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자신의 번호 옆에 이름 작성하세요.(예:1 최수지)

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자신의 번호 옆에 이름 작성하세요.(예:1 최수지)

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철학적 질문에서 시작된 극한과 무한의 역

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철학적 질문에서 시작된 극한과 무한의 역사
: 극한과 무한의 역사는 고대 그리스 제논의 역설에서부터 시작된다고 볼 수 있다. 고대 그리스 제논의 역설에서 무한 분할 개념이 처음 논의되었으며, 제논의 역설 중 가장 유명한 ‘아킬레우스와 거북이’ 논제는 다음과 같이 전해진다.
아킬레우스가 100m 가는 동안 거북이는 10m을 간다고 가정하고, 거북이가 아킬레우스보다 100m 앞에 있다고 가정해보자. 그 상태에서 아킬레우스가 거북이를 따라잡기 위해 100m 앞으로 갔다고 하면 동시에 거북이는 10m를 나아간다. 그러면 거북이와 아킬레우스는 10m만큼 떨어져 있는데, 이 때 아킬레우스가 다시 10m를 더 나아가면 거북이는 1m를 이동하여 거북이가 다시 1m 만큼을 앞서게 된다. 마찬가지로 아킬레우스가 다시 1m를 가면 거북이는 0.1m 더 나아간다. 따라서 아킬레우스는 아주 미세한 거리만큼을 항상 뒤처지게 되므로 아무리 가까워져도 거북이를 따라잡는 건 불가능하다.
‘아킬레우스와 거북이’ 논제는 제논이 피타고라스의 정수론을 공격하기 위해 던진 논제였다. 피타고라스 학파는 당연히 이것이 사실이 아님을 알았지만, 이것을 논리적으로 설명하는 것은 당시의 수학으로는 불가능한 일이었기에 '역설'이라는 이름이 붙은 것이다.
논리적으로 설명하지 못한 것은 당시의 시대엔 '무한'과 '극한'의 개념이 없었기 때문이다. 무한과 극한의 개념은 19세기까지 가서야 정립된다. 제논의 역설 이후 아르키메데스는 무한 분할을 통한 면적과 부피계산에 성공하였고, 17세기 뉴턴은 그의 '무한 급수 해석', '유율법과 무한 급수' 등에서 급수에 대해 다루었다. 18세기 오일러를 비롯한 수학자들은 일부 발산 급수의 합을 계산하였으나 이들은 계산만 가능하면 급수의 수렴 여부에 관심을 갖지 않았다. 18세기 말 라그랑주는 '해석 함수 이론'에서 엄밀한 논의의 결여가 미적분학의 더 이상의 발전을 막고 있다 주장하였으며 19세기 볼차노가 '이항 정리'에서 수열의 극한의 현대적 정의를 제시하였으나 당시에는 주목받지 못했다.
‘아킬레우스와 거북이’ 논제의 핵심은 아킬레우스가 거북이를 따라잡기 위해서 무한의 과정을 거쳐야 한다는 데에 있다. 무한히 많은 과정을 유한의 시간 내에 끝낼 수 있는가, 이를 정량적으로 표현하면 무한히 많은 숫자의 양을 더했을 때 과연 그 결과가 유한한 양이 될 수 있는가의 문제인 것이다. 즉 제논의 역설은 무한히 많은 항을 더했을 때의 결과가 무한대일 것이라는 고정관념을 찌른 질문이었고, 시간이 지나자 무한급수와 같이 무한히 많은 항을 더해서 유한의 결과로 수렴할 수 있다는 사실을 알게 되면서 해결된 것이다. 즉, 거리와 시간이 유한하다면 아무리 그것을 무한히 나눠 더해도 그 값은 무한하지 않으며, 결국 정해진 시간 안에 아킬레우스는 거북이를 따라잡는다.
그렇다면 정의되기까지 오랜 시간이 걸렸던 극한은 실생활에 어떠한 방식으로 응용될 수 있을까? 대표적으로 자동차 속도계와 컴퓨터 그래픽에서 표현되는 곡선을 예시로 들 수 있다. 자동차 속도계가 보여주는 순간속도는 평균속도의 시간 간격을 0으로 줄였을 때의 극한이다. 또 컴퓨터 그래픽에서 원이나 곡선은 수많은 직선 조각으로 표현되며, 직선의 개수가 무한히 늘어날 때 곡선의 모습에 가까워진다. 우리 주변의 기술 속에서도 극한은 중요한 역할을 하고 있다.

지도 기능: 필즈상이란?
필즈상(Fields Medal)은 세계수학자대회에서 4년마다 수여하는 상으로, 아벨상, 울프상 수학 부문과 함께 수학계의 가장 명예로운 상으로 꼽힌다. 젊은 수학자의 연구를 장려한다는 취지로 다른 상과 다르게 40세 이하에게 수여된다는 특징이 있다. 젊은 수학자에게만 수여되는 까닭은, 기성 연구자를 기리기보다 새로운 길을 개척하는 도전적 연구를 장려하기 위해서다. 필즈상은 순수수학부터 암호학, 위상수학, 수학적 물리학까지 다양한 분야를 포괄하며, 인류의 학문과 기술 발전에 크게 기여해왔다.
나는 필즈상이 단순히 뛰어난 연구자를 기리는 데서 그치지 않고, 수학이 인류의 발전에 얼마나 중요한지 알려주는 역할도 한다고 생각한다. 특히 ‘젊은 나이에 도전과 탐구를 멈추지 않는 정신’을 강조한다는 점이 인상 깊다. 수학은 완성된 지식이 아니라 끝없이 새로운 질문을 만들어가는 학문이며, 그 과정에서 용기와 창의력이 필요하다. 이러한 메시지를 통해 독자들도 수학을 단순히 시험 과목으로만 보지 않고, 세상을 이해하고 새로운 가능성을 열어가는 도구로 받아들였으면 좋겠다.

지도기능2: 세계 수학자 대회 (International Congress of Mathematicians(ICM))1897년에 처음 대회를 연 이후로 4년 주기로 꾸준히 개최하는 국제 회의. 젊은 수학자에게 주어지는 최고의 상이라고 불리는 필즈상이 수여되는 것으로 유명하다. 스위스 취리히에서 최초로 열렸으며 그 후 100여 년에 이르도록 꾸준히 이어지고 있다. 국제수학연맹이 주최하며, 필즈상이 수여되는 대회로 유명하지만 다른 상들도 많이 수여된다. 필즈상 외에도 롤프 네반린나상과 가우스 상, 천 메달(Chern medal)과 릴라베티 상 수여식도 있다. 참고로, 한국에서는 국제수학자회의, 국제수학자대회, 국제수학자총회, 세계수학자회의, 세계수학자대회, 세계수학자총회 등 다양한 여러 번역이 혼용되었기에, 수학자들끼리는 그냥 ICM 으로 불렀다고 한다. 2014년에 서울에서 ICM 이 개최되면서 '세계수학자대회'가 정식 명칭으로 결정되었다.

광고: 지오지브라 / 도서소개(수학 더 이상 어렵지 않다)

https://www.geogebra.org

오락: 수2 필수용어 십자말풀이

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광고기능: https://www.wolframalpha.com/

이 웹사이트는 알고리즘, 지식 베이스의 AI 기술을 사용하여 전문가 수준의 계산을 보여준다. 수학뿐만이 아니라 과학(물리,화학,지구과학,컴퓨터 공학), 사회문화(날짜 계산,역사검색,단어검색)과 같은 다양한 분야에 유용한 사이트다.

수학에 관해서 좀 더 자세히 알아보자면

대수학, 그래프 그리기, 미적분학, 기하학, 미분 방정식, 통계, 이산 수학(수열과 점화식관련), 복소해석학(허수 또는 복소 변수를 가진 함수와 수식을 분석)등의 다양한 카테고리가 있다.

