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펜로즈, 황금비율, 케플러

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펜로즈, 황금비율, 케플러

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펜로즈 테셀레이션 또는 펜로즈 타일링(Penrose tiling)은 비주기적 테셀레이션 중 하나이다. 여기에서 '테셀레이션'이란 같은 모양으로 겹치거나 빈틈이 없게 평면을 채우는 것이고, '비주기적'이란 테셀레이션 중 일부를 골라서 회전 이동하지 않고 평행 이동만 했을 때 모양이 같을 수 없다는 것이다. 평행 이동 대칭이 아니지만 반사 대칭과 5차 회전 대칭이다. 펜로즈 테셀레이션은 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈 가 1970년에 연구로 발견했다.

여러 모양의 타일을 가진 펜로즈 테셀레이션을 몇 가지로 변형할 수 있다. 펜로즈 테셀레이션은 처음에 4가지 모양의 타일을 사용했지만 2개로 줄어든다. ( 마름모 2개 또는 카이트와 다트) 펜로즈 테셀레이션은 타일의 모양을 서로 맞도록 조건을 걸어서 만들 수 있는데, 이때 연결 규칙, 타일 대체하기, 유한한 분할 규칙, 잘라서 사영하기 방법, 덮기 등을 이용한다. 이렇게 만들어진 다음에도, 각각의 변형으로 무수히 많은 펜로즈 테셀레이션을 만들 수 있다.

로저 펜로즈가 텍사스 A&M 대학교의 미셸 기초물리천문연구소 현관 바닥에 그려진 펜로즈 테셀레이션 위에 서 있다.

펜로즈 테셀레이션은 자기유사성이 있어서, '늘리기'와 '줄이기'라는 과정을 거치면 타일의 크기는 다르지만 모양은 처음과 같도록 바꿀 수 있다. 크기가 유한한 타일 묶음의 패턴이 테셀레이션 전체에서 무수히 많이 나타난다. 펜로즈 테셀레이션은 준결정 모양이며, 물리학적인 구조로써 브래그 곡선과 5차 회전 대칭성이 있는 회절 무늬와 같다. 패턴의 반복이 나타나고 타일의 위치가 정해져 있다. 이러한 테셀레이션을 연구하는 것은 준결정을 형성하는 물리학적 재료를 이해하는 데 중요하다. 펜로즈 테셀레이션은 다음 그림의 바닥 타일링과 같이 건축, 장식 등에도 적용되고 있다.

'평면'을 기하학적인 모양인 '타일'로 겹치거나 빈틈이 생기지 않게 덮는 것을 테셀레이션 또는 타일링이라고 한다. 모서리가 모서리끼리 만나는 정사각형 모양의 바닥 타일링은 주기적 테셀레이션의 예시이다. 이 정사각형 테셀레이션을 타일의 변과 평행하게 밀었을 때, 밀기 전과 모양이 겹친다. 이렇게 모양이 보존되는 평행 이동 을 테셀레이션의 '주기'라고 한다. 두 가지 방향으로 평행 이동했을 때 주기를 가지는 테셀레이션을 '주기적'(periodic)이라고 한다.

정사각형 테셀레이션의 타일은 모양이 한 가지 뿐이고, 다른 테셀레이션에서도 일반적으로 타일 모양의 개수는 유한하다. 이런 타일 모양을 ' 프로토타일'이라고 하며, 이런 모양만으로 평면을 덮을 수 있다면 프로토타일의 집합이 '테셀레이션을 허용한다' 또는 '평면을 타일링한다'고 말한다. 즉 테셀레이션에 사용된 각 타일은 프로토타일 중 하나와 합동 인 것이다.

주기가 없는 테셀레이션을 '비주기적'(aperiodic)이라고 한다. 어떤 프로토타일의 집합이 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적일 때 그 집합을 '비주기적'이라 하며, 이것들로 만들어진 테셀레이션을 비주기적 테셀레이션 이라고 한다. 펜로즈 테셀레이션은 유한한 개수의 프로토타일 집합으로 평면을 타일링할 수 있는 간단한 비주기적 테셀레이션으로 알려진 예시 중 하나다.

왕 도미노의 비주기적 집합[6]

논리학자 하오 왕이 결정 문제와 테셀레이션의 관계에 주목한 1960년대에 비주기적 테셀레이션이라는 주제가 관심사로 떠올랐다. 특히 그는 변 쪽이 색칠된 정사각형인 왕 도미노라는 테셀레이션을 도입하면서 도미노 문제를 제안했다. 이것은 임의의 왕 도미노의 집합이 주어졌을 때, 맞닿아 있는 도미노 모서리에 같은 색이 오도록 평면을 채울 수 있을지 결정하는 문제이다. 만약 이 문제를 결정할 수 없다 면, 왕 도미노의 비주기적인 집합이 존재하는 것이다. 당시 그럴 수 없다고 생각한 왕은 비주기적인 집합이 존재할 수 없다고 추측했다.

