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제목을-입력해주세요_-001

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제목을-입력해주세요_-001

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제목을-입력해주세요_-001

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https://docs.google.com/spreadsheets/d/191FReThegSv7urbi825SQfSsS47fBrwB0R9nXK6712k/edit?usp=sharing

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수학자 포스터 만들기(7/12화)

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손현민 홍석기 포스터 완성본

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제목을-입력해주세요_ (1)

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제목을-입력해주세요_ (1)

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제목을-입력해주세요_-001

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페르마의 생애: 프랑스의 지방에서 일어난 폭동으로 아버지는 페르마가 태어나기도 전에 사망했다. 즉, 유복자. 어머니는 법률가 집안 태생으로 아들을 열심히 가르쳤고 그 덕에 페르마는 법률가로 성공했다. 즉, 본업은 법률가로 수학자는 아니며 최종적으로 시장직[4]까지 올랐고, 주변 사람들의 평가는 좋은 편이었다고 한다. 수학은 취미로 한 것으로, 실제로 논문을 발표한 적은 없었다. 그가 수학에 관심을 가지게 된 것은 20대 중후반쯤에 고대 그리스의 수학 저술을 접하게 된 것이 계기였다. 그냥 가끔가다가 지인들에게 증명에 대한 설명은 없이 '나 이거 증명했으니 풀어 봐라'는 식으로 골탕먹이는 것을 즐겼다. 자신의 증명과 정리를 체계적으로 정리하지도 않았다.출생1607년 10월 31일~12월 6일.사망1665년 1월 12일 (향년 58세)

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본명은 니콜라 폰타나(Nicola Fontana). 어린 시절에 프랑스 병사의 칼로 혀에 부상을 입고 말더듬이가 되어 자기 이름을 tartaglia(말더듬이)라 하였다. 순전히 독학으로 수학을 공부하여 밀라노의 거리에 ‘수학 컨설턴트’ 점포를 열고 포술사(砲術師) ·상인 ·침몰선 인양업자 등 온갖 방면으로부터의 수학상의 질문을 풀어 주는 것으로 생계를 이었다.

삼차방정식의 해법을 둘러싸고 카르다노와 그 선취권(先取權)을 다투었다. 그러나 이것은 카르다노가 타르탈리아에게 공식적으로 공표하지 않는다는 약속 하에 배운 것을 자신의 저서에 게재했기 때문에 카르다노의 공식이라고 부르게 되었다.

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포스터 완성본 주예슬 김연우

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포스터 완성본 주예슬 김연우

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1. 모둠정하기
2. 수학자+역할정하기
3. 자료수집하기-패들렛
4. 자료정리하기-패들렛 및 보고서
5. 포스터만들기

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자료수집-1) 생애.업적

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자료수집-1) 생애.업적

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1623년 6월 19일 출생
12세 삼각형의 내각이 180도임을 스스로 발견
13세 파스칼의 삼각형 발견
14세 프랑스 수학자 단체의 주 정기 회동에 참가
16세 사영기하학의 기초인 블레스 파스칼의 정리 증명
17세 블레즈 파스칼의 정리를 이용하여 명제 400개 유도
19세 최초 계산기인 파스칼라인 발명
21세 유체정역학의 기초를 다지는 파스칼의 법칙정립
점수분배문제를 해결하는 과정에서 확률론 기초를 다짐
1658년 두통을 잊고자 사이클로이드 연구
1662년 8월 19일 사망
1669년 파스칼의 유고집 <팡세>발행

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사이즈: A1

<필수>

1) 생애.업적

2) 수학연구분야

<선택>

3) 일화
4) 명언

5) 관련영상 및 기타

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자료정리-2)연구분야:파스칼 삼각형

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자료정리-2)연구분야:파스칼 삼각형

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-수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것
1. 첫 번째 줄에는 1을 쓴다.
2. 그 다음 줄을 만들 때 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다(오른쪽 그림 참고). 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.

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파스칼은 절친한 친구이자 기사, 도박사인 드 메레 de Mere(본명 앙투안 공보 Antoine Gombaud)에게서 다음과 같은 편지를 받는다.

“친애하는 파스칼에게, 나는 심각한 문제에 봉착했네. 실력이 비슷한 A와 B가 각각 32피스톨(화폐 단위)을 걸고 게임을 했어. 총 5판에 3판을 이기면 64피스톨을 모두 가지기로 했지. 그런데 A가 2판, B가 1판을 이긴 상황에서 일이 생겨 게임을 그만뒀어. 다시 돈을 반씩 나누면 2판이나 이긴 A가 너무 억울할 것 같고, A에게 64피스톨을 다 주면 B가 앞으로 이길 수도 있으니 공평하지 않은 듯하네. 어떻게 해야 공평할까?”[6]

파스칼은 이 문제를 다음과 같이 해결했다. A가 이기면 점수는 A : B = 3 : 1 이므로 A는 64피스톨을 갖게 된다. 또 B가 이기면 점수는 A : B = 2 : 2 이므로 A와 B는 각각 32피스톨씩을 갖게 된다. 이 두 상황을 종합할 때, A는 32피스톨을 이미 확보해 놓았고, 나머지 32피스톨을 더 얻을 확률은 1/2이므로 A는 32+32*1/2=48피스톨, B는 16피스톨을 가지면 된다.

파스칼은 자신과 쌍벽을 이루던 수학자 피에르 드 페르마에게 자신의 풀이를 보냈으며, 페르마는 다른 방법으로 문제를 해결하였다. A가 2점, B가 1점을 득점한 경우, 앞으로 최대 2번으로 승패가 결정된다.

이때 나타날 수 있는 경우는 모두 4가지로, 두 번 모두 A가 이기는 경우, A가 이기고 그 다음에 B가 이기는 경우, B가 이기고 나서 A가 이기는 경우, 2번 모두 B가 이기는 경우이다. 이 4가지 경우 중 최종적으로 A가 이기는 경우는 앞의 3가지이고 B가 이기는 경우는 마지막 1가지이다. 따라서 A는 64의 3/4인 48피스톨을 갖고, B는 나머지 16피스톨을 가지면 된다.

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"인간의 모든 고통은 혼자 조용히 집에 있을 수 없기 때문에 생긴다."
"인간은 자연 가운데서 가장 약한 하나의 갈대에 불과하다. 하지만 그것은 생각하는 갈대이다."
"클레오파트라, 그녀의 코가 조금만 낮았더라면 지구의 모든 표면은 변했을 것이다."
"사람들 사이에 불평등이 있어야 한다는 것은 진실이다. 그러나 일단 이 사실이 승인되면 당장에 문호는 최선의 정치를 향해서가 아니라 최악의 압제를 향해서 개방되고 만다."
"왜 사람들은 다수에 복종하는가? 더 많은 도리를 가지고 있기 때문일까? 아니다, 더 많은 힘을 가졌기 때문이다."
"사람은 항상 자신이 이해하지 못하는 것들을 전부 부정하고 싶어 한다. "
"도박하는 모든 사람은 불확실한 것을 얻기 위해서 확실한 것에 돈을 건다."[7]
"이 무한한 우주 공간의 영원한 침묵이 나를 두렵게 한다."
"피레네 산맥 이쪽에서의 정의는 저쪽에서의 불의다."
"힘없는 정의는 무능이고, 정의 없는 힘은 폭력이다."
"정신이 명료함은 열정도 명료함을 뜻한다. 때문에 위대하고 명료한 정신을 지닌 자는 열정적으로 사랑하고 자신이 사랑하는 대상을 분명히 안다."

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1. 내용
-수학자이름(연도)
-사진,명언
2. 크기
-35x100
-100x35

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제목을-입력해주세요_ (2)

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타르탈리아가 저술한 책들 중 가치가 높은 책으로는 유클리드 책(그리스어)을 최초로 이탈리아어로 번역한 것도 있다. 이때 아라비아어 번역 도서들의 이용에 한계를 주던 중요한 오류들을 수정했다. 또 그가 저술한 탄도학에는 대포에서 발사된 포탄의 낙하지점을 산출하는 식이 실려 있다. 이는 갈릴레이의 낙하하는 물체에 관한 연구보다 수십 년 앞선 것이었다. 타르탈리아는 여러 수학 시합에서 성공을 거두며 명성을 얻었고, 1535년에는 볼로냐에서 유명한 삼차방정식이 포함된 피오르와의 수학 시합에 참여하게 되었다.

그의 저작 《신과학(新科學)》(1536) 《가지가지 문제와 발견》(1546) 《수(數)와 계측(計測)에 대한 일반론 General trattato di numeri e misure》(3권, 1556∼1560)은 모두가 그와 같은 잡다한 문제 및 그에 대한 해법(解法)으로써 엮어진 것이었다.

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데카르트 포스터 완서엉엉ㅇ (1)

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자료수집) 파스칼 생애 및 업적

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자료수집) 파스칼 생애 및 업적

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블레즈 파스칼은 1623년 6월 19일 프랑스의 클레르몽페랑 지방에서 회계사 에티엔 파스칼의 아들로 태어났다. 어렸을 때부터 수학의 신동이라는 이름이 아깝지 않을 정도로 특출난 재능을 드러냈다

11살: 교사에게 기하학을 주제로 지속으로 질문 및 노는 시간을 아껴 수학공부를 했다.

12살: 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실을 오직 자력으로 발견

13살: 파스칼의 삼각형을 발견

14살: 프랑스 수학자 단체의 정기 회동에 참가

16살: 파스칼의 정리를 증명

19살: 기어식 계산 기계 발명

21살: 수은기둥을 사용한 실험으로 파스칼의 법칙을 완성

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자료 수집)파스칼의 명언

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자료 수집)파스칼의 명언

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이 무한한 우주의 영원한 침묵이 나를 두려움으로 몰아 넣는다.

