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- Potenzfunktionen
- ganzrationale Funktionen
- gebrochen rationale Funktionen
- Exponentialfunktionen
- trigonometrische Funktionen

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Ganzrationale Funktionen bestimmen

"wobei $a$ n, $a$ n-1, ..., $a$ ₁, $a$ ₀ reelle Zahlen sind und $a$ n nicht Null ist und $n$ eine beliebige natürliche Zahl ist."

Funktionen, bei denen $n=1$ ist, heißen lineare Funktionen ( $f(x)$ = $a$ ₁$x$ + $a$ ₀ ).

Funktionen, bei denen $n=2$ ist, heißen quadratische Funktionen ( $f(x)$ = $a$ ₂$x$ ² + $a$ ₁$x$ + $a$ ₀ ).

Die Buchstaben vor den Potenzen werden oft anders benannt, so wie hier bei uns im weiteren Text.

Ganzrationale Funktionen: Lineare Funktionen

Das Bild von linearen Funktionen ist eine Gerade, wie du in der nächsten Grafik sehen kannst. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt gleich ist. Das Anstiegsdreieck, das du in der Abbildung siehst, könntest du auch entlang der Funktion verschieben.

$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$

$\textcolor{red}{m: Steigung}$
$\textcolor{blue}{n: y-Achsenabschnitt}$

$x:$ unabhängige Variable
$f(x) = y:$ abhängige Variable

Ganzrationale Funktionen: Quadratische Funktionen

Bei quadratischen Funktionen wird das $x$ zum Quadrat genommen: $\rightarrow f(x) = ax^2+bx+c$

Es ergibt sich die Form einer Parabel:

Außer beim Scheitelpunkt gibt es zu jedem y-Wert zwei x-Werte.

Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:

Allgemeine Form: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$

Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen.

Exponentialfunktionen

Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten.

Eine Funktion der Form $f(x) = a^{~x}$ nennt man Exponentialfunktion. Dabei ist $a$ eine positive reelle Zahl.

Den Definitionsbereich bilden alle relle Zahlen ($D$ = &Ropf;). Der Wertebereich ist die Menge aller positiven reellen Zahlen ($W$ = ]0 ❘ ∞[ ).

Ist $a$ eine Zahl zwischen Null und Eins, so ist die Funktion streng monoton fallend, ist $a$ größer als Eins, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Die x-Achse ist stets Asymptote. Der Punkt (0 ❘ 1) ist gemeinsamer Punkt all dieser Funktionen.

Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen voneinander.

Eine Funktion der Form $f(x)=log_a⁡x$ nennt man ELogarithmusfunktion. Dabei ist $a$ eine positive reelle Zahl.
Den Definitionsbereich bilden alle positive reellen x-Werte (D=]0|∞[). Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen (W=R).
Ist $a$ eine Zahl zwischen Null und Eins, so ist die Funktion streng monoton fallend, ist a größer als Eins, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Die y-Achse ist stets Asymptote. Der Punkt P(1|0) ist gemeinsamer Punkt aller dieser Funktionen.

Trigonometrische Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens

Sinus, Kosinus und Tangens sind trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) mit denen du Berechnungen in einem Dreieck durchführen kannst. Wir beschränken uns hier wieder auf die Angabe einiger Eigenschaften.

Sinus
Definitionsbereich: D=R oder: alle reellen x
Wertebereich: $W=[-1|1]$ oder: $-1≤y≤1$
Nullstellen:$x_k=kπ$
Maxima bei: $x_k= \frac{π}{2}+2kπ$
Minima bei: $x_k= \frac{3π}{2}+2kπ$
kleinste Periode: $2π$
$k$ ist jeweils eine beliebige ganze Zahl
Video: Fabian Serwitzki Text: Chantal Rölle

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Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften

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Kennst du dich schon mit den ✅verschiedenen Funktionen in der Mathematik aus? ▶Lerne sie und ihre Eigenschaften hier kennen!✅

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- Ableitung f'
- höhere Ableitungen f'', f''', ...
- Ableitungsregeln (Potenz-, Summen-, Faktor-, Produkt- und lineare Kettenregel

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Diese Seite benötigt JavaScript zur Darstellung mathematischer Formeln.