여러 태그들중 지금 우리가 배우고 수학2에 있는 미분이나, 적분에 대해 알기위해 미적분학 태그에 들어가면 적분이나 도함수 뿐만 아니라 엄청 나중에 배우게 될 급수전개, 라플라스 변환같이 어려워 보이는 기능들도 사용할 수 있다.

수2의 도함수를 구하고 싶다면 도함수라고 써있는 걸 누르고 식을 입력하면 도함수를 구해주고

우리가 나중에 배울 정적분이라는 것과 그걸 통한 넓이 계산을 해보고싶다면 정적분이라고 써있는 걸 누르고 식을 입력하면 된다. 넓이 뿐 아니라 리만 합이라는 어려워 보이는 값도 산출해낸다.

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보도기능: 삼각함수 미분법 기하학적 증명

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보도기능: 삼각함수 미분법 기하학적 증명-

https://www.youtube.com/watch?v=wvi4FuO-Rhs

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미적분의 쓸모 - 한화택

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미적분의 쓸모 - 한화택

광고 기능: 줄거리 및 소개글

(청소년은 수학에 대한 두려움을 떨치게 만들고 성인은 다시 수학에 관심을 가지게 만든 베스트셀러 수학시리즈 2편 《미적분의 쓸모》가 증보개정판으로 돌아왔다. 1년 동안 세상은 급변했다. 새로운 배송시대 도래를 견인하는 드론, 민간인 우주여행으로 또 한 번의 도약을 시도하는 우주공학, 끊임없이 가상의 세계를 만들어내는 컴퓨터그래픽 등 세상에서 일어나고 있는 변화들을 더욱 풍부하게 미적분으로 바라보고 풀어냈다. 또한 초판에서 이해하기 어려웠던 몇몇 그림에 관해 보충 설명을 했다. 공학을 전공하지 않은 사람들도 면적계 등을 이해할 수 있기를 바란다.

미적분이 어렵다는 사실은 변하지 않았다. 하지만 이 책을 통해 많은 수포자가 미적분을 비롯한 수학과 친해졌다. 사람들이 생각하는 것과 달리 미적분의 개념만큼은 보통 사람들도 충분히 이해할 수 있다. 미적분방정식을 풀거나 인공지능 프로그램을 만들지 못하더라도 미적분을 활용할 수 있다. 컴퓨터 전공자가 아니라도 컴퓨터를 사용하고, 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 능숙하게 다루는 것과 같은 이치다. 당신도 미적분이 어떻게 활용되는지 풍부하게 풀어낸 이 책을 통해 수학에 대한 두려움을 덜어내길 바란다.

* 출처 : 예스24 <https://www.yes24.com/product/goods/109590169>)

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극한의 개념은 처음부터 명확한 수식으로 정의된 것이 아니라, 한없이 가까워진다라는 직관적인 생각에서 출발해 오랜 시간에 걸쳐 수학적으로 정교해진 개념이다. 고대 그리스 수학자들은 이미 곡선의 넓이나 원의 둘레 등을 계산하기 위해 구분구적법이라는 것을 사용했는데, 이는 나중에 극한 개념으로 이어지는 최초의 시도로 볼 수 있다. 특히 아르키메데스는 원주율을 구하기 위해 다각형의 변을 무한히 늘려가는 방식으로 계산했는데, 이는 “n이 무한히 커질 때”라는 사고를 이용한 것으로, 극한에 대한 암묵적인 이해가 존재했음을 보여준다.

그러나 이러한 방식은 직관에 의존한 방식이었을 뿐, 수학적으로 논리적인 정의는 부족했다. 17세기 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 독립적으로 창시하면서 극한의 개념은 큰 전환점을 맞게 된다. 이들은 물체의 순간 속도나 곡선의 기울기를 구하기 위해 변화를 무한히 작은 값으로 나누는 방식을 도입했다. 하지만 이들의 방법은 “무한히 작은 값”이라는 다소 모호한 개념에 의존하고 있었고, 당대 수학자들로부터 철학적·논리적 근거가 불분명하다는 비판을 받았다.

19세기에 이르러 코시와 바이어슈트라스(Karl Weierstrass) 같은 수학자들에 의해 해결된다. 이들은 무한히 작은 양이라는 표현 대신, 어떤 값에 임의로 가까워질 수 있다는 방식으로 극한을 정의했다.

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오락기능: 간단한 수2 개념 퀴즈

<범위의 표현에 대한 문제>

(a,b) 열린구간 a<x<b

[a,b] 닫힌구건 a<=x<=b

이걸 가지고 올바른거 점잇기로 퀴즈낼거임

<최대·최소 정리에 대한 문제>

함수 f(x)가 (a,b) / [a,b] 에서 연속이면 함수 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이걸로 뭐가 맞는지 퀴즈낼거임 근데 답은 닫힌구간임

<미분가능성과 연속성에 대한 문제>

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다. -> (O / X)

함수 f(x)가 x=a에서 연속이면 f(x)가 x=a에서 미분가능하다. -> (O / X)

답은 순서대로 O,X

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실생활 사례(사진)와 나의 의견 (지도기능)

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실생활 사례(사진)와 나의 의견 (지도기능)

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극한이라는 개념을 나는 단순히 수학 문제를 풀기 위해 배워야 하는 공식 정도로만 생각했었다. 하지만 자동차 제동거리 계산이나 약물 농도 변화 같은 사례와 같은 위 사례를 보면서 극한이 생각보다 정말 널리 쓰인다는 것을 알게됐다. 예를 들어 자동차가 멈추는 순간의 속도는 실제로는 측정할 수 없는데, 수학은 시간 간격을 무한히 줄이는 극한의 개념을 통해 보이지 않는 그 순간을 정의하고 계산한다. 이 과정을 통해 극한이라는 개념이 실생활을 더 잘 이해할 수 있는 눈을 길러준다고 생각했다.

또한 약물 농도의 변화처럼 생명과학 분야에서도 극한과 미분이 생명 반응을 분석하는 핵심 도구로 사용된다는 사실이 특히 흥미로웠다. 약물이 체내에서 흡수되고 분해되는 과정을 하나의 순간 변화율로 분석한다는 것은, 내가 관심 있는 생명공학 분야에서도 수학적 사고가 매우 중요하다는 것을 보여준다. 이런 예시들을 통해 극한은 단순한 수학 개념이 아니라, 보이지 않는 것을 수치화하고, 측정 불가능한 순간을 이해하게 해주는 사고의 틀이라는 생각을 하게 되었다.

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오락기능 - 디즈니 영화 속 미적분

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오락기능 - 디즈니 영화 속 미적분

애니메이션 속 반짝이는 바다와 눈송이들이 단순한 컴퓨터 그래픽이 아니라 수학의 마법으로 만들어졌다는 사실, 알고 있는가? 영화 모아나의 바다가 살아 숨 쉬듯 출렁이는 이유는 바로 수학자들이 만들어낸 미분방정식의 예술 덕분이다.

영화관의 물리 실험실

모아나가 높은 파도에 맞서는 장면은 단순히 예쁘게 만든 영상이 아니다. 실제로는 공기와 물의 흐름을 묘사하는 유체역학 방정식, 즉 나비어-스토크스 방정식이 그 움직임을 계산한다. 수학자들은 이 복잡한 식을 풀어 물 입자 하나하나가 어떤 속도와 방향으로 움직일지를 예측했다. 정확한 답이 없어도 괜찮았다. 디즈니 애니메이터들에게 중요한 건 ‘정밀한 수치’보다 ‘진짜처럼 보이는 바다’였기 때문이다.

