# data[].attributes.body
Opracował: Moskal Mateusz IIB

# data[].attributes.body
To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa. Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie, Chinach, Indiach i Babilonii.

Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras miał zalecać swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: Jaki błąd popełniłem? Co zdziałałem? Jakiego obowiązku zaniedbałem?

Pitagoras wprowadził termin "filozofia" (tzn. umiłowanie mądrości) dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a człowiekowi dostępne jest jedynie jej umiłowanie.

W przypadku wyrzucenia kogoś ze wspólnoty pitagorejczyków kopano odrzuconemu grób. Pozostawał on pusty i był symbolem śmierci tej osoby dla wspólnoty.

Pitagorejczycy, badając figury podobne, umożliwili wykonywanie rysunków w skali, planów i map (nie istniały one w kulturach narodów pozaeuropejskich), czemu zawdzięczamy późniejsze wielkie odkrycia geograficzne, rewolucję przemysłową i wiele innych osiągnięć.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Z trójkątami pitagorejskimi uczniowie spotykają się przy okazji twierdzenia Pitagorasa. Często polecamy im poszukanie kilku takich trójkątów.

Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: . Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne. Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego, wyrażony wzorem 3 ²+4 ²=5 ².

Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek a ²+b ²=c ², Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci:

gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną.
Oto tabelka ułożona na tej zasadzie.

Z tabelki powyższej wynika, że liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskich trójkąta:

Oprócz wzoru (I) przypisywanego Pitagorasowi, znane są inne znacznie późniejsze wzory do odnajdowania trójkątów pitagorejskich. Oto jeden z nich:

(II) (m2 + n²)²=(m2 - n²)2 + (2mn)².

W równaniu tym w miejsce m i n podstawiać można dowolne liczby naturalne (pod warunkiem, że m>n). Przyjmują na przykład m=3, n=1,otrzymujemy 10 ²=8 2 + 6 ², czyli zespół liczb 6, 8, 10, którego nie obejmuje powyższa tabelka. Wzór (II) jest więc ogólniejszy niż wzór (I). Nie dość na tym. Wzór (II) zawiera wszystkie możliwe trójki pitagorejskie. Jeżeli chcemy uniknąć powtarzania się trójkątów pitagorejskich podobnych (podobne są np. trójkąty o bokach: 3, 4, 5 i 6, 8, 10), to należy przestrzegać następujących reguł:

jedna z liczb m i n powinna być parzysta, druga nieparzysta,

liczby m i n powinny być pierwsze względem siebie, czyli nie powinny mieć żadnego wspólnego dzielnika z wyjątkiem jedności,

m > n.

Poniższa tabelka ułożona jest w myśl powyższych reguł.

# data[].attributes.attachment_link.description
Z trójkątami pitagorejskimi uczniowie spotykają się przy okazji twierdzenia Pitagorasa. Często polecamy im poszukanie kilku takich trójkątów. Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: . Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne. Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5.

# data[].attributes.attachment_link.description
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa - sprawdzanie, czy dany trójkąt jest prostokątny

# data[].attributes.headline
      Twierdzenie odwrotne do                Twierdzenia Pitagorasa

# data[].attributes.subject
      Twierdzenie odwrotne do                Twierdzenia Pitagorasa

# data[].attributes.attachment_link.description
W tym kanale znajdziesz pełny wykład - 100% lekcji - z Matematyki dla Szkoły Podstawowej i Gimnazjum. Powodzenia:) Tomasz D. Gwiazda

# data[].attributes.attachment_link.description
Twierdzenie Pitagorasa - jest twierdzeniem geometrii euklidesowej , które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi , chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie . Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach , Indiach i Babilonii .

