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EDO 1ª ordem- Lei de Resfriamento de Newton

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Modelagem com Equações Diferenciais: Problema de Cinemática

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Modelagem com Equações Diferenciais: Problema de Cinemática

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Este vídeo trata de uma modelagem, com uma resolução de um problema de cinemática utilizando a formulação elementar de equações diferenciais ordinárias.

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Modelagem com Equações Diferenciais: Problema de Cinemática

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Modelos matemáticos de equações diferenciais ordinárias aplicados à epidemiologia

A história nos apresenta inúmeras passagens que evidenciam o impacto desastroso de epidemias na humanidade. Assim, fez-se necessário criar meios que diminuíssem a incidência dessas doenças com alto grau de mortalidade, as quais geram as grandes epidemias. Muito se tem caminhado e progredido nesse sentido, embora ainda encontremos situações incontroladas1. Assim, este trabalho visa colaborar na compreensão do quadro epidemiológico através do estudo de um modelo matemático de equações diferenciais ordinárias, chamado Modelo SIR, proposto por Kermack e McKendrick, em 1927, que descreve a propagação de doenças infecciosas de transmissão direta via contato pessoa-a-pessoa.
Palavras-chave: epidemiologia, modelos matemáticos, equações diferenciais ordinárias.
Introdução
No século XIV as rotas marítimas entre a Europa e o Oriente Médio eram constantemente assoladas por epidemias de maior ou menor porte. Os barcos, além de suas preciosas cargas, transportavam um estoque razoável de hospedeiros transmissores de doenças, os quais foram responsáveis pela propagação de enormes epidemias2.
Contudo, os médicos da época foram incapazes de impedir a disseminação das doenças, atribuindo-lhes um caráter religioso, como forma de punição divina.
Com o passar dos tempos, percebeu-se que doenças com alto grau de mortalidade e morbilidade eram mais eficazmente combatidas através de medidas
profiláticas e, com isso, deu-se então o início dos estudos epidemiológicos.
Apenas compreender o mecanismo de funcionamento das doenças não bastava. Fez-se necessário também considerar o problema da doença do ponto de vista quantitativo, a fim de decidir sobre vacinações ou outras medidas imprescindíveis para sua contenção. E esta é a grande justificativa para as tentativas de utilizar modelos matemáticos em epidemiologia.
Em vista da grande importância do problema para a espécie humana, qualquer esforço no sentido de entender e dominar os processos epidêmicos é justificável. Então, apoiar-se em modelos matemáticos passou a ser interessante, pois estes podem desempenhar
https://revista.pgsskroton.com/index.php/rcext/article/download/2382/2286/0

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Equações diferenciais ordinárias : aplicações e uma proposta de intervenção no ensino básico

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Equações diferenciais ordinárias : aplicações e uma proposta de intervenção no ensino básico

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Segue uma dissertação interessante sobre como começar a pensar o ensino de EDO já na equação básica

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Use este identificador para citar ou linkar para este item: http://ri.ufs.br/jspui/handle/riufs/11593

Os itens no repositório estão protegidos por copyright, com todos os direitos reservados, salvo quando é indicado o contrário.

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Repositório Institucional da Universidade Federal de Sergipe - RI/UFS: Equações diferenciais ordinárias : aplicações e uma proposta de intervenção no ensino básico

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Use este identificador para citar ou linkar para este item: http://ri.ufs.br/jspui/handle/riufs/11593 Os itens no repositório estão protegidos por copyright, com todos os direitos reservados, salvo quando é indicado o contrário.

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A dissertação trata da aplicação de como as Equações Diferenciais Ordinárias podem ser aplicadas, indica metodologias para resolução de problemas tais como a utilização de softwares, demonstra algumas aplicações e resultados do processo de ensino. Explícita questões de problemas, tal como: o crescimento da população de ratos no campo, que habitam em uma certa área rural. Supondo que o crescimento da população de ratos, aumenta a uma taxa proporcional à população atual. Porém, existem na região corujas que são seu predador natural e elas matam B ratos do campo por dia.
Na dissertação o autor propõe que sejam formulados e modelados o fenômeno, através de uma lei ou função matemática, sendo o fator de proporcionalidade (taxa de crescimento), utilizando na função que 0,5 por mês e que as corujas matem 15 ratos por dia.
Desta forma explicitando a lei ou expressão matemática, utilizando os comandos do software Maple.