왕의 학생 로버트 버거는 1964년 논문에 도미노 문제를 결정할 수 없다는 것(즉 왕의 추측이 틀렸다는 것)을 증명했고, 20,426개의 왕 도미노를 사용한 비주기적인 집합을 찾았다. 프로토타일 개수를 104개로 줄인 경우도 가능하다는 것을 알아냈지만, 발표한 논문에는 나타내지 않았다. 1968년에 도널드 크누스 는 버거의 집합을 변형해서 92개의 도미노만 필요한 집합을 찾았다.

모서리에 색칠된 색끼리 맞을 수 있도록 직소 퍼즐처럼 타일의 모서리를 바꾸면, 색이 맞는 왕 도미노를 쉽게 찾을 수 있다. 래피얼 로빈슨 은 1971년 논문에서 버거의 방법과 결정 문제를 결정할 수 없다는 증명을 단순화시켰고, 버거의 방법을 써서 6개의 프로토타일만으로 비주기적인 집합을 찾았다.

도형 2. 밑의 모서리가 노란 테셀레이션은 마름모 테셀레이션(P3), 위의 모서리가 검은 테셀레이션은 오각형 펜로즈 테셀레이션(P1)이다.[15]

맨 처음의 펜로즈 테셀레이션(P1 테셀레이션)은 6개의 프로토타일로 만들어졌고, 로저 펜로즈가 1974년 논문에 소개했다. 여기서 정사각형이 아닌 정오각형을 사용했다. 정오각형으로 평면을 채우려고 시도하면 항상 빈틈이 생기지만, 요하네스 케플러는 1916년에 책 《 세계의 조화》에서 이런 빈틈을 오각별, 정십각형 등과 관련된 도형으로 채울 수 있다는 걸 보였다. 케플러는 이 테셀레이션을 다각형 5개를 사용해 확장했는데 주기적인 패턴을 찾을 수 없었고, 확장을 할 때마다 새로운 성질이 생길 것이라고 이미 추측한 상태였다. (따라서 비주기적 테셀레이션이 만들어진다.) 이런 생각은 알브레히트 뒤러 의 작품에서도 찾아볼 수 있다. 케플러의 생각을 알게 된 후 펜로즈는 이렇게 비주기적 집합을 만드는 모양의 타일에서, 서로 연결되는 규칙을 찾았다. 이런 연결 규칙은 왕 타일에서처럼 모서리를 색칠해서 만들어진다. 펜로즈의 테셀레이션은 케플러의 무한 'Aa' 패턴의 완성작이라고 볼 수 있다.

18세기 초반에 정오각형과 길쭉한 마름모로 만든 펜로즈 테셀레이션이 아닌 테셀레이션이다. 체코 공화국의 즈댜르 나트 사자보우에 있는 성 얀 네포쿠츠기 순례 교회에 있다.

펜로즈는 이후에 카이트와 다트 테셀레이션(P2 테셀레이션)과 마름모 테셀레이션(P3 테셀레이션)을 발견해 프로토타일의 개수를 2개로 줄였다. 마름모 테셀레이션은 로버트 애먼이 독립적으로 1976년에 발견했다. 펜로즈와 존 호턴 콘웨이는 펜로즈 테셀레이션의 특성을 연구했고, 대체하는 특성이 그 계층 구조를 설명한다는 걸 발견했다. 이 발견은 《사이언티픽 아메리칸》의 1977년 1월 " 수학 게임"에 기재되었다.

3가지 펜로즈 테셀레이션인 P1-P3가 아래에 각각 설명되어 있다. 여러 공통적인 특징이 있는데, 각 타일은 정오각형과 황금비 와 관련된 모양에서 만들어지지만 비주기적으로 테셀레이션하기 위해 '연결 규칙'이 추가적으로 있어야 한다. 이런 규칙은 특정한 꼭짓점이나 모서리, 타일 면의 패턴과 관련이 있다. 모서리의 모양이 안으로 들어가거나 밖으로 나오게 할 수도 있다.

펜로즈의 첫 테셀레이션은 정오각형뿐 아니라 다른 3가지 모양도 쓰는데, "별" (오각별), "배" (별의 약 3/5), "다이아몬드" (얇은 마름모)를 쓴다. 모든 테셀레이션이 비주기적이 되기 위해 타일이 만나는 법을 정하는 연결 규칙이 있는데, 오각형 타일에는 세 종류의 연결 규칙이 있다. 이러한 3가지 종류의 오각형을 다른 프로토타일로 보면 총 프로토타일이 6개가 생긴다. 일반적으로 오른쪽 위 그림처럼 다른 세 종류의 오각형 타일을 다른 세 가지 색으로 칠한다.