# data[].attributes.headline
                                                                                                                                                                                           Twierdzenie Pitagorasa

# data[].attributes.subject
                                                                                                                                                                                           Twierdzenie Pitagorasa

# data[].attributes.body
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Urodził się ok. 570 p.n.e.-a zmarł ok. 496 p.n.e. ok. 530 r. p.n.e. w Krotonie założył związek religijno - polityczny, zwany później szkołą pitagorejską. W związku tym obowiązywały rygorystyczne zasady. Zrzeszał on zarówno mężczyzn, jak i kobiety. Przyjęcie do związku było poprzedzane pięcioletnią próbą polegającą na ćwiczeniach w milczeniu, wstrzemięźliwości, a przede wszystkim w bezwzględnym posłuszeństwie dla Pitagorsa.

Wskazania Pitagorasa,: "wagi nie przechylać", "własnego serca nie zjadać", "łoże mieć zawsze zaścielone", "podobizną boga nie zdobić palca", "nie chodzić utartą drogą", "pod swoim dachem nie mieć jaskółek".

Szkoła pitagorejska przetrwała 150 lat i liczyła w sumie 218 pitagorejczyków.

Nie wszyscy jednak byli matematykami. W śród matematyków znaleźli się:
Hipokrates z Chios, Teodor z Cyrenei, Filolaos, Archytas z Tarentu, Hippiasz.
W szkole pitagorejskiej narodziły się trzy wielkie problemy:

- podwojenie sześcianu,

- podział kąta na trzy części (trysekcja kąta),

- kwadratura koła, które należało rozwiązać za pomocą cyrkla
i linijki bez podziałki.

Główne dogmaty szkoły pitagorejskiej to:

1. Droga do Wstąpienia wiedzie przez oczyszczenie duszy, czyli naukę, ascezę i
doświadczenie mistyczne.

2. Pitagorejczycy związani są więzami dozgonnej przyjaźni i lojalności.
Gdy zachodzi potrzeba oddają życie jeden za drugiego.

3. Bezwzględnie należy szanować mentora i być mu zawsze posłusznym.

4. Uczniowie Pitagorasa nie składają przysiąg. Każde ich słowo jest prawdziwe.

5. Swoje osiągnięcia naukowe i magiczne przedstawiać należy bez chęci wyróżnienia
się, najlepiej anonimowo.

Zwany też Szkołą pitagorejską.

Był to związek polityczno-religijny.

Zajmowali się matematyką,etyką oraz muzyką.

Ich znak to pentagram.

Została założona w Krotonie.

Ich działalność opisana jest w dziele pt. Elementy.

Wiele własnych odkryć nazywali imieniem swojego nauczyciela.

Badali własności wielokątów foremnych, wielościanów foremnych, koła, kuli oraz różnych figur i brył.

Podstawą przyjęcia był pięcioletni okres próbny.

# data[].attributes.attachment_link.description
Urodził się ok. 570 p.n.e.-a zmarł ok. 496 p.n.e. ok. 530 r. p.n.e. w Krotonie założył związek religijno - polityczny, zwany później szkołą pitagorejską. W związku tym obowiązywały rygorystyczne zasady. Zrzeszał on zarówno mężczyzn, jak i kobiety. Przyjęcie do związku było poprzedzane pięcioletnią próbą polegającą na ćwiczeniach w milczeniu, wstrzemięźliwości, a przede wszystkim w bezwzględnym posłuszeństwie dla Pitagorsa.

# data[].attributes.attachment_link.description
Dla Pitagorejczyków liczba, to liczba całkowita dodatnia. Rozumieli ją jako zbiór jedności.( Podstawą wszechrzeczy jest jedność czyli monada - matka wszystkich liczb.) Liczby uważali za niepodzielne i wyobrażali je sobie jako punkty, które rozmieszczali w postaci foremnych figur geometrycznych. Otrzymywali w ten sposób liczby: trójkątne, czworokątne, pięciokątne, itd.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Pitagoras ( gr. Πυθαγόρας, Pythagoras) (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos , zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) - grecki matematyk , filozof , mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem.