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A Utilização de Equações Diferenciais Ordinárias na
Determinação do Teor de Sólidos e Teor de Umidade de uma Composteira.

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A Utilização de Equações Diferenciais Ordinárias na
Determinação do Teor de Sólidos e Teor de Umidade de uma Composteira.

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Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas. ( Engenharia Civil ) Trata-se de um problema prático - cálculo de deformação de vigas - discutido formalmente na disciplina de Resistência dos Materiais.  Na Engenharia Civil discute-se a flexão de vigas sob a ação de cargas e para determinar a curva elástica pode-se usar uma equação diferencial que modela o problema em geral.

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Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas. ( Engenharia Civil ) Trata-se de um problema prático - cálculo de deformação de vigas - discutido formalmente na disciplina de Resistência dos Materiais.  Na Engenharia Civil discute-se a flexão de vigas sob a ação de cargas e para determinar a curva elástica pode-se usar uma equação diferencial que modela o problema em geral.

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EDO 2º Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas

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PREVISÕES A PARTIR DO MODELO EPIDEMIOLÓGICO SIR PARA OS CASOS DEINFECÇÃO PELO COVID-19

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PREVISÕES A PARTIR DO MODELO EPIDEMIOLÓGICO SIR PARA OS CASOS DEINFECÇÃO PELO COVID-19

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O objetivo desta nota técnica é realizar um exercício aplicando o modelo epidemiológico SIR aos casos confirmados de infecção pelo COVID-19 para os estados de SP, MG, RJ, DF e CE.

O modelo desenvolvido por Kermack e McKendrick em 1927 parte do pressuposto de que a população (𝑁) pode ser dividida em três grupos de pessoas: Suscetíveis (𝑆), Infectados (𝐼) e Recuperados (𝑅). A partir daí, o modelo SIR busca resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias abaixo:
(FIGURA 1)
onde 𝛽 e 𝛾 são os coeficientes de contágio e de recuperação, respectivamente. A primeira equação assume que a variação no número de suscetíveis é uma relação inversa entre a taxa de infectados (𝐼/𝑁) e o número absoluto de suscetíveis. A segunda equação diz que a variação no número de infectados depende diretamente da taxa de infectados e o número absoluto de suscetíveis e inversamente do número absoluto de infectados. A terceira equação mostra que o número de recuperados é uma relação direta do número de infectados. Para ajustar os coeficientes 𝛽 e 𝛾 aos dados minimizamos a soma dos quadrados (𝑆𝑄) da diferença entre o número absoluto de infectados e o número de infectados ajustado a partir do sistema de equações diferenciais descrito acima:
(FIGURA 2 )
onde 𝛽 e 𝛾 são obtidos por meio de um processo de otimização iterativo a partir do método L-BFGS-B desenvolvido por Byrd et. al. (1995), que permite restrições sobre o domínio paramétrico para minimiza a soma dos quadrados apresentada acima.

Para isso, foram utilizados os dados de casos confirmados por estados do Ministério da Saúde. A variável 𝑁 representa o tamanho da população de cada estado. Nesse caso, foram utilizadas as estimativas populacionais de cada estado calculadas pelo IBGE para o ano de 2019.

Rio de Janeiro No RJ a previsão sugere que o pico será um pouco antes, no final de abril. O estado do Rio possui cerca de 17 milhões de habitantes, dos quais aproximadamente 922 mil pessoas poderão ser infectadas no pico do surto.
(FIGURA 3)

Fonte: http://www.enf.ufmg.br/images/28.03-Previsoes-de-infecccao-pelo-COVID-19.pdf.pdf

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Qual o tamanho da população mundial daqui a 100 anos?
É um problema real que reage dinamicamente com variáveis. Um
exemplo de influência nessa contabilização é a pandemia gerada pelo novo coronavirus.
As EDOs podem partir desse problema real,
como esse, modelando para um problema aproximado, de cálculo mais fácil. E, a
partir dessa solução verificasse se chegou-se a uma solução mais aproximada ao
problema real. O artigo abaixo trata desse assunto levando-se em conta essa variável e um estudo anterior eu não previa tal acontecimento.