바다를 살아 있게 만드는 방정식

UCLA의 조셉 테란 교수팀은 APIC(Affine Particle-In-Cell)라는 새 시뮬레이션을 개발했다. 이 기법은 미분으로 물결의 작은 변화율을 추적하고, 적분으로 그 모든 변화가 모여 만들어내는 거대한 파도를 계산한다. 작은 물방울 하나가 바다 전체의 움직임을 바꾸는 원리를 그대로 구현해낸 셈이다. 덕분에 모아나의 배가 흔들릴 때마다 그 주위에서 물결이 반응하고, 햇빛이 반사되는 바다 표면이 살아 움직인다.

눈송이부터 파도까지, 수학의 손끝에서

수학자 테란은 이전에도 영화 겨울왕국에서 눈의 결정을 시뮬레이션한 장본인이었다. 그가 만든 A Material Point Method는 눈이 부서지는 현실감을 만들어 냈다. 그 경험을 이어 이번에는 물로 확장시킨 것이다. 이제 물과 눈처럼 형태가 없는 자연 현상조차 미적분과 알고리즘의 언어로 번역되어, 스크린 위의 현실로 탈바꿈한다.

수학이 예술을 만날 때

한때 흑판 위의 난제로만 여겨지던 미분방정식이, 이제는 바다의 파도를 그리고 눈보라를 춤추게 한다. 수학은 영화 속에서 감정과 예술의 도구로 변신한 셈이다. 아마 다음번 영화를 볼 때, 눈부신 장면이 나오면 이렇게 속삭이게 될지도 모른다.
“이건, 수학이 한 일이야.”

글의 출처 - https://m.dongascience.com/news.php?idx=15952

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과속단속 카메라의 오차 분석

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과속단속 카메라의 오차 분석

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과속단속 카메라의 오차 분석에서 미분 개념은 차량의 속도 변화율을 수학적으로 해석하는 데 핵심적으로 활용됩니다.

미분의 적용 원리

고정식 단속카메라는 도로에 설치된 감지선 사이의 거리를 d, 통과 시간을 t로 두고, 순간속도 v = d/t를 계산합니다. 이때 v는 미분을 통해 얻은 변화율(속도)로, 특정 순간의 속도 변화를 수치로 나타냅니다. 1 2

구간단속 카메라는 시작점과 끝점의 통과 시간 차이를 이용해 평균속도(평균변화율)를 구하며, 이 역시 미분의 원리와 유사합니다. 1 2

오차 분석에서의 미분 활용

미분을 통해 속도 변화율(변화량/변화시간)을 구함으로써, 실제 도로 환경(곡선, 경사, 센서 오차 등)에서 발생할 수 있는 측정 오차를 분석할 수 있습니다. 3

예를 들어, 곡선 구간에서는 속도 변화율이 일정하지 않으므로, 평균변화율만으로 오차를 설명하기 어렵고, 미분을 통해 순간변화율을 분석하면 오차의 원인을 더 정확히 파악할 수 있습니다. 3

실생활 적용 및 한계

미분 개념은 과속단속 카메라의 오차 보정, 도로 환경 변화에 따른 측정 정확도 개선 등 실제 공학적 문제 해결에 활용됩니다. 3 4

다만, 실제 단속에서는 장비 정밀도, 도로 상태, 센서 오차 등 다양한 요인이 복합적으로 작용하므로, 미분만으로 오차를 100% 설명하기는 어렵고, 오차 허용 범위(예: 제한속도의 10%)도 적용됩니다. 4

요약하면, 미분은 과속단속 카메라의 오차 분석에서 변화율 해석과 오차 원인 규명에 필수적으로 활용되며, 실제 도로 환경의 복잡성을 수학적으로 해석하는 데 중요한 역할을 합니다.

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기울기로 읽는 세상 — 미분이 말하는 코로나의 흐름

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기울기로 읽는 세상 — 미분이 말하는 코로나의 흐름

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감염 그래프의 기울기, 미분이 알려주는 진실

코로나19 확산 당시, 우리는 매일 그래프를 보며 ‘오늘은 확진자가 얼마나 늘었을까?’를 확인했다. 하지만 단순히 확진자 수 그래프를 보는 것만으로는 ‘변화의 속도’, 즉 확산세를 정확히 파악하기 어렵다.

이때 미분이 중요한 역할을 한다.

미분은 어떤 양의 순간적인 변화율을 계산하는 수학적 도구다. 예를 들어, 코로나 확진자 수를 시간에 따라 f(t)라 할 때, f’(t)는 하루 확진자 수의 증가율을 의미한다.

그래프의 기울기가 커질수록 감염 속도가 빨라진 것이고, 기울기가 줄면 확산세가 꺾이고 있다는 뜻이다.

수학은 재난을 예측하는 나침반이다

많은 사람들이 코로나 확산을 ‘과학’의 영역으로만 생각했지만, 사실 그 바탕에는 수학적 모델링이 존재한다.

미분 방정식으로 표현되는 감염병 모델(SIR 모형)은 감염자·회복자·감염가능자의 비율 변화를 통해 미래의 확진자 수를 예측한다.

이처럼 수학은 단순히 계산을 넘어, 정책 결정과 사회 대응의 방향을 제시하는 나침반이 된다.

우리가 미분을 배워야 하는 이유도 여기에 있다. 수학은 문제를 ‘푸는 도구’가 아니라, 현상을 이해하고 사회를 변화시키는 언어이기 때문이다.

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미분 수수께끼 한 판

1️⃣ 코로나 확산 그래프에서 변화율이 0이 되는 시점은 언제일까?

→ 정답: 확산세가 가장 높았다가 줄어드는 ‘정점’, 즉 그래프의 기울기가 0이 되는 지점이다.

2️⃣ 미분이 0보다 크면 감염이 늘고, 0보다 작으면 감염이 줄고 있다.

그렇다면 ‘감염이 안정화된 시기’를 미분으로 표현하면?

→ 정답: 미분값이 0에 수렴할 때

수학으로 세상을 읽다 — 추천 도서 『세계를 수학으로 본다면』

이 책은 수학이 세상 곳곳에 숨어 있다는 사실을 흥미롭게 알려준다.

특히 ‘전염병의 수학’ 장에서는 미분 방정식이 어떻게 감염 확산을 모델링하고, 백신 접종률과 같은 정책 변수에 따라 그래프가 어떻게 달라지는지 설명한다.

수학을 ‘시험 과목’이 아닌 ‘세상을 해석하는 언어’로 보고 싶은 사람에게 추천한다.

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지도 기능: 실생활 수학

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지도 기능: 실생활 수학

https://www.rapportian.com/news/articleView.html?idxno=116097#_PA

미적분, 생명을 살리는 수학의 언어

우리가 학교에서 배우는 미적분은 단순한 수학 공식이 아니라, 실생활 속 수많은 과학기술의 핵심 원리로 쓰이고 있다. 예를 들어 CT 촬영은 인체를 여러 각도에서 투과한 방사선 데이터를 바탕으로 연립방정식을 세우고, 이를 컴퓨터가 계산해 단면 영상을 재구성한다. 또 미분방정식은 감염병의 확산 경로를 예측하거나, 혈관 속 혈류의 속도와 양을 구하는 데 활용된다. 이처럼 미적분은 의료 영상, 질병 예측, 치료 계획 등 생명을 지키는 의학 기술의 밑바탕이 되고 있다. 결국 수학은 교과서 속 공식이 아니라, 인간의 삶과 건강을 지탱하는 과학의 언어인 셈이다.

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지도기능: 사잇값정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)가 f(b)와 같지않다면 f(a)와 f(b)사이의 임의의 값 k에 대하여 f(c)=k인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

나는 사잇값정리가 현실의 연속적인 변화를 수학적으로 설명해주는 중요한 정리라고 생각한다.

예를 들어 아침에는 온도가 10도이고 오후에는 20도라면, 그 사이에는 반드시 15도였던 순간이 존재한다.

이런 일상적인 현상을 말할수있다는 점이 흥미롭고, 수학이 현실을 논리적으로 이해하는데에 도움이 된다고 생각한다.