Hier geht es um die einfachsten Ableitungsregeln, die man später oft gar nicht mehr als eigenständige Regeln wahrnimmt, sondern fast schon automatisch anwendet. Beweise finden Sie hier nicht, sondern Beispiele zur Anwendung sowie die häufigsten Fehlerquellen und Missverständnisse.

Potenzregel

$f(x)=x^n\; \Rightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

In Worten: eine Potenzfunktion wird abgeleitet (differenziert), indem man den Exponenten um eins verringert und die Potenz mit der alten Hochzahl multipliziert.

Die Regel selbst ist sehr einfach. Schwierigkeiten entstehen eher dann, wenn der Funktionsterm erst umgeformt werden muss, bevor man die Regel anwenden kann.

Beispiele

1. $f(x)=x^4$
Hier gibt es keinen Zweifel: $f'(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3$
Die Regel gilt füralle Exponenten, also auch für negative, gebrochene und sogar irrationale Exponenten. Einschränkungen bedeutet das allenfalls für den Definitionsbereich der Funktion, den wir an dieser Stelle aber nicht untersuchen werden.

2. $f(x)=x^{2n}$
Dieser Aufgabentyp wird Ihnen nur anfangs begegnen; es handelt sich um eine rein technische Übung.
$f'(x)=2n\cdot x^{2n-1}$
Verkürzen des Exponenten istnicht möglich! Ähnliche Aufgabe:
$f(x)=x^{2n-3}\Rightarrow f'(x)=(2n-3)x^{2n-4}$

3. $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$
Damit wir die Potenzregel anwenden können, formen wir den Funktionsterm mithilfe von $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$ um und leiten dann ab:
$\begin{align*}f(x)&\,=x^{-2}\\ f'(x)&\,=-2\cdot x^{-2-1}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}\end{align*}$

4. $f(x)=\sqrt[3]{x^7}$
In diesem Fall formen wir mithilfe von $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac nm}$ um:
$\begin{align*}f(x)&\,=x^{\frac 73}\\ f'(x)&\,=\tfrac 73\cdot x^{\frac 73-1}=\tfrac 73x^{\frac 43}=\tfrac 73\sqrt[3]{x^4}\end{align*}$

5. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}$
Nun werden beide Umformungsregeln kombiniert, wobei an $\sqrt x=\sqrt[2]{x^1}$ zu denken ist:
$\begin{align*}f(x)&=\dfrac{1}{x^{\frac 12}}=x^{-\frac 12}\\ f'(x)&=-\tfrac 12x^{-\frac 12-1}=-\tfrac 12x^{-\frac 32}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}}\end{align*}$

Faktorregel

Ist $a$ eine reelle Zahl, also unabhängig von der Variablen, so gilt:
$f(x)=a\cdot g(x)\; \Rightarrow\; f'(x)=a\cdot g'(x)$

In Worten: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Zur Bezeichnung: Gelegentlich findet sich auch die Bezeichnung „Konstantenregel" für die obige Regel. In den drei wichtigsten Schulbüchern wird die Regel jedoch Faktorregel genannt und der Begriff Konstantenregel, wenn überhaupt, für eine andere Regel verwendet (s. weiter unten).

Beispiele

1. $f(x)=8\cdot x^4$
Die Ableitungsfunktion von $x^4$ ist $4x^3$. Also gilt:
$f'(x)=8\cdot 4x^3=32x^3$
Für Potenzfunktionen ergibt sich, dass der Faktor mit der alten Hochzahl multipliziert werden muss. Im Normalfall notiert man kein Zwischenergebnis, sondern sofort das Endergebnis.

2. $f(x)=5x$
Wegen $5x=5x^1$ gilt entsprechend:
$f'(x)=5\cdot 1x^{1-1}=5x^0=5\cdot 1=5$
Die gern verwendete Merkregel „$x$ fällt beim Ableiten weg" birgt eine Falle, auf die ich weiter unten bei den typischen Fehlerquellen noch eingehen werde.

3. $f(x)=\dfrac{5}{8x^2}$
Die Potenz - undnur die Potenz, nicht der zugehörige Faktor - wird mit negativem Exponenten geschrieben: $f(x)=\frac 58\cdot \dfrac{1}{x^2}=\frac 58x^{-2}$
Die Ableitungsfunktion lautet damit:
$f'(x)=\frac 58\cdot (-2)\cdot x^{-2-1}=-\frac 54x^{-3}=-\dfrac{5}{4x^3}$

Summenregel

$f(x)=g(x)+h(x)$ $\Rightarrow$ $f'(x)=g'(x)+h'(x)$

In Worten: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert.

