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A ojos de alguien no-experto en matemáticas, el arco que encabeza estas líneas puede transmitir una gran armonía, pero resultaría difícil explicar el por qué. La causa de esa armonía está en las matemáticas empleadas para su diseño, para una composición extraordinariamente calculada.

Este arco en concreto es el arco del mihrab islámico cordobés del granadino palacio de la Madraza, un lugar que indica hacia qué dirección se debe rezar según la religión musulmana. Si nos fijamos, los arcos interior y exterior no son concéntricos, es decir, no comparten el mismo eje. El arco interior está elevado R/2 por encima del eje de impostas, y el arco exterior elevado un R/5.

Las líneas que determinan las dovelas que hay entre los arcos se cortan todas en el mismo punto, que resulta ser el punto medio de la línea de impostas. Este tipo de arcos se suele usar en lugares especialmente importantes.

Todo esto nos lo explican Joaquín Valderrama y Francisco Fernández, dos profesores de matemáticas que ya se han jubilado pero no han abandonado la docencia. Al menos, a su manera: hacían visitas guiadas por la Alhambra de su Granada natal -también por otros lugares a los que pueden acompañar de explicaciones matemáticas- para niños y mayores, profesores incluidos.

Hacen pedagogía sobre la cara quizás menos evidente del arte que encontramos en la ciudad palatina de la capital nazarí: durante nuestra visita, en un recorrido que dura toda una mañana, no dejamos de pararnos prácticamente en cada esquina para que nos expliquen aquello que no es evidente, pero que da sentido a todo el lugar: fórmulas, algoritmos, patrones y proporciones. Y además, ayudándonos a descubrirlo por nosotros mismos.

El rectángulo: una de las formas geométricas más usadas en el arte islámico y en la Alhambra

El rectángulo es una de las proporciones más usadas en la decoración musulmana, y por ende en el Islam, pero no un rectángulo cualquiera sino el de la raíz cuadrada de 2 (√2). ¿Por qué es tan especial?

√2 es un número irracional, el resultado de √2 es 1,41421356... Es decir, un número que nunca acaba. A priori no parece algo manejable para realizar cálculos, pero como nos explican Joaquín y Francisco, es una proporción muy fácil de usar geométricamente.

El rectángulo √2 se construye de forma muy sencilla: de un cuadrado sobre un lado se dibuja la diagonal, se abate sobre uno de los dos lados y trazando las paralelas se obtiene el rectángulo √2.

Una forma más fácil de entenderlo es con un folio estándar DIN A4, que se hizo (como todos los tamaños DIN, A3, A2, etc) siguiendo esta proporción.

Si dividimos el lado grande por el lado pequeño del A4, el resultado será 1,4142135... es decir, √2. En mano y geométricamente, esto se puede comprobar rápidamente acordándonos del teorema de Pitágoras, que nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Si hacemos un cuadrado con nuestro A4 podemos obtener un triángulo rectángulo. Si cada cateto mide 1, la hipotenusa mide √2. Y una forma rápida de comprobarlo es comparar la hipotenusa con el propio largo del rectángulo del A4.

Efectivamente, si comprobamos la Puerta del Vino, tiene la proporción de un rectángulo √2. Se podría decir que esta entrada de la Alhambra tiene exactamente las mismas proporciones que un DIN A4.

Una proporción que resulta tan especial porque es la única que al doblarse sobre sí misma reproduce exactamente la misma proporción del original. Es decir, si doblamos un A4 obtenemos dos A5 de proporción √2, si un A5 lo volvemos a doblar sobre sí mismo de nuevo obtenemos dos A6 de √2, y así sucesivamente.

Esta proporción es la que consigue un equilibrio exquisito a la hora de aplicarlo a la arquitectura, y en este caso tanto los portones como ventanas de la Alhambra lo cumplen.

El primer lugar de toda la civilización donde se han utilizado los 17 tipos de mosaicos

La Alhambra es el único monumento construido antes del descubrimiento de la Teoría de los Grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Existen 17 tipos de mosaicos según esta teoría, los cuales se rigen por cuatro movimientos en el plano: el giro, la simetría, las traslaciones y las simetrías con desplazamiento.