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https://easyprogramming.tistory.com/entry/%EC%88%98%ED%95%992-%EC%8B%A4%EC%83%9D%ED%99%9C-%ED%99%9C%EC%9A%A9-%EC%82%AC%EB%A1%80-%EC%98%88%EC%8B%9C-%EA%B3%A0%EB%93%B1%ED%95%99%EA%B5%90-%EC%88%982?utm_source=chatgpt.com

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【수학2】 실생활 활용 사례(예시) 13가지

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수학, 특히 고등학교 수학2의 개념들은 우리 일상 생활에서 빼놓고 생각할 수 없을 정도로 중요합니다. 여기서는 극한, 연속성, 미분, 적분 등의 개념이 실생활에서 어떻게 활용되는지 확인해 봅니다. 실생활에서의 극한의 활용 사례 ‘극한’은 어떤 상황에서 값이 어떤 특정한 값에 가까워지는 상황을 설명하는 도구입니다. 이런 극한이라는 도구가 실생활에서는 어떻게 활용되고 있을까요? 과학에서의 극한: 물리학과 화학 반응에서의 극한 물리학과 화학에서의 극한은 시스템이 어떤 특정 상태로 수렴하는 현상을 의미합니다. 화학 반응에서는 반응물의 양이 시간에 따라 점점 감소하고, 생성물의 양이 점점 증가하다가 어떤 한계값에 도달하게 됩니다. 이 한계값을 극한상태라고 하며, 반응이 더 이상 진행되지 않는 평형 상태를 나타냅니…

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오락기능 수학교과서 개념 참

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오락기능

수학교과서 개념 참고

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광고기능: 책 소개

https://m.yes24.com/goods/detail/96022948

미분은 뭐고 적분은 또 뭐야?”

“함수는 왜 이렇게 복잡하지?”
이런 질문에 답하면서도, 책은 결코 딱딱하지 않다.
생활 속 예시와 재치 있는 그림으로 개념이 자연스럽게 머리에 남는다.

뉴턴과 라이프니츠의 대결, 곡선과 직선이 만나는 순간, 면적을 구하는 흥미로운 방법까지—
읽다 보면 어느새 수학이 낯설지 않게 느껴진다.

미적분이 어렵게만 느껴졌던 학생들에게는 든든한 안내서가,
오랜만에 수학을 다시 만나고 싶은 어른들에게는 반가운 친구가 되어줄 것이다.

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코시가 들려주는 연속함수 이야기-김승태

해석학과 치환군을 개척한 근대의 가장 위대한 수학자 중 하나인 코시는 이 책을 통해 연속함수라는 수학적 개념의 기초와 응용까지 한 번에 잡을 수 있도록 쉽고 재미있게 설명하고 있다. 연속함수는 고등학교 수학 교과 과정에서도 비교적 어렵게 다루는 부분으로 수열의 극한과 함수의 극한에 대한 기본적인 배경 지식이 없이는 이해하기 어렵다. 이 책은 수학자 코시와 과학자 훅이 함께 등장하여 수학과 과학을 연결해 관련 기초 배경지식부터 응용해서 풀 수 있는 문제까지 제공하여 폭넓게 연속함수를 이해할 수 있게 하였다.

고등학교 현직 교사들이 쓴 『수학자가 들려주는 수학 이야기』 시리즈는 어려운 수학적 내용을 친구처럼 편한 수학자를 통해 쉽게 배워 볼 수 있도록 한 책이다. 특히 이 책에서는 코시라는 수학자를 선생님으로 내세워 고등학교 교과 과정에서도 비교적 어렵게 다루고 있는 연속함수를 설명한다. 수학은 사실 기본적인 개념부터 차곡차곡 밟아 올라가다보면 어려운 개념에 봉착하게 되더라도 쉽게 공부할 수 있다. 이 책은 연속함수를 공부하기 전에 선행되어야 할 개념들에 대한 자세한 설명을 시작으로 차곡차곡 연속함수라는 산을 정복할 수 있게 해 준다. 또한 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 예를 들어 개념을 설명하고 수학 공부에 있어 빠질 수 없는 재미라는 요소를 가미해 학생들이 즐겁게 연속함수에 다가갈 수 있도록 배려하였다. 따라서 이 책 한권을 차분히 읽어 나가다 보면 어느새 연속함수와 가장 친한 친구가 된 자신을 발견할 수 있을 것이다.

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수학 교과서에 나온 극한과 관련된 단어들을 가지고 워드서치를 만든다.

단어 목록:

수렴, 극한, 극한값, 무한대, 우극한, 좌극한

단어 목록의 출처: 수학2 비상교과서

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고대와 중세

고대 그리스와 인도, 아랍 수학자들은 변화율과 기울기에 관한 직관적 개념을 다뤘지만, 엄밀한 미분법은 없었어요.

아르키메데스 같은 수학자는 무한소를 이용한 접근법을 사용해 넓이나 곡선의 길이를 구하는 문제를 해결하려 했죠.

17세기 – 미분법의 탄생

아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1643-1727)과 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)가 독립적으로 미분법을 체계화했어요.

뉴턴은 물리학 문제(운동의 변화율 등)를 해결하는 데 미분을 사용했고, 라이프니츠는 미분기호(dx, dy)를 도입하여 기호체계를 발전시켰죠.

이 시기에 미분과 적분의 기본 정리(미적분학의 기본 정리)가 확립되었습니다.

18세기와 19세기 – 엄밀한 해석학의 발전

초기 미분법은 직관적이고 비엄밀적인 무한소 개념에 의존했어요.

코시, 바이어슈트라스 등 수학자들이 극한과 연속성 개념을 엄밀하게 정립하며 미분의 기초를 견고하게 만들었어요.

함수의 정의역과 치역, 연속성과 미분가능성에 대한 엄밀한 기준이 마련됐죠.

20세기 이후

미분은 다변수 함수, 벡터 미적분학, 미분기하학, 해석학 등으로 확장되었어요.

현대 물리학, 공학, 경제학 등 여러 분야에서 핵심 도구로 자리잡았습니다.

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속도와 가속도 계산

자동차나 비행기의 속도는 위치의 시간에 따른 변화율이에요.

미분을 통해 순간속도와 가속도를 정확히 계산할 수 있죠.

예) 자동차의 위치 함수가 주어지면, 그 미분이 바로 순간속도가 됩니다.

경제학과 경영학

비용, 수익, 이윤 함수의 변화율을 분석해 최적의 생산량이나 가격을 결정할 때 미분을 사용해요.

예) 이윤 함수의 미분값이 0이 되는 지점에서 최대 이윤을 찾을 수 있습니다.

의학과 생명과학

약물의 체내 농도 변화, 세포 성장 속도 분석 등에서 미분을 활용해요.

심장 박동, 뇌파 등 생체 신호 분석에도 적용됩니다.

물리학과 공학

물체의 운동, 열 전달, 전기 회로, 진동 분석 등 다양한 물리 현상을 수학적으로 모델링할 때 필수적이에요.

예) 건물이나 다리의 구조 설계에서 하중 변화율 계산.

컴퓨터 그래픽과 애니메이션

곡선과 표면의 기울기, 물체의 움직임을 자연스럽게 표현하는 데 미분이 사용돼요.

이미지 처리, 머신러닝에서 경사 하강법(gradient descent)도 미분 개념이죠.

환경과 기상 예측

온도, 습도, 대기 오염 물질의 변화 속도 분석에 쓰여서 더 정확한 예측을 가능하게 해요.

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아이작 뉴턴

뉴턴은 1643년 1월 4일생으로 잉글랜드의 물리학자이자 수학자이다.

학계와 대중 양측에서 인류 역사상 가장 영향력 있는 사람 가운데 1명으로 꼽힌다.

