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Ciao è un piacere

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Espressioni con somme e differenze di monomi

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Salve, ho alcune espressioni con i monomi con somme e differenze che devo semplificare fino a scriverle nella forma più semplice possibile. Ho provato a

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I monomi sono espressioni matematiche costituite dal prodotto tra una parte numerica ed una parte letterale, in cui la parte numerica del monomio è un qualsiasi numero mentre la parte letterale è costituita dal prodotto di potenze con base letterale ed esponente intero positivo.

In questa lezione introduttiva parliamo dei monomi . I monomi sono tra le prime espressioni matematiche che si incontrano a scuola e possiamo considerarli come i mattoncini della Matematica su cui si fonda buona parte dell'Algebra, perché servono sostanzialmente a costruire tutti i possibili polinomi.

Qui di seguito imposteremo il discorso proponendovi tutte le definizioni sui monomi che bisogna imparare sin da subito (per citarne una, la definizione di monomi simili). Nelle lezioni successive vedremo poi come comportarsi nella pratica e come svolgere le varie operazioni con i monomi, mentre a fine lezione potrete accedere direttamente alla scheda di esercizi svolti correlati. ;)

Definizione di monomio

Un monomio è un'espressione matematica che consiste in un prodotto di fattori qualsiasi, siano essi numerici o letterali. I fattori letterali hanno per esponente un numero naturale.

Un esempio?

Il fattore numerico (4) prende il nome di coefficiente o parte numerica, mentre il fattore letterale (x ²) costituisce la cosiddetta parte letterale .

La definizione di monomio presenta tre diversi ingredienti:

1) la parte numerica può essere costituta da un qualsiasi numero;

2) la parte numerica deve essere moltiplicata per la parte letterale;

3) nella parte letterale possono esserci solamente moltiplicazioni.

Non a caso il termine monomio deriva dalla fusione delle parole greche monos=unica e nomé= legge, giusto a sottolineare il fatto che l'unica "legge" che compare in essi è il prodotto.

Attenzione, non fatevi fregare: le potenze sono particolari moltiplicazioni in cui i fattori coincidono con la base, quindi rientrano perfettamente nella regola della definizione.

Esempi sui monomi

La definizione è piuttosto semplice e non dovrebbe spaventarci, ma per toglierci ogni possibile dubbio conviene vedere subito una carrellata di esempi sui monomi:

è un monomio in cui 3 è il coefficiente numerico mentre è la parte letterale.

è un monomio che ha per coefficiente numerico (che è un numero relativo) mentre è la parte letterale.

è ancora un monomio! Il coefficiente numerico è (che è un numero razionale) mentre la parte letterale è .

è un monomio con parte numerica (che è un numero irrazionale) mentre la parte letterale è .

è un monomio! Anche se la parte numerica sembra non esserci, in realtà è una qualsiasi lettera con esponente zero, che quindi vale 1. Il coefficiente è .

non è un monomio, perché l'espressione non si può scrivere come prodotto tra una parte numerica e una parte letterale.

non è un monomio, perché l'esponente della lettera è negativo.

non è un monomio, perché sfruttando la definizione di potenza con esponente negativo possiamo riscriverlo nella forma , da cui si vede che l'esponente di è negativo e quindi non è un numero naturale.

non è un monomio perché equivale a , e l'esponente di non è intero (positivo).

Attenzione: dai precedenti esempi abbiamo scoperto che, in accordo con la definizione, i soli e semplici numeri sono un caso particolare di monomi.

Monomi ridotti in forma normale

Un monomio si dice ridotto in forma normale se si scrive come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali di basi diverse.

Ad esempio

non è ridotto in forma normale e per ridurlo in forma normale dovremo moltiplicare in modo opportuno così da ottenere .

Grado complessivo di un monomio e grado di un monomio rispetto a una lettera

Una volta capito cos'è un monomio scritto in forma normale, interviene il concetto di grado di un monomio in senso generale e di gradi di un monomio rispetto alle varie lettere.

Grado del monomio rispetto ad una lettera: è l'esponente della lettera nel monomio.

Grado complessivo del monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.

Non è affatto difficile determinare i gradi di un monomio, ma purtroppo, per qualche strano motivo :P a volte gli studenti hanno difficoltà in merito. Riportiamo un semplice esempio.

è un monomio ridotto in formale, inoltre:

3 è il grado del monomio rispetto alla lettera x

1 è il grado del monomio rispetto alla lettera y

2 è il grado del monomio rispetto alla lettera z

3+1+2=6 è il grado complessivo del monomio.

Al monomio nullo non attribuiamo nessun grado, mentre i singoli numeri (che sono monomi se presi singolarmente) hanno grado 0.

Ora attenzione, dobbiamo introdurre dei concetti fondamentali che ritorneranno ciclicamente nella vita di uno studente.

Monomi simili

Dati due monomi ridotti in forma normale, chiamiamo monomi simili due monomi che hanno la stessa parte letterale.

Ad esempio

sono monomi simili perché hanno la stessa parte letterale, così come sono monomi simili .

Monomi uguali

Dati due monomi ridotti in forma normale, definiamo monomi uguali due monomi che hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale, come ad esempio

Monomi opposti

Diciamo che due monomi in forma normale sono monomi opposti se sono simili e se hanno i coefficienti numerici opposti!

Sono un esempio di monomi opposti

Impariamo per bene questi nuovi concetti perché permettono di definire le operazioni con i monomi, di cui parliamo nella prossima lezione. Qui abbiamo finito, ma c'è una scheda di esercizi svolti sui monomi che vi aspetta, oltre a tutti gli altri esercizi che abbiamo risolto e spiegato e che potete reperire con la barra di ricerca interna. ;)

I più impazienti che sono qui per un ripasso veloce possono anche mettersi alla prova sin da subito con le espressioni con monomi.