The eternal silence of these infinite spaces fills me with dread.

정신이 명료함은 열정도 명료함을 뜻한다. 때문에 위대하고 명료한 정신을 지닌 자는 열정적으로 사랑하고 자신이 사랑하는 대상을 분명히 안다.

Clarity of mind means clarity of passion, too; this is why a great and clear mind loves ardently and sees distinctly what it loves.

클레오 파트라의 코가 조금만 낮았어도 인류의 역사가 달라졌다.

Even if Cleopatra's nose was a little lower, the history of mankind would have changed.

고귀한 행동은 드러내지 않을 때 가장 존경스럽다.

Noble deeds are most revered when they are not revealed.

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자료수집-1) 생애.업적

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자료수집-1) 생애.업적

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1501년 9월 24일 출생

이탈리아 파비아에서 태어나, 로마에서 죽었다. 수학자로 널리 알려져 있으나 본업은 의사였다. 부업으로 철학이나 도박 등 다양한 활동을 하였는데, 말이 좋아 부업이지 전문가 수준이었다. 그 활동 중에는 그가 자살을 하게 만든 점성술도 포함되었다. 이탈리아의 천재 하면 레오나르도 다 빈치와 함께 반드시 거론되는 인물 중 한 명이다.

지롤라모 카르다노는 사생아로 태어났으며 그의 아버지는 변호사로 활동했었다. 지롤라모는 커서 대학에 입학해 의학과 약학을 전공하여 의사가 된다. 그러나 천재성을 주체하지 못했는지 다방면으로 많은 업적을 남겼다. 하지만 호전적이고 거칠었던 성격 탓인지 친구는 거의 없었으며 의사가 되어서도 그의 인간관계는 변함이 없었다. 그는 당시 유럽에서 알아주던 의사이자, 파비아대학교의 의학 교수로 재직했다. 도박중독자였는데 아무리 수학적 확률을 동원해도 도박으로 돈을 딸 수는 없었다는 것을 자각했던 것으로 보인다. '도박꾼이 가장 이득을 많이 보려면 도박을 하지 말아야 한다'라는 말을 남기기도 했으니... 그러나 실제로 카르다노 자신은 여느 도박 중독자들처럼 도박을 끊지 못하여 일상생활을 망쳤으며, 말년에는 예수를 점성술과 엮다가 투옥되기도 했다. 그 외 이것저것 시대를 초월하는 기행을 많이 했는데, 심지어 자신이 죽는 날까지 예언했고 그것을 정확히 맞혔다! 어떻게 맞혔냐면 예언을 달성하기 위해 단식을 해서 딱 예언한 날에 맞춰 죽은 것이었다(...) 최초로 장티푸스를 발견했고, 먼지나 털 같은 비위생적인 것들을 치우고 영양식을 섭취하도록 하는 천식 치료법을 고안해 냈으며, 알레르기성 질환 발견, 그리고 탈장 수술법 개발 등의 업적도 있다.

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그 당시에는 수학 경기라는 것이 유행하였는데, 페로의 제자 플로니우스와 타르탈리아가 1535년에 경기를 벌이게 됩니다.

이 경기는 모두 30문제를 서로 상대방에게 출제하여 50일 동안에 푸는 것이었는데, 타르탈리아는 모든 문제를 풀었으나 플로니우스는 한 문제도 풀지 못하였습니다.

그러나 그는 더욱 연구하여 1541년 삼차방정식의 가장 일반적인 해법을 발견합니다.

그런데 그 때 밀라노의 카르다노라는 수학자가 타르탈리아에게 삼차방정식의 해법을 알려달라고 간청합니다.
타르탈리아는 다른 사람에게는 절대로 말하지 않겠다는 약속을 받은 후 카르다노에게 그 해법을 알려 주었습니다.

그러나 카르다노는 약속을 어기고 제자인 페라리에게 삼차방정식의 해법을 가르쳐 주었고, 그가 1545년에 출판한 ‘위대한 술법(Ars Magna)’라는 책에 마치 자신의 발견한 것으로 발표하였습니다.

타르탈리아는 약속을 어겼다면서 분노했지만 카르다노는 오히려 타르탈리아를 거짓말쟁이로 몰아세웁니다.

말더듬이였던 타르탈리아는 아무도 자신의 말을 믿어주지 않자 비탄과 울분 속에 카르다노를 저주하다가 1557년에 사망합니다.

[출처] 방정식의 저주 1 - 타르탈리아 카르다노 페라리|작성자 강태형

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블레즈 파스칼과 함께 확률론의 기초를 만들어냈다. 또한 르네 데카르트와도 교류가 있었는데 서간을 통하여 연구 성과를 통보하였기도 했으며 그것과는 별개로 독창적으로 해석기하학을 생각해냈다. 이 해석기하학은 데카르트도 창안한 것이지만 페르마는 그와는 별개로 해석기하학을 만들었던 것이며 그 수준도 데카르트보다 더 높은 수준에 있었다고 한다. 그 외에도 미분적분 등, 수학의 여러 분야에 업적을 남겼다. 그러나 그는 정식으로 수학을 공부했던 것은 아니며 수학계에 정식으로 참여하지도 않았기 때문에 그의 연구는 대부분 그가 혼자 공부하고 생각해 낸 것이었다. 이 점을 감안하면 그의 수학적 천재성은 실로 대단한 것이라 할 수 있다. 또한 페르마는 자신이 가지고 있던 '아리스메티카'[5]라는 책의 여백에 이것저것 끄적이는 버릇이 있었는데, 페르마 사후 그의 아들이 주석을 정리하여 출판함으로써 비로소 그의 발견이 세상에 알려지게 되었다.[6]

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아벨의 시대에 가장 오래된 난제 중 하나는 1차부터 4차 방정식 처럼 5차 방정식에도 계수를 이용해 근의 공식을 만들 수 있느냐였다. 아벨 역시 처음엔 대수적으로 풀 수 있다고 굳게 믿고 증명을 시도하였으나 후에 생각을 바꾸고 풀 수 없음을 증명하였다.

하지만 당시로선 너무 난해하고 추상적이던 아벨의 증명을 누구도 인정하지 않아 자비로 논문을 출판해야 했으며 그나마도 묻혔다.

19세에 아버지를 잃고 가난에 허덕이던 그를 그나마 인정하고 알리려던 사람이 독일 수학자 아우구스트 레오폴트 크렐레(August Leopold Crelle ,1780~1855)였는데 그의 노력으로 아벨에게 베를린대학 수학 교수직을 얻게 해주었다. 그러나 아벨은 가난에 시달리고 있었고 이로 인해 결핵을 얻은 상태라 결국 소꿉친구이자 약혼자였던 크리스티네 켐프(Christine Kemp)의 품에서 26세의 젊은 나이로 요절하고 만다. 그리고 아벨이 죽고 난 바로 이틀 뒤에 교수 임명서가 도착했다. 반응이 없다는 대학 측 답변에 이상하게 여긴 크렐레는 편지를 보냈는데 '닐스는 이미 죽었답니다' 라고 아벨의 지인이 쓴 답장을 받고서야 뒤늦게 죽은 걸 알게 되었다. 다만 비슷하게 5차 방정식을 연구하고 요절한 갈루아와 혼동되는 경향이 있는데, 비슷하면서도 다르다. 아벨은 대학생 시절 이미 노르웨이에서 가장 유명한 수학자들 중 하나였으며, 비록 정식 교수직을 받지 못해 생활이 쪼들렸으나 다른 교수들이 도움을 주고 간간히 펀딩도 나와 유럽을 여행하며 연구를 계속했다. 아벨은 당시에는 드물지 않았던 결핵으로 병사했지만 생전에 수학계 (적어도 노르웨이 수학계에서는)에 이름을 날린 인물이었다.

1802년 노르웨이 남쪽지방에서 목사의 아들로 태어난 아벨은, 중학교 때부터 수학에 흥미를 갖게 되었고 대학시절 뛰어난 재능을 보였다. 그러나 18세 때 부친이 돌아가시게 되어 가난 속에서 어머니와 어린 동생들을 돌보면서 장학생으로 힘들게 공부하였다.

아벨은 22세의 젊은 나이에 위의 5차 방정식에 관한 논문을 비롯해서 여러 업적을 내었으나, 코시(Augustin Louis Cauchy; 1789-1857), 가우스(Karl Friedrich Gauss; 1777-1855) 등 당대의 저명 수학자들은 여러 이유로 그의 연구 성과에 별로 관심을 기울이지 않았다. 불운 속에서도 연구를 계속하던 그는 가난과 과로로 인하여 폐결핵이 심해져서, 결국 1829년에 27세의 아까운 나이로 세상을 떠나고 말았다.

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사본-D12_노르웨이_출신의_수학자_아벨

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자료수집) 파스칼 일화

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자료수집) 파스칼 일화

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파스칼이 열두 살 때 기하학을 가르쳐 달라 조르는 아들에게 아버지는 고전을 먼저 익히면 기하학을 가르쳐 주겠다고 했다. 어느 날 라틴 수업이 끝난 뒤 파스칼은 방에 혼자 남아 목탄으로 동그라미나 세모 등의 도형을 벽에 그려 놓고 도형의 면적, 비율 등을 따져보기 시작했다. 저 나름대로 둥근 것, 세모, 막대기 등으로 이름을 붙여 놓고는 정의를 하나씩 만들고 공리까지 만든 다음 하나씩 증명해 나갔다. 드디어 "삼각형의 한 각의 외각은 그 각을 제외한 나머지 두 각의 합과 같다. 삼각형의 세 내각을 합치면 두 직각과 같다." 이 정리를 만든 순간 아버지가 방에 들어섰다. 아버지가 금지한 것을 하다가 들킨것이다. 아버지는 벽에 적어놓은 글과 그림을 보고는 눈물을 왈칵 쏟았다. 아버지는 동료들에게 달려가서 이 사실을 알렸다. 수학 교육을 더 이상 늦추어서는 안 된다는 것이 모두의 뜻이었다.