Przypisuje mu się podróże do Egiptu i Babilonii , gdzie miał zapoznać się z tamtejszą matematyką, jednak powoływanie się na wiedzę Egiptu i Babilonii było w starożytności częstym zabiegiem mającym zwiększyć wiarygodność danego mistrza. Sam Pitagoras podobno mówił, że w Egipcie żyją mędrcy, a on jest tylko filozofem (czyli miłośnikiem mądrości). W ten sposób Pitagoras wprowadził określenie filozof.

Szkoła Pitagorasa

Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e. , drugą po założonej wcześniej na Samos. Od ok. 509 p.n.e. przebywał w Metaponcie, choć według niektórych tylko 40 dni. We wszystkich koloniach greckich wyznawano orfizm , zaś wspólnoty pitagorejczyków miały dysponować ponadto wspólną własnością, nie wiadomo jednak czy cała ich własność była wspólna; jedynie wykłady odbywały się w domu Pitagorasa, natomiast wszyscy mieli raczej własne siedziby i nie przebywali stale w tym samym budynku. Na swoich uczniów wybierał osoby zdolne do milczenia, które byłyby w stanie zachowywać w tajemnicy jego nauki. Za nieprzyzwoite wówczas uważano "uliczne filozofowanie", co mogło się jednak w rzeczywistości sprowadzać do plotek na temat wychowania, co wiadomo jednak jedynie na podstawie opracowań.

Najbardziej pewnym źródłem informacji o zwyczajach i nauce Pitagorasa są przede wszystkim "Złote wiersze", których jest co najmniej przypuszczalnym autorem. Od niego pochodzi nadawanie znaczenia liczbom i posługiwanie się nimi jako symbolami. Pitagoras sformułował także „ twierdzenie Pitagorasa ", jakkolwiek ewentualny dowód musiał być oparty na pomiarze, a nie rachunku algebraicznym, którego wówczas jeszcze nie znano. Jest wynalazcą skali muzycznej .

Pitagorejczycy głosili idee nieśmiertelności oraz wędrówki dusz , zaś drugi pogląd zanikł wśród bardziej współczesnych "wyznawców" i pochodził raczej od orfików. Kolonia Pitagorasa była uwikłana w zamieszania polityczne, ale szkoła przetrwała do III w. p.n.e.. Pitagoras zmarł w Metaponcie w domu zapaśnika Milona, ocalony z pogromu Krotony.

Trudno odróżnić poglądy Pitagorasa od poglądów głoszonych przez jego następców ze szkoły pitagorejskiej -często zresztą przypisywanych przez nich mistrzowi. Nauczał podobno ukryty przed słuchaczami w swoim dużym domu z dziedzińcem, co być może ułatwiało skupienie się i jemu i słuchaczom na treści przekazu mówionego.

Pitagorejczycy potrafili czytać i pisać, prowadzili notatki, jak również stosowali formę częstego rachunku sumienia (znanego przecież nawet Egipcjanom). Według "Złotych wierszy" Pitagoras doradzał dobre wychowanie i opiekę nad rodzicami i bliskimi oraz modlitwę. Żywoty Pitagorasa podają szereg przykładów, z których wynika, że pitagorejczycy byli ludźmi dbającymi o równowagę ducha, nie nawykłymi do kłamstwa i kradzieży, słownymi, niosącymi ofiarnie pomoc innym pitagorejczykom. Jako jeńcy byli czasem wypuszczani, gdyż zgodnie z daną obietnicą wracali. Język Pitagorejczyków był podobno "dziecięcy", zaś siłę odzyskiwali grając i śpiewając.

Sam Pitagoras miał być podobno widywany w wielu miejscach równocześnie i choć opisy takie znane są z czasów współczesnych, nie wiadomo czy przyczyna miałaby być podobna, czy jest to jedynie przesłanka za życzeniowością lub niedosłownością opisów Porfiriusza i Jamblicha, które mogły dotyczyć powszechności jakiegoś wizerunku lub nawet jedynie pisma. Wiadomo, że w domu Pitagorasa były rzeźby i być może nawet taki złoty posąg zakopano pod domem, o czym wspomniał jeden z autorów, zaś jego części są wzmiankowane w opracowaniach. Nie wiadomo natomiast nic o tym by w podobny sposób Pitagoras potrafił podglądać innych, choć podobno był przewidujący.