Combinando estos movimientos se generan estos 17 tipos de mosaicos, y la Alhambra los reúne todos. Ningún otro lugar en todo el mundo lo consiguió antes.

Aunque veamos mosaicos muy distintos, es posible que pertenezcan a un mismo grupo cristalográfico, por ello Joaquín y Francisco han utilizado una tabla algorítmica para reconocer cada uno de ellos.

Todas estas variaciones se pueden realizar según estos cuatro movimientos de plano.

Según cómo se forme el motivo mínimo inicial, los giros que se hagan y qué tipos de movimientos sobre plano se ejecuten, podemos crear diversos tipos de mosaicos, como este de la Puerta del Vino.

El mosaico es un elemento que aparece de forma muy común a lo largo de la Alhambra no solo por razones estéticas, sino porque también representa una idea del Islam: como no permite representar gráficamente a su dios de ninguna forma, se recurre a ideas, conceptos o epigrafías.

Un mosaico es una imagen que se repite de forma infinita, un motivo que se va repitiendo hasta ocupar todo el espacio. Representa la idea de un solo dios que está en todas partes, algo único que lo cubre todo, un concepto que entronca con la teoría islámica.

El friso: otro elemento matemático recurrente en la Alhambra

Los frisos funcionan de una forma muy parecida a los mosaicos, solo que la diferencia es que se traslada en una u otra dirección paralela para rellenar todo el plano mediante la traslación del motivo mínimo, en vez de hacerlo en todas las direcciones como ocurre con los mosaicos.

Los frisos se han utilizado como motivo de decoración en dólmenes prehistóricos, decoraciones egipcias, templos griegos... Y también en la Alhambra, donde fueron muy empleados en su decoración.

En geometría existen siete tipos de frisos que se clasifican según el algoritmo de Rose-Stafford, y como ocurre con los mosaicos, los siete están en la Alhambra.

Un oratorio orientado de matemáticamente hacia la Meca

En pleno 2019 los musulmanes pueden usar una aplicación en su smartphone que les indica de forma sencilla hacia dónde deben orientarse para realizar sus oraciones mirando hacia la Meca. Podemos saber gracias a la tecnología que la dirección correcta de orientación desde Granada debe ser 100,4º SE, ¿qué dirección tiene el Oratorio del Mexuar, parte de la Alhambra?

Si lo comprobamos utilizando la planimetría de Google, o el software GeoGebra, podemos ver que se obtiene un azimut de 108,89º ("azimut" se refiere a un ángulo de la orientación sobre la superficie de una esfera real o virtual).

Si la orientación matemática correcta es 100,4º SE y el oratorio se orienta en 108,62º SE, entendemos que tiene una desviación de 8,22º SE, ¿está mal orientado el Mexuar? No realmente. Es más, es uno de los mejor orientados de Al-Ándalus.

Para entrar en contexto debemos saber que Abderramán I (año 786) comienza a construir el oratorio de la Mezquita de Córdoba orientada con un ángulo de 152º SE, es decir, con 51,6º SE de error. La cuestión es que muchas mezquitas posteriores se construyeron teniendo de referencia a la mezquita de Córdoba, por lo que la mayoría de las mezquitas de Al-Ándalus no están orientadas de forma óptima.

Sin embargo, posteriormente empezaron a usarse métodos astronómicos y trigonométricos más precisos para orientar las mezquitas, como la Mayor de Medina Azahara, construida en la época de Abderramán III, en el siglo X. Esa sí fue orientada correctamente. Aconsejado por sus astrónomos, Abderramán III construyó la Medina Azahara con un ángulo aproximado al 108,33º, hecho que posiblemente influyó en que el Mexuar tuviera prácticamente la misma orientación.

Cabe destacar que el mejor orientado de todo Al-Ándalus es el oratorio privado del sultán en el Palacio de Comares, en la Alhambra, con 101º, sin duda combinación de cálculos exactos por parte de sus astrónomos y coordenadas geográficas excepcionalmente precisas.

Si aún te queda curiosidad por conocer más secretos matemáticos de la Alhambra, Joaquín y Francisco, y también su compañero Antonio Fernández, siguen explicando cada día todos los secretos de la Alhambra, tanto en sus paseos como en blog, La Alhambra Matemática.

