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CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

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MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra.
Sustitución

Este método consiste en despejar alguna de las incógnitas en una ecuación (de preferencia la incógnita que tenga menor coeficiente) y sustituir su valor en otra ecuación.

Si tuviéramos un sistema con más de dos incógnitas, la incógnita despejada se sustituye en todas las demás ecuaciones excepto en la que se despejó, y ahora se tendría un sistema pero con una ecuación y una incógnita menos, este método se puede repetir hasta llegar a la solución.

Igualación

Este método es muy parecido al de sustitución, consiste en despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita e igualarlas, para obtener el valor de la segunda incógnita y después sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones que despejamos.
Reducción

Éste método es para sistemas lineales y de dos incógnitas (dos ecuaciones), consiste en utilizar productos y divisiones para hacer que en las dos ecuaciones una incógnita tenga el mismo coeficiente pero diferente signo, y luego sumar las dos ecuaciones para que así esa incógnita se elimine y nos quede una sola ecuación con una incógnita.

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FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS

Para una función cuadrática y = ax² + bx + c, la coordenada x del vértice es siempre . ... Hemos visto cómo graficar una ecuación cuadrática dibujando los valores de x y y y conectándolos con una curva suave. Otra forma de graficar una parábola es usando lo que sabemos sobre el vértice y el eje de simetría.

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ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 1

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Sistema de ecuación por Sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

1. Aislamos una incógnita

Vamos a aislar la "x" de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita "x".

2. Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como tenemos que la incógnita "x" es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la "x" en la segunda ecuación (sustituimos la "x"):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al despejar la incógnita "x" teníamos

Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).

Igualación

Método de Igualación

El método de igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones

1. Aislamos una incógnita en las dos ecuaciones

Escogemos aislar la incógnita x:

2. Igualamos las expresiones

Como x=x, podemos igualar las expresiones obtenidas:

3. Resolvemos la ecuación

Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo

Sustituimos el valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas anteriormente (la primera, por ejemplo):

Reducción

El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).

1. Comprobamos los coeficientes

Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece:

Escogemos una incógnita a eliminar: la y.

Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).

Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones.

Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en el Problema 2.

2. Sumamos o restamos las ecuaciones

Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:

3. Resolvemos la ecuación obtenida

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo

Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

Determinantes

Un método para resolver el sistema de ecuaciones lineales es mediante el cálculo de determinantes (Δ). En este caso se trabaja con determinantes de la forma (2 x 2), esto se determina porque hay dos elementos en las filas y dos elementos en las columnas.

Método gráfico

El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico.

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Sistemas de ecuaciones.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.
Métodos de solución:

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Resolución y evaluación de ecuaciones:
la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar cuáles son los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación. La resolución de ecuaciones polinómicas, o algebraicas, juega un papel importante en el nacimiento y posterior desarrollo del álgebra.

Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.
Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.
Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.  Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir.

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Ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas:

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

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Ecuaciones lineales con una incógnita:
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

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ECUACIONES LINEALES.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

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★SEGUNDO PARCIAL

FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES.
En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: donde y son constantes reales y es una variable real.

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ECUACIONES LINEALES - Ejercicios 1, 2 y 3

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vídeo de "métodos de factorizacion" https://youtu.be/ROGt8u81FxM

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Productos notables

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factorizacion

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

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leyes de los exponentes y radicales

EXPONENTES

La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él.

El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.

Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño que indica cuántas veces se toma como factor dicha base; este número pequeño recibe el nombre de exponente.

RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

El radicando también recibe el nombre de subradical.

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Propiedades fundamentales:

Identificar y usar las propiedades asociativas de la suma y la multiplicación. Hay muchas veces que en el álgebra necesitas simplificar una expresión. ... Las propiedades asociativa, conmutativa, y distributiva del álgebra son propiedades que se usan comúnmente para simplificar expresiones algebraicas.

1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto:

|a| = |-a|

2. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores:

|a.b| = |a| . |b|

3. El valor absoluto de una suma es mayor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos:

|a+b|  ≤ |a| + |b|

EJEMPLOS

/5X/=/5/./X/= 5 /X/
/-3Y/= /-3/ . /Y/= 3 /Y/
/-8-(-92)/=  /84/ = 84

Vídeo de propiedades fundamentales:
https://youtu.be/gicOKXkRIFM

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Evaluación de expresiones algebraicas

El proceso de calcular el valor numérico de una expresión algebraica, cuando a cada número literal de ella se le asigna un valor específico se llama evaluación. Para efectuar la evaluación de una expresión algebraica se sustituye el valor específico de cada número literal en dicha expresión utilizando paréntesis.

Ejemplo

1. Evaluar la expresión:

5x−3yz

2. Le asignamos los siguientes valores a las variables:

x=4

y=−2

z=3

3. Reemplazamos valores:

5(4)−3(−2)(3)

=20+6(3)

=20+18

=38

4. El valor de la expresión algebraica es 38.

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Aquí un vídeo que explica la interpretación de expresiones algebraicas:
https://youtu.be/kSs9aKhHqhA

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Interpretación de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas sirven para indicar pasos a seguir, te dicen que hacer (multiplicar, sumar, restar, dividir, etc.) Como debes de interpretarlas es utilizando variables como pueden ser literales (X, Y, Z, etc.)  Ejemplo:

Repartir $300 entre alma, patricia, y Yadira de modo que la parte de patricia sea el doble que la de alma y la de Yadira sea el triple de la de Ana.

Aquí a partir de ese problema lo interpretamos de la siguiente manera:

Tenemos $300 los cuales deben ser repartidos entre 3 personas en cantidades diferentes, pero la suma de estas nos darán los $300 pesos entonces se puede decir que Alma tiene una cantidad X de dinero, patricia tiene el doble de alma 2(X) y  Yadira el triple 3(X)

Entonces:

X+2X+3X=300
6X=300
X=50

Alma= $50
Patricia = $100
Yadira = $150

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Aquí un vídeo que lo explica:

https://youtu.be/oeVCBbMFPyo

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Representaciones algebraicas en lenguaje común

El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

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Teoría de conjuntos

Sean "x" un elemento y A,B conjuntos:

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Operadores lógicos

Son los más básicos en: conjunción, disyunción y negación. Los operadores básicos se utilizan para formar declaraciones atómicas

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Notación

La notación matemática representan un concepto a través de símbolos con valor propio .
Algunos principios básicos son:

Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva.

Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda.                                     Conjuntos numéricos

Aquí un vídeo que lo explica: https://youtu.be/SKfo1gBnAIE