Pitagoras miał w posiadaniu także strzałę wykonaną ze złota, na której wcześniej podróżował po świecie Abaris , co pewnie było motywem bajkowym, podobnie jak sama strzała, a współczesnym może się kojarzyć z miotłą, albo ze źle wykonanym tłumaczeniem. Strzałę tę podarował Pitagorasowi w zamian za naukę.

Porfiriusz i Jamblich będący neoplatończykami, a nie młodopitagorejczykami, być może odległymi w poglądach od chrześcijaństwa i filozofii innych niż Platona, mogli także tworzyć opisy cyniczne lub cytować takie (gdyż posługiwali się jedynie materiałami źródłowymi) jak np. przykład osoby czyniącej nazwę przedmiotu z wyniku pomiaru powierzchni wymierzanego przedmiotu, być może jedynie po to by ośmieszyć lub utrudnić ewentualne naśladownictwo innej niż platońskiej filozofii (litery alfabetu były w owym czasie używane również jako cyfry i liczby i łatwo było wprowadzić taką dwuznaczność), wychwalając również np. wspominaną już słowność i grzeczność jeńców. Podobnie zresztą było z rzekomą niespożywalnością bobu, którą obydwaj autorzy gloryfikują podając argumenty mistyczne, natomiast wiadomo, że był treścią posiłków, choć spożywany bez gotowania może powodować opuchliznę wątroby. Pitagoras unikał jednak gotowanych pokarmów.

Niektóre z cyfr miały podobno znaczenie symboliczne, jednak mogą to być w rzeczywistości poglądy Klemensa Aleksandyjskiego lub innych.

Innym przykładem takich dwuznaczności są rozmowy Pitagorasa, które prowadził nie tylko ze zwierzętami, a te go słuchały, ale potrafił również mówić do wody, a odpowiedzi strumienia słyszeli podobno wszyscy ze wspólnoty, choć Porfiriusz i Jamblich podają zupełnie inne nazwy rzeki. Nie wiadomo, czy to jakaś forma iluzji, pułapka mająca zachęcić do sprawdzenia lub dorównania takim "umiejętnościom", głos ukrytej osoby odpowiadającej na wołanie, czy kłamstwo.

Być może wśród kolonistów Wielkiej Grecji było wielu wcześniejszych niewolników z odpowiednio udręczonym sumieniem (np. Platon zabraniał im śmiechu i pozbawiał wszelkiej radości), którzy nie odważyliby się zrozumieć tego co usłyszeli. Pitagoras przyjaźnił się podobno z niektórymi z nich, bo wiadomo np. o Zamolksisie , którego dostał od ojca w prezencie (imię to podobno oznaczało obcego, choć byłby to raczej synonim słowa barbarian), a wśród przyjaciół - jak zauważył wg chyba złośliwego w tej kwestii Porfiriusza - "wszystko powinno być wspólne". Los niewolników w starożytnej Grecji był nieco lżejszy niż w innych krajach i lepszy niż proponował Platon w swoim Państwie - mogli być traktowani jak rodzina i zawierać małżeństwa; przyjęcie nowo nabytego niewolnika do domu odbywało się przez obrzucanie go ciastem, co było formą zabawy, ale gdzie indziej raczej nie było to praktykowane. Zasady Złotych wierszy doradzały jednak by na przyjaciół wybierać sobie tych "którzy w cnocie są najdoskonalsi".