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Aplicação de EDO na Modelagem da Temperatura de um Produto

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Aplicação de EDO na Modelagem da Temperatura de um Produto

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O vídeo traz a Modelagem via Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) da variação da Temperatura de um produto no processo de Embalagem-Engenharia de Produção (Lei de Resfriamento de Newton)

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Matemática e Ciências Prof. Alexandre B. Lopo

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Modelagem (via EDO) da Temperatura de um produto no processo de Embalagem-Engenharia de Produção

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Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas. ( Engenharia Civil )

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Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas. ( Engenharia Civil )

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Trata-se de um problema prático - cálculo de deformação de vigas - discutido formalmente na disciplina de Resistência dos Materiais.  Na Engenharia Civil discute-se a flexão de vigas sob a ação de cargas e para determinar a curva elástica pode-se usar uma equação diferencial que modela o problema em geral.

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EDO 2º Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas

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Aplicação de EDO de primeira ordem em Circuitos Elétricos.

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Aplicação de EDO de primeira ordem em Circuitos Elétricos.

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Nesta matéria podemos perceber a aplicação das EDO's para solucionar as leis de Kirchhoff. Além de claramente observarmos a interdisciplinariedade entre a Matemática e a Física.

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As equações diferenciais modelam inúmeros problemas em diferentes áreas. No ramo da física elétrica, encontram-se aplicações dessas equações para alguns tipos de circuitos elétricos, envolvendo os seus componentes: Resistência, Indutores e Capacitores.

Resistência (representada por R), como o próprio nome sugere, é a dificuldade à passagem de corrente elétrica. Isso acontece devido a colisões de muitos elétrons na passagem de corrente pelo condutor, resistindo ao deslocamento.

Capacitores e Indutores são componentes dependentes de corrente e de tensão presentes em um circuito, assim como os resistores, porém ao invés de limitar a energia, estes elementos são capazes de absorver e fornecer a mesma. Isto ocorre porque a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser associados como os resistores.

Os Capacitores são os componentes que armazenam energia na forma de campo elétrico e é constituído por dois condutores separados por um material isolante. Para esse tipo de elemento, mede-se a capacitância (que tem como unidade de medida o Farad - F) que relaciona a tensão entre os seus terminais com a carga armazenada.

Os Indutores armazenam energia na forma de campo magnético, quando por ele, é atravessada corrente. É um componente elétrico constituído por espiras de um fio condutor enroladas em torno de um núcleo magnético. O parâmetro utilizado para este tipo de elemento é a indutância (representado por Henry - H).

Um físico alemão, chamado Kirchhoff desenvolveu leis que nos permitem entender muitas situações em circuitos elétricos, desde como funcionam determinados componentes, até como resolver alguns problemas de falhas em um equipamento.

As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores que incluam fontes dependentes ou não. A segunda lei, chamada de lei das malhas define que em um circuito associado em série, a soma das quedas de tensões nos elementos dependentes (resistor e capacitor ou resistor e indutor) é igual a tensão da fonte, isto é, a tensão da fonte se divide entre todos os consumidores, como expressão a equação (1).

Nos circuitos associados em paralelo a tensão é a mesma da fonte para todos os consumidores.

Em um circuito misto, para calcularmos a tensão total do mesmo é necessário que somemos as tensões dos consumidores que estão em série e para se saber a tensão de consumidores que estão em paralelo. Dessa maneira, é só ver com qual consumidor está associado em paralelo e por dedução, sabemos que a tensão será a mesma.

Portanto, os estudos desenvolvidos por Kirchhoff voltados para a eletricidade, tem grande importância no estudo dos circuitos elétricos, pois auxiliam na resolução dos circuitos complexos, complementando a Lei de Pouillet que serve para resolver circuitos simples.