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페르마는 1601년 8월 프랑스의 보몽 드 로마뉴에서, 보몽의 부영사이며 피혁상을 하던 도미니크 페르마와 법의학자 가문의 딸이었던 클레르 드 롱 사이에서 태어났다.
그의 생애는 어떤 어려움이나 굴곡도 없는 조용하고 평화로운 나날이었기에 다른 천재들처럼 어릴 때의 일화가 전해 내려오지는 않는다. 다만 그가 나이 들어서 이룬 행적으로 보아 학교 다닐 때 공부를 무척 잘했을 것이라고 짐작할 수는 있다.
그러나 그의 수학 실력은 학교 교육과는 무관한 것으로 보여진다. 왜냐하면 그가 이룩한 업적의 영역은 그때까지 개발된 것이 아니었고 더군다나 학교 교육에서 암시를 받았다고 할 수 있는 것은 아니기 때문이다. 그는 정말로 보통의 수학자들과는 달리 수학과는 거리가 먼 평범한 생활을 하였다. 그래서 그는 아마추어 수학자라고 일컫는다.
페르마는 서른 살인 1631년에 툴루즈 지방의 청원위원으로 취임하였으며 그 해에 외사촌 누이인 루이즈 드 롱과 결혼하여 세 아들과 두 딸을 얻었다.
그가 남긴 유일한 일화는 바로 3백년 동안 수학자들을 곤혹스럽게 하다가 20세기가 저물기 직전 세계 언론의 주목을 받았다는 사실 정도일 것이다.

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자료수집2 수학연구분야

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자료수집2 수학연구분야

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n=3일 때 페르마의 마지막 정리 증명에 대해 살펴보도록 하자.

우선 세 개의 양의 정수 x, y, z에 대하여

을 성립하는 정수가 있다고 가정하자. (귀류법)

x, y, z의 최대공약수 k가 있다고 하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

만약 A와 B가 모두 짝수라면 좌변이 짝수이므로 우변 역시 짝수이다. 그렇다면 C 역시 짝수이므로 A, B, C가 서로소라는 가정에 모순된다.

따라서 A와 B와 C의 기우성은 (A, B, C) = (짝, 홀, 홀), (홀, 짝, 홀), (홀, 홀, 짝)의 경우가 존재한다. 첫번째와 두번째 경우는 동치이므로 편의상 (짝, 홀, 홀), (홀, 홀, 짝)의 경우만 따지기로 하자.

1. (A, B, C) = (짝, 홀, 홀)

​ 우선 p와 q를 아래와 같이 두자.

​

제곱수를 4로 나누었을 때의 나머지는 0 또는 1이라는 성질이 있다. 당연히 나머지가 0일 때는 짝수, 1일 때는 홀수이다. 이 성질을 이용해 p와 q의 기우성에 대해 조사해보자.

우선 p이다. C와 B에 각각 2k+1, 2l+1을 대입하여 식을 정리한다.

다음 q이다. C와 B에 각각 2k+1, 2l+1을 대입하여 식을 정리한다.

만약 (k+l)^2를 4로 나누었을 때 나머지가 0이면 p와 k+l는 짝수라는 것을 알 수 있고, 이를 'q'식에 대입하면 우변은 4로 나누었을 때 나머지가 1이 되어 q는 홀수가 됨을 알 수 있다. 반대로 (k+l)^2를 4로 나누었을 때 나머지가 1이면 p와 k+l는 홀수라는 것을 알 수 있고, 이를 'q'식에 대입하면 우변은 4로 나누었을 때 나머지가 0이 되어 q는 짝수가 됨을 알 수 있다. 따라서 p와 q의 기우성은 다르다.

[출처] 페르마의 마지막 정리 - n=3일 때 증명 1|작성자 과학이와 수학이

n=4인 경우는 페르마의 정리의 원작자인 페르마가 직접 남겨놓은 유일한 증명으로, n=3일 때보다 일찍 발표되었으므로 먼저 서술한다. 페르마의 경우 무한강하법으로 증명했다. 사실 페르마가 연구했던 것은 '직각삼각형의 두 변을 이루는 정수로 된 네제곱 수가 존재할 수 없다'는 것으로 방정식
x^4 + y^4 = z^4x
4+y
4=z
4의 미지의수 x, y, z의 정수해가 존재하지 않는다는 것인데 이 방정식의 양변을 정리하면 FLT의 기본 꼴인
x^n + y^n = z^nx
n+y
n=z
n꼴로 치환된다. 이 페르마의 증명법은 n=3의 증명중 오일러의 증명법과 연계되며, 페르마의 <직각삼각형 정리>에 수록되어있다. n=4인 경우는 1600년대부터 현재까지 수십명의 학자들이 증명 논문을 발표했으며, 이 중엔 페르마의 증명법을 재탐구 한 논문도 많다. 증명은 다음과 같으며 여기에서는 먼저
x^4 + y^4 = z^2x
4+y
4=z
2의 사례를 통해 무한강하법으로 유도했다.

1. 귀류법을 사용한다. 즉,
x^4 +y^4 = z^2 (x>0, y>0, z>0)x
4+y
4=z
2(x>0,y>0,z>0)을 만족하는 정수해가 존재한다고 가정하자[3].

2. 우선 x와 y를 서로소로 두자[4]. 둘이 서로소라면 x와 y 중 하나는 반드시 홀수이다. 따라서

A. x와 y 둘 다 홀수, z는 짝수

B. WLoG[5]) x가 짝수, y가 홀수, z는 홀수

중 하나가 성립한다[6].
한편 홀수의 네제곱은 8로 나눈 나머지가 1이고[7], 짝수의 네제곱은 8로 나눈 나머지가 0이다.
이 정리에 의해, A의 경우
준식
x^4 +y^4 = z^2 (x>0, y>0, z>0)x
4+y
4=z
2(x>0,y>0,z>0)의 좌변을 8로 나눈 나머지는 2, 우변을 8로 나눈 나머지는 0이므로, A의 경우는 성립할 수 없다.
따라서 x는 짝수, y는 홀수, z는 홀수이다.

3. 2에 의해

x^2 = 2abx
2=2ab

y^2 = a^2 - b^2y
2=a
2−b
2

z = a^2 + b^2z=a
2+b
2(단 a와 b는 서로소[8], a>b)
을 만족하는 a, b가 존재하다.
y는 홀수이므로 y²을 4로 나눈 나머지는 1이다.[9]

y²=a²-b²y²=a²−b², 즉 a²-b²을 4로 나눈 나머지 역시 1이어야 하므로, a는 홀수, b는 짝수이다.[10]
여기서 b=2c라고 두면 a와 b가 서로소이므로 a와 c도 서로소이다.
위 식[11]에서 서로소인 두 수의 곱이 제곱수이므로 각각의 수 a와 c는 제곱수이다[12].
따라서 "
a=u², b=2c=2v²a=u²,b=2c=2v² "이라고 둘 수 있다.

4. 위 식을
y^2 = a^2 - b^2y
2=a
2−b
2에 대입하면

y^2 = u^4 - 4v^4y
2=u
4−4v
4

4v^4 + y^2 = u^44v
4+y
2=u
4

(2v^2)^2 + y^2 = (u^2)^2(2v
2)
2+y
2=(u
2)
2
이라고 하는 식을 새로 얻을 수 있다.
2v²과 y가 서로소이고 2v²이 짝수이므로, 다시

2v^2 = 2lm2v
2=2lm

y =l^2 - m^2y=l
2−m
2

u^2 = l^2 + m^2u
2=l
2+m
2(단 l과 m은 서로소, l>m)
이라는 식을 얻는다.
한편
v²=lmv²=lm에서 l과 m이 각각 제곱수, 즉

l=r², m=s²l=r²,m=s²이며, 이를
u^2 = l^2 + m^2u
2=l
2+m
2에 대입하면

r^4 + s^4 = u^2r
4+s
4=u
2, 즉 1에서 주어진 식과 완전히 똑같은 형태의 식을 얻는다.
한편
u ≤ u² = a ≤ a² < a² + b² = zu≤u²=a≤a²<a²+b²=z,
즉
u<z u<z이다.

5. 1, 2, 3, 4를 종합하면

x^4 +y^4 = z^2 (x>0, y>0, z>0)x
4+y
4=z
2(x>0,y>0,z>0)을 만족하는 정수해가 존재한다고 가정하면

r^4 +s^4 = u^2 (r>0, s>0, u>0)r
4+s
4=u
2(r>0,s>0,u>0)이면서 u<z를 만족하는 정수해가 항상 존재한다. 그런데 무한강하법에 의해 이는 성립할 수 없으며, 가정이 잘못되었다는 결론을 얻는다. 따라서, n=4일 때 페르마의 마지막 정리는 성립한다.

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점성술에도 심취하여 많은 연구물을 남겼다. 대표적으로 천체를 제외하면 영속적인 운동은 없다고 주장했다. 또한 자기현상과 전기현상의 구별법을 확립했으며 암호학에도 큰 영향을 미쳤다. 심지어 공학에도 재능을 보여 기계ㆍ기재의 결합을 이루는 이음매인 카르단 조인트도 만들었으며 이것은 지금까지도 쓰이고 있다.