펜로즈의 두 번째 테셀레이션은 "카이트"와 "다트"라고 하는 연꼴을 쓴다. 둘을 붙이면 마름모를 만들 수 있으나, 연결 규칙은 이를 허용하지 않는다. 카이트와 다트 각각은 1975년 로빈슨이 언급한 로빈슨 삼각형 이라는 2개의 삼각형으로 이루어져 있다.

카이트는 내각이 72°, 72°, 72°, 144°인 사각형이다. 대칭축으로 자르면 로빈슨 예각삼각형 (내각이 36°, 72°, 72°) 2개로 나눌 수 있다.

다트는 내각이 36°, 72°, 36°, 216°인 오목 사각형이다. 대칭축으로 자르면 로빈슨 둔각삼각형 (내각이 36°, 36°, 108°) 2개가 생기는데, 로빈슨 예각삼각형보다 작다.

연결 규칙을 몇 가지 방법으로 설명할 수 있다. 한 방법은 꼭짓점을 (검정색과 하얀색 같은 두 색으로) 색칠해서 맞닿은 타일의 꼭짓점 색이 같도록 하는 것이다. 다른 방법은 원호 패턴을 사용해서 (왼쪽에 초록색과 빨간색으로 표시된 것처럼) 타일의 위치를 정하는 것이다. 두 타일이 테셀레이션에서 모서리를 공유할 때, 패턴이 각 모서리에서 연결되어야 한다.

이 규칙은 특정한 타일의 배치를 결정하기도 하다. 예를 들어 임의의 다트의 오목한 꼭짓점은 반드시 2개의 카이트로 채워져야 한다. 이렇게 만들어진 모양(아래쪽 그림의 위 가운데)을 콘웨이가 "에이스"라고 이름 붙였는데, 카이트를 확대한 듯하지만 카이트와는 타일링하는 방법이 다르다. 비슷하게 두 카이트가 짧은 모서리로 닿아 있을 때 생기는 오목한 꼭짓점은 두 개의 다트로 채워져야 한다(아래 오른쪽). 실제로 타일이 한 꼭짓점에서 만나는 방법은 7가지만 가능한데, 그 중 2가지인 "별"(위 왼쪽)과 "해"(위 오른쪽)는 5차 이면 대칭(회전 및 반사 대칭)이 있다. 반면에 나머지는 한 축(그림의 세로축)에 대한 반사 대칭밖에 없다. 에이스와 해를 제외하면 모든 꼭짓점 배치에는 타일이 추가적으로 배치되어야 한다.

세 번째 테셀레이션은 변의 길이는 같지만 내각의 크기는 다른 한 쌍의 마름모를 사용한다. 일반적인 마름모 모양의 타일은 평면을 주기적으로 채울 수 있으므로, 타일이 연결되는 방법에 제한이 있어야 한다. 주기적인 테셀레이션을 허락하지 않기 위해, 어느 두 타일도 평행사변형을 이루면 안 된다. 하지만 이 조건은 도형 1 이 보여주듯이 비주기적이기 위해 충분하지 않다.

두 종류의 타일이 있는데, 각각은 로빈슨 삼각형으로 나누어질 수 있다.

얇은 마름모 t는 내각의 크기가 36°, 144°, 36°, 144°이다. t 마름모는 짧은 대각선으로 잘랐을 때 로빈슨 예각 삼각형 한 쌍이 생긴다.

굵은 마름모 T는 내각의 크기가 72°, 108°, 72°, 108°이다. T 마름모는 긴 대각선으로 잘랐을 때 둔각 로빈슨 삼각형 한 쌍이 생기는데, P2 테셀레이션과는 다르게 예각 삼각형보다 더 크다.

연결 규칙은 타일의 변을 구별하므로, 타일이 정해진 방법으로만 놓일 수 있다. 연결 규칙을 설명하는 두 가지 방법이 오른쪽 그림에 있다. 첫째, 타일 면에 표시한 곡선이 변을 가로질러 색과 위치가 일치하도록 한다. 둘째, 변에 있는 올록볼록한 부분이 서로 맞도록 조합한다.

한 꼭짓점에서 만나는 각의 합이 360°가 되는 54가지 덮기 방법 조합이 있지만, 연결 규칙은 그 중 7가지만 허용한다. (7가지 각각은 2가지로 나타난다)

내각과 굽은 모양을 통해 임의의 복잡한 타일을 만들 수 있는데, 예로 '펜로즈 닭'(penrose chicken)이 있다.

펜로즈 타일링에서 황금비 (대략 1.618)가 포함되어 있는 몇몇 특성이 있다.[30][31] 이는 정오각형에서 변 길이에 대한 대각선 길이의 비율인데, φ라 했을 때 φ = 1 + 1/ φ 을 만족시킨다.