Dawnym pitagorejczykom ( Filolaos , Archytas , Alkmeon z Krotonu ) zawdzięczamy rozważania nad stosunkami ilościowymi tonów oraz astronomiczny obraz świata. Według tego obrazu wszechświat składa się z ognia centralnego, dokoła którego krążą: Słońce , Księżyc , 5 pierwszych planet: Merkury , Wenus , Ziemia , Mars , Jowisz . Ziemia i Antychton, czyli Przeciwziemia zasłaniana stale przez Słońce (razem 10 planet; liczba 10 była według Pitagorasa liczbą doskonałą). Pitagorejczycy przyjmowali też tak zwaną harmonię sfer, znając okresy obiegu planet wokół Słońca, których ruchowi nie towarzyszą z wiadomych współczesnym fizykom względów żadne dźwięki, natomiast właśnie Porfiriusz przypisał boskości Pitagorasa tych słyszenie (być może byłby to jednak problem dla tłumacza, podobnie jak stosowanie potocznie w języku polskim słowa "widzieć" jako "rozumieć"). W pierwszym wieku n.e. światopogląd pitagorejski odżył jako tzw. neopitagoreizm .

Późniejsze wspólnoty skłaniały się ku ascezie i medycynie, bardzo różniąc się od siebie w różnych koloniach greckich.

Religia jaką wyznawał Pitagoras była politeistyczna, o czym wnioskować można na podstawie Złotych Wierszy.

W odróżnieniu od uczniów szkoły Pitagorasa, czyli pitagorejczyków , współczesnych interpretatorów i naśladowców tej antycznej filozofii nazywa się pitagorystami. Oto kilka przykładów przypuszczalnie bardziej współczesnych sentencji, które można by uznać jako pitagorejskie, ale ich źródłem nie są Złote Wiersze i nie wiadomo kiedy ani przez kogo zostały wymyślone:

Każde twierdzenie filozofa daje się obalić z taką samą łatwością, z jaką można go dowieść, nie wykluczając powyższego twierdzenia,

Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiera,

Liczba jest istotą wszystkich rzeczy (wersja stwierdzenia "wszystko jest liczbą"),

Muzyka budzi w sercu pragnienie dobrych czynów,

Tak długo jak człowiek będzie zabijał zwierzęta, ludzie będą zabijali się nawzajem. W istocie, ten kto zabija i zadaje ból, nie zazna radości i miłości,

Najkrótsze odpowiedzi "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia,

Nic w nadmiarze,

Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie,

Trzeba milczeć albo mówić rzeczy lepsze od milczenia,

Zły język zdradza złe serce,

Wszystko jest piękne dzięki liczbie (wersja stwierdzenia "wszystko jest liczbą"),

Ostrze miecza odwracać,

Nie gasić ognia mieczem.

Maksymy takie można znaleźć także w miejscach użyteczności publicznej, jak np. na kominku ratusza gdańskiego. Według niektórych sentencje takie miałyby być dowodem stosowania przekazu symbolicznego, bo metoda taka stosowana była wówczas w Egipcie i tam Pitagoras pobierał swe nauki. Mogły być to jednak jedynie wnioski z jego wykładów lub stwierdzenia rozwijane w ich trakcie. Słowny przekaz treści w formie wykładu trudno chyba określić jako symboliczny. Ostatnia z maksym, choć interpretowana jako zachęta by nie podsycać cudzego gniewu, ma znaczenie czysto praktyczne, gdyż wiadomo, że metalowy miecz bardzo szybko się nagrzewa. Niektóre z takich sentencji mają sens pouczeń.

Pitagoras zalecał swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: Jaki błąd popełniłem? Co zdziałałem? Jakiego obowiązku zaniedbałem? Odradzał spożywanie mięsa i bobu, a atletom, którzy według Jamblicha odżywiali się serem, polecał spożywanie mięsa. Według tego samego Jamblicha lub Porfiriusza osobą, która polecała spożywanie mięsa przez atletów był atleta o takim samym jak Pitagoras imieniu, ale lektura Złotych wierszy nie potwierdza by było to dla Pitagorasa dopuszczalne.