이런 천재였던 카르다노에게도 한계가 있었는데 그건 바로 허수의 개념을 창안하는 데까지는 생각이 미쳤으나 이를 복소평면이라는 개념까지 확장하지는 못했다는 점이다. 이는 상술했듯 카르다노가 허수의 개념을 창안하게 된 것이 철학적/수학적 경로를 통해 발생한 것이 아닌, 오로지 삼차방정식을 정확하고 빠르게 풀기 위한 방법을 찾다가 발생한 일이었기 때문이다. 이 과정에서 허수 없이는 나타낼 수 없는 실수를 발견하기도 했다.

단, 당시의 시대상을 면밀히 살펴보면 카르다노가 위와 같은 한계에 봉착한 것은 사실상 당연한 일인 것이나 다름 없었다. 그도 그럴 게 카르다노가 살았던 16세기의 유럽 수학자들은 허수의 개념을 받아들이기 이전에 아직도 음수를 받아들여야 하나 말아야 하나를 주제로 치열한 논쟁을 벌이고 있는 상황이었기 때문이다. 카르다노 본인도 허수 개념을 제시한 직후 허수 자체까지는 갈 것도 없이 "왜 당신은 음수의 존재를 당연시 하느냐?"는, 현대인의 시각으로는 어딘가 병맛나는 비난에 그것도 지속적으로 시달려야 했다. 당시 분위기로서는 허수 개념을 통해 삼차방정식을 완벽하게 풀어낼 수 있다는 생각을 한 것만으로도 시대를 훨씬 앞선 지성이었다고 봐야 한다.

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본명: 르네 데카르트
1596년 출생~1650년 사망(폐렴으로 생을 마감)
네 데카르트는 근대 철학의 포문을 연 프랑스의 철학자, 수학자, 과학자이다. 그는 방법적 회의를 통해 "나는 생각한다. 고로 존재한다"는 것이야말로 모든 것을 의심하더라도 더 이상 의심할 수 없는 진리라 확신하고는, 이를 모든 학문의 제1 원리로 정립하였다.
1606-1614 라 플레슈 기숙학교 입학
1618-1621 군에 지원 입대 (30년 전쟁-로마 가톨릭vs개신교)
30년 전쟁이 일어 났다는 소식을 접한 데카르트는 전쟁을 눈으로 목격하고 싶다는 생각에, 독일의 구교에 속하는 바이에른 휘하 군대에 들어간다.
1634년 5월, 네덜란드의 암스테르담에 있을 때 헬레나 얀스 판데르스트롬(Helena Jans van der Strom, ~ 1683)라는 이름의 전직 가정부를 만난 후 1635년 7월 19일 데벤테르(Deventer)에서, 외동딸 프랑신(Francine, 1635년 7월 19일 ~ 1640년 9월 7일)를 얻는다.데카르트가 프랑신이 수태된 날짜(1634년 10월 15일)를 일기에 기록했다는 사실이 확인되기 때문에 그녀가 친딸이라는 것은 확실하다. 그러나 정식으로 결혼을 하지 않고 얻은 사생아여서 주변 사람들에게는 프랑신이 자신의 조카라고 둘러댔다고 한다.

프랑신의 이름에 관해서는 여러가지 설이 있다. 자신이 어린 시절 좋아하던 소녀의 이름인 프랑수아즈에서 이름을 따서 비슷한 이름인 프랑신이라고 붙여주었다는 설이 있다. 단, 동물기계설 등의 기계와 관련이 있는 걸로 봐서는 데카르트가 자주 거닐던, 생제르맹앙레 성(Château de Saint-Germain-en-Laye) 정원의 분수기계 제작자 프란치니(Francini) 형제의 성의 프랑스식 변형인 프랑신(Francine)에서 따온 게 아니냐는 설도 있다.

1638년 8월 23일에 마랭 메르센에게 보낸 편지에 따르면, 한 남자가 세 살 난 소녀를 무릎에 앉혀놓고 박수를 치면, 소녀가 박수 소리를 듣고 정원을 달리는 것에 대한 동화가 써져있는데, 정황상 데카르트 자신이 프랑신과 놀아준 것을 묘사한 걸로 추정된다.

1640년, 데카르트는 프랑신을 프랑스로 데리고 간 후 자신의 외할머니의 조카이자 국회의원의 아내인 프랑수아즈 뒤 트롱셰(Françoise du Tronchay)에게 맡겨 교육을 받게 할 것이라고 기록한다.하지만 프랑신은 동년 9월 7일 아메르스포르트(Amersfoort)에서, 5살이라는 어린 나이에 성홍열에 걸려 세상을 일찍 뜬다. 데카르트는 친구가 자신의 가족을 여의었을 때, 슬퍼하는 것은 괜찮으나 감정에 너무 휘둘리지 마라며 꿋꿋이 슬픔을 참고 이길 것을 친구에게 간곡한 편지로 써 보냈지만, 그의 전기작가였던 아드리앵 바이예(Adrien Baillet)에 의하면 정작 데카르트는 프랑신의 사후 몇 날 며칠을 서럽게 울었다 한다.

1641년 1월 최근 아주 친밀한 "두 사람"을 잃었다고 알퐁스 폴롯에게 편지를 보냈는데, 한 명은 1640년 10월에 죽은 그의 아버지인게 확실하나, 두 번째 인물은 프랑신인지, 데카르트의 누나인 잔인지 알 수 없었다. 그러나 2018년에 누나 잔의 사망일이 1641년 6월이라고 밝혀지면서, 다른 한 명이 프랑신이라는 게 드러났다.

몇 년 후인 1643년, 신학자 기스베르투스 보에티우스(Gisbertus Voetius)는 데카르트에게 혼외관계에서 아이가 있지 않냐고 공격을 한다. 이후 데카르트는 헬레나와 헤어진다. 1644년 5월 헬레나는 다른 남자와 결혼을 하는데 이때 지참금을 주었다. 그 후 데카르트는 평생 독신으로 산다

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https://youtu.be/3c4Sq2F6o8M

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페르마의 마지막, 한 방 정리! [안될과학-긴급과학]

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1-2) 그의 업적

수학 교과서에 가장 많이 접하는 공식 중 하나가 '방정식'입니다.

1차 방정식부터 4차 방정식까지 공식이 확립되어 있습니다..

이전부터 수학자들은 5차 이상의 방정식도 풀어내려는 노력을 지속하였습니다.

하지만 19세기에 이르기까지 아무도 해법을 발견할 수 없었습니다.

결국 5차 이상의 방정식은 대수학적인 방법으로는 풀어낼 수 없다는 사실을 발견하였습니다.

아벨은 유한개의 제곱근과 사칙연산을 통해 5차 이상의 고차방정식은 근의 공식이 없음을 최초로 증명했습니다. 이는 훗날 ‘아벨-루피니’ 정리로 알려집니다.

5차방정식이 근의 공식을 갖지 않는다는 것을 증명하는 과정에서 방정식의 대칭성을 서술하는 ‘군론’이라는 개념이 처음으로 생겨나고 도입되었습니다.

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"And perhaps, posterity will thank me for having shown it that the ancients did not know everything."

해석: 미래 사람들은 과거인들이 모든 것을 다 알지 못한다는 것을 보여준 나에게 고마워 할 것이다.

"I have found a very great number of exceedingly beautiful theorems."

해석: 나는 엄청나게 많은 아름다운 정리들을 발견했다.

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet."
"나는 이 문제에 대한 놀라운 증명을 알고 있으나 여백이 부족하여 여기에 적지 않는다."

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그를 기리기 위해 노르웨이 정부가 자국의 수학자 아벨을 기념해 수여하는 국제적 권위의 수학상으로, 2003년부터 매년 뛰어난 업적을 낸 수학자들에게 수여함. 수상범위는 순수과학 뿐아니라 으용수학범위까지 인정된다. 또한 40세 미만의 젊은 수학자에게 주어지는 필즈상과 달리 나이에 제한이 없고 상금도 필즈상의 67배 정도이다.

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타르탈리아가 저술한 책들 중 가치가 높은 책으로는 유클리드 책(그리스어)을 최초로 이탈리아어로 번역한 것도 있다. 이때 아라비아어 번역 도서들의 이용에 한계를 주던 중요한 오류들을 수정했다. 또 그가 저술한 탄도학에는 대포에서 발사된 포탄의 낙하지점을 산출하는 식이 실려 있다. 이는 갈릴레이의 낙하하는 물체에 관한 연구보다 수십 년 앞선 것이었다. 타르탈리아는 여러 수학 시합에서 성공을 거두며 명성을 얻었고, 1535년에는 볼로냐에서 유명한 삼차방정식이 포함된 피오르와의 수학 시합에 참여하게 되었다.

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제목을-입력해주세요_-001

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타르탈리아로 알려진 니콜로 폰타나(Niccolo Fontana, 1500~1557)는 가난한 이탈리아 수학자로, 1512년 프랑스 군대가 그의 고향인 브레시아에서 대량 학살을 벌일 때 끔찍한 부상을 입었다. 프랑스 병사의 칼에 입술과 입천장을 베이는 바람에 말더듬이가 되면서 타르탈리아(‘말더듬이’)라는 별칭을 얻게 되었다. 부상과 가난에서 벗어나기 위해 독학으로 교사가 되었던 타르탈리아였지만 천재성에도 불구하고 오만한 성격 때문에 많은 적대 세력을 만들었다.