따라서 이등변인 로빈슨 삼각형의 긴 변 대 짧은 변의 길이비는 φ:1이다. 즉 카이트와 다트 타일 모두 긴 변 대 짧은 변의 길이비는 φ:1인데, 얇은 마름모 t에서 변 대 짧은 대각선의 길이비, 굵은 마름모 T에서 긴 대각선 대 변의 길이비도 같다. P2와 P3 테셀레이션 모두 큰 로빈슨 삼각형 대 작은 로빈슨 삼각형의 넓이비가 φ:1이여서, 카이트 대 다트, 굵은 마름모 대 얇은 마름모의 넓이비도 그렇다. (크기가 다른 둔각 로빈슨 삼각형을 왼쪽 그림의 오각형에서 찾을 수 있는데, 맨 위의 마름모 절반이 큰 삼각형이며 아래의 어두운 작은 삼각형과 선형 차원에서 닮음비가 φ:1이며 넓이비는 φ ²:1이 된다.)

임의의 펜로즈 테셀레이션은 타일의 대칭적인 배치로 둘러싸인 점이 있기 때문에 국소적으로 정오각형 대칭성이 있다. 이러한 배치는 중심점에서 5차 회전 대칭뿐만 아니라 그 점을 지나는 5개의 직선은 반사 대칭의 거울축이 되어, 이면군 을 이룬다. 이 대칭을 시킨 후에 보통 중심점을 둘러싼 타일들의 한 부분만 그대로 유지되는데, 보존되는 부분이 매우 클 수 있다. 콘웨이와 펜로즈는 P2 또는 P3 테셀레이션에 있는 색이 있는 곡선이 이어져서 하나의 닫힌 도형을 만들 때마다 도형 내부가 정오각형 대칭이라는 것을 증명했다. 또한 어느 타일링에서든지 서로 이어져 닫히지 않는 곡선의 종류가 많아야 2가지라는 걸 증명했다.

전역적인(global) 5차 대칭점은 최대 1개인데, 1개보다 많다면 한 점에 대해 다른 점을 회전시켰을 때 더 가까운 5차 대칭 중심점이 생기기 때문에 수학적으로 모순이다. 전체적으로 정오각형 대칭을 가지는 펜로즈 테셀레이션은 유형마다 2개만 있는데, 카이트와 다트로 만든 P2 테셀레이션은 중심점이 "해" 또는 "별"이 꼭짓점이다.

펜로즈 테셀레이션의 많은 공통점은 대체하기 규칙의 계층적인 정오각형 구조에 따라 생긴다. 이 대체하기 규칙을 테셀레이션이나 타일의 '늘리기'(inflation)와 '줄이기'(deflation) 또는 '결합하기'(composition)와 '분해하기'(decomposition)라고 한다. 대체하기 규칙은 각 타일을 테셀레이션의 쓰인 모양을 가진 더 작은 타일로 분해한다. (그래서 더 큰 타일이 작은 타일들이 '결합'되게 한다.) 이로부터 펜로즈 테셀레이션이 비례 축소로 자기유사성을 띤다는 사실을 알 수 있고, 펜타플레이크와 같은 과정을 거치면 프랙탈 로 생각할 수 있다.

로빈슨 삼각형으로의 분해

P2와 P3 테셀레이션에 모두 쓰이는 대체하기 방법은 여러 크기의 로빈슨 삼각형을 써서 나타낼 수 있다. P2 테셀레이션에서 (카이트와 다트를 나눠서) 나타나는 로빈슨 삼각형은 A-타일이라 하고, P3 테셀레이션에서 (마름모를 나눠서) 나타나는 것은 B-타일이라고 한다. 작은 A-타일은 A S라고 표현하는데 둔각 로빈슨 삼각형이며, 큰 로빈슨 타일 A L은 예각삼각형이다. 반면에 작은 B-타일은 B S라고 하며 예각 로빈슨 삼각형이고, 큰 B-타일 B L 은 둔각삼각형이다.

이렇게 분해했을 때 애매한 점이 있다. 로빈슨 삼각형은 이등변이기 때문에 대칭축을 기준으로 거울상인 2가지 방법으로 분해할 수 있기 때문이다. 펜로즈 테셀레이션에서 연결 규칙에 따라 분해하는 방법이 이들 중 정해져 있다. 게다가 연결 규칙은 작은 삼각형들이 결합해서 큰 삼각형이 되는 방법까지 결정한다.

따라서 P2와 P3 테셀레이션은 '국소적으로 서로를 만들 수 있다'는 결론에 이르게 된다. 타일들의 한 집합으로 만든 테셀레이션은 다른 테셀레이션을 만드는 데 쓰일 수 있는 것이다. 예를 들어 카이트와 다트로 만든 테셀레이션은 A-타일들로 쪼갤 수 있는데, 정해진 방법으로 결합해서 B-타일이 되어 마름모가 될 수 있다. P2와 P3 테셀레이션은 P1에서 국소적으로 만들 수도 있다. ( 위의 도형 2).

B-타일을 A-타일로 분해하는 과정은 다음과 같다.

