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¿Cómo definirías el concepto de las derivadas? Pregunta 1.

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¿Cómo definirías el concepto de las derivadas? Pregunta 1.

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“La derivada de una función en un punto proporciona una medida de cómo cambia el valor de la función cuando cambia la variable independiente. La derivada representa la tasa de cambio instantánea de la función”. (Casas, 2021).

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La derivada es una herramienta poderosa para estudiar y entender cómo cambian las funciones.

Su interpretación, propiedades y aplicaciones son fundamentales en diversas disciplinas, y su entendimiento es crucial para el desarrollo de técnicas más avanzadas en matemáticas aplicadas y teóricas.

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Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:

En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero.

Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido.

Debemos precisar que el límite de una función se define como la tendencia de esta (a qué valor se aproxima) cuando uno de sus parámetros (en este caso h) se acerca a un valor determinado.

Podemos entender mejor el límite de una función con algunos ejemplos. Veamos el siguiente caso:

En este caso, no ha sido necesario hallar el límite cuando h se acerca a cero, pues el resultado de dividir f(x+h)-f(x) entre h da como resultado a un número natural, y no a una expresión algebraica donde podamos encontrar a h, como es el siguiente caso:

Veamos ahora otro ejemplo:

Luego, dividimos entre h:

Finalmente, encuentro el límite cuando h se acerca a 0:

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La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

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Fórmula la derivada de una función en un punto x. Pregunta 1.

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Fórmula la derivada de una función en un punto x. Pregunta 1.

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Se define como el límite del cociente de la variación de la función cuando el incremento tiende a cero.

Donde:

( f'(x) ) representa la derivada de la función ( f ) en el punto ( x ).

( h ) es un incremento en ( x ) que tiende a cero.

( f(x+h) ) es el valor de la función en el punto ( x + h ).

( f(x) ) es el valor de la función en el punto ( x ).

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Importancia de las derivadas. Pregunta 1.

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Importancia de las derivadas. Pregunta 1.

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Las derivadas permiten medir la tasa de cambio de una función en un punto específico.

"Las derivadas son utilizadas en problemas de optimización para encontrar máximos y mínimos locales de funciones". (Casas, 2021).

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¿Cómo consideras que se relaciona una derivada con una función? Pregunta 2.

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¿Cómo consideras que se relaciona una derivada con una función? Pregunta 2.

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"La derivada de una función se relaciona con la tasa de cambio de esa función en un punto específico". (Pérez, 2021).

Es una medida de cómo varía el valor de la función cuando su variable independiente cambia.

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Qué es la derivada? | Concepto de derivada

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Aplicación de las derivadas. Pregunta 2.

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Aplicación de las derivadas. Pregunta 2.

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La derivada en un punto dado de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto.

Por ejemplo, si tienes una función que representa la posición de un objeto en función del tiempo, su derivada te dará la velocidad del objeto en un momento específico.

Existen diversas reglas y fórmulas para calcular derivadas, como la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena, que permiten calcular la derivada de combinaciones más complejas de funciones.

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Entre los muchos conceptos que presentan distintas dificultades para ser aprehendidos, sin duda alguna las derivadas ocupan un lugar destacado. Por eso, en pos de dejar en claro su importancia, es preciso señalar que las derivadas son conceptos fundamentales en el campo del cálculo y la matemática, y desempeñan un papel crucial en numerosas disciplinas, desde la física y la economía hasta la ingeniería y las ciencias de la computación.

A partir de lo dicho, bien vale la pena explorar qué es una derivada, cómo se calcula y cuáles son sus aplicaciones en la vida cotidiana.

En ese sentido, es posible decir que en términos simples, una derivada es una medida de cómo cambia una función matemática en relación con su variable independiente.

Proporciona información sobre la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. En otras palabras, suele ser descripta como un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales.

El concepto de derivada es de gran importancia en el campo de la matemática y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Tomando eso como base, la derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función); el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual esta siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada.

Por otra parte, la derivada se representa mediante el símbolo "d" o "dx" y se lee como "diferencial de x" o "diferencial respecto a x".

Cómo se calcula y cómo se aplica una derivada

Para calcular una derivada, se utiliza el concepto de límite. Se toma una función y se calcula la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto específico. Este proceso se realiza mediante el uso de reglas y fórmulas derivadas, como la regla del poder, la regla de la cadena y la regla del producto.

En cuanto a su aplicación, las derivadas tienen una amplia gama de posibilidades prácticas, en diversas áreas. A continuación, se presentan algunas de las principales aplicaciones de las derivadas:

Análisis de funciones y gráficos. Las derivadas permiten comprender el comportamiento de las funciones matemáticas. Ayudan a identificar los máximos y mínimos de una función, determinar su concavidad, localizar puntos críticos y analizar la tendencia de una función en un intervalo determinado. Estas aplicaciones son esenciales en el análisis de datos y la toma de decisiones basada en información numérica.