이 수학 시합은 각 참가자가 상대에게 30문제를 내고 40~50일 사이에 문제를 해결하는 것이었다. 타르탈리아는 한 영역의 주제를 다룬 문제들을 낸 반면, 피오르는 자신만이 해법을 알고 있다고 확신했던 삼차방정식의 한 형태인 ‘ax+x ³=b’의 풀이 문제를 냈다. 이 시합에 참가하기 8일 전까지만 해도, 피오르의 확신은 틀린 것이 아니었다. 그런데 행운과 영감 덕분에 타르탈리아는 풀잇법을 발견하고 세 가지 형태의 삼차방정식을 모두 해결하게 되었다. 시합이 시작된 지 단 두 시간 만에 모두 해결하며 승자가 되었다

타르탈리아는 사실 3차방정식의 해법을 처음으로 발견한 수학자이다. 그런데 그 해법을 카르다노에게 알려주고 카르다노가 자신이 발견한 것이라고 발표하였고 카르다노에게 명예를 되찾아오고 싶어 타르탈리아는 카르다노에게 누가 더 3차방정식을 잘 푸는지 내기를 하자고 했는데 카르다노는 자신이 없어서 제자 페라리를 대신 내보내었다. 그런데 페라리의 수학실력이 뛰어나 타르탈리아보다 먼저 풀어 누명을 더 쓰게 되었다.

그는 어린시절 그가 살고 있던 마을이 프랑스의 침략으로 머리가 다치고 턱이 깨졌는데 그래서 턱을 수염으로 가리고 다녀야되었고 발음을 제대로 할 수가 없게 되었다 이런 이유로 말더듬이 라는 별명을 갖게 되었다.

그는 3차방정식의 해법을 처음으로 발견한 수학자인데 유일하게 해법을 알려준 카르다노가 자신이 발견한 것이라고 발표하였고 카르다노에게 명예를 되찾아오고 싶어 타르탈리아는 3차방정식 내기를 제안했다 자신이 없던 카르다노는 제자 페라리를 대신 내보내었는데 페라리가 타르탈리아보다 먼저 풀어 그는 해법을 빼앗기게 되었다

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자료수집)파스칼의 수학연구분야

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자료수집)파스칼의 수학연구분야

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1) 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형이란, 아래 그림과 같이

이항계수를 삼각형 모양으로 배열 한 것을 말합니다.

파스칼의 삼각형의 용도는 "조합수를 규칙성을 갖고 효율적으로 계산"하는 것으로

조합수를 계산해야 하는 상황을 마주할 때, 파스칼의 삼각형을 떠올려보면 계산이 쉬워질 것입니다.

파스칼의 삼가형 특징

1)삼각수

파스칼의 삼각혀의 3행 1열에서 시작하는 오른쪽 아래 방향의 대각선의 수는 1,3,6,10,15,21...이다 이 수들은 정삼각형 모양으로 점을 배열했을 때 그 모양을 이루고 있는 점의 개수인 삼각수(triangular number)가 된다

2)하키 스틱 패턴

파스칼의 삼각형에서 각 행의 첫 번째 수나 마지막 수인 1에서 시작하여 대각선 방향에 배열된 수들을 더하면 그 다음 행의 오른쪽이나 왼쪽에 있는 수가 된다.

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제목을-입력해주세요_-001

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만약 아주 간단한 경우를 무시한다면 수학의 모든 분야에서 합이 엄밀하게 결정되는 무한급수는 하나도 없을 것 이다 다시 말하면 수학의 가장 기초가 없는 상태로 서 있게 된다

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1. 생애

1540년 프랑스의 퐁테네(Fontenay) 르콩트에서 태어났으며 수도원에서 엄격한 교육을 받음.

아버지는 변호사였고 어머니는 국회의장의 고모였음.

18세에 프와띠에(Poitiers) 대학에서 법학 공부, 19세에 법학사 학위 취득, 변호사 자격증 취득.

당시 구교 카톨릭 신자들과 신교도인 위그노들의 대립이 심하였음. 비에트는 카톨릭 신자였지만 한때 신교도의 집안에 고용되었다는 이유로 ‘국회 변호사’ 일은 하지 못함.

브리타뉴 지방으로 옮겨 ‘국회 변호사’ 일을 하였으며, 발로아(Valois) 집안 출신의 마지막 프랑스 왕이었던 앙리 2세의 휘하에서 궁정의 개인고문으로 활약. 그곳에서 대수학 이론을 발전시킴.

1574년 샤롤 9세(당시 왕)가 사망하고 앙리 3세가 권좌를 물려받았으며 6년 뒤 비에트는 왕의 고문이 됨.

앙리 3세가 살해당하고 앙리 4세가 왕이 됨. 앙리 4세는 비에트를 고용하여 구교도들의 음모가 작성된 암호문을 해독하게 함.

앙리 4세가 낭트칙령을 발표하고 개신교에도 가톨릭과 동등한 권리 부여. 비에트는 이때 많은 공직을 맡았으며 1603년 파리에서 숨을 거둘 때까지 대수학과 관련된 업적을 다수 세움.

1603년 파리에서 사망

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자료수집-5) 기타(참고자료영상)

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자료수집-5) 기타(참고자료영상)

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자료수집 2) 수학연구분야

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자료수집 2) 수학연구분야

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3. 논문 및 저서

수학 요람 : 삼각함수에 관한 내용을 싣고 있다. 일 때 의 값을 에 관한 식으로 나타내었다.

해석학 서설 : 기호를 이용하여 대수의 내용을 전개한 책이다.

방정식의 수학적 해법 : 방정식의 근을 연속적으로 근사시키는 체계적인 과정을 소개하였다.

방정식의 재검토와 수정 : 방정식론에 관한 많은 내용을 담고 있다. 비에트가 사망한 후 1651년 출간되었다.

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데카르트 수학분야 (업적)

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데카르트 수학분야 (업적)

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르네 데카르트의 가장 큰 업적 중 하나는 해석기하학의 창시이다. 특히 그가 고안한 직교좌표계는 이전까지 독립적으로 다루어졌던 대수론과 기하학을 체계적으로 융합시켜 자신 이후의 뉴턴역학을 비롯한 근대 수학과 과학의 발전에 바탕이 되었다. 데카르트의 직교좌표계는 당시까지 지배적이었던 유클리드의 기하학적 공간을 대체하였고, 이는 아인슈타인이 새로운 공간 개념을 도입할 때까지 계속 사용되었다.
논문에서 그는 곡선에 대수 방정식을 부여하는 방법을 발견해, 모든 원추곡선을 단 한 종류의 2차 방정식으로 표시하는 데에 성공하고 그를 제시함으로써 과학과 수학을 연결하는 중요한 연결고리를 만들었다. 또한 그는 숫자(밑) 위에 작은 숫자(지수)를 씀으로써 거듭제곱을 간단하게 표현하는 방식을 생각해냈다.
방정식의 미지수에 처음으로 x를 사용한 것도 르네 데카르트의 업적이다. 1618년 르네 데카르트는 네덜란드로 여행을 떠나 이삭 베크만을 조우했으며, 그에게 많은 문제에 수학을 적용하는 방법을 보여주었다. 그는 수학이 어떻게 류트의 음정을 맞추는 데에 정확하게 응용될 수 있는지와 무거운 물체가 물 속에 들어갔을 때 수면의 높이 변화를 나타내는 대수적인 공식을 제안했다. 또한 진공 상태에서 물체가 낙하할 때 임의의 시간에서 그 물체가 가속하는 속도를 예측하는 방법과 어떻게 회전하는 팽이가 똑바로 서있으며 이를 통해 인간이 공중에 뜰 수 있는 방법을 이야기했다.

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최초로 체계적인 대수기호법 소개 : 비에트는 소수, 덧셈, 뺄셈, 분수 표시를 위한 기호들을 도입하여 대중화시켰다. 또한 영어의 알파벳을 방정식에서 미지수의 계수와 상수로 표현.비에트는 기지량을 자음으로 나타냈으며 미지량을 모음으로 나타냄

대수학을 수학의 기초로 확립 : 카르다노는 ‘대수학의 공식을 기하학에서 증명한다’고 생각했으나 비에트는 이것을 바꾸어 ‘기하학의 작도를 대수학을 이용하여 정당화한다’로 전환.

삼각함수와 관련된 여러 가지 공식 : 삼각함수의 덧셈정리 등 여러 가지 공식을 만들어냈다.

작도가능성 증명 : 사차방정식, 삼차방정식, 이차방정식, 일차방정식으로 나타나는 도형은 컴퍼스와 눈금 있는 자로 작도할 수 있다는 사실을 증명하였다.

비에트는 삼각법, 대수, 기하학 등에 관하여 많은 저술을 하였는데, 그 중에서 중요한 다음과 같다.

<수학요람> (Canon mathematicus seu ad triangula) -1579

<해석학 서설> (In artem analyticam isagoge) -1591

<보 기하학> (Supplementum geometriae) -1593

<방정식의 수학적 해법> (De numerosa potestatum resolutione) -1600

<방정식의 재검토와 수정> (De aeguationum recognitione et emendatione)

-이는 비에트가 죽은 후 1615년에 출간되었다.

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레온하르트 오일러

생애: 1707년 4월 15일 ~ 1783년 9월 18일(향년 76세)

1707년 스위스 바젤에서 태어났다. 어린 시절 요한 베르누이에게 수학적 재능을 인정받고 수학자의 길을 걷게 되었다고 한다. 13세에 대학에 입학하면서 신학을 전공할지 수학을 전공할지 많은 갈등을 하다가 결국 수학을 전공하기로 하지만, 평생동안 독실한 기독교 신자로 남았다.
20세인 1727년에 베르누이 형제의 추천으로 러시아의 페테르부르크 아카데미로 건너갔다. 이 페테르부르크 아카데미에는 요한 베르누이의 아들 다니엘 베르누이가 교수로 있었기 때문이다. 6세의 나이로 수학과장이 되었다.(다니엘이 러시아를 떠나서) 활동하던 스위스 출신 화가 게오르크 그셀의 딸 카타리나와 결혼했다. 그러나 그는 과한 연구로 인해 1735년, 28살에 오른쪽 눈의 시력을 잃게 된다.