BS = AL, BL = AL + AS

이 분해를 φ A-타일에서 B-타일로의 분해 과정과 합치면 다음을 얻는다.

결합과 분해를 반복할 수 있으므로, 예를 들어

과정을 n번째로 반복했을 때 카이트와 다트의 개수는 대체하기 행렬의 n 제곱으로 결정할 수 있다.

여기서 은 n번째 피보나치 수다. 그래서 임의의 충분히 큰 P2 펜로즈 테셀레이션 무늬에서 카이트 대 다트 수의 비율이 황금비 φ 로 수렴한다. P3 펜로즈 테셀레이션에서 굵은 마름모 대 얇은 마름모 수의 비율도 비슷한 결과가 나온다.

P2와 P3 타일링을 줄이기

P2 펜로즈 테셀레이션에서 '해' 꼭짓점을 연속적으로 분해한 모습

P3 펜로즈 테셀레이션에서 타일 집합을 연속적으로 분해한 모습

P2 펜로즈 테셀레이션에서 '해' 꼭짓점을 8번 분해한 모습

타일을 나누는 이 규칙은 대체하기 규칙 이다.

위 표를 볼 때 주의해야 한다. 카이트 절반과 다트 절반은 해 또는 별처럼 더 큰 패턴을 분해할 때 의미가 있다. 단지 카이트나 다트에 적용되면 결과가 다르다.

또 대체하기 규칙만 적용하면 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이 빈틈을 만들기 때문에, 다른 규칙이 추가되면 좋다.

늘리기와 줄이기로 카이트와 다트 (P2) 테셀레이션이나 마름모 (P3) 테셀레이션을 구성하는 방법이 있는데, '위아래 세대'(up-down generation)라고 한다.

펜로즈 테셀레이션은 비주기적이어서 평행 이동 대칭성이 없다 - 패턴을 맞추려고 밀어 옮겨서 평면 전체를 덮을 수 없는 것이다. 하지만 크기에 상관없이 경계를 지은 부분은 테셀레이션에서 무수히 많이 반복된다. 따라서 크기가 유한한 어떤 부분도 펜로즈 테셀레이션 전체를 특정할 수 없고, 테셀레이션에 어떤 부분에서 나타나는지 결정할 수도 없다.

굼멜트의 정십각형(왼쪽)을 밝은 색의 점선으로 카이트와 다트로 분해할 수 있으며, 어두운 색의 두꺼운 점선으로는 에이스와 굵은 마름모를 넣을 수 있다. 한두 개의 붉은 에이스를 포함해서 겹칠 수 있다.(오른쪽)[48]

1996년, 독일 수학자 페트라 굼멜트는 두 종류의 겹치는 부분을 허용할 때, 단일 정십각형 타일로 펜로즈 테셀레이션과 동등한 '덮기'(타일들이 겹치지 않는 '테셀레이션'과 구분하기 위한 이름)을 제시했다. 정십각형 타일에는 색칠된 부분이 있는데, 연결 규칙에 따라 색칠이 동일한 부분을 겹칠 수 있다. 이런 덮기를 적절히 카이트와 다트로 분해하면 펜로즈 (P2) 테셀레이션이 된다. 비슷하게 P3 테셀레이션은 각 정십각형에 굵은 마름모를 안에 넣고, 남은 부분을 얇은 마름모로 채울 때 얻을 수 있다.

이런 덮기는 준결정의 성장을 보여주는 현실적인 모델로 여겨진다. 겹치는 정십각형은 결정이 만들어질 때의 단위 격자와 비슷한 '준단위 격자'라고 하며, 연결 규칙은 특정 원자 집단의 밀도를 본뜬 것이다. 덮기의 본질로 전자 구조 같은 이론을 연구할 수 있는데, 블로흐의 정리 가 없어서 어렵다. 하지만 준결정의 영역은 오류 제어를 통해 계산할 수 있다.

펜로즈 테셀레이션의 세 가지 변형은 국소적으로 서로를 만들어낼 수 있다. P1 테셀레이션의 꼭짓점 중 몇 개를 택하면 또 다른 비주기적 테셀레이션을 구성할 수 있다. P1 테셀레이션의 한 정오각형의 꼭짓점에 1,3,5,2,4 순서로 숫자를 붙이면 모든 정오각형의 꼭짓점도 명확하게 숫자를 붙일 수 있는데, 순서는 시계 방향 또는 반시계 방향 이 된다. 같은 숫자로 표시된 점들은 로빈슨 삼각형으로 평면을 타일링하는 반면, 3과 4가 써 있는 점들은 나비넥타이와 나베트 타일링을 이룬다.