Beispiele

1. $f(x)=x^4+x^{-2}$
Die Ableitungsfunktion von $x^4$ ist $4x^3$, diejenige von $x^{-2}$ ist $-2x^{-3}$. Also gilt:
$f'(x)=4x^3-2x^{-3}$

2. $f(x)=x^2+\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^3}$
Natürlich gilt die Regel auch für mehr als zwei Summanden, und mit den üblichen Umformungen bekommt man:
$\begin{align*}f(x)&\,=x^2+x^{\frac 12}+x^{-3}\\f'(x)&\,=2x+\tfrac 12x^{-\frac 12}-3x^{-4}\end{align*}$
Einige Lehrer möchten das Ergebnis mit Brüchen und Wurzeln sehen:
$f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^4}$

Konstantenregel

$f(x)=c =$ konstant $\Rightarrow \; f'(x)=0$

Beispiel: $f(x)=2\;\Rightarrow\; f'(x)=0$

Häufige Fehler

Die Ableitung von $f(x)=x$
Solange die Funktion nur $f(x)=x$ heißt, denkt noch jeder daran, dass die Ableitung $f'(x)=1$ ist. Sobald der Term in einer Summe steht, wird es oft vergessen. Beispiel:
$f(x)=x^3+x^2+x$
Mit der beliebten Merkregel „$x$ fällt beim Ableiten weg" verschwindet das $x$ bei einigen Schülern fälschlicherweise. Natürlich heißt die Ableitung wegen $x=1\cdot x$ in diesem Fall
$f'(x)=3x^2+2x\color{#f00}{+1}$
Genauso gilt
$f(x)=x^5+x^3-x$ $\Rightarrow\, f'(x)=5x^4+3x^2\color{#f00}{-1}$

Fehlerhaftes Umformen von Brüchen mit Faktoren am Beispiel $f(x)=\dfrac{1}{3x}$
Wie in einem früheren Beispiel formt man zu $f(x)=\frac 13\cdot \dfrac{1}{x}=\frac 13x^{-1}$ um. Einige Schüler wollen auch den Faktor mit nach oben nehmen, denken aber nicht daran, dass in diesem Fall Klammern zu setzen sind:
$f(x)=\dfrac{1}{3x}=(3x)^{-1}=3^{-1}\cdot x^{-1}$
Das ist natürlich viel zu umständlich, und man sollte wie oben beschrieben ausschließlich die Potenz in den Zähler ziehen.

Verwechslung von Faktor- und Konstantenregel
Eine weitere beliebte, aber ebenfalls zu Fehlern führende Merkregel ist „eine Zahl fällt beim Ableiten weg". Man muss jedoch unterscheiden, ob diese Zahl mit Punktrechnung (dann Faktorregel) oder Strichrechnung (dann Konstantenregel) gebunden ist. Am besten merkt man sich etwas genauer:
Ein konstanterFaktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Ein konstanterSummand fällt beim Ableiten weg.

Übungsaufgaben
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt

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Diese Seite benötigt JavaScript zur Darstellung mathematischer Formeln. Hier geht es um die einfachsten Ableitungsregeln, die man später oft gar nicht mehr als eigenständige Regeln wahrnimmt, sondern fast schon automatisch anwendet. Beweise finden Sie hier nicht, sondern Beispiele zur Anwendung sowie die häufigsten Fehlerquellen und Missverständnisse.

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- Monotonie: Bergauf bzw. bergab laufen
- Krümmung: Motorradfahrer in der Kurve

Berechnung nach Schema:
1. Ableitung f' = 0 bzw. f'' = 0
2. Stellen auf Zahlenstrahl
3. Testwerte links und rechts
4. Intervalle aufschreiben

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Mathe einfach erklärt - Flip the Classroom

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Monotonieverhalten und Extrempunkte - Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten  | Differenzialrechnung

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Extrempunkte sind höchste/tiefste Punkte in einem Bereich. Es gibt lokale Extrema (höchste/tiefste Stellen in einem Intervall) und globale Extrema (höchste/tiefste Stelle überhaupt). Jedes globale Extremum ist auch ein lokales.
Wendestellen sind die Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten verändert (z.B. von Links- in Rechtskurve). An den Wendestellen ist die Steigung maximal/minimal in einem Bereich.