뉴턴은 '유율법'(流率法 : method of fluxion)이라고 불리는 미적분법을 만드는데

그는 속도와 가속도의 개념을 나타내는 수학적 방법으로 미적분을 만들었다.

그러나 뉴턴은 자신의 생각을 일반인들에게 발표하지 않았기 때문에 몇몇 측근들만이 그 연구 내용을 알고 있었다.

반면 라이프니츠는 파리에서 외교관으로 활동하면서 당시 유럽의 최고 과학자였던 호이겐스로부터 직접 수학을 배웠고 이후 미적분에 대한 개념을 정립하면서 1675년 사물의 핵심을 표현하기 위해 오늘날의 수학책에 등장하는 'dy/dx'혹은 '∫ '과 같은 기호를 고안했다.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠

1646년 7월 1일생으로 독일의 철학자이자 수학자이다.

라이프니츠는 수학 뿐만 아니라 공학 철학에서도 중요한 위치를 차지한다.

기하학적 문제, 특히 곡선의 기울기와 면적 계산을 탐구하다 미적분의 기본 아이디어를 떠올렸다. 그는 미분과 적분 기호를 고안하며, 미적분을 명료하게 수식화했다.

여기 까지만 본다면 뉴턴이 먼저 만들었다고 생각할 수 있지만

기호를 본다면 생각이 달라질 수 있다.

독일의 라이프니츠와 영국의 뉴턴이 각자 미적분학 체계를 구축해 나갈 때,

각자의 기본 틀은 같았지만 각자가 사용하는 기호는 달랐다.

라이프니츠는 수학 뿐만 아니라 공학 철학에서도 중요한 위치를 차지한다.

예를 들어 'y를 x에 대하여 미분하는' 것을,

라이프니츠는 ' dy/dx '로 쓰고, 뉴턴은 ' y ´ ' 로 썼다.

라이프니츠는 lim(Δx→0) (Δy/Δx) = lim(Δx→0) Δy / lim(x→0) Δx 에서

' lim(Δx→0) ' 에 해당하는 부분을 간소화시켜 ' d ' 라는 한 문자로 표기하였고,

뉴턴은 그것을 더욱 간소화시켜

' y ' 라는 문자 오른쪽 위에 콤마 하나를 찍은 것에 그쳤다.

그러나 이는 합성함수의 미분, 역함수의 미분 등 여러 가지 관계를 나타낼 때에 뉴턴식 표기의 큰 약점이 되었다.

뉴턴식 표기의 가장 큰 약점은, f ´(x)와 같은 도함수를 표기하는 데에는 유리하나,

매개변수함수나 다변수함수에서 연쇄율을 적용하는 방법을 기호로 설명하기 힘들기 때문이다. 왜냐하면 이 문자가 x로 미분되었는지, y로 미분되었는지, 알 수 없기 때문이다.

그러나, 라이프니츠식 표기는 이런 예에서 놀라울 정도의 잘 표현한다.

무려, '약분'까지 가능해지면서 말이다.

약분이 가능한 이유는, ' dx ' 혹은 ' dy ' 라는 문자 자체가 '미소증분'의 의미까지 포함하기 때문이다.

즉, 이는 '어느 상태'를 형식적으로 적어둔 것이 아니라 '양'을 나타냈기 때문에가능한 것이다.

이러한 미적분의 표기법 차이는 두 사람이 미적분에 달려들었던 동기의 차이가 나타난 것이다.

뉴턴은 시간과 더불어 운동하는 점이나 선이 만들어 내는 변화량을 수학적으로 나타내려고 미적분을 만들어 냈다.

한편 라이프니츠의 미적분에는 시간이나 변화량 등의 개념이 등장하지 않는다.

라이프니츠는 곡선의 기하학적 특징을 추구해감으로써 접선이나 넓이의 문제를 풀기 위한 방법으로 미적분을 만들어 냈던 것이다.

결국 이 둘은 서로 다른 연구를 하다가 같은 결론에 도달했다고 볼 수 있다.

https://www.newsspace.kr/news/article.html?no=5261

https://rayc20.tistory.com/20

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[지구칼럼] ‘수학의 꽃’ 미적분을 뉴턴이 발명했다고?…뉴턴과 라이프니츠의 위대한 도전

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[뉴스스페이스=이종화 기자] 수포자(수학 포기자)가 대포자(대학 포기자), 영포자(영어 포기자)가 취포자(취업 포기자), 독포자(독서 포기자)가 인포자(인생 포기자)란 말이 있을 정도로 수학은 중요하다. 수학을 잘하는 사람은 좋아하고, 수학을 싫어하는 사람들은 싫어한다는 수학의 파트가 바로 ‘미적분’이다. 수학의 꽃으로 불리는 미적분학(Calculus)은

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https://m.mk.co.kr/news/it/10399068?utm_source=chatgpt.com

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`수포자의 적` 미분방정식, 코로나 방역 정책에 쓰이네 [Science] - 매일경제

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인공지능·로켓 회수·핵연료 배치과학기술 진보 이끄는 수학의 힘미분 수리모델로 확진자 예측머스크가 기획한 로켓 `팰컨9`대서양 목표지점에서 회수미분으로 속도·각 정확히 계산한수원 핵연료 재배치 과정서`외판원 문제` 활용해 경로 단축확률·통계학자는 AI 공동연구증시 주가변동 예측까지수학의 응용 영역 계속 확대허준이 교수 수학 분야 연구IT·반도체 기술 응용될…

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지도기능 - 대한수학회 학술상 수상자 변

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지도기능 - 대한수학회 학술상 수상자 변순섭 교수

우리 주변 세계를 수학으로 이해하는 첫걸음은 미적분입니다. 변화율을 다루는 미분과 넓이, 누적량을 측정하는 적분은 자연과학, 공학은 물론 경제학, 인공지능 등에서 기본 도구로 자리 잡고 있습니다. 그러나 현실 자연현상은 매우 복잡하여 미적분만으로는 설명하기 어렵습니다. 이럴 때 활용되는 것이 여러 변수에 대한 미분을 다루는 편미분방정식(PDE, Partial Differential Equations)입니다.

최근 한국 수학계에서 변순식 교수(서울대학교)의 연구가 큰 주목을 받고 있습니다. 변 교수는 비선형 편미분방정식의 해를 분석하는 데 혁신적 기여를 했고, 이 연구 성과로 2025년 대한수학회 학술상을 수상했습니다. 그의 연구는 특히 실제 유체의 움직임처럼 복잡한 비선형 현상을 수학적으로 설명하는 데 집중되어 있습니다.

편미분방정식은 미적분의 원리를 더욱 확장한 도구입니다. 예를 들어, 유체의 흐름, 열의 전도, 음파와 빛의 전파 등 자연계의 다양한 ‘변화’를 수학적으로 모델링할 수 있게 합니다. 변 교수 연구팀은 비표준 성장 조건과 비선형 동역학 문제들을 해결해, 미적분과 이어진 수학의 경계를 넓히고 있습니다. 이는 물리와 공학뿐 아니라 미래 AI 알고리즘 개발 등 첨단 분야의 이론적 기반이 되고 있습니다.

미적분을 처음 배우는 학생들과 일반인들은 종종 “이게 어디에 쓰이나?”라는 의문을 가집니다. 미분과 적분에서 시작된 수학이 실제 자연과 인공 시스템에서 복잡한 변화를 이해하는 데 필수적인 ‘언어’임을 변 교수 연구를 통해 알 수 있습니다. 앞으로도 미적분과 편미분방정식 연구는 수학적 원리를 현실 세계에 적용하는 다리 역할을 하며, 우리의 생활과 미래 과학기술 발전에 큰 토대가 될 것입니다.