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Un paseo matemático por la Alhambra: cuando el arte se basa en los números

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A ojos de alguien no-experto en matemáticas, el arco que encabeza estas líneas puede transmitir una gran armonía, pero resultaría difícil explicar el por qué. La causa de esa armonía está en las matemáticas empleadas para su diseño, para una composición extraordinariamente calculada.

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Un recorrido matemático

por la Alhambra

Ejemplos

Presentación: diferentes proporciones que podéis encontrar

qué buscar

mates en la mezquita

arco de herradura visigodoarco de herradura califalrectángulo raíz de 2rectángulo deororectángulo cordobés

Rectángulo aúreo

Proporción Cordobesa (1'3)

Arco 1/3 (se divide el radio en tres partes)

Rectángulo raiz de 2

Arco 1/2 (se divide el radio por la mitad)

PLANTILLAS para usarEN LA MEZQUITA

Las puedes escargar en classroom

Usa tus plantillaspara localizar proporciones

Picar para abrir plantillas desde aquí)

RECTÁNGULO AÚREORECTÁNGULO CORDOBÉSARCO DE HERRADURA 1/2ARCO DE HERRADURA (1/3)

...a disfrutar con la visita

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Arcos y Proporciones by Juli on Genially

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Un recorrido matemático por la Alhambra Ejemplos Presentación: diferentes proporciones que podéis encontrar qué buscar mates en la mezquita arco de herradura visigodoarco de herradura califalrectángulo raíz de 2rectángulo deororectángulo cordobés Rectángulo aúreo Proporción Cordobesa (1'3) Arco 1/3 (se divide el radio en tres partes) Rectángulo raiz de 2 Arco 1/2 (se divide el radio por la mitad) PLANTILLAS para usarEN LA MEZQUITA Las puedes escargar en classroom Usa tus plantillaspara localizar proporciones Picar para abrir plantillas desde aquí) RECTÁNGULO AÚREORECTÁNGULO CORDOBÉSARCO DE HERRADURA 1/2ARCO DE HERRADURA (1/3) ...a disfrutar con la visita

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Una curiosa forma de construir mosaicos vistosos y originales es mediante transformaciones de teselas poligonales que se convierten en formas abstractas, animales, hojas, ... Los nuevos motivos mantienen la propiedad de seguir recubriendo el plano, las figuras se obtienen recortando una o varias partes del polígono base para colocarlas mediante traslaciones o giros en otro lado.

Esta última técnica, junto con otras, fue utilizada en la construcción de los mosaicos nazaríes. La dinastía nazarí, descendiente de Yusuf ben Nazar, reinó en Granada desde el siglo XIII al XV. La Alhambra y Granada en general vivieron entonces una época de esplendor que ha quedado reflejada en sus construcciones. La transformación de un polígono regular en otra figura de igual superficie produjo formas desconocidas hasta entonces en la historia del Arte.

A continuación, en los siguientes applets, aparecen la construcción geométrica de algunos de los mosaicos nazaríes. Muchas de estas figuras las podemos encontrar en los diseños nazaríes de la Alhambra de Granada. La construcción de casi todos éstos mosaicos está basada tomando como polígono base el cuadrado, en éste sentido podemos decir que, La Alhambra, es el reino del cuadrado, lo encontramos de forma explícita en azulejos que recubren las paredes y otras veces los cuadrados quedan ocultos tras otras formas.

" Todo allí es delicado y bello, pintado y decorado como obra de hadas, hadas que sin duda conocían los goces y estímulos de los espíritus románticos ".

" Cuentos de la Alhambra" Washington Irving

La aguja

El pétalo

Rombos

La pajarita

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Una curiosa forma de construir mosaicos vistosos y originales es mediante transformaciones de teselas poligonales que se convierten en formas abstractas, animales, hojas, ... Los nuevos motivos mantienen la propiedad de seguir recubriendo el plano, las figuras se obtienen recortando una o varias partes del polígono base para colocarlas mediante traslaciones o giros en otro lado.

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Índice del artículo

Descripción: Se muestra la forma de construir algunos arcos y se sugiere intentar reproducir dichas construcciones. José Antonio Mora Sánchez

La construcción de arcos

En el applet tenemos el diseño de un arco ojival superpuesto a la imagen de la puerta de la iglesia de San Pantaleón en Cuenca.