Berechnung nach Schema:
1. Ableitung f' = 0 bzw. f'' = 0 (notwendiges Kriterium)
2. VZW-Kriterium oder f''-Kriterium (hinreichende Krieterien)
3. Stellen in f einsetzen

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7. Fließschema Wiederholung der Vorgehensweise bei der Bestimmung von Extremstellen

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Aus einem gegebenen Graphen den Graphen der Ableitungsfunktion konstruieren.

Vorgehen:
1. Extremstellen von f werden zu Nullstellen (mit VZW) von f'
2. Wendestellen von f werden zu Extremstellen von f'
3. Monotonie von f beachten: f str. mon. fallend --> Graph von f' unterhalb der x-Achse (f↗↗ analog)

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Grafisches Ableiten (aka Grafisches Differenzieren) - Grundlegende Beispiele | How to Mathe

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Graphen mithilfe ihrer Null-, Extrem- und Wendestellen sowie Symmetrieeigenschaften skizzieren.

Vorgehen:
1. Nullstellen inkl. Vielfachheit bestimmen
2. Verhalten der Funktion für x-->±∞ untersuchen
3. Symmetrieeigenschaften überprüfen
4. Extrem- und Wendepunkte bestimmen
5. Graphen skizzieren

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Die euler'sche Zahl e (≈2,718) ist über ihre zugehörige Exponentialfunktion definiert. Bei ihr stimmen Funktion und Ableitungsfunktion überein.

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Lösen von Exponentialgleichungen - Der ln

# data[].attributes.subject
Lösen von Exponentialgleichungen - Der ln

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Die Zahl ln(b) ist die Lösung der Gleichung ex=b.

Rechnen mit e und ln:
Stehen e und ln in einem Term direkt nebeneinander, so "fallen beide weg".
Bsp.: eln(2) = 2 oder ln(e⁵) = 5

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

und Zahl

Erklärung:

1. Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann „kürzen" sich e und ln auf der linken Seite, da und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).

2. Wenn du dann durch die Zahl vor dem x teilst, hast du deine Lösung.

ausklammern

nicht definiert!

Erklärung:

1. Du klammerst aus und wendest dann den Satz vom Nullprodukt an, d.h. du teilst es auf und setzt beide Teile getrennt Null.

2. ergibt keine Lösung, da der nicht definiert ist.

3. Bei dem anderen Teil bringst du die Zahl, die ohne steht, mit plus oder minus auf die andere Seite und teilst dann durch die Zahl vor dem .

4. Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann „kürzen" sich e und ln auf der linken Seite, da und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).

Substitution

Substitution:

Resubstitution:

nicht definiert

Erklärung:

1. Du musst das durch ersetzen (substituieren) und das durch .

2. Anwenden der Mitternachtsformel

3. Resubstitution: Hierfür setzt du die beiden Ergebnisse jeweils mit gleich und logarithmierst.

Kennst du Exponentialgleichungen, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.
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Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind. Erklärung: Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann „kürzen" sich e und ln auf der linken Seite, da und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).

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Form: f(x) = x n  · e x
Im Bereich nahe des Ursprungs dominiert die Potenzfunktion x n den Verlauf des Graphen.
Für  x-->±∞ bestimmt die e-Funktion den Verlauf, die Potenzfunktion gibt das Vorzeichen vor.

Vorgehen:
Untersuchung getrennt:
Für  x-->+∞ gilt: xn --> ...
Für  x-->+∞ gilt: ex --> ...
Anschließend multiplizieren, dabei beachten: 0 · ∞ = 0

Strebt der Graph in eine Richtung gegen eine Zahl c (z.B. 0), so besitzt die Funktion eine waagrechte Asymptote bei c.

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Exponentielles Wachstum lässt sich mithilfe der Funktionsgleichung
f(x) = f(0) · e kt modellieren.