출처

https://news.nate.com/view/20251020n03368

https://mathsci.kaist.ac.kr/home/2024/02/%EC%B4%88%EC%84%B8%EB%8C%80-%ED%98%91%EC%97%85%EC%97%B0%EA%B5%AC%EC%8B%A4-%ED%8E%B8%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D-%ED%86%B5%ED%95%A9-%EC%97%B0%EA%B5%AC%EC%8B%A4-%EA%B0%9C%EC%86%8C/

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https://naver.me/xl0gj8xZ

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오늘 알아볼 내용은 심전도(EKG) 관련한 내용입니다.

실제로 심장의 전기적 활동을 분석하여 심혈관 질환을 진단하고 관리하는 데 필수적인 도구인데요, 특히 부정맥과 같은 질환은 심방세동(AF)이나 심실세동(VF)과 같이 생명을 위협할 수 있는 상태를 나타내며, 이를 조기에 발견하고 치료하기 위해 심전도 데이터를 효과적으로 분석하는 것은 매우 중요합니다.

여기서 우리는 미분과 적분을 이용해 심전도 그래프의 변화와 특성을 분석하는 것을 담았는데요.

수학적 도구로서의 미적분이 의료 현장에서 어떻게 활용되는지 구체적으로 탐구하여, 심장 건강 관리에서의 수학적 접근법에 대한 이해를 높이고자 작성되었습니다.

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[간호학/메디컬] 심전도(EKG)로 알아보는 심혈관 질환과 미분 적분의 역할

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안녕하세요, 세특왕 김세특입니다. 오늘 알아볼 내용은 심전도(EKG) 관련한 내용입니다. 실제로 심장의 전기적 활동을 분석하여 심혈관 질환을 진단하고 관리하는 데 필수적인 도구인데요, 특히 부정맥과 같은 질환은 심방세동(AF)이나 심실세동(VF)과 같이 생명을 위협할

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수학 관련 읽을 거리적분이 

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수학 관련 읽을 거리

적분이 먼저 발견되었는데, 미분부터 배우는 이유

https://ladyang86.tistory.com/entry/%EC%88%98%ED%95%99%EC%82%AC-%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%9D%B4-%EB%A8%BC%EC%A0%80-%EB%B0%9C%EA%B2%AC%EB%90%98%EC%97%88%EB%8A%94%EB%8D%B0-%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B6%80%ED%84%B0-%EB%B0%B0%EC%9A%B0%EB%8A%94-%EC%9D%B4%EC%9C%A0%EB%8A%94

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[수학사] 적분이 먼저 발견되었는데 미분부터 배우는 이유는?

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적분이 먼저 나왔고, 미분이 나중에 나왔다는 사실을 한 번쯤 들어보셨을 겁니다. 그런데 왜 우리는 학교에서 미분부터 배우고, 미분의 역연산 과정으로 적분을 배울까요? 미분, 적분 발견시기 적분의 탄생 적분 개념의 발생은 기원전 3세기경까지 거슬러 올라가야 합니다. 묘비에 그려진 그림으로 유명한 원뿔/구/원기둥입니다. 셋의 부피비는 1:2:3이죠. 죽을 때까지 도형 연구에 집중한 위대한 수학자죠. 우리는 원뿔의 부피가 원기둥 부피의 1/3이라는 사실을 압니다. 이 당시 곡면으로 둘러싸인 도형의 넓이나 부피를 어떻게 구했을까요? 아르키메데스는 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 다각형으로 근사시켜 구했습니다. 오늘날 적분을 이용하여 넓이를 구하는 방법과 유사하죠. 이게 바로 적분의 태동이라고 봅니다. 왜 적분…

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미분(微分, differentiation)은 함수의 정의역 속 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비, 즉 변화율의 극한들로 치역이 구성되는 함수이다.
미분이라는 단어는 영어 differentiation의 번역어이며, 점↔선↔면↔입체가 미적분과 유사한 관계임에서 착안하여 만들어진 단어이다. 즉 어떤 면을 미세하게 층층이 쪼개었을 때, 각각의 층을 '미세한 부분'이라고 하여 '미분'이라고 부른 것이 어원이다. 영어 differentiation이나 differential은 '차이를 두다'라는 뜻의 differentiate에서 파생되었다.
미분을 알기 위해서는 우선 몇 가지 개념에 대한 이해가 필요하다. 아래는 뉴턴이 최초로 미적분을 발명하고 거의 비슷한 시기에 라이프니츠가 최초로 정립한 미분계수의 정의와 평균변화율과 순간변화율 개념을 기술하고 있다. 나아가 이는 롤, 가우스, 코시, 로피탈, 리만, 바이어슈트라스 등 여러 인물들이 만들어 놓은 이론과 정리들의 기본 원리가 되는 개념이다.

어떤 함수 f(x)f(x)의 그래프가 있다고 할 때, xx축 위의 두 실수 aa와 bb (a<ba<b)를 생각해 보자. 이제 f(x)f(x) 위에 위 사진과 같이 두 점 A(a, f(a))A(a,f(a)), 점 B(b, f(b))B(b,f(b))를 잡고, 이 두 점을 이어 직선을 만들면 AA부터 BB까지의 y증가량x증가량x증가량y증가량​, 즉 f(b)−f(a)b−ab−af(b)−f(a)​는 두 점 AA, BB을 지나는 직선의 기울기이다. 이때 xx의 증가량을 ΔxΔx, yy의 증가량을 ΔyΔy라 한다. 어떤 변수의 증가량을 나타내려면 ΔΔ를 붙여주자.
미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 두 점 사이의 그래프 전체의 기울기이다.
yy의 증분 ΔyΔy를 xx의 증분 ΔxΔx로 나눈 ΔyΔx=4ΔxΔy​=4를 닫힌 구간 [1, 3][1,3]에서의 y의 평균변화율이라고 한다. 이 값은 y=x2y=x2 위의 두 점 (1, 1)(1,1), (3, 9)(3,9)를 지나는 직선의 기울기와 같다. 일반적인 평균변화율의 정의는 다음과 같다.

함수 y=f(x)y=f(x)에서 xx의 값이 aa부터 a+Δxa+Δx까지 변할 때, ΔyΔx=f(a+Δx)−f(a)ΔxΔxΔy​=Δxf(a+Δx)−f(a)​를 구간 [a, a+Δx][a,a+Δx]에서의 yy의 평균변화율이라고 한다.

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https://mathtravel.tistory.com/entry/%EC%82%AC%ED%9A%8C%EC%97%90%EC%84%9C-%ED%99%9C%EC%9A%A9%EB%90%98%EB%8A%94-%EB%AF%B8%EB%B6%84-%EC%82%AC%EC%9A%A9-%EC%82%AC%EB%A1%80-%EC%98%88%EC%8B%9C-%EC%95%8C%EC%95%84%EB%B3%B4%EA%B8%B0?utm_source=chatgpt.com

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사회에서 활용되는 미분 사용 사례 예시 알아보기

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미분은 자연과학뿐 아니라 사회과학에서도 중요한 분석 도구로 활용됩니다. 인간의 행동, 경제 흐름, 인구 변화, 정책 효과 등 다양한 사회 현상은 시간과 공간에 따라 지속적으로 변화하며, 이러한 변화를 정량적으로 이해하기 위해 미분이 사용됩니다. 이번 글에서는 사회과학에서 미분이 활용되는 대표적인 사례들을 알아봅니다.1. 경제학에서 한계 개념 분석경제학에서는 미분이 ‘한계(marginal)’ 개념을 정의하고 분석하는 데 핵심적으로 사용됩니다. 예를 들어 소비자가 어떤 상품을 소비할 때 추가로 얻는 효용(만족도)을 한계효용(marginal utility)이라고 하며, 이는 효용 함수 \( U(x) \)를 \( x \)에 대해 미분하여 계산합니다:\[MU(x) = \frac{dU}{dx}\]마찬가지로 생산 함…

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미분 자동 계산 사이트 소개

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미분 자동 계산 사이트 소개

https://www.derivative-calculator.net/

https://m.blog.naver.com/binhur/222359957038

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Above, enter the function to derive. Differentiation variable and more can be changed in " Options". Click " Go!" to start the derivative calculation. The result will be shown further below.

