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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO!!

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Um pouco sobre as relações métricas no triângulo retângulo.

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Relacionam medidas de um triângulo retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo são parte da geometria plana e se relacionam às medidas correspondentes em triângulos retângulos. Desta forma, a expressão encontra medidas não conhecidas de um triângulo. Assim, conseguimos encontrar catetos, a hipotenusa a partir das semelhanças entre as figuras.

Elementos do triângulo retângulo

O triângulo retângulo é um tema muito importante para a geometria plana. É formado por um ângulo interno de 90° e os outros dois menores que somados formam 90°. Os dois ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares e formam juntos também 90°.

Os elementos de um triângulo retângulo são:

* m: projeção do cateto b sobre a hipotenusa;

* n: projeção do cateto c sobre a hipotenusa;

* h: altura relativa à hipotenusa.
Altura do triângulo permite obter as relações métricas no triangulo retângulo. (Foto: Wikipédia)

Semelhança entre os triângulos

Ao analisar a imagem anterior, percebe-se ainda que dois triângulos retângulos são formados depois de a altura ser marcada a partir do ângulo de 9º até o lado da hipotenusa. Os triângulos apresentados são semelhantes entre si, ou seja, seus ângulos são congruentes e os seus lados são proporcionais.

Na imagem apresentada acima, os triângulos semelhantes. São eles:

Relações métricas no triângulo retângulo

Com essas informações iniciais é possível entender e encontrar quatro das relações métricas no triângulo retângulo.

A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Conhecendo os calores dos catetos 10 e 24, encontre a hipotenusa.

Então, o valor da hipotenusa é igual a 29.

Pode-se conferir a veracidade do Teorema a partir das relações métricas:

Ao somar (b²= m . a) e (c²= n . a), tem-se:

Ao colocar o a em evidência, encontra-se:

Como a soma entre as duas projeções (m + n) é igual a hipotenusa (a), então:

Com essas relações métricas e o Teorema de Pitágoras é possível resolver a maioria das questões sobre o assunto.

Quando a hipotenusa de um triângulo retângulo for 64 centímetros e uma de suas projeções medir 16 centímetros, qual será a medida do cateto adjacente da projeção?

Resposta: O valor do cateto adjacente será 32 centímetros.

Se a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa igual a 12 e a projeção do cateto CA sobre a hipotenusa igual a 36. Calcule o valor da hipotenusa e do cateto adjacente.

1º Ao somar os valores das projeções dos catetos:

Resposta 01: o valor da hipotenusa é 48.

2º Como já se conhece o valor da hipotenusa, é possível ode calcular o cateto adjacente usando a fórmula b² = a . n. Desta forma:

Resposta 02: o valor do cateto adjacente é igual a 24.

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Relações métricas no triângulo retângulo | Educa Mais Brasil

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As relações métricas no triângulo retângulo relacionam os lados dos triângulos retângulos e são usadas para encontrar catetos e hipotenusa.

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Marque a alternativa que define corretamente o que é um triângulo retângulo.

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A) Um triângulo é retângulo quando ele possui todos os seus ângulos retos.

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B) Um triângulo é retângulo quando ele está inscrito dentro de um retângulo.

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C) Um triângulo é retângulo quando ele possui um ângulo de 90°.

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D) Um triângulo é retângulo quando ele possui um ângulo maior que 90º

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Conhecendo a hipotenusa e os catetos oposto e adjacente.

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Conhecendo a hipotenusa e os catetos oposto e adjacente.

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Hipotenusa, cateto oposto e cateto adjacente (artigo) | Khan Academy

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Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado, o cateto "oposto" é aquele em frente a um determinado ângulo, e um cateto "adjacente" é aquele ao lado de um determinado ângulo.

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Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.

De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:

Seno (Sen )

É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (Cos )

É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (Tg )

É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.

Como Calcular as Razões Trigonométricas?

Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois exemplos:

1) Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo abaixo.

Solução

Para encontrar os valores do seno, cosseno e tangente, devemos substituir a medida de cada lado do triângulo nas respectivas fórmulas.

Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o cateto adjacente mede 12 cm e a medida da hipotenusa é igual a 13 cm. Assim, temos:

2) Determine o valor de x na figura abaixo.

Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do seno.

De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente igual a 0,7071. Assim:

Portanto, o lado x mede 7,071 cm.

Exercícios de Vestibular

1. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

Ver Resposta

2.(Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em e os segmentos são perpendiculares.

Assim, a medida do segmento vale
Leia mais sobre o tema:

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Seno, Cosseno e Tangente: como calcular, tabela e exercícios

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Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados. O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a...