1741년에는 프리드리히 대왕의 초청을 받아 베를린 아카데미로 적을 옮겼다가 다시 러시아로 와달라는 예카테리나 2세의 요청을 수락해 1766년에 다시 러시아로 되돌아간다. 하루에 20시간 이상을 연구에 매진하여 몸을 혹사시켜온 오일러는 오른쪽 눈을 잃은 후에도 계속 이런 생활을 반복하다가 결국 백내장으로 인해 다른 한 쪽의 눈까지도 못 보게 되어 1766년부터 세상을 떠날 때까지 약 17년을 맹인으로 살았다.

시각 장애인이 된 후에 오일러는 영국 해군이 낸 문제인 태양, 달, 지구의 위치를 정확하게 계산하는 법을 연구하기도 했다.그러나 만유인력을 매개체로 하여 상호 작용하는 세 개의 물체의 위치를 알아내는 것은 이른바 '삼체문제'라 하여, 이후 앙리 푸앵카레에 의해 결코 풀 수 없음(즉, 해가 없음)이 증명된 문제이다. 하지만 오일러는 발상을 전환해 위치를 정확하게 계산하는 대신 근사치를 구하는 방법을 생각해 냈다. 그는 반복 연산법(알고리즘)을 개발하였는데, 이것은 첫 계산으로 대략적인 값을 알아낸 후 그 결과를 다시 계산식에 넣어서 더 정확한 값을 얻어내는 과정을 반복하는 것이다.이렇게 해서 오일러는 배의 위치를 km 단위까지 정확하게 알아낼 수 있었고, 이에 영국 해군은 상금을 지급함으로써 그의 공로를 인정했다.

1783년 9월 18일 그는 가족들과 점심 식사를 한 후 학술회의 동료 안데르스 요한 렉셀과 함께 새로 발견한 행성 우라노스(천왕성)의 궤도를 연구하던 도중 갑작스런 뇌출혈로 쓰러졌다. 몇 시간 후 오일러는 평생토록 쉴 새 없이 계속했던 위대한 계산을 멈추고 수학자로서의 삶에 종지부를 찍었다. 그 후 러시아 상트페테르부르크의 제카브리스토프 섬에 있는 스몰렌스키 루테란 묘지에 묻혔다.

수학연구분야 :  미적분학, 그래프 이론, 위상수학, 해석적 수론(복소수)

⇒ 수학에서 실수와 허수의 합의 꼴로써 나타내는 수. 두 실수 a, ba,b에 대하여 a+bia+bi(단, a, ba,b는 실수)(ii는 허수단위)[1]로 나타내는 체(field)를 여러개의 단위로 이루어진 수라는 데에서 복소수라 하며, aa를 실수 부분, bb를 허수 부분이라고 한다.

업적 : 기하학, 미적분학, 삼각법, 대수학, 정수론 등 수학의 거의 모든 분야뿐만 아니라 연속체 역학, 천문학 등 여러 물리학 분야에서도 많은 업적을 남겼다. 많은 수학 개념에 오일러의 이름이 들어가 있는데, 그는 자신의 이름을 딴 상수가 두 개인(오일러-마스케로니 상수와 오일러 상수) 유일한 수학자이기도 하다.

명언 : “우리는 우리의 판단력보다는 도리어 대수적 계산에 신뢰를 두어야 한다.”

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풀 수 없는 문제는 없다.
-프랑수와 비에트1540~1603-

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칸토어는 1845년 3월 3일 (율리우스력 2월 19일)에 러시아 상트페테르부르크에 살던 독일인 부모 밑에서 6형제 중 첫째로 태어났다. 태어난 후 독일로 돌아온 칸토어는 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker) 같은 수학자에게 배우며 수학 연구에 전념하게 되었고 결국 1867년 베를린대에서 정수론 연구로 박사학위를 받는다. 또한 크로네커 등의 도움으로 독일 할레 대학교에서 교편을 잡게 된다. 1874년에 발리 구트만과 결혼하여 슬하에 6명의 자녀를 두게 된다.

곧 그의 흥미는 집합과 무한에 관한 내용으로 돌아갔는데, 특히 무한에 관한 급진적(?) 주장 때문에 여러 수학자들에게 비판을 받은 바 있다. 철저한 유한주의를 고수하던 지도교수 크로네커는 그를 고깝게 여겼는지 칸토어가 베를린대에서 교수직을 얻는 것을 막았다고 하며, 이외에도 앙리 푸앵카레 등 직관주의자들은 칸토어의 무한집합론을 수학적 질병이라며 강하게 비판하였다.

이러한 배경 탓인지 칸토어가 앓던 정신질환은 나날이 심해졌다. 할레 대학에서 교수로 있던 동안 칸토어는 우울증 비슷한 증세를 보이며 수년 주기로 입원, 복귀를 반복했는데, 이후 각종 이상행동을 하기에 이른다. 특히 셰익스피어의 정체가 사실은 프랜시스 베이컨이었다는 설에 집착하여 강의에서 이런 소리만 주구장창 늘어놓는다든지, 중상모략을 당하고 있다며 대학에 이상한 편지를 보낸다든지... 그럼에도 불구하고 할레 대학은 대인배스럽게 칸토어가 교수직을 유지할 수 있도록 많은 도움을 주었고, 칸토어는 이런 와중에도 대각선 논법을 발표하고 집합론을 정립하는 등 여러 업적을 이루어낼 수 있었다.

제1차 세계 대전 동안 칸토어는 궁핍과 영양 부족에 시달렸고, 1918년 1월 6일 정신병원에서 사망했다. 아내에게 마지막으로 보낸 편지는 병원에서 내보내달라는 내용이었다.

칸토어의 주요 업적으로는 수학에 집합 개념을 도입한 것과 동시대 수학자 데데킨트와 더불어 실수 개념의 엄밀한 정의, 그리고 당대 수학자들이 기피하던 무한에 대한 적극적인 탐구로 볼 수 있다.

칸토어는 일대일 대응의 개념을 통해 집합의 크기. 즉 원소의 개수를 정의했고, 이에 따라 무한집합도 그 크기가 다를 수 있다는 것을 보였다. 실제로 그는 자연수와 짝수, 유리수는 그 개수가 같지만, 실수는 자연수보다 훨씬 많다는 것을 증명했다. 이 증명에서 그는 유명한 대각선 논법을 개발했다.

말년에 그는 연속체 가설을 증명하기 위해서 노력했지만 실패했다. 그 뒤 그가 세상을 떠난 후에 괴델과 코언에 의해 연속체 가설의 독립성이 증명되었다.

게오르크 칸토어의 명언   수학의 본질은 자유로움에 있다.

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자료수집-1)생애,업적

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자료수집-1)생애,업적

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생애:1811년 10월 25일 프랑스의 소도시 부르 라 렌 시장의 아들로 태어났다. 아버지는 시골 학교의 교장으로 재직하다 시장에 당선된 이후 17년 동안이나 쭉 시장을 역임했으니 갈루아는 상당히 좋은 집안 출신인 셈이다. 12살에 고향을 떠나 명문 기숙 학교 '리세 루이 르 그랑'에 입학했고, 언어 방면에서 천재적인 면모를 보이며 교사들 사이에서 유명해진다.

15살에 우연히 프랑스 수학자 아드리앵 마리 르장드르가 쓴 <기하학 원론 Éléments de géométrie, 1794>을 접한 갈루아는 2년 과정으로 쓰인 그 책을 단 이틀 만에 모조리 읽어냈다고 전해진다. 그것도 학생들을 대상으로 쓴 교재가 아닌 그 당시 수학자들을 대상으로 쓴 전문 서적을 독파한 것이다. 그야말로 엄청난 열정과 압도적 재능이 있었기에 전해질 수 있는 일화.

이후 갈루아는 수학에 지나칠 정도로 집착하여 학교생활에 흥미를 잃었고, 오직 상급 학교인 에콜 폴리테크니크로 가는 것과 이름난 수학자들을 만나 전문 수학을 공부하는 것만이 목표가 되었다. 문제는 수학 이외 다른 과목들은 낙제를 했다는 것. 또한 자신보다 지적 능력이 떨어지는 동급생이나 교사를 무시하기 일쑤였기 때문에 학교 내에서도 따돌림을 당했다. 타인을 배려하고 이해하는 의사 소통 능력의 부족이 갈루아의 가장 큰 단점이었다. 생활 기록부에도 갈루아의 정신 상태가 광기라고 적혀 있으며, 심지어 이해심 많은 갈루아의 어머니조차 아들이 정신병이라고 우려할 정도였다.

업적:현대 수학의 아주 많은 분야에 걸쳐있는 군론의 시작과 그 무한한 확장이 갈루아의 업적이다. 군론이라는 것은 그 범위와 영향이 너무나 커서 위키에서 다룰만한 지식이 아니다. 수학뿐만 아니라 물리학 등 수학으로 기술되는 여러 학문들에도 지대한 영향을 미쳤다.

(아래의 내용은 갈루아의 본 업적이라기보다는, 현대수학의 언어로 다시 쓰인 내용을 요약한 것이므로 주의바람. 자세한 내용 및 정확한 정보를 위해선 웬만하면 수학사 서적과 대수학 교재를 참고.)