동일하지 않지만 관련 있는 테셀레이션이 더 있는데, '육각형-배-별'과 '미쿨라-로스' 테셀레이션이다. 예를 들어 마름모 테셀레이션의 연결 규칙을 약하게 해서 각 꼭짓점에서 허용되는 각에 특정한 제한을 두면, 두 타일로 만들어진 테셀레이션이 생긴다. 역시 5차 대칭성을 기반으로 하고 있으나, 준결정이 아니다. 원래 마름모 타일링의 마름모를 더 작은 마름모로 채우거나 대체하기 규칙을 적용해서 얻어낼 수 있는데, 데 브라윈의 잘라서 사영하기 방법으로는 불가능하다.

테셀레이션의 미적 가치는 오랫동안 인정받았고, 테셀레이션에 관심을 갖게 하는 계기가 된다. 그래서 펜로즈 테셀레이션의 겉보기 모습은 이것을 정의하는 형식적인 특성보다 관심을 끈다. 북아프리카와 중동에서 쓰인 특정한 장식 무늬와의 유사성은 알려져 있으며, 물리학자 피터 제임스 루와 파울 슈타인하트는 펜로즈 타일링이 이스파한 다르브 이맘 묘의 기리 테셀레이션 같은 중세 이슬람의 기하학적 무늬 에 기초를 두었다는 증거를 제시했다.

드롭 시티 예술가인 클라크 리처트는 마름모삼십면체를 평면에 사영시켰을 때 굵은 마름모와 얇은 마름모 타일이 연결되어 비주기적 테셀레이션을 이루는 것을 관찰해서, 펜로즈 마름모를 예술작품에 1970년 활용했다. 예술역사학자 마틴 켐프는 알브레히트 뒤러 가 마름모 테셀레이션과 비슷한 모티프를 스케치한 것을 발견했다.

1979년, 마이애미 대학교는 수학통계학과의 졸업자 광장의 뜰을 꾸미려고 펜로즈 테셀레이션이 있는 인공 대리석 을 만들었다.

인도 정보 기술 연구소는 건축의 첫 단계였던 2001년부터 연구 건물을 "펜로즈 기하학"을 토대로 디자인했는데, 로저 펜로즈가 만든 테셀레이션 을 모방했다. 그 건물 중 대부분은 바닥에 펜로즈 테셀레이션으로 된 기하학적 무늬가 있다.

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펜로즈 테셀레이션 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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펜로즈 테셀레이션 또는 펜로즈 타일링(Penrose tiling)은 비주기적 테셀레이션 중 하나이다. 여기에서 '테셀레이션'이란 같은 모양으로 겹치거나 빈틈이 없게 평면을 채우는 것이고, '비주기적'이란 테셀레이션 중 일부를 골라서 회전 이동하지 않고 평행 이동만 했을 때 모양이 같을 수 없다는 것이다. 평행 이동 대칭이 아니지만 반사 대칭과 5차 회전 대칭이다.

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https://docs.google.com/document/d/1yqHwqlyF74u5xq6hJ3QzF8tSDMso1tVdezR4YbHX8Lg/edit

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미술 수행평가: 앤디 워홀의 '켐벨 수프 통조림'과 관련된 차용과 반복을 이용한 테셀레이션

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https://horizon.kias.re.kr/24400/

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준결정의 수학: 펜로즈 타일링

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우리 주변을 둘러보면 벽면이나 바닥을 아름답게 꾸민 타일링을 쉽게 볼 수 있습니다. 여기서 타일링이란 같은 모양의 타일을 이용하여 겹치지 않게 주어진 공간을 채우는 것을 의미합니다. 타일링의 다른 이름으로는 테셀레이션, 쪽매맞춤 등이 있습니다. 이 글에서는 준결정과 관련된 비주기적 타일링, 그중에서도 펜로즈 타일링을 수학적으로 어떻게 이해할 수 있는지 간단히 알아보려고 합니다.

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https://www.scientificamerican.com/article/newfound-mathematical-einstein-shape-creates-a-never-repeating-pattern/

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Creatively tiling a bathroom floor isn't just a stressful task for DIY home renovators. It is also one of the hardest problems in mathematics. For centuries, experts have been studying the special properties of tile shapes that can cover floors, kitchen backsplashes or infinitely large planes without leaving any gaps. Specifically, mathematicians are interested in tile shapes that can cover the whole plane without ever creating a repeating design. In these special cases, called aperiodic tilings, there's no pattern that you can copy and paste to keep the tiling going. No matter how you chop up the mosaic, each section will be unique.

Until now, aperiodic tilings always required at least two tiles of different shapes. Many mathematicians had already given up hope of finding a solution with one tile, called the elusive "einstein" tile, which gets its name from the German words for "one stone."

Then, last November, retired printing systems engineer David Smith of Yorkshire, England, had a breakthrough. He discovered a 13-sided, craggy shape that he believed could be an einstein tile. When he told Craig Kaplan, a computer scientist at the University of Waterloo in Ontario, Kaplan quickly recognized the potential of the shape. Together with software developer Joseph Samuel Myers and mathematician Chaim Goodman-Strauss of the University of Arkansas, Kaplan proved that Smith's singular tile does indeed pave the plane without gaps and without repetition. Even better, they found that Smith had discovered not only one but an infinite number of einstein tiles. The team recently reported its results in a paper that was posted to the preprint server arXiv.org and has not yet been peer-reviewed.

