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Una derivada es un concepto fundamental en cálculo que describe cómo cambia una función en relación a su variable independiente. En otras palabras, la derivada de una función en un punto específico proporciona la pendiente de la tangente a la curva de esa función en ese punto.

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¿Cómo evaluar el cambio? La derivada es una herramienta matemática para ello. Isaac Newton desarrolló los principios del cálculo diferencial en su obra Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum (1671). En ese trabajo, da los pasos precisos alrededor de los conceptos de función y de límite, que le permiten plantear matemáticamente cuando las cantidades varían infinitesimalmente y, de esta forma, describir el movimiento de un punto que traza una curva

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Ejemplo 4. Encontrar los valores máximos que se presentan en la siguiente ecuación:

Solución

Antes de realizar el desarrollo, se muestra la gráfica asociada a dicha ecuación:

Gráfica de la ecuación -x ² + 4x - 2 en el intervalo x(0,4)

Al observar nuestra gráfica se aprecia que, a diferencia del ejemplo sobre los mínimos, ésta tiene un valor máximo en la coordenada (2,2); entonces, igual que en aquel caso, se obtiene la derivación y se realiza una evaluación alrededor del punto máximo.

Derivación:

La ecuación (e4) se anula para x = 2; al observar los puntos alrededor de este valor, se toman lateralmente las abscisas x = 1 y x = 3 y se evalúan en (e4):

Pendientes de las tangentes m = 2 para x = 1; m = 0 para x = 2; m = -2 para x = 3

Al obtener los ángulos correspondientes:

Nuevamente se observa un cambio de signos alrededor del punto donde se presenta el máximo; sin embargo, al observar con más cuidado, se aprecia que ahora se da en sentido contrario (positivo, cero, negativo).

De esta manera, es posible resumir la forma en que se puede determinar cuándo se presenta un máximo y cuándo un mínimo a través de la derivación de dicha ecuación.

1. Obtener la derivada de la función bajo análisis, igualar dicha ecuación a cero y obtener las soluciones para esa condición.
2. Evaluar para valores cercanos antes y después de esos puntos donde se anula la derivada.
3. Obtener, si se presentan, los cambios de signo asociados a las tangentes evaluadas.
4. Se presenta un máximo si la variación de signos alrededor del valor que se anula se da de esta forma: positivo-cero-negativo.
5. Se presenta un mínimo si la variación de signos alrededor del punto que se anula se da de esta manera: negativo-cero-positivo.

Esto se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1. Determinación de máximos y mínimos de una función, a partir de los valores de "x", donde se anula su primera derivada

Para finalizar, no hace falta obtener el valor del ángulo (tan ⁻¹), ya que el cambio de signos se observa desde antes; esto se realizó como una estrategia que aclarara aún más la interpretación de la pendiente de la tangente asociada.

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En este tema, revisarás el contexto de surgimiento del concepto de derivada de una función, sus interpretaciones físicas y geométricas, así como algunos procedimientos para su obtención, junto con la recurrencia del procedimiento de derivación y sus aplicaciones en la determinación de máximos y mínimos de una función.

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Este vídeo te explica la introducción de las reglas de derivación. Fórmulas y reglas de la derivación en 4 minutos

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Fórmulas o Reglas de derivación en 4 minutos - Parte 2

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Este vídeo te explica el concepto de la derivada. ¿Qué son las derivadas?

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¿Cómo consideras que se relaciona una derivada con una función? 

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¿Cómo consideras que se relaciona una derivada con una función? 

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La relación entre una derivada y una función es fundamental en el cálculo, ya que la derivada proporciona información crucial sobre el comportamiento de la función. Aquí te explico cómo se relacionan:

1. Tasa de Cambio:

La derivada de una función f(x) en un punto específico xxx indica la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto. En términos sencillos, nos dice cómo de rápido o lento está cambiando el valor de la función a medida que cambia la variable independiente "x".

Por ejemplo, si f(x) representa la distancia recorrida por un automóvil en función del tiempo, la derivada f′(x) representa la velocidad del automóvil en cualquier instante xxx.

2. Pendiente de la Tangente:

La derivada de una función en un punto xxx también se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Si f′(x)>0, la función está aumentando en ese punto; si f′(x)<0, la función está disminuyendo; y si f′(x)=0, la función tiene un punto crítico que podría ser un máximo, mínimo o punto de inflexión.

3. Comportamiento Local de la Función:

La derivada da información sobre el comportamiento local de la función. Al observar cómo cambia la derivada en diferentes puntos, se pueden identificar máximos y mínimos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y puntos de inflexión donde la curvatura de la función cambia.

Esto es esencial en la optimización y en el análisis del comportamiento de funciones en contextos prácticos.

4. Aproximación Lineal:

La derivada también permite aproximar la función cerca de un punto utilizando una aproximación lineal. Esta aproximación es dada por la ecuación de la tangente en ese punto:

f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)

Esta aproximación es útil cuando se necesitan estimaciones rápidas del valor de la función para valores cercanos a "a".

5. Evolución de la Función:

En problemas de física, economía y otras ciencias, la derivada describe cómo una variable dependiente evoluciona con respecto a una independiente, permitiendo modelar y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos.

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Qué es la derivada? | Concepto de derivada

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Qué es la derivada? | Concepto de derivada

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Explicación de que es la derivada o el concepto de derivada explicándolo como la velocidad en un punto, teniendo en cuenta los incrementos, empezando con el concepto de velocidad media hasta llegar al concepto de derivada de una función, dentro del curso de Derivadas.