Klassische Aufgabentypen sind:
- Halbwerts- und Verdopplungszeit (auch: Generationszeit) bestimmen
- Konstante k berechnen

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Stammfunktionen (don't call it Aufleitung)

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Stammfunktionen (don't call it Aufleitung)

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Regeln zum Bilden von Stammfunktionen:
1. Potenzregel
2. Faktorregel
3. Summenregel
4. Lineare Substitution

Aus diesen vier Regeln folgen die Rechenregeln für Integrale (Linearität des Integrals - S. 87)

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Stammfunktion bilden Basics | INTEGRALRECHNUNG | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.headline
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

# data[].attributes.subject
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

# data[].attributes.body
Berechnung von Integralen (Flächen unter einer Kurve) über die obere und untere Grenze, die in die Stammfunktion eingesetzt werden:
F(b)-F(a)

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Integral - Fläche zwischen Parabel & x-Achse - Hauptsatz - einfaches Beispiel

# data[].attributes.body
Berechnung nach Schema:
1. Schnittstellen berechnen (gleichsetzen)
2. Differenzfunktion bilden
3. Innerhalb der Grenzen der Schnittstellen (mit Betragsstrichen vorne und hinten) integrieren

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Fläche zwischen Graphen, Kurven, Funktionen, Integralrechnung | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.body
Aus gegebenem Graphen der Ableitung f den Graphen der Stammfunktion F rekonstruieren.

Vorgehen:
1. Nullstellen der Ableitung --> Extremstellen der Stammfunktion
2. Verläuft der Graph von f unterhalb der x-Achse, ist F monoton fallend (oberhalb --> steigend)
3. Extremstellen von f sind Wendestellen von F

# data[].attributes.attachment_link.title
Graphisches "Aufleiten", mehrere Möglichkeiten durch Verschiebung, Skizzieren | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.headline
Thema Wirkung von Parametern auf Graphen

# data[].attributes.subject
Thema Wirkung von Parametern auf Graphen

# data[].attributes.body
Lösen von Gleichungen -
4 Verfahren:
1. Mitternachtsformel
2. Satz vom Nullprodukt
3. Ausklammern + Satz vom Nullpr.
4. Substitution

# data[].attributes.attachment_link.title
Gleichung lösen mit e^x und Substitution, vorher e^x aus dem Nenner | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.body
Verläufe der Graphen trigonometrischer Funktionen kennen:
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)

# data[].attributes.headline
Verschieben und Strecken von Graphen von Potenzfunktionen

# data[].attributes.subject
Verschieben und Strecken von Graphen von Potenzfunktionen

# data[].attributes.body
g(x) = a · f(x-c) + d
(z.B. g(x) = 5 · (x-3)² + 2)
- Streckung um den Faktor a
(im Bsp. 5)
- Verschiebung in x-Richtung um c
(im Bsp. + 3)
- Verschiebung in y-Richtung um d
(im Bsp. 2)

Anmerkung: Spiegelung an der x-Achse, wenn a<0.

# data[].attributes.attachment_link.title
Verschieben von Graphen - Beispiele mit ganzrationalen Funktionen

# data[].attributes.headline
Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

# data[].attributes.subject
Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

# data[].attributes.body
Verschiebungen analog wie bei den Potenzfunktionen
Zusatz: Streckungen in y- und x-Richtung möglich

f(x) = a · sin(b(x-c)) + d

- Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a ( |a| = Amplitude)
- Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1/b  ( 2π/b = p = Periode)

Übersicht mit GeoGebra-Animationen

ACHTUNG: Um die Verschiebung in x-Richtung zu bestimmen, muss innerhalb des Sinus ausgeklammert werden.

# data[].attributes.headline
Wirkung von Parametern bei Exponentialfunktionen

# data[].attributes.subject
Wirkung von Parametern bei Exponentialfunktionen

# data[].attributes.body
Wirkungen von Parametern auf die Exponentialfunktion:

f(x) =  a · ebx-c + d

- Streckung um den Faktor a in y-Richtung
- Streckung um den Faktor b in x-Richtung
- Verschiebung um c in x-Richtung
- Verschiebung um d in y-Richtung

Siehe GeoGebra-Datei

Für Funktionen der Form

f(x) = (x-c)a  · ebx siehe GeoGebra-Datei im Kopfbereich.

# data[].attributes.attachment_link.description
Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!

# data[].attributes.attachment_link.title
Fläche zwischen Graphen, Kurven, Funktionen, Integralrechnung | Mathe by Daniel Jung