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Calcolo Combinatorio: Permutazioni cicliche (o circolari)

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CALCOLO COMBINATORIO - ESERCIZI 212 -210 -211

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Uploaded by Gianluigi Porrà on 2016-04-15.

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CALCOLO COMBINATORIO - ESERCIZI 213 214 215 216

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Uploaded by Gianluigi Porrà on 2016-04-20.

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CALCOLO COMBINATORIO - ESERCIZI 198 e 205 + ripasso formule

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Uploaded by Gianluigi Porrà on 2016-04-15.

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Nelle combinazioni con ripetizione di lunghezza k, ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte. Il loro numero è:

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Nel calcolo combinatorio, se n e k sono due interi positivi, si definisce combinazione di n elementi presi k alla volta (oppure di n elementi di classe k) ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti. Se si impone la condizione che una combinazione non può avere un elemento ripetuto si parla di combinazioni semplici, altrimenti di combinazioni con ripetizione. Nel primo caso deve essere ovviamente k ≤ n.

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Una presentazione ordinata di elementi di un insieme nella quale si possono avere ripetizioni di uno stesso elemento si dice disposizione con ripetizioni. Cerchiamo il numero delle possibili sequenze di k oggetti estratti dagli elementi di un insieme di n oggetti, ognuno dei quali può essere preso più volte. Si hanno n possibilità per scegliere il primo componente, n per il secondo, altrettante per il terzo e così via, sino al k-esimo che completa la configurazione. Il numero cercato è pertanto:

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Una disposizione semplice di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k ≤ n, è una presentazione ordinata di k elementi di S nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. Per avere il numero di queste configurazioni si considera che il primo componente di una tale sequenza può essere scelto in n modi diversi, il secondo in (n-1) e così via, sino al k-esimo che può essere scelto in (n-k+1) modi diversi. Pertanto il numero Dn,k di disposizioni semplici di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti è dato da:

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In alcuni casi un insieme può contenere elementi che si ripetono. In questo caso alcune permutazioni di tali elementi saranno uguali tra loro. Indicando con k1, k2 fino a kr il numero di volte che si ripetono rispettivamente gli elementi 1, 2 fino a r, dove r ≤ n, le permutazioni uniche (non ripetute) divengono:

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Una permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene presentato una ed una sola volta. Per contare quante siano le permutazioni di un insieme con n oggetti, si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in n modi diversi, il secondo in (n-1), il terzo in (n-2) e così via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Dunque, indicando con Pn il numero delle possibili permutazioni di un insieme di n elementi, si ottiene che esse sono esattamente n!
Ad esempio le permutazioni degli elementi dell'insieme {a, b, c} sono 3! = 6: abc, bac, bca, cab, cba, acb. Un altro esempio può essere il seguente: In quanti modi possibili possiamo anagrammare la parola "MONTE", contando anche le parole prive di significato: MONTE n=5; P5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 modi di anagrammare la parola MONTE. N.B: nella parola MONTE nessuna lettera si ripete.

Per completare meglio la definizione di fattoriale fissiamo anche i valori seguenti:

1! = 1 e 0! = 1.

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Il calcolo combinatorio è il termine che denota tradizionalmente la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa soprattutto di contare tali modi, ovvero le configurazioni e solitamente risponde a domande quali "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..." eccetera.

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n(n-1)(n-2)(n-3)...