How the Derivative Calculator Works

For those with a technical background, the following section explains how the Derivative Calculator works.

First, a parser analyzes the mathematical function. It transforms it into a form that is better understandable by a computer, namely a tree (see figure below). In doing this, the Derivative Calculator has to respect the order of operations. A specialty in mathematical expressions is that the multiplication sign can be left out sometimes, for example we write "5x" instead of "5*x". The Derivative Calculator has to detect these cases and insert the multiplication sign.

The parser is implemented in JavaScript, based on the Shunting-yard algorithm, and can run directly in the browser. This allows for quick feedback while typing by transforming the tree into LaTeX code. MathJax takes care of displaying it in the browser.

When the "Go!" button is clicked, the Derivative Calculator sends the mathematical function and the settings (differentiation variable and order) to the server, where it is analyzed again. This time, the function gets transformed into a form that can be understood by the computer algebra system Maxima.

Maxima takes care of actually computing the derivative of the mathematical function. Like any computer algebra system, it applies a number of rules to simplify the function and calculate the derivatives according to the commonly known differentiation rules. Maxima's output is transformed to LaTeX again and is then presented to the user.

Displaying the steps of calculation is a bit more involved, because the Derivative Calculator can't completely depend on Maxima for this task. Instead, the derivatives have to be calculated manually step by step. The rules of differentiation (product rule, quotient rule, chain rule, ...) have been implemented in JavaScript code. There is also a table of derivative functions for the trigonometric functions and the square root, logarithm and exponential function. In each calculation step, one differentiation operation is carried out or rewritten. For example, constant factors are pulled out of differentiation operations and sums are split up (sum rule). This, and general simplifications, is done by Maxima. For each calculated derivative, the LaTeX representations of the resulting mathematical expressions are tagged in the HTML code so that highlighting is possible.

The "Check answer" feature has to solve the difficult task of determining whether two mathematical expressions are equivalent. Their difference is computed and simplified as far as possible using Maxima. For example, this involves writing trigonometric/hyperbolic functions in their exponential forms. If it can be shown that the difference simplifies to zero, the task is solved. Otherwise, a probabilistic algorithm is applied that evaluates and compares both functions at randomly chosen places.

The interactive function graphs are computed in the browser and displayed within a canvas element (HTML5). For each function to be graphed, the calculator creates a JavaScript function, which is then evaluated in small steps in order to draw the graph. While graphing, singularities (e. g. poles) are detected and treated specially. The gesture control is implemented using Hammer.js.

If you have any questions or ideas for improvements to the Derivative Calculator, don't hesitate to write me an e-mail.

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Solve derivatives using this free online calculator. Step-by-step solution and graphs included!

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보도기능

미적분, 우리 생활 가까이에서 활약하다

미적분은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 탄생한 수학의 꽃으로, 변화하는 세상을 이해하는 데 필수적인 도구다. 고대부터 변화와 운동을 연구하려는 인간의 노력에서 비롯된 미적분은 과학, 공학, 경제, 의료 등 다양한 분야에서 광범위하게 활용되고 있다.

예를 들어, 자동차의 순간 속도와 가속도 계산, 우주선 궤도 분석, 스포츠 선수의 움직임 평가 등은 미분의 대표적 활용 사례다. 또한 코로나19 확산을 예측하는 방역 정책 모델링, 기상 예측에서 대기의 흐름과 강우량 산출, 컴퓨터 단층촬영(CT)을 통한 인체 내부 3차원 영상 재구성에는 적분이 쓰인다. 인체의 단면을 여러 각도에서 촬영한 데이터를 적분하여 3차원 이미지로 만드는 과정은 의료 진단에 혁신을 가져왔다.

더 나아가, 영화 속 해일이나 화염 장면 제작, TV 영상 프레임 증가에도 미적분 방정식이 적용된다. 데이터 분석 분야에서는 심혈관질환 수술 성공 예측, 교통 CCTV 영상 속 범인 추적, 지하철 혼잡도 개선 등에 수학 모델링이 도움을 준다.

경제와 환경, 생태계 모델링에서도 미적분은 핵심적 역할을 담당한다. 수요와 공급 변화 분석, 기후 변화로 인한 온실가스 배출량 예측, 생물군집 성장률 계산 등이 이에 해당한다. 서울대 홍유석 교수는 “4차 산업혁명과 AI 시대의 기초 체력인 미적분 교육이 부족하면 산업 경쟁력에 심각한 타격을 입을 수 있다”고 강조했다.

이처럼 미적분은 우리 생활 곳곳에 숨겨진 수학적 원리로서, 과거부터 현재 그리고 미래 산업까지 다방면에 걸쳐 중요한 역할을 수행하며 인류 문명의 발전을 견인하고 있는 것이다.

출처: 이지프 블로그(2023), 조선일보(2023), MK 뉴스(2022), 네이버 블로그(2025)mk+4

1. https://www.mk.co.kr/news/it/10399068

2. https://blog.naver.com/femold/223301843957

3. https://www.chosun.com/economy/science/2023/12/30/2Q2CT3IJ65DAHIPBKKJ62X4MW4/

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주제: 미디어 광고 배치 최적화와 미분의 극값

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주제: 미디어 광고 배치 최적화와 미분의 극값

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보도 기능

오늘날 유튜브, 인스타그램 같은 플랫폼에서는 광고가 어느 위치에 노출될 때 가장 많은 클릭을 얻을 수 있는지를 계산하기 위해 수학적 최적화 원리를 사용한다.
광고 효과를 함수로 두고, 그 함수의 변화율이 0이 되는 지점(극값)을 찾음으로써 광고 효율이 최대가 되는 순간을 계산한다.
이러한 방식은 미분의 개념을 실제 미디어 산업에 적용한 사례로, 수학이 경제적 의사결정과 미디어 운영의 핵심 기술로 쓰이고 있음을 보여준다.

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지오지브라를 통해 극한값을 직접 찾기 (광고기능)

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지오지브라를 통해 극한값을 직접 찾기 (광고기능)

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1. 지으지브라 입력 칸에 내가 극한값을 탐구하고싶은 함수를 입력한다.(ex. y=2x)

2. 수렴하거나 발산할 x값을 정한다.

3. 좌극한과 우극한이 같은지 확인한다.

4. 같지 않다면 극한값이 없는 것이고, 같으면 다음 단계를 실행한다.

5. 그래프를 통해 함수가 x좌표에 수렴할 때 y좌표가 어디로 가는지, 발산할 때, 어디로 수렴하는지 찾는다.

6. 그것이 바로 극한값이다.

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지도 기능

많은 사람들이 미디어 광고를 단순히 마케팅의 일부로만 생각하지만, 그 속에는 수학적 사고가 숨어 있다.
광고 클릭률을 높이기 위해서는 감에 의존하기보다, 함수의 기울기와 변화율을 분석해 최적의 지점을 찾는 수학적 접근이 필요하다.
이처럼 미분을 이해하면 미디어 알고리즘이 왜 특정 광고를 배치하는지 과학적으로 이해할 수 있다.
따라서 학생들은 수학을 단순한 계산 과목이 아닌 실제 사회 문제 해결 도구로 인식할 필요가 있다.

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보도기능:

<AI에 적용되는 미분과 적분>

미분과 적분은 수학의 중요한 개념으로, AI 분야에서도 광범위하게 활용됩니다. 미분은 함수의 변화율을 계산하고 모델 최적화에 사 용되며, 적분은 함수의 면적을 계산하고 데이터 특징 추출에 활용됩니다. 이 두 가지 개념은 Al 모델의 학습, 최적화, 패턴 인식 등 다양한 작업에서 중요한 역할을 합니다.