Matematyka

Pitagorejczycy twierdzili, że realnymi własnościami bytu jest ilość substancji określona przez geometrię czyli zasady matematyki. W ten sposób liczby były składnikami, przyczyną i wzorem rzeczy oraz jedynym bytem realnym. Byt to bowiem rozciągłość i działanie, a liczbom można przypisać przestrzenną wielkość i kształt np. w formie powierzchni lub objętości. Świat tworzy ograniczenie formy - apeironu - uogólnionego do tego, co nieokreślone poprzez liczbę, czyli powierzchnię i objętość, która kształtuje i ogranicza materię, bez czego wszystko byłoby niewymierzonym bezkresem, ale także poprzez ilość identycznych elementów. Tym, co określa byt jest więc harmonia takich liczb i relacji między nimi.

Wszystkie elementy natury określane były jako utworzone z przeciwieństw (np. bezkres i to, co ograniczone oraz dobro i zło), o czym wiadomo od Arystotelesa. Liczba jeden reprezentowała punkt, ale większe liczby punktów tworzyły linie, płaszczyzny i bryły. Liczby określały także zasadę konstrukcji geometrycznej piramidy, czyli tetraktysu oraz określały skalę muzyczną.

Dopełnieniem kosmologicznego modelu Pitagorejczyków jest system Filolaosa . Filolaos odstąpił od koncepcji Ziemi jako centrum Kosmosu, wprowadzając pojęcie ognia centralnego, którym to szczegółem opis jego różnił się od wprowadzonego dopiero przez Kopernika systemu heliocentrycznego . O konieczności istnienia Anty-Ziemi wnioskował podobno na podstawie ilości punktów tetraktysu , gdyż wraz z Ziemią, Słońcem i Księżycem oraz ogniem centralnym w Układzie Słonecznym byłoby tylko dziewięć ciał niebieskich, czyli o jedno mniej niż pełna dziesiątka. Z uwzględnienia ognia centralnego jako ciała niebieskiego wynikałoby, że musiał być dla uczniów Pitagorasa obiektem astronomicznym.

Filolaos wprowadził także własną koncepcję Kosmosu używając pojęciowości znanej już Arystotelesowi :

środkiem świata jest ogień,

wokół centralnego ognia porusza się Ziemia,

symetrycznie względem Ziemi obiegała ogień centralny Przeciw-Ziemia, niewidoczna z powierzchni naszej planety,

dalej roztaczała się sfera planet, Słońca i Księżyca, nazywana Kosmosem,

najdalsza część świata to ognista sfera gwiazd stałych.

Świat miał postać kuli zawierającej pięć elementów: ogień, wodę, ziemię, powietrze oraz eter. Górna część świata - Olimp - zawierać miała doskonały i niewzruszony ład (sfera mądrości). Olimp to sfera czynna (działająca, wieczna, boska). Część niższa - podksiężycowa - to sfera zmiennego porządku rzeczy, powstawania i ginięcia, sfera niedoskonałości (sfera bierna - poruszana, zmienna, śmiertelna). Uzupełniające się, jak przeciwieństwa, sfery stanowiły całość świata. Filolaos twierdził także, że Kosmos miał początek. Stwierdzenie to osobom wychowanym na Teorii Wielkiego Wybuchu może wydawać się mało istotne, ale przed odkryciem dokonanym przez Edwina Hubble 'a nie istniało w świadomości społecznej. Model w ujęciu Filolaosa miał jednak środek, od którego całość narastała, a którego nie można by wskazać w teorii współczesnej.

Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Posługiwał się twierdzeniem nazwanym współcześnie jego imieniem, ale dowód tego matematycznego faktu sformułowany został znacznie później.

Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też:

dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym,

wprowadzenie średniej arytmetycznej ,

konstrukcje wielościanów foremnych i odkryciedwunastościanu foremnego ,

muzyczny strój pitagorejski (to zupełnie co innego niż komat ) - harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych.

↑Więsław, Witold :Matematyka i jej historia, Wydawnictwo NOWIK, Opole 1997, , strony 28-29.