From Beautiful Patterns to Unprovable Questions

Anyone who has walked through the breathtaking mosaic corridors of the palace Alhambra in Granada, Spain, knows the artistry involved in tiling a plane. But such beauty harbors unanswerable questions-ones that are, as mathematician Robert Berger stated in 1966, provably unprovable.

Suppose you want to tile an infinite surface with an infinite number of square tiles. You have to follow one rule, however: the edges of the tiles are colored, and only same-colored edges can touch.

With infinite tiles, you begin laying down pieces. You find a strategy you think is going to work, but at some point, you run into a dead end. There's a gap you just can't fill with the tiles you have available, and you are forced to place mismatched edges next to each other. Game over.

But certainly, if you had the right tile with the right color combination, you could have gotten out of your pickle. For example, maybe you needed just one tile in which all the edges were the same color. A mathematician would look at your game and ask, "Can you determine whether you will hit a dead end just by looking at the types of colored tiles you were given at the start? This would certainly save you a lot of time."

The answer, Berger found, is no. There will always be cases where you can't predict whether you can cover the surface without gaps. The culprit: the unpredictable, nonrepeating nature of aperiodic tilings. In his work, Berger found an unbelievably large set of 20,426 differently colored tiles that can pave a plane without the color pattern ever repeating itself. And even better, it is physically impossible to form a repeating pattern with that set of tiles, no matter how you lay them.

This discovery raised another question that has dogged mathematicians ever since: What is the minimum number of tile shapes that together can create an aperiodic tessellation?

How Low Can You Go?

In the decades that followed, mathematicians found smaller and smaller sets of tiles that can create aperiodic mosaics. First, Berger found one with 104 different tiles. Then, in 1968, computer scientist Donald Knuth found an example with 92. Three years later mathematician Raphael Robinson found a variant with only six tile types-and finally, in 1974, physicist Roger Penrose presented a solution with only two tiles.

Then the progress stalled. Many mathematicians have since searched for the single-tile solution, the "einstein," but none had succeeded-including Penrose, who eventually turned his attention to other puzzles. But David Smith, the 64-year-old retiree, hadn't given up. He liked to play around with the PolyForm Puzzle Solver, a piece of software that lets users design and assemble tiles, according to the New York Times. If a shape looked promising, Smith cut out several paper puzzle pieces to experiment with. Then, in November 2022, he came across the now famous tile that he called the "hat" because of its top hat shape-though Kaplan emphasizes that many think it looks more like a T-shirt.

When Kaplan received an e-mail from Smith with the "hat," it quickly piqued his interest. With the help of software, he lined up more and more hat-shaped tiles, and it seemed as if they might truly cover the plane without forming a repeating pattern.

But such a repeating pattern could still reveal itself if he kept laying down tiles-perhaps a redundant portion would only show up once the plane was several light-years long. The researchers needed to mathematically prove that the tiling was aperiodic. Kaplan turned to Myers and Goodman-Strauss, who had worked extensively with tiling in the past.

At first, they were amazed by the simplicity of the potential einstein tile because the "hat" has a fairly simple 13-sided shape. If you had asked Goodman-Strauss what an elusive einstein tile would look like before, "I would've drawn some crazy, squiggly, nasty thing," he told Science News. And as the mathematicians took a closer look at the shape, they realized that they could play with the lengths of the sides and still create a seamless, aperiodic mosaic. This one shape had opened the door to an infinite number of einstein tiles.

A Never-Repeating Pattern

The mathematicians needed hard evidence to back up their claims. First, they used methods that experts have relied on for decades to show that certain kinds of tiles can create aperiodic mosaics. But Myers also went beyond these old methods to create a completely new way to prove it, which may also be useful for other tilings.

The tried-and-true method is best explained using Robinson's six-tile set from 1971. The orange and green lines drawn on Robinson's tiles function like the colored edges in the previous infinite-squares example. Here the rules are equally simple: two Robinson tiles can only be placed next to each other if the green and orange lines continue smoothly.

Following this rule results in a recognizable pattern consisting of larger and larger orange squares. If you keep zooming out, the squares continue to get bigger and intersect with one another. This builds up a hierarchical structure where each portion of the mosaic has its unique place. You can't move or swap any sections without breaking the rules and destroying the structure. This tells us that the tessellation must be aperiodic.