En la parte superior hay un deslizador llamado Construcción. Si movemos el punto lentamente de izquierda a derecha veremos que el arco se borra por completo y se inicia un proceso automático en el que van apareciendo progresivamente tanto el arco como los elementos auxiliares en los que se apoya su estructura. Más adelante se realizará la propuesta de construir diez arcos distintos en la pantalla del ordenador con las orientaciones del applet y la ayuda del navegador.

Hay un segundo deslizador designado por Distancia al vértice, que permite modificar el arco ojival para poderlo ajustar a otra puerta distinta en la que la inclinación de los arcos sea diferente. En los diseños se ha tenido la previsión de dejar algún elemento móvil (normalmente uno o dos puntos) que nos permita después modificar las curvas para que se puedan ajustar a otros arcos del mismo tipo, más o menos estilizados.

La propuesta de trabajo
Hay diversos tipos de arco dependiendo de la curva que utilicemos para cerrarlo. Cada archivo contiene dos figuras: en la de la izquierda hay una imagen del arco construido y, a la derecha, otra preparada para ser diseñada por el lector. Las construcciones se han realizado con GeoGebra, tomando como fondo una imagen de ese arco utilizado en una edificación real.

La figura de la izquierda admite animación como ya vimos en el arco ojival: si desplazamos hacia la derecha el deslizador Construcción, vemos aparecer las indicaciones del diseño. En primer lugar desaparece el arco, y comienzan a aparecer nuevos elementos que son las pistas para la construcción geométrica de la curva.

a) El punto medio y el segmento que une ese punto con uno de los extremos.
b) El segmento comienza a girar alrededor del punto medio anterior describiendo un arco.
c) Continúa el arco.
d) El arco está completo.
e) Desaparecen los elementos accesorios para quedarnos únicamente con la curva.

No se pide la reproducción de ese movimiento, sólo la construcción del arco. Sobre la imagen de la derecha se puede componer la curva a partir de las herramientas de la parte superior (sólo se han seleccionado algunas de las que ofrece GeoGebra). Si se prefiere trabajar con el programa GeoGebra, previamente hay que instalarlo en el ordenador. Se descarga gratuitamente en la siguiente dirección: http://www.geogebra.org/cms/. Cuando el programa está instalado, al hacer una doble pulsación sobre el applet, se abrirá el programa con el archivo que se ha creado.

En varios de los arcos hay un segundo deslizador que deja algún elemento libre para ser accionado. En el caso del arco rebajado tenemos un segundo deslizador titulado Se rebaja que indica cuánto se ha bajado el centro para que el arco no se eleve demasiado. Para verlo mejor, es interesante dejar el deslizador Construcción en una posición intermedia:

Tareas complementarias para la clase.

Algunas de las tareas que se puede proponer a la clase

a) Al acabar el diseño geométrico , describe con palabras el proceso seguido.

b) En ciertas condiciones, unos arcos son casos particulares de otros, por ejemplo, si en el arco rebajado subimos el centro, terminará coincidiendo con el arco de medio punto. Encuentra casos parecidos de relaciones entre distintos arcos.

1. Arco de medio punto

El arco de medio punto utiliza media circunferencia para descargar los pesos que recaen en el espacio vacío Comenzó a ser utilizado en Mesopotamia durante el tercer milenio antes de Cristo y sigue siendo utilizado en la actualidad. Hemos elegido la imagen de una ventana de la iglesia de Santa Eulalia en Susín, Biescas, Huesca.

Otros ejemplos:

Castillo de la Mola (Novelda, Alicante)

Palacio de Godoy (Cáceres)

El partal de la Alhambra, Granada.
2. El arco rebajado

El arco rebajado se construye cuando no hay suficiente espacio en la parte superior para el arco de medio punto. La solución consiste en colocar el centro del arco más abajo que el anterior. La encontramos en la casa Pagola en Calahorra, La Rioja.

Otros ejemplos:

Puente viejo sobre el río Génave (Jaen)

Puente sobre el río Órbigo (Fuente La Vizana, Alija del Infantado, León)

Puerta baja de la muralla de Daroca (Zaragoza)
3. Arco ojival
Está compuesto por dos arcos de circunferencia simétricos. Utilizaremos una fotografía de la iOtros ejemplos: glesia de San Pantaleón en Cuenca.