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Qué es la derivada? | Concepto de derivada

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La DERIVADA lo cambio TODO 🚀| ¿QUÉ es la DERIVADA? ▶ SIGNIFICADO de la DERIVADA en 20 MINUTOS

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La DERIVADA lo cambio TODO 🚀| ¿QUÉ es la DERIVADA? ▶ SIGNIFICADO de la DERIVADA en 20 MINUTOS

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La derivada es un concepto MUY IMPORTANTE dentro del Cálculo, pero ¿Qué hay más allá de calcular derivadas por formulas memorizadas y sin realmente entenderlas? En este video entenderás las bases fundamentales para construir el concepto de la DERIVADA y también podrás saber su utilidad y porque es tan importante

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La DERIVADA lo cambio TODO 🚀| ¿QUÉ es la DERIVADA? ▶ SIGNIFICADO de la DERIVADA en 20 MINUTOS ⌚

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La Derivada ¡GRAFICAMENTE!

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Asesoria de unidad 2 Derivación

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Este vídeo te explica las derivadas de orden superior

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Este vídeo te explica las derivadas de orden superior

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Derivadas de orden superior. Introducción a las derivadas de orden superior, es decir: segunda, tercera,... derivada, aquí te explico qué son las derivadas de orden superior y la notación de este tipo de derivadas.

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Derivadas de orden superior Introducción

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La derivada de una función se puede representar como el cambio de una situación, lo cual hace una de las herramientas importantes para los estudios de diversas áreas de conocimiento. El cálculo en si representa una mayor importancia cuando tratamos de una función real, dado que indica la variación de la función en un instante determinado de la variable. Así decimos que la derivada de una función para un valor de una variable, es la variación instantánea de dicha función y para el valor de la variable.

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Actividades de la unidad 2

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Optimización: Encontrar máximos y mínimos de una función para resolver problemas de optimización en diversas áreas, como economía, ingeniería y física.

Análisis de funciones: Estudiar el comportamiento de una función, como su concavidad, puntos de inflexión y asíntotas.

Cálculo de tasas de cambio: Calcular tasas de cambio instantáneas en problemas de física, química, biología y otras ciencias.

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Velocidad y distancia: Si consideramos una función que representa la distancia recorrida por un objeto en función del tiempo, la derivada de esa función en un instante dado nos dará la velocidad instantánea del objeto en ese momento.

Pendiente de una recta tangente: La derivada en un punto de una curva es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Esta recta tangente nos da una aproximación lineal del comportamiento de la función cerca de ese punto.

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Para entender las derivadas primero debemos entender sus partes:

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Para entender las derivadas primero debemos entender sus partes:

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Si tenemos un número sin variable, se le denomina, constante.

Sabiendo esto, podemos derivar de la siguiente manera:
1.- Derivada de una variable:

1.- Se multiplica su coeficiente por su exponente y se anota como nuevo exponente.
2.- Se le resta 1, al exponente y se pone como nuevo exponente.

Esto es:
f(x) = x^4, f’(x) = 1*4^4-1 = 4^3

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1.- Para calcular la derivada de la función f(x) es necesario identificar las partes de dicha función, estas están separadas por símbolos de SUMA (+) o RESTA (-)

Términos:

3x³, -2x², -5x, +2

2.- Derivamos cada uno de los términos:

f(x) = 3x³       f’(x) = 3*3x³⁻¹ = 9x²

f(x) = -2x²      f’(x) = 2*-2x²⁻¹ = -4x

f(x) = -5x        f’(x) = 5*-5x¹⁻¹ = 25x⁰ (x⁰ es igual a 1) = 25(1) = -25

f(x) = 2           f’(x) = 0 (Derivada de una constante es igual a 0)

3.- Unimos los términos ya derivados

RESULTADO FINAL

f’(x) = 9x² - 4x - 25

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Para derivar esta función debemos identificar las partes según el formulario, que es:

f(x) = U V  FóRMULA DERIVAR:

f’(x) = U’*V+U * V’

1.- En dicha función identificamos U y V:

U = 4x² – 6x + 2

V=3x²-10

2.- Aplicando la fórmula multiplicamos la derivada de U por V:

U’*V = (2*4x2-1 -1*6x1-1 ) (3x2 -10) = (8x-6)(3x2 -10) = (8*3x1+2) + (8x*-10) + (-6*3x2 ) + (-6*-10)

U’*V = 24x3 – 80x – 18x2 + 60

3.- Aplicando la formula multiplicamos U por la derivada de V:

U*V’ = (4x2 – 6x + 2)(2*3x2-1 ) = (4x2 – 6x + 2)(6x) = (4*6x2+1) + (-6*6x1+1) + (2*6x)

U*V’ = 24x3 – 36x2 + 12x

4.- Una vez tenemos los dos productos procedemos a sumar los resultados:

f’(x) = U’*V + U * V’

f’(x) = (24x³ – 80x – 18x² + 60) + (24x³ – 36x² + 12x) (como es una suma todos los signos pasan igual)

f’(x) = 24x³ – 80x – 18x² + 60 + 24x³ – 36x² + 12x (SUMAMOS TÉRMINOS SEMEJANTES)

f’(x) = 24x³ + 24x³ – 18x² – 36x² + 12x – 80x + 60 (SUMAMOS TÉRMINOS SEMEJANTES)

RESULTADO FINAL:

f’(x) = 48x³ - 54x³ – 68x + 60

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DESARROLLO DE DERIVADAS CON SUMA Y RESTA, PRODUCTO Y COCIENTE

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DESARROLLO DE DERIVADAS CON SUMA Y RESTA, PRODUCTO Y COCIENTE

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Para entender las derivadas, primero debemos conocer sus partes