Desse modo, analisaremos dois tipos de circuitos em série: um circuito com um resistor e um capacitor e outro circuito formado por um resistor e um indutor. Estes circuitos são denominados, respetivamente, circuitos RC e RL.

Essa análise, aplicando as leis de Kirchhoff, produz equações diferenciais. As equações diferenciais resultantes dessa análise são de primeira ordem, consequentemente, os circuitos RC e RL são conhecidos como circuitos de primeira ordem.

No circuito RC (resistor-capacitor), a tensão(ddp) surgirá, quando também surgir, entre as placas positivas e negativas de tal capacitor, um campo elétrico. A intensidade de corrente nesse caso, será igual a variação das cargas (positivas e negativas) em relação ao tempo.

Para deduzir a equação das fórmulas correspondentes a carga do capacitor, deve-se considerar um circuito com o capacitor totalmente descarregado, ligado em série a um resistor e a uma fonte de tensão contínua.

Fonte: https://lusoacademia.org/2016/02/23/aplicacao-das-equacoes-diferenciais-em-circuitos-eletricos/

Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:

E que a tensão no capacitor é dada por:

Lembrando que a fórmula para um capacitor linear é a seguinte: q = C.V

q → Carga; C → Capacitância; Vc → Tensão para o capacitor;

Pelas leis de Kirchhoff, que diz que a soma da queda de tensão no resistor e no capacitor é igual a voltagem, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:

Vr → Queda de tensão no resistor; Vc → Queda de tensão no capacitor; E → Voltagem da fonte;

Dividindo todos os termos por R, obtém-se:

dq/dt + q/R.C = E/R → Equação Diferencial Linear para a carga.

No circuito RL (resistor-indutor), quando é aplicada uma corrente no indutor, este criará um campo magnético que fará com que a corrente varie em todos os pontos em relação ao tempo e tal variação será igual a queda de tensão neste indutor.

Para deduzir a equação das fórmulas correspondentes a energização do indutor, deve-se considerar um circuito com um indutor totalmente desenergizado, ligado em série a um resistor e a uma fonte de tensão contínua.

Fonte: https://lusoacademia.org/2016/02/23/aplicacao-das-equacoes-diferenciais-em-circuitos-eletricos/

Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:

E que a tensão no indutor é dada por:

Lembrando que a fórmula para a tensão de um indutor linear é a seguinte: = L.I

tensão para indutor linear; L → Indutância; I → Corrente.

Segundo a lei de Kirchhoff, que diz que a soma da queda de tensão no resistor e no indutor é igual a voltagem, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:

Vr → Queda de tensão para o resistor; → Queda tensão para indutor linear; E → Voltagem da fonte;

Dividindo todos os termos por L, obtém-se:

(R.I)/L + di/dt = E/L → Equação Diferencial Linear para a corrente.

De forma breve, pode-se dizer, que obtendo o domínio da teoria que envolve as equações diferencias, os fenômenos físicos e mecânicos podem ser entendidos e executados de forma mais visível e exata. Compreende-se que até mesmo as EDOs mais simples são capazes de modelas matematicamente situações reais.

O conhecimento das equações diferenciais ordinárias para solucionar as leis de Kirchhoff e chegar a uma fórmula especifica para as situações em que se trata de circuitos elétricos é de extrema importância, pois a sua aplicação nessa área é imprescindível. Dessa forma, conclui-se que as EDOs modelam esse fenômeno físico, assim como outros vários fenômenos do nosso cotidiano, principalmente no campo da engenharia e também no das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo de tais equações.

Comentários (Dúvidas e perguntas)

Comentários (Dúvidas e perguntas)

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Aplicação de EDO de 1 ordem em Circuitos Elétricos. - Meu Professor de Física

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As equações diferenciais modelam inúmeros problemas em diferentes áreas. No ramo da física elétrica, encontram-se aplicações dessas equações para alguns tipos de circuitos elétricos, envolvendo os seus componentes: Resistência, Indutores e Capacitores. Resistência (representada por R), como o próprio nome sugere, é a dificuldade à passagem de corrente elétrica.