Kaplan, Goodman-Strauss and Myers were able to show something similar for the hat-shaped einstein tile proposed by Smith. To make the tile easier to work with, they smoothed out the hat's craggy edges into more recognizable and useful shapes-a single hat tile, for example, can be approximated with a triangle. They also used clusters of multiple einstein tiles to create different shapes. They could arrange four hat tiles into a hexagonlike structure, two tiles into a pentagon and another combination of two tiles into a parallelogram. These four smoothed-out shapes, which each consisted only of einstein tiles, could then completely cover the plane in a pattern.

The mathematicians proved that this tiling contained no repeating patterns because, just like Robinson's six-tile set, these four special shapes formed hierarchical structures. If you arrange these four einstein tile clusters (hexagon, pentagon, parallelogram and triangle) together, they will inevitably create a bigger version of one of those same shapes. Then, if you combine those larger shapes together, you'll create even bigger versions of those shapes, and so on. This process can be repeated indefinitely, giving a hierarchical structure. Therefore, the overall pattern can't be split into sections that repeat. If you simply slid portions of the pattern to another place, that overarching structure would be broken.

Two Proofs Are Better Than One

This proof required some complex calculations, so the three scientists enlisted help from a computer. They released their computer-assisted proof freely so that anyone could check it for errors.

But Myers wasn't satisfied yet. He created a new method for proving aperiodicity that could be performed by hand, without a computer, by showing that the einstein hat is connected to other well-known tilings that are easier to study. These related tilings are made of shapes called polyiamonds, simple tiles formed by combining equilateral triangles. Myers adjusted some of the einstein hat's edges to form two different polyiamond arrangements that follow the hat's same tiling pattern-one shaped like a chevron and the other like a hexagon and a rhombus put together. Despite their visual differences, these three arrangements all have the same properties. If the mathematicians could prove that both of the polyiamond tilings are aperiodic, then the original tiling must be aperiodic as well.

Thankfully, with polyiamonds, that proof is a matter of basic math. Mathematicians can represent the symmetries of polyiamond arrangements with a quantity called a translation vector. If the two new arrangements contained repeating patterns, the length of their translation vectors should have been related to each other-specifically, their ratio should have been a rational number. But instead the vectors had a ratio of the square root of 2-definitely an irrational number-showing that the polyiamond arrangements weren't periodic. Therefore, the original hat tile was indeed an einstein.

Myers's new proof method could also be helpful for other tilings, the scientists explain in their paper. But for now, both expert and amateur tilers are just excited to have the long-awaited einstein tile in hand. The home decor possibilities are literally infinite. As mathematician Colin Adams of Williams College told New Scientist, "I would put it in my bathroom if I were tiling it right now."

This article originally appeared in Spektrum der Wissenschaft and was reproduced with permission.
Editor's Note (8/2/23): This article was edited after posting to correct Raphael Robinson's first name and the year that he introduced his six-tile set.

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Newfound Mathematical ‘Einstein’ Shape Creates a Never-Repeating Pattern

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A new shape called an einstein has taken the math world by storm. The craggy, hat-shaped tile can cover an infinite plane with patterns that never repeat.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Translation_(geometry)

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In Euclidean geometry, a translation is a geometric transformation that moves every point of a figure or a space by the same distance in a given direction.

In Euclidean geometry a transformation is a one-to-one correspondence between two sets of points or a mapping from one plane to another. A translation can be described as a rigid motion: the other rigid motions are rotations, reflections and glide reflections.

A translation can also be interpreted as the addition of a constant vector to every point, or as shifting the origin of the coordinate system.

A translation operator is an operator such that

In a Euclidean space, any translation is an isometry. The set of all translations forms the translation group T, which is isomorphic to the space itself, and a normal subgroup of Euclidean group E( n). The quotient group of E( n) by T is isomorphic to the orthogonal group O( n):

To translate an object by a vector v, each homogeneous vector p (written in homogeneous coordinates) can be multiplied by this translation matrix:

As shown below, the multiplication will give the expected result:

The inverse of a translation matrix can be obtained by reversing the direction of the vector:

Similarly, the product of translation matrices is given by adding the vectors:

Because addition of vectors is commutative, multiplication of translation matrices is therefore also commutative (unlike multiplication of arbitrary matrices).

In physics, translation (Translational motion) is movement that changes the position of an object, as opposed to rotation. For example, according to Whittaker:

If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length ℓ, so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a translation parallel to the direction of the lines, through a distance ℓ.

- E. T. Whittaker: A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1

A translation is the operation changing the positions of all points ( x, y, z) of an object according to the formula

where is the same vector for each point of the object. The translation vector common to all points of the object describes a particular type of displacement of the object, usually called a linear displacement to distinguish it from displacements involving rotation, called angular displacements.

When considering spacetime, a change of time coordinate is considered to be a translation. For example, the Galilean group and the Poincaré group include translations with respect to time.

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In Euclidean geometry, a translation is a geometric transformation that moves every point of a figure or a space by the same distance in a given direction. In Euclidean geometry a transformation is a one-to-one correspondence between two sets of points or a mapping from one plane to another.