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

Tags: spiegazione e regole sui monomi - cos'è un monomio - monomi simili, opposti, uguali - grado di un monomio.

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I monomi sono espressioni matematiche costituite dal prodotto tra una parte numerica ed una parte letterale, in cui la parte numerica del monomio è un qualsiasi numero mentre la parte letterale è costituita dal prodotto di potenze con base letterale ed esponente intero positivo. In questa lezione introduttiva parliamo dei monomi .

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Le operazioni tra monomi sono le principali operazioni algebriche (somma, sottrazione, prodotto, divisione, elevamento a potenza) riferite al calcolo letterale con i monomi.

Nella precedente lezione abbiamo gettato le basi teoriche e proposto tutte le definizioni; ora che abbiamo spiegato cosa sono i monomi passiamo alla pratica e vediamo le regole per svolgere le principali operazioni con i monomi.

Come svolgere le operazioni con i monomi

Le operazioni tra monomi su cui ci concentreremo sono le seguenti:

1) somma di monomi;

2) moltiplicazione tra monomi;

3) potenza di un monomio;

4) divisione tra monomi.

Per ciascuna di esse presenteremo la regola di calcolo corredata da un esempio e da un ulteriore approfondimento.

Somma di monomi

Diciamo sin da subito che è possibile sommare solamente monomi simili. In particolare la somma di monomi simili è un monomio che ha

- come coefficiente numerico: la somma dei coefficienti numerici dei monomi della somma;

- come parte letterale: la stessa parte letterale dei monomi di partenza.

Se i monomi non sono simili non è possibile effettuare la somma e lasceremo gli addendi così come sono scritti.

I monomi che compongono l'espressione sono simili perché hanno tutti la stessa parte letterale, quindi possiamo sommare i coefficienti numerici:

Effettuiamo le operazioni dentro la parentesi e otteniamo

Facile, no? :) Ripetiamo ancora una volta la somma tra due monomi è possibile se e solo se i monomi sono simili, in caso contrario i termini rimarranno così come sono.

Se volete approfondire e per consultare altri esempi, potete leggere qui: somma e differenza di monomi.

Prodotto tra monomi

A differenza della somma, il prodotto tra monomi è sempre possibile. Moltiplicare due monomi tra loro vuol dire prendere il monomio che ha:

- coefficiente numerico dato dal prodotto dei coefficienti numerici;

- parte letterale data da tutte le lettere dei singoli monomi, ciascuna con esponente uguale alla somma degli esponenti delle singole lettere.

La moltiplicazione tra monomi è più difficile a dirsi che a farsi, fidatevi! ;)

Il monomio prodotto ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti

Ora calcoliamo la parte letterale del monomio prodotto. Essa conterrà sicuramente le lettere x, y, z, ma noi siamo interessati anche agli esponenti:

Cosa dobbiamo mettere al posto dei punti interrogativi? L'esponente della lettera x è data dalla somma dell'esponente della x presente nel primo fattore e la x nel secondo fattore, quindi 3+1= 4

La lettera y ha esponente 1+2=3 dove 1 e 2 sono rispettivamente l'esponente della lettera y presente nel primo fattore e secondo fattore

L'esponente di z è dato da 0+1=1 dove 0 e 1 sono gli esponenti della z nel primo e nel secondo monomio fattore

A ben vedere non abbiamo fatto nulla di particolare, infatti abbiamo solamenteapplicato le proprietà delle potenze.

Anche in questo caso se volete vedere altri esempi sul prodotto di monomi potete dare un'occhiata alla pagina del link.

Potenza di un monomio

Per elevare alla potenza n-esima un monomio bisogna elevare a potenza il coefficiente e moltiplicare per n gli esponenti dei fattori letterali. In pratica si tratta di usare la proprietà per le potenze di potenze.

.

Per altri esempi sulle potenze di monomi - click!

Divisione tra monomi

La divisione tra monomi è leggermente più complicata rispetto alle operazioni che abbiamo descritto finora, perché richiede la condizione di divisibilità tra monomi.

Un monomio (dividendo) si dice divisibile per un secondo monomio (divisore) se esiste un ulteriore monomio (quoziente) che moltiplicato per il secondo dà il primo.

Con tale ipotesi possiamo definire la divisione tra due monomi divisibili e diversi da zero. Esso è un monomio che ha:

- coefficiente numerico dato dal quoziente dei coefficienti numerici;

- parte letterale data dal rapporto delle lettere omonime tra loro. Per gli esponenti ci si comporta ancora una volta applicando le proprietà delle potenze.

La parte letterale del monomio quoziente è 3:3=1, mentre la parte letterale si ricava nel modo seguente:

.

Per approfondire, e per vedere nel dettaglio in cosa consiste la condizione di divisibilità tra due monomi, potete leggere la pagina sulla divisione tra monomi.

Per il momento è tutto. Nella prossima lezione vedremo come calcolare MCD e mcm di monomi, nel frattempo potete mettervi alla prova con gli esercizi svolti della scheda correlata. ;)

A presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

Tags: operazioni tra monomi - somma di monomi - differenza di monomi - prodotto di monomi - divisione tra monomi.

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Le operazioni tra monomi sono le principali operazioni algebriche (somma, sottrazione, prodotto, divisione, elevamento a potenza) riferite al calcolo letterale con i monomi. Nella precedente lezione abbiamo gettato le basi teoriche e proposto tutte le definizioni; ora che abbiamo spiegato cosa sono i monomi passiamo alla pratica e vediamo le regole per svolgere le principali operazioni con i monomi.