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Exemplo de Equações Diferenciais Lineares aplicado a um sistema físico (no caso, um circuito elétrico)

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Aplicação de Equações Diferenciais Lineares (Circuitos Elétricos)

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A utilização de modelo matemáticos em problemas reais

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A utilização de modelo matemáticos em problemas reais

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A entrevista com a professora Helenice de Oliveira, nos trás a utilização  de modelos matemáticos na procura de soluções para problemas do cotidiano, sobretudo em questões de saúde pública.

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Entrevistamos a professora Helenice de Oliveira, da UNESP, a respeito do uso de modelos matemáticos na procura de soluções para problemas do cotidiano, sobretudo em questões de saúde pública.
Como a matemática pode resolver problemas reais?
Existem problemas importantes dentro de áreas como medicina, biologia e agricultura que, no passado, podiam ser resolvidos com intervenções simples, mas que hoje viraram problemas complexos. É o caso, por exemplo, do controle de doenças que podem se transformar numa endemia ou da criação de fontes alternativas de energia renovável. e existe uma área inteira da matemática, chamada otimização, dedicada a solucionar esses problemas complexos. Otimizar ajuda cientistas a transformar um problema real num modelo matemático. e a resolução desse modelo pode ajudar a resolver o problema real.
Como esses modelos são resolvidos?

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Existem alguns passos que devem ser seguidos para resolver todos os problemas de otimização. O processo começa com o estudo aprofundado do problema real e de toda a teoria que o envolve. Depois, essa teoria é transformada, de forma simplificada, em equações, para criar um modelo matemático desse problema. O próximo passo é resolver esse modelo e aplicar a solução ao problema real.
Quando você começou a utilizar os modelos?
O primeiro trabalho aplicado que realizei foi na área da agricultura. Nosso problema era definir qual variedade de cana de açúcar deveria ser plantada (entre cerca de 20 tipos) e qual terreno de uma usina na região de Botucatu deveria ser utilizado para a plantação (eram cerca de 400 opções). O objetivo era maximizar a produção e minimizar custos com transporte. resolvemos o problema, a solução foi bem aceita e abriu caminho para outros trabalhos nessa linha.
É possível monitorar a dengue usando a matemática?

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Todo o ciclo de vida do mosquito pode ser modelado de forma matemática. esse ciclo começa quando os machos se acasalam com as fêmeas virgens e termina quando essas fêmeas espalham seus ovos. ele pode ser transformado num modelo matemático utilizando equações diferenciais ordinárias. e a solução dessas equações pode mostrar o comportamento de cada segmento da população de mosquitos, ou seja, quais grupos de mosquitos (que podem ser machos, fêmeas virgens ou fêmeas com ovos) estão ficando maiores.
E como controlar a endemia?
Quando a população de mosquitos começa a crescer muito, é necessário aplicar algum tipo de controle, como a utilização de inseticida, a remoção de criadouros ou uma solução biológica (quando machos criados em laboratório e esterilizados com radiação são soltos na natureza para concorrer com outros machos, sem gerar filhotes). Como todos esses tipos de controle apresentam alguma desvantagem, o modelo matemático ajuda a determinar qual a melhor época para iniciar o controle do mosquito e como cada tipo de controle deve ser usado.
Como avalia o medo que sentimos da matemática?

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Acredito que é preciso desmistificar a matéria. Ela sempre foi vista como um bicho de sete cabeças, sem aplicações práticas. Mas isso não é verdade. Acredito que a matemática pode ser aplicada às nossas vidas. Mas, para que isso seja possível, é preciso conhecer alguns conceitos básicos que dão toda a estrutura para essas aplicações práticas. A verdade é que matemática exige investimento pessoal.

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Na Matemática e no humor o absurdo é o mesmo

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Entrevistamos a professora Helenice de Oliveira, da UNESP, a respeito do uso de modelos matemáticos na procura de soluções para problemas do cotidiano, sobretudo em questões de saúde pública. Como a matemática pode resolver problemas reais? Existem problemas importantes dentro de áreas como medicina, biologia e agricultura que, no passado, podiam ser resolvidos com intervenções simples, mas que hoje viraram problemas complexos.