simultáneamente. El objetivo es descubrir las 2 cajas con las monedas.
La clave del truco es construir dos funciones g y f. La función g entre las parejas de números (x,y) y un número (z) que es la caja que abre el asistente. La función f entre un número (z) y una cuaterna (a,b,c,d) que son las cajas que abre el mago.

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Camino para que el caballo pase una vez por cada casilla

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La lucha del caballo de ajedrez: tablero de 6 x 6

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La lucha del caballo de ajedrez: tablero de 6 x 6

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¿Es posible que el caballo de ajedrez visite todas las casillas del tablero de 6 x 6 exactamente una vez?
Se puede hacer un grafo con un nodo por casilla y trazamos una arista si el caballo se puede mover de una casilla a la otra.
Se busca un ciclo hamiltoniano (camino que pase una vez por cada nodo).

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Un conjunto de polígonos regulares, por ejemplo cuadrados o hexágonos, se dice recubrimiento si cubre el plano sin traslaparse y sin dejar huecos. A este tipo de recubrimientos se les denomina periódicos pues al desplazarse una cierta distancia se obtiene el mismo recubrimiento.
El recubrimiento no periódico de Penrose es tal que al desplazarse no se obtiene el mismo recubrimiento y está formado por dos cuadriláteros diferentes llamados cometas y dardos que pueden combinarse y formar un rombo.

La cometa es un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos interiores son 72, 72, 72 y 144 grados.

El dardo es un cuadrilátero no convexo cuyos cuatro ángulos interiores son 36, 72, 36 y 216 grados.

Para poder armar el recubrimiento una opción es  usar un patrón de arcos circulares  para restringir la ubicación de los elementos; cuando dos elementos comparten un borde, los patrones deben coincidir en estos bordes.

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Demostración gráfica animada por la OMEC:
Los dos cuadrados grandes son iguales y los 4 triángulos blancos son iguales. Por ende el área del cuadrado amarillo es igual a la suma de los cuadrados azul y rojo.

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Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas

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En todo poliedro convexo se cumple la fórmula de Euler
C + V - A = 2
El número de caras (C) más el número de vértices (V) menos el número de aristas (A) es igual a 2.
Por ejemplo, un cubo tiene 6 caras (C = 6), 8 vértices (V = 8) y 12 aristas (A = 12), luego
C + V - A = 6 + 8 - 12 = 2
¡Compruébalo para otros poliedros!

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Pelota de fútbol con hexágonos y pentágonos

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Pelota de fútbol con hexágonos y pentágonos

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¿Es posible fabricar una pelota de fútbol únicamente con hexágonos iguales? No es posible, se requiere incluir 12 pentágonos independientemente de cuántos hexágonos se utilicen.
La pelota clásica de fútbol tiene 20 hexágonos y 12 pentágonos. A este sólido se lo conoce como icosaedro truncado, pues se puede formar a partir de un icoasedro cortando las 20 esquinas a un tercio de la arista.