현대대수학의 갈루아 이론은, 아주 간단히 말하자면, 방정식과 그 근들을 치환하는 군을 연관시켰다고 할 수 있다. 예를 들어 방정식 x² - 2 = 0 의 근인 √2와 -√2, 유리수로 만들어진 수 집합 Q(√2) = {a + b√2 | a,b는 유리수} 에서 √2와 -√2를 서로 바꾸는 치환은 이 집합에 a + b√2 → a - b√2 로 작용한다.

이를 일반화해서, 임의의 n차 다항방정식 f(x) = 0에 대해 f(x) = 0의 근과 유리수로 만들어진 수의 집합을 F라 하고, F→F의 자기동형사상(합과 곱을 보존하는 일대일함수)들의 군을 f의 갈루아 군(Galois group)이라 정의하자. 그러면 갈루아 군은 방정식의 근들을 유일한 방식으로 치환하고, 따라서 대칭군 Sn 의 부분군으로 볼 수 있다. 예를 들어서 위의 경우, 즉 f(x)=x^2^ -2 이고 F = Q(√2)인 경우, f의 갈루아 군은 항등함수와 위에서 생각한 '켤레연산'의 두 원소로 이루어져 있고, 이는 근들의 집합 {√2, -√2}의 대칭군과 동형이라고 생각할 수 있다. (하나는 항등치환, 하나는 자리바꿈으로)

갈루아 이론에서 방정식에 대한 결과만을 간추리자면, f(x)=0의 방정식을 (사칙연산과 제곱근호만으로) 풀 수 있다는 것은 f의 갈루아 군이 가해성(solvability)이라 불리는 특정 조건을 만족한다는 것과 동치이다. 한편 3차와 4차 대칭군 S₃ 과 S₄ 은 모두 가해군이지만,S₅ 는 가해군이 아니다. 따라서 5차 다항식 f의 갈루아 군이 S₅ 그 자체가 된다면, 그 방정식은 풀 수 없다. 실제로 실수가 아닌 근이 정확히 2개 존재하는 5차방정식이 이러한 조건을 만족하기 때문에, 일반적으로 5차방정식의 근의 공식은 존재하지 않는다.

사실 갈루아 당시에는 군의 개념조차 없었다. 현대대수학의 추상적 군의 개념은 갈루아의 이론을 바탕으로 해서 세워진 것이기 때문이다. 현대대수학의 어떤 강력한 도구도 없이, 순전히 대칭다항식에 대한 근대적 산술만을 써서 이 이론을 전개한 갈루아의 천재성은 엄청나다는 수식도 부족할 정도이다.
그리고 이 사람의 등장으로 현대수학에는 숫자보다 기호가 더 많이 등장하게 되었다.

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자료조사-1)연구분야:방정식

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갈루아 이론이란, 체의 대칭성에 대한 정보를 '손실 없이' 군으로 가져와 연구하는 이론이다. 여기서 "손실"이 없다는 것은, 체의 확장에서 부분체를 고정시키는 고정군에 여러 부분체가 대응되거나, 부분군에 대한 고정체가 여럿 대응되지 않는 상황을 일컫는다. 즉, 고정체와 고정군이 일대일 대응되는 상황을 다루고자 하는 것이다. 이 상황을 보장해주는 확장이 갈루아 확장이며, 이때의 일대일 대응을 갈루아 대응이라 부른다.

갈루아 이론의 가장 대표적인 사례가 대수 방정식의 대수적 가해성 판별 문제이다. 이 문제를 예로 들어 갈루아 이론을 다시 설명하자면, 방정식의 차수가 높아질수록 대수 방정식이 풀리는 체의 확장으로서 갈루아군의 대칭성이 떨어진다. 즉, 유리 계수 5차 방정식부터는 갈루아군이 가해군이 아닐 수 있게 되어, 대수적 해법이 없게 된다.

'미분 갈루아 이론'이란 것도 있는데, 여기선 미분체(미분 연산을 갖춘 체)에 갈루아 이론 비스무리한 방법을 적용하여 어떤 함수의 부정적분이 초등함수로 표현될 수 있는지 알아낼 수 있다.

또한 모든 유한군을 유리수체의 확대체의 갈루아군으로 표현할 수 있는지에 대한 문제가 존재하는데, 이를 역 갈루아 문제라고 하며 아직까지 미해결 문제이다.

이하에서는 체의 내용을 모두 이해했음을 가정하고, 유한 확대에 한해 설명하기로 한다. 무한 확대에 대해서는 말미에 간단히 언급할 것이다.

학부생에게는 4학기 내지 5학기 동안 진행되는 학부 대수학 강의의 대미를 장식하는 이론이기도 하다. 그만큼 어렵기도 해서인지 갈루아 이론이 포함된 과목은 그전까지만 해도 빵빵하던 대수학 수강생들이 해당 과목 시기만 되면 언제 수강했냐는 듯 우르르 빠져나가기도 하는 과목이다.

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갈루아 이론이란, 체의 대칭성에 대한 정보를 '손실 없이' 군으로 가져와 연구하는 이론이다. 여기서 "손실"이 없다는 것은, 체의 확장(field extension)에서 부분체(subfield)를 고정시키는 고정군에 여러 부분체가 대응되거나, 부분군(subgroup)에 대한 고정체(fixed field)가 여럿 대응되지 않는 상황을 일컫는다. 즉, 고정체와 고정군이 일대일 대응되는 상황을 다루고자 하는 것이다. 이 상황을 보장해주는 확장이 갈루아 확장(Galois extension)이며, 이때의 일대일 대응을 갈루아 대응(Galois correspondence)라 부른다.

갈루아 이론의 가장 대표적인 사례가 대수 방정식의 대수적 가해성 판별 문제이다. 이 문제를 예로 들어 갈루아 이론을 다시 설명하자면, 방정식의 차수가 높아질수록 대수 방정식이 풀리는 체의 확장으로서 갈루아군의 대칭성이 떨어진다. 즉, 유리 계수 5차 방정식부터는 갈루아군이 가해군이 아닐 수 있게 되어, 대수적 해법이 없게 된다.

'미분 갈루아 이론'이란 것도 있는데, 여기선 미분체(미분 연산을 갖춘 체)에 갈루아 이론 비스무리한 방법을 적용하여 어떤 함수의 부정적분이 초등함수로 표현될 수 있는지 알아낼 수 있다.

또한 모든 유한군을 유리수체의 확대체의 갈루아군으로 표현할 수 있는지에 대한 문제가 존재하는데, 이를 역 갈루아 문제(inverse Galois problem)라고 하며 아직까지 미해결 문제이다.

이하에서는 체(대수학)의 내용을 모두 이해했음을 가정하고, 유한 확대에 한해 설명하기로 한다. 무한 확대에 대해서는 말미에 간단히 언급할 것이다.

학부생에게는 4학기 내지 5학기 동안 진행되는 학부 대수학 강의의 대미를 장식하는 이론이기도 하다. 그만큼 어렵기도 해서인지 갈루아 이론이 포함된 과목은 그전까지만 해도 빵빵하던 대수학 수강생들이 해당 과목 시기만 되면 언제 수강했냐는 듯 우르르 빠져나가기도 하는 과목이다.

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칸토어는 1845년 3월 3일 (율리우스력 2월 19일)에 러시아 상트페테르부르크에 살던 독일인 부모 밑에서 6형제 중 첫째로 태어났다. 태어난 후 독일로 돌아온 칸토어는 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker) 같은 수학자에게 배우며 수학 연구에 전념하게 되었고 결국 1867년 베를린대에서 정수론 연구로 박사학위를 받는다. 또한 크로네커 등의 도움으로 독일 할레 대학교에서 교편을 잡게 된다. 1874년에 발리 구트만과 결혼하여 슬하에 6명의 자녀를 두게 된다.

곧 그의 흥미는 집합과 무한에 관한 내용으로 돌아갔는데, 특히 무한에 관한 급진적(?) 주장 때문에 여러 수학자들에게 비판을 받은 바 있다. 철저한 유한주의를 고수하던 지도교수 크로네커는 그를 고깝게 여겼는지 칸토어가 베를린대에서 교수직을 얻는 것을 막았다고 하며, 이외에도 앙리 푸앵카레 등 직관주의자들은 칸토어의 무한집합론을 수학적 질병이라며 강하게 비판하였다.

이러한 배경 탓인지 칸토어가 앓던 정신질환은 나날이 심해졌다. 할레 대학에서 교수로 있던 동안 칸토어는 우울증 비슷한 증세를 보이며 수년 주기로 입원, 복귀를 반복했는데, 이후 각종 이상행동을 하기에 이른다. 특히 셰익스피어의 정체가 사실은 프랜시스 베이컨이었다는 설에 집착하여 강의에서 이런 소리만 주구장창 늘어놓는다든지, 중상모략을 당하고 있다며 대학에 이상한 편지를 보낸다든지... 그럼에도 불구하고 할레 대학은 대인배스럽게 칸토어가 교수직을 유지할 수 있도록 많은 도움을 주었고, 칸토어는 이런 와중에도 대각선 논법을 발표하고 집합론을 정립하는 등 여러 업적을 이루어낼 수 있었다.

제1차 세계 대전 동안 칸토어는 궁핍과 영양 부족에 시달렸고, 1918년 1월 6일 정신병원에서 사망했다. 아내에게 마지막으로 보낸 편지는 병원에서 내보내달라는 내용이었다.

칸토어의 주요 업적으로는 수학에 집합 개념을 도입한 것과 동시대 수학자 데데킨트와 더불어 실수 개념의 엄밀한 정의, 그리고 당대 수학자들이 기피하던 무한에 대한 적극적인 탐구로 볼 수 있다.