Linki zewnętrzne
Inne hasła zawierające informacje o "Pitagoras": Inne lekcje zawierające informacje o "Pitagoras":

# data[].attributes.attachment_link.description
Pitagoras ( gr. Πυθαγόρας, Pythagoras) (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos , zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) - grecki matematyk , filozof , mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. Przypisuje mu się podróże do Egiptu i Babilonii , gdzie miał zapoznać się z tamtejszą matematyką, jednak powoływanie się na wiedzę Egiptu i Babilonii było w starożytności częstym zabiegiem mającym zwiększyć wiarygodność danego mistrza.

# data[].attributes.attachment_link.title
Biografia Pitagorasa - Ściągi, wypracowania, lektury - Bryk.pl

# data[].attributes.attachment_link.description
Pitagoras, inaczej zwany Pitagorasem z Samos, Pythagorasem, urodził się w okolicach 580 p.n.e., umarł około 496 p.n.e., był greckim matematykiem i ...

# data[].attributes.attachment_link.description
Ile kosztuje? Jak długo? Dlaczego? Skąd się bierze? Zapytaj.onet.pl pomoże znaleźć odpowiedzi na każde Twoje pytanie.

# data[].attributes.attachment_link.title
Pitagoras z Samos | Wrocławski Portal Matematyczny - Matematyka jest ciekawa

# data[].attributes.attachment_link.description
Poza filozofią (w tym głównie etyką i matematyką) interesował się astronomią (twierdził, że Ziemia jest kulista i istnieje w "kosmosie") i medycyną (uważa się go za twórcę medycyny holistycznej, czyli leczenia polegającego na przywróceniu choremu równowagi psychofizycznej na podstawie analizy jego otoczenia, relacji z ludźmi, zachowań, nawyków, a nawet snów).

# data[].attributes.body
(informacje)

# data[].attributes.attachment_link.title
Trójkąt prostokątny + BATMAT Matematyka zadania dla gimnazjum i liceum

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Twierdzenie pitagorasa, to najsłynniejsze i chyba najbardziej pożyteczne twierdzenie w geometrii.
Powszechnie używa się kilku wersji brzmień tego twierdzenia. Wszystkie jednak oznaczają to samo.

1. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

2. W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

3. W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Gimnazjum

Zadanie 1. Mucha spaceruje po powierzchni sześcianu o krawędzi 10 cm. Jaka jest długość najkrótszej drogi, którą może przejść między dwoma przeciwległymi wierzchołkami?

Zadanie 2. Ile jest różnych trójkątów prostokątnych mających boki o długościach całkowitych i obwód równy 2011?

Zadanie 3. W kwadrat o boku długości 1 cm wpisano ośmiokąt foremny. Jaka jest długość boku tego ośmiokąta?

Szkoły ponadgimnazjalne

Zadanie 1. [Sprawdzian uzdolnień matematycznych do klas uniwersyteckich, XIV LO Wrocław, 2009r] Bok prostokąta ma długość 16 cm, a przekątna 34 cm. Przekątna podzieliła prostokąt na dwa trójkąty. W każdy z nich wpisano koło. Oblicz odległość między środkami tych kół.

Zadanie 2. [Sam Lloyd, 1800r] Wyznacz pole trójkątnego jeziora do którego przylegają kwadratowe działki o polach 370 akrów, 116 akrów i 74 akry.
Ciekawostka: Akr to jednostka miary powierzchni używana w krajach anglosaskich. Był to obszar, który mógł zostać zaorany przez pług zaprzęgnięty w woły w ciągu jednego dnia.
1 akr = 4046,8564224 metrów kwadratowych = 0,40468564224 hektara

# data[].attributes.attachment_link.description
Twierdzenie pitagorasa, to najsłynniejsze i chyba najbardziej pożyteczne twierdzenie w geometrii. Powszechnie używa się kilku wersji brzmień tego twierdzenia. Wszystkie jednak oznaczają to samo. 1. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. 2. W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.