Física y ciencias naturales. Las derivadas desempeñan un papel fundamental en el estudio del movimiento y las leyes del movimiento en la física. Permiten calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en función del tiempo, lo que resulta crucial para comprender fenómenos físicos como la caída libre, el movimiento de proyectiles y la dinámica de los cuerpos en movimiento.

El concepto de derivada es de gran importancia en el campo de la matemática y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Economía y finanzas. En el campo de la economía y las finanzas, las derivadas se utilizan para analizar y predecir cambios en variables económicas como la demanda, el suministro, los precios y los ingresos. También se aplican en la valoración de opciones financieras y derivados, ayudando a los inversores y analistas a evaluar los riesgos y las oportunidades en los mercados financieros.

Ingeniería y ciencias de la computación. Las derivadas son esenciales en el diseño y análisis de sistemas y procesos en la ingeniería y las ciencias de la computación. Se utilizan para optimizar funciones y modelos, calcular tasas de cambio en sistemas dinámicos, analizar señales y realizar operaciones matemáticas avanzadas.

Biología y medicina. En biología y medicina, las derivadas se emplean en el estudio de fenómenos biológicos como el crecimiento celular, la propagación de enfermedades y la dinámica de poblaciones. Además, son útiles para analizar funciones fisiológicas, como el ritmo.
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Es un concepto fundamental en el campo del cálculo y sus aplicaciones abarcan diferentes áreas.

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Propiedades de las derivadas y ejemplos. Pregunta 2.

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Propiedades de las derivadas y ejemplos. Pregunta 2.

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"Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la tangente a la curva de la función ( f(x) ) en el punto ( (a, f(a)) )". (Ramírez y Palacios, 2017).

Si la derivada es positiva, la función está aumentando en ese punto; si es negativa, la función está disminuyendo.

Si la derivada es cero, esto indica que la función puede tener un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en ese lugar.

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Propiedades de las derivadas. Si quieres aprender, como mis alumnos/as, a aplicar correctamente las propiedades de derivadas en los ejercicios de derivada de una variable, como la derivada de la suma y la resta, la multiplicación de funciones, etc...Por lo tanto, estás en el lugar adecuado.

Sin más EMPEZAMOS

Imágenes que necesitas de derivadas

En este apartado te daré unas tablas que te van a ayudar a entender las características de las derivada, en otras palabras, sabrás cómo utilizar la tabla de derivadas para derivar y un acercamiento a las propiedades de derivación. Aquí tienes una galería de imágenes

Tabla de derivadas inmediatas

Tabla de derivadas compuestas

Tabla de derivadas trigonométricas

Tabla de propiedades de las derivadas

Vídeos que te ayudarán a resolver todas las propiedades de derivación

Los vídeos que te proporciono aquí te van a ayudar a resolver multitud de ejercicios de derivadas y además explicados paso a paso. Lo más importante, m is alumnos/as me lo agradecieron 💪

¿Quieres resolver de forma correcta las derivadas de funciones aplicando las propiedades de las derivadas? Aquí tienes la solución a tus problemas, sobre todo, a partir del minuto 55 tienes ejercicios explicados paso a paso

Si eres como la gran mayoría de mis alumnos/as que tienen problemas a la hora de aplicar bien las reglas de derivación, no te sientas mal, no eres el único o la única. Lo más importante, aquí te doy la solución perfecta a tus problemas.

¿Cómo se llaman las 5 reglas para derivar?

Estas son las 5 primeras propiedades de derivación de funciones reales de variable real, lo más importante, caen en el olvido pero si las aplicas las derivadas, en muchos casos, son facilísimas. Consideremos que f(x), g(x), u y v son funciones y que k es una constante.

En primer lugar, la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones por separado.

f(x)=u+v ➪ f'(x)=u'+v'

En segundo lugar, la derivada de una resta de funciones es igual a la resta de las derivadas de cada una de las funciones por separado.

f(x)=u-v ➪ f'(x)=u'-v'

Además, la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la segunda derivada.

f(x)=u·v ➪ f'(x)=u'·v+u·v'

A continuación, la derivada de la división de dos funciones es igual al cociente de la derivada de la función numerador por la función del denominador sin derivar, menos la función del numerador sin derivar por la del denominador derivada entre la función del denominador al cuadrado

f(x)=u/v ➪ f'(x)=(u'·v-u·v')/v ²

Y además, la regla de la cadena: sean f(x), u y v tres funciones reales de variable real, de modo que f(x)=(u∘v)(x)=u(v(x)). La fórmula que nos dará f'(x) es (u∘v)'(x)=u'(v(x))·v'(x)

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¿Cuáles son las 8 reglas principales de la derivación de funciones?