Lo sentimos, el applet Geogebra no pudo iniciarse.
Por favor, comprueba que la plataforma Java 1.4.2 (o posterior) está instalada y activada.
( Pulsa aquí para instalar Java ahora)

Catedral de Palencia

Iglesia de San Lorenzo (Ciudad Real)
4. Arco de herradura
Fue muy utilizado en el arte visigodo y en el hispano musulmán. Está compuesto por dos pequeños arcos de circunferencia a los lados y un gran arco central en la parte superior. Lo veremos en la iglesia de Otros ejemplos: San Pedro de Balsemao en Lamego, Portugal.

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Mezquita de Córdoba

Monasterio de las Claras (Tordesillas, Valladolid)
5. El arco apuntado
Está formado por cuatro arcos de circunferencia de 60º que se colocan sobre los lados exteriores de triángulos equiláteros. Lo estudiaremos en el convento de Santo Domingo en Estella, Navarra.
6. El arco conopial
Es un arco de cuatro centros que en la parte central invierte el arco hacia arriba colocando el centro en la parte superior, con ello consigue formar un vértice. Lo veremos sobre una imagen de La Cartuja de Sevilla.

Otros ejemplos:

Catedral de Murcia

Iglesia de Santa María Magdalena (Torrelaguna, Madrid)
7. El arco carpanel
El arco carpanel es un arco rebajado con tres centros, dos de ellos se utilizan para formar pequeños arcos en los extremos por lo que adquiere una forma redondeada. Lo vamos a estudiar en la portada de una c asa de Palma de Mallorca.

Otros ejemplos:

Cáceres

Hospital de Nuestra Señora de los Milagros (Guadalcanal, Badajoz)

Puerta de Loreto (Orihuela, Alicante)

8. El arco trebolado

Está formado por tres arcos de circunferencia que reproducen el perfil de un trébol. Lo tenemos en el Mihrab de la Mezquita de Córdoba.

Otros ejemplos:

Catedral de Santiago de Compostela

Mezquita de Córdoba

Es un arco rebajado que se construye a partir de cuatro centros: dos de ellos de radio más pequeño sirven para redondear los extremos mientras los otros dos tienen el centro en la parte inferior y se unen en la mediatriz. Se ha construido sobre una imagen de una de las puertas del Taj Mahal en la India.

Otros ejemplos:

Mezquita del imam (Isfahan, Irán)

Puente Khaju (Isfahan, Irán)

Taj Mahal (Agra, India)

Es asimétrico y está formado por dos arcos de 90º, uno con mayor radio que el otro, mientras que la suma de los dos radios es igual al segmento AB. Lo encontramos en las puertas traseras de la iglesia de la Magdalena junto al castillo de la Mola en Novelda, Alicante.

Se ha realizado la propuesta a dos grupos: uno de ellos seguía el primer curso de Estalmat (Estímulo del Talento Matemático) formado por alumnos de 1º y 2º de ESO de centros de la Comunidad Valenciana. Por otra parte, este material se experimentó con un grupo de la asignatura optativa de 3º de ESO Estructuras Espaciales en el IES San Blas de Alicante.

En ambos casos la presentación es la misma: los alumnos se encuentran con la secuencia animada a la izquierda que pretende sugerirles las instrucciones del arco y deben construirlo sobre la imagen de la derecha. En el transcurso del trabajo el profesor realiza algunas sugerencias de trabajo a la clase:

a) Al acabar el diseño geométrico, describe con palabras el proceso seguido.
b) En ciertas condiciones, unos arcos son casos particulares de otros, por ejemplo, si en el arco rebajado subimos el centro, terminará coincidiendo con el arco de medio punto. Encuentra casos parecidos de relaciones entre distintos arcos.
c) Investiga nuevos tipos de arcos utilizados en arquitectura que no han sido propuestos aquí.
Grupo Estalmat de la Comunidad Valenciana

El grupo de Estalmat había recibido en enero de 2008 dos sesiones de hora y cuarto de duración en las que Francisco Jesús García y Jose Antonio Mora habíamos intentado mostrar las posibilidades del software de Geometría Dinamica mediante la resolución de algunos problemas geométricos y una pequeña investigación sobre mosaicos con polígonos regulares.