칸토어는 일대일 대응의 개념을 통해 집합의 크기. 즉 원소의 개수를 정의했고, 이에 따라 무한집합도 그 크기가 다를 수 있다는 것을 보였다. 실제로 그는 자연수와 짝수, 유리수는 그 개수가 같지만, 실수는 자연수보다 훨씬 많다는 것을 증명했다. 이 증명에서 그는 유명한 대각선 논법을 개발했다.

말년에 그는 연속체 가설을 증명하기 위해서 노력했지만 실패했다. 그 뒤 그가 세상을 떠난 후에 괴델과 코언에 의해 연속체 가설의 독립성이 증명되었다.

명언 수학의 본질은 자유로움에 있다.

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Lycee Louis le Grand(루이 대왕 고등학교). 이 학교 출신의 유명인으로는 로베스피에르와 빅토르 위고가 있다. 앙리 4세 고등학교(Lycee Henri-IV)와 함께 공립 학교 중에서는 프랑스에서 최고 수준으로 알아주는 명문고이기도 하다.

[2] 그랑제콜 중 하나로서, 현재까지도 상당한 권위를 갖추고 있다.

[3] 막내동생을 제외한 나머지 가족들은 갈루아를 미쳤다고 외면했다고 한다.

[4] 1789~1857, 코시-슈바르츠 부등식의 그 분

[5] 아버지가 취미로 풍자시를 짓고는 했는데, 가톨릭 신부가 지역의 명사를 저질적으로 음해하는 풍자시를 갈루아 아버지의 이름으로 작성해서 발표해버렸다.

[6] 갈루아의 아버지를 자살하게 한 장본인인 예수회 가톨릭 신부는 이후 뻔뻔하게 갈루아의 아버지 장례를 진행했다가, 그 위선에 분노한 시민들에게 욕설과 함께 돌 세례를 맞고 허겁지겁 달아났다.

[7] 여기에 관해서 실은 칠판지우개 투척 사건은 없었고 후대의 전기 작가의 창작에 불과하다는 이야기도 있다.

[8] 이 보고서에 칠판지우개 투척이 기록되어 있다고 한다.

[다만] "그것은 자명하다"라는 말을 반복했다는 자료를 찾을 수 없다. "너무 자명했기 때문에(trivial)"를 오역한 것이 아닌지.

[10] 살아생전에 갈루아가 자신의 업적을 인정받지 못했던 가장 큰 이유 중 하나가 귀찮은 부연설명은 다 건너뛰는 습관을 갖고 있었기 때문이다.

[11] 현재는 에콜 노르말 쉬페리외르. 파리 고등사범학교. 이 역시 그랑제콜의 하나다.

[12] 지금은 다수의 필즈상 수상자를 배출하는 등 수학 쪽으로도 유명하지만 당시에는 수학 쪽으로는 그렇게 유명하지 않았다.

[13] 이에 관해선 여러 가지 설이 존재한다. 하나는 코시가 갈루아의 논문을 분실했다는 설이고 다른 하나는 코시가 자기가 발표하는 대신, 갈루아가 직접 아카데미 프랑세즈가 최고의 과학 및 수학자에게 수여하는 그랑프리에 도전하도록 권유했다는 설이다. 이와 반대로 코시가 논문을 고교생이 썼다는 것을 알고 처음부터 읽어보지도 않았다는 설도 있다.

[14] 또는, 마리오 리비오가 작성한 책엔 당시 코시는 자기중심적이였다고 서술했으며, 실제로 닐스 헨리크 아벨의 논문도 개무시했다.

[15] 1768~1830. 푸리에 급수의 그 사람.

[16] 1832년 1월 2일자엔 언제까지 학생들은 하루 종일 수동적으로 강의를 듣거나 아니면 반복해 암송만 해야 할까? 축적된 지식을 숙고할 시간은 언제나 주어질까? 수많은 정리와 연관성 없는 계산들을 정리하여 내재된 패턴을 찾아낼 수 있는 시간은 언제나 주어질까? 학생들은 시험 통과에 관심이 있지 학습 자체에는 그다지 관심이 없다. 라는 칼럼을 기고해 팩트폭력을 날렸으나, 안타깝게도 교수법이 바뀌고 영재교육이 도입된 시기는 그가 죽고 한참이 지나서 이루어지기에 당시엔 아무도 관심을 안 가졌다.

[17] 1781~1840.전자기학에 주로 나오는 푸아송 방정식과 재료역학을 수강했다면 익숙할 푸아송 비(Poisson's ratio), 혹은 확률 분포를 공부하면 나오는 푸아송 분포의 그 푸아송이다.

[18] 당시에는 알렉상드르 뒤마, 화학자 라페 등 거물들이 모여있었다.

[19] 두 사람이 서로를 향해 총을 쏘는 것이 당시 유행하던 결투의 방식이었다.

[20] 알프레드는 1848년 2월 혁명이 성공하자 이를 보지 못한 채 눈을 감은 형의 동판화를 제작했다.

[21] 장례식 당시 폭동이 일어날 것을 우려한 정부가 혁명 동지들을 수십 명 체포했지만 그래도 장례식장에서 난동이 일어났다고 한다.

[22] 그러나 아벨 역시 사후에야 이 상을 받게 되었다. 그리고 별 상관없지만, 생전에 갈루아는 아벨의 연구 성과를 알고 있었고 그를 천재라며 좋아했다고 전해진다. 참고로 아벨은 1829년 4월 6일 27살, 갈루아는 1832년 5월 31일, 20살로 삶을 마감했다.

[23] 갈루아가 참가한 그랑프리에서 갈루아를 이긴 수상자였다.

[24] Joseph Liouville. 1809~1882. 최초로 초월수의 존재를 증명한 수학자. 리우빌의 정리로 유명하다.

[25] 푸앵카레 추측의 바로 그 사람이다.

[26] 샤를 에르미트(Charles Hermite, 1822~1901). 수학 분야에서 상당한 천재였음에도 어릴 적부터 다리 하나를 절었다는 이유만으로 퇴학당했다. 다만 이는 에콜 폴리테크니크가 항목에서 나오듯이 시작이 사관학교 같은 성격이 있었기 때문이다. 퇴학당한 에르미트는 열심히 공부하여 갈루아랑 비슷한 20살 나이로 논문을 발표해 인정받아 수학적 성과를 이루자 퇴학당한지 몇 년 안가 에콜 폴리테크니크 측은 에르미트를 조교로 받아들였고 그는 나중에 정식 교수가 된다. 에르미트는 신체적, 정신적 문제가 있어도 천재적인 수학자에 대하여 관대했기에 에콜 폴리테크니크 입시제도 개편에 열심히 나섰다.

[27] 엄밀하게는 확장체(extension field)

[28] 가해성을 정확히 말하자면: 군 G에 대해 1=G₀ , G₁ , ..., Gk = G 의 열이 있어, Gi+1 / Gi 가 가환이다.

[29] 따라서 3차방정식과 4차방정식을 풀 수 있었던 것이다. 한편으로는 갈루아 이론을 활용해서 카르다노와 페라리의 공식을 유도할 수도 있다.

[30] 과장해서 말하자면 근과 계수와의 관계 뿐

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'나는 시간이 없다'

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좌표의 역사(주인공: 데카르트 출현!!! )

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[5분 정리] 흙수저 수학자 아벨. 그의 흥미로운 인생 이야기 (수학 노벨상, 존 내쉬 아벨상) [동기부여/자기계발] - YouTube

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[5분 정리] 흙수저 수학자 아벨. 그의 흥미로운 인생 이야기 (수학 노벨상, 존 내쉬 아벨상) [동기부여/자기계발]

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[20대가 세상을 바꾼다]를 증명한 아벨과 갈루아

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이 페이지의 내용만을 바탕으로 이ㅣ 

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이 페이지의 내용만을 바탕으로 이ㅣ 책에 담긴 이야기를 간단히 요약해줘. 아래의 내용은 꼭 포함해 주고 리스트 형태로 표시해줘. title(제목): The WONDERFUL WIZARD of OZ(오즈의 마법사)처럼 형식을 갖춰서 작성해 줘. 제목, 주요인물들, 줄거리를 꼭 간단하게 핵심만 적어줘.줄거리는 전체 내용의 핵심을 딱 3문장으로만 요약해서 적어줘. 모든 영어 단어나 문장 뒤에넌 () 안에 한글 번역을 작성해서 바로 이해할 수 있도록 도와줘

보낸 메시지. 이 페이지의 내용만을 바탕으로 이ㅣ 책에 담긴 이야기를 간단히 요약해줘. 아래의 내용은 꼭 포함해 주고 리스트 형태로 표시해줘. title(제목): The WONDERFUL WIZARD of OZ(오즈의 마법사)처럼 형식을 갖춰서 작성해 줘. 제목, 주요인물들, 줄거리를 꼭 간단하게 핵심만 적어줘.줄거리는 전체 내용의 핵심을 딱 3문장으로만 요약해서 적어줘. 모든 영어 단어나 문장 뒤에넌 () 안에 한글 번역을 작성해서 바로 이해할 수 있도록 도와줘

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이 페이지를 이용해서 고등학교 학생들

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이 페이지를 이용해서 고등학교 학생들에게 50분간 수업하려고 하는데 교수학습과정안을 표로 작성해줘. 교사의 역할, 학생의 역할을 구분해서 구체적으로 작성해 주고, 단계별로 소요시간을 표시해줘

보낸 메시지. 이 페이지를 이용해서 고등학교 학생들에게 50분간 수업하려고 하는데 교수학습과정안을 표로 작성해줘. 교사의 역할, 학생의 역할을 구분해서 구체적으로 작성해 주고, 단계별로 소요시간을 표시해줘