Aquí te voy a proporcionar tres reglas más de derivación que sin duda, te van a ayudar bastante en algunos casos que veremos en los ejercicios que haremos más adelante. Consideremos que f(x), g(x), u y v son funciones y que k es una constante.

En primer lugar, la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones por separado.

f(x)=u+v ➪ f'(x)=u'+v'

En segundo lugar, la derivada de una resta de funciones es igual a la resta de las derivadas de cada una de las funciones por separado.

f(x)=u-v ➪ f'(x)=u'-v'

Además, la derivada del producto de una constante k por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.

f(x)=k·u ➪ f'(x)=k·u'

En cuarto lugar, la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la segunda derivada.

f(x)=u·v ➪ f'(x)=u'·v+u·v'

A continuación, la derivada de la división de una constante k entre una función es igual al cociente de menos la constante k por la derivada de la función del denominador entre la función del denominador al cuadrado.

f(x)=k/v ➪ f'(x)=(-k·v')/v ²

La derivada de la división de dos funciones es igual al cociente de la derivada de la función numerador por la función del denominador sin derivar, menos la función del numerador sin derivar por la del denominador derivada entre la función del denominador al cuadrado

f(x)=u/v ➪ f'(x)=(u'·v-u·v')/v ²

Y además, la regla de la cadena: sean f(x), u y v tres funciones reales de variable real, de modo que f(x)=(u∘v)(x)=u(v(x)). La fórmula que nos dará f'(x) es (u∘v)'(x)=u'(v(x))·v'(x)

Y por último, derivación de la inversa de una función: sea f una función real de variable real que tiene función inversa f⁻¹(x), la derivada de la función inversa de f(x) es: (f⁻¹)'(x)=1/f'(f⁻¹(x))

Propiedades de las derivadas y sus reglas de derivación con ejemplos

Y después de eso te voy a aplicar estas propiedades para que veas cómo se hacen los ejercicios para que aprendas fácilmente a tu ritmo.

Propiedades de las derivadas trigonométricas

Del mismo modo, en este caso te voy a resolver ejercicios de derivadas pero con funciones trigonométricas.

Propiedades de las derivadas logarítmicas

Lo que voy a resolver son derivadas de los logaritmos tanto neperianos como de base distinta de e aplicando las reglas de derivación.

Propiedades de las derivadas exponenciales

Y ahora a continuación, tocan las funciones exponenciales, seguiré con las misma pauta para que te ayude a mejorar.

Tabla de las propiedades de derivadas. Propiedades de las derivadas pdf

Por otro lado, aquí te dejo las reglas y propiedades de las derivadas en pdf para que las imprimas. Clica en este enlace y las tendrás

Tabla de derivadas

En conclusión, para resumir, aquí tienes el material resumido de las fórmulas de derivadas que te van a ayudar a resolver los ejercicios.

Calculadora de derivadas

Voy a darte referencias de páginas para que veas dónde puedes calcular derivadas y comprobar que las estás calculando de forma correcta.

Calculadora de derivadas: esta página te proporciona la posibilidad resolver derivadas, de encontrar el resultado de la derivada, te da el desarrollo por pasos. Puedes calcular derivadas tanto las primeras, segundas...hasta la de quinto orden. Te da la posibilidad de hacer gráficas y además son interactivas. Lo único que no me gusta de este solucionador de derivadas es la interfaz para poder poner la derivada, no me gustan mucho los botones.

Symbolad derivadas: esta calculadora de derivadas de funciones te da la opción a encontrar tanto la solución como los pasos a seguir, tiene unos botones interactivos que te van a ayudar mucho a la hora de escribir las derivadas. Las soluciones son bastante claras y te aporta la gráfica de la función a integrar. Puedes hacer derivadas de distinto orden, en un punto en concreto, implícita incluso por definición.

Solumaths: página sencilla, eficaz, te da la solución y te resume los pasos a seguir, bastante resumido para mi gusto.

Esto también te interesa

Aquí tienes mucha más información sobre las derivadas, sus propiedades, ejercicios resueltos paso a paso, acceso a nuestra hemeroteca, que te lo recomiendo.

Cálculo de derivadas

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Propiedades de las derivadas 🧿 Ejercicios, Vídeos explicativos paso a paso, Consejos para derivar de forma correcta. Solo tienes que ¡ENTRAR!

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"La relación de la derivada con una función en un punto específico proporciona la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto". (Pérez, 2021).

En cálculo, hay teoremas que se basan en el concepto de la derivada, como el Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Intermedio, que son utilizados para demostrar propiedades de las funciones.