La tercera sesión estaba programada en abril y se dedicó a la construcción de arcos. Se les presentó la colección de secuencias animadas de construcción de arcos para pedirles el diseño de la curva y una breve explicación por escrito del trabajo realizado. El trabajo del profesor intentó ser de guía: proporcionar ayudas y en algunos casos sugerir ideas. El desarrollo de la clase fue muy animado, el problema surgió de la escasez de tiempo, al cabo de un cuarto de hora cuando estaba con algún grupo ya había más de media docena de manos pidiendo ayuda y en la muchos casos intentando comunicar sus soluciones.

La mayoría de los grupos consiguió terminar los cinco primeros arcos y sólo algunos avanzaron algo más. Estas son algunas de las explicaciones que dieron, en algunos casos incompletas y en otros redundantes, pero todas muestran su interés por comunicar sus soluciones:

1. Medio punto (Juan José Puente y Emilio Sánchez). Hemos obtenido el punto medio de A y B. Después hemos hecho un arco desde B hasta A dado el punto O (centro)

2. Arco Rebajado (Marc Tomás y Juan A. Montesinos). Se traza el punto medio entre A y B. Luego se traza un punto a x distancia del punto O paralelo a los segmentos y se traza un semicírculo que pase por A y B.

3. Arco ojival (Marta Alonso y Oscar Roldán). Se obtienen los puntos medios de los extremos superiores y de los inferiores. Se traza la recta que pasa por esos puntos. Se selecciona el arco tomando el centro en un punto de esa línea y los extremos superiores son A y B.

4. Arco de herradura (Marc Monzó). Primero dibujamos una circunferencia con centro en O y radio en A. Hacemos la mediatriz, situamos un punto P sobre la intersección de la circunferencia y la mediatriz. Hacemos otra circunferencia con centro en P y radio en O. Obtenemos los puntos Q y Q' de intersección de las dos circunferencias. Trazamos tres arcos: uno con centro en O y extremos en B y Q', el segundo con centro en O y extremos en A y Q y el tercero con centro en P y extremos en Q y Q'

5. Arco apuntado (no puso su nombre pero es un genio del telegrama). Punto medio, triángulo equilátero, punto medio izquierda y derecha, arco desde extremos hasta el vértice y luego un triángulo igual haciendo lo mismo.
Grupo Estructuras Espaciales en el IES Sant Blai de Alicante.
Un grupo de 24 alumnos de 3º de ESO en el IES Sant Blai que trabajaba dos horas semanales en una pequeña sala de ordenadores con conexión a Internet en grupos de tres alumnos. Habían aprendido a trabajar con programas de Geometría Dinámica durante varios meses. Antes de llegar a los arcos habían realizado varios proyectos que indagaron en temas como la construcción de mosaicos, el cubo Soma, el fractal de Sierpinski, el diseño de logotipos o el estudio de los misterios en el cuadro Las Meninas de Velázquez. Este grupo tenía mucha más destreza en el uso de GeoGebra y disponía de más tiempo para realizar los trabajos y redactar sus conclusiones.

A esta clase se le propuso la tarea añadida de detectar algún punto móvil y hacer la construcción se pudiera alterar dependiendo de él.

Uno de los grupos fue más lejos al incorporar a cada uno de sus diseños algún deslizador. Después hacían depender algunos de los elementos del arco de ese parámetro. Lo vemos en el trabajo de Irene, Yadira y Guillermo para el arco trebolado:
Soluciones:

Para no repetirnos, en todas las construcciones nos referiremos a tres puntos básicos de la construcción: A y B serán los vértices superiores de los segmentos dibujados y O su punto medio.

Sánchez, Eduardo. La obra de arte: conceptos y técnicas. http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/bachillerato/arte/arte/indice.html

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Índice del artículo Descripción: Se muestra la forma de construir algunos arcos y se sugiere intentar reproducir dichas construcciones. José Antonio Mora Sánchez La construcción de arcos En el applet tenemos el diseño de un arco ojival superpuesto a la imagen de la puerta de la iglesia de San Pantaleón en Cuenca.

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Diferentes polígonos que rellenan el plano