<Al의 최적화 과정에 적용되는 미분과 적분>

AI의 최적화 과정에서 미분이 주로 사용되며, 적분은 특정 상황에서 활용될 수 있습니다. 미분은 함수의 기울기를 계산하여 모델을 최적화하는 데 일반적으로 사용되며, 2차 미분인 헤시안 행렬은 최적화 속도 향상에 도움이 됩니다. 적분은 제약 조건 처리에 활용 되며, 일부 최적화 문제에서 필요한 경우 사용됩니다.

<AI의 신경망 학습에 적용되는 미분과 적분>

AI의 신경망 학습에서는 주로 미분이 핵심적으로 사용되며, 역전파 알고리즘을 통해 가중치와 편향을 업데이트하는 데 활용됩니다.

이 과정에서 미분을 통해 오차에 대한 가중치와 편향의 변화율을 계산하여 모델을 최적화합니다. 또한, 미분을 사용하여 활성화 함 수의 민감도를 계산하고 역전파 과정에서 오차를 전파하는 데 활용됩니다. 적분은 직접적으로 사용되지는 않지만, 관련된 개념이 앙 상블 방법과 같은 간접적인 활용이 있을 수 있습니다.

<인공지능의 이미지 처리에 적용되는 미적분>

AI의 이미지 처리에서는 미분과 적분이 다양한 방면에서 활용됩니다. 주요 사례로는 그래디언트 계산을 통한 엣지 검출, 이미지 필 터링, 히스토그램 분석, 영역 분할, 이미지 복원 등이 있습니다. 이를 통해 이미지 특징 추출, 노이즈 제거, 객체 검출, 영상 인식 등 다양한 작업을 수행할 수 있습니다. 다양한 이미지 처리 분야에서 미분과 적분이 중요한 역할을 합니다.

인공지능의 합성곱 신경망은 이미지나 신호 속에서 중요한 특징을 찾아내는 방법이다.

이미지를 작은 조각으로 나누고 각각에 필터처럼 작용하는 창을 씩워 패턴이나 경계, 색깔 변 화 등을 감지한다. 이걸 반복해서 얻은 정보로 물체나 얼굴을 인식할 수 있다.

합성곱 신경망에는 여러 가지 수학적 요소들이 숨어있다.

이미지를 나누고 필터를 적용하는 것은 행렬을 다루는 선형대수와 관련되어 있다고 하고, 반복하며 더 정확한 필터를 찾는 과정은 미분과 최적화를 이용해 오류를 줄이는 과정이라고 한다.

현대 AI와 컴공 기술은 과거 수학자들의 발견과 발전이 없었다면 불가능했을 것이다.

예를 들면 뉴턴과 라이프니츠의 미적분 덕에 최적화와 학습 알고리즘이 가능했고 가우스가 선형대수와 관련된 계산적 도구를 발전시킨 덕에 대규모 데이터 처리가 가능했다.

다시 말해서, 수학은 학문일 뿐만 아니라, 현대 기술을 가능하게 하는 도구이기도 하다.

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오락기능 문제 풀이

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제목: 수학과 기술의 합동?

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최근 미분에 대한 수학사적 관점, 실생활

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최근 미분에 대한 수학사적 관점, 실생활 사례 , 내가 응용한 사례

A(수학자). "미분은 쉽게 말해 ‘미세한 부분’을 뜻해요. 영어로는 차이라는 의미의 ‘differential’이지요. 미세한 변화를 연구하는 분야가 미분이에요. 이렇게 이야기하는 동안에도 시간은 계속 흐르고 지구가 태양 주위를 공전하며 사람은 어디론가 이동해요.

그게 아니어도 나이나 몸무게 등 우리의 모든 것이 변화해요. 이렇게 변화하는 세상을 이해하려면 특정 값 자체보다는 특정 시간 동안 어떻게 변했는지에 더 관심을 가져야 해요. 이를 위해 만들어진 학문이 미분학이에요."

조기경보: 수위 상승률 (아이디어)

dt/dh 기반 임계치

홍수 조기경보 체계는 관측 수위

ℎ(𝑡)

h(t)의 증가 속도(rate-of-rise)를 지속 모니터링하고, 임계 상승률을 넘으면 경보를 격상합니다. WMO의 임계치 기반 경보 가이드라인은 관측값과 파생지표(상승률 등) 임계 설정을 권장합니다.

미국 NWS의 홍수·급류 정의/용어 프레임은 시간 내 급격 상승을 핵심 위험요인으로 본다는 점을 명시합니다(=

𝑑ℎ/𝑑𝑡

dh/dt가 큰 상황).

NWS 교육 포털

국내도 한강홍수통제소가 실시간 수위를 바탕으로 경보·대피를 운영(최근 임진강 수위 급상승 이슈)하며, 이러한 운영은 실측 곡선의 기울기(미분값) 감시가 전제입니다.

홍수 조기 경보 시스템은 단순 재난 알림을 넘어 농식품 생산·유통·안전 전 과정의 선제적 대응 체계를 가능하게 해줍니다. 농작물 및 축산·양식 생태계의 피해 감소, 콜드체인 기반의 유통 안정화, 침수 오염 식품의 신속 차단, 식중독 등 2차 보건위험 예방 등 구체적 효과를 통해 식품 가격 폭등과 국민 불안을 동시에 최소화하는 전략적 인프라로 작동합니다.

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오락 기능

우리가 유튜브를 볼 때마다 나오는 광고, 알고 보면 미분으로 계산된 위치일 수 있다!
영상 중 어느 순간에 광고를 넣으면 시청자가 이탈하지 않을지, 클릭을 더 많이 할지는 함수 그래프로 예측한다.
이 사실을 알고 보면 미디어 속 광고가 조금은 다르게 보이지 않을까?
수학이 이렇게 재미있는 방식으로 우리 일상에 숨어 있다는 사실이 흥미롭다.

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순간에 조금씩 다가가는 극한

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광고 기능

최근 개발된 ‘AdOpt-Math’ 프로그램은 미분 계산을 통해 광고 클릭률의 최대값을 자동으로 찾아주는 도구다.
광고주들은 이 프로그램을 활용해 불필요한 예산 낭비를 줄이고, 효율적인 노출 전략을 세울 수 있다.
수학의 극값 개념을 실제로 체험하며 데이터 기반 광고 최적화의 원리를 익힐 수 있는 유용한 자료다.

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IV injection(정맥 내 투여)란, 주사 등을 통해 정맥 내로 약물을 투입하는 방식을 의미합니다. 우리가 경구로 먹는 약과는 달리, 정맥으로 투여하는 경우 소화, 흡수의 과정에서 소실되지 않고 투여한 약물이 100% 혈액으로 이행하게 됩니다. 즉 정맥 내 투여는 약물을 빠르고 정확히 혈액으로 이행시키는 방식이라 할 수 있습니다.

예를들어 뇌에서 작용하는 약물의 경우, 뇌에 얼마나 강한 약효가 나타날 것인지는, 뇌 부위에서 해당 약물의 농도를 측정하는 것이 가장 정확할 것입니다. 그런데 실제로는 뇌를 절개하여 약물 농도를 측정하는 것은 불가능합니다. 따라서 순환계로서 우리 온몸에 뻗어 있는 혈액에서의 농도로 우리 몸 곳곳의 농도를 대신하게 되며 이를 통해 약효를 예상할 수 있는데, 이러한 약동학적 개념을 One-compartment model이라 합니다( 즉 인체를 하나의 구획으로 여긴다는 의미)

k0를 약물 주입 속도(mg/min), kel을 약물제거 속도상수(/min), X를 약물 농도(mg)라고 한다면, 혈장 약물양의 미분방정식(시간에 따른 약물 용량의 변화량)은 아래와 같이 정의될 수 있습니다.

즉, 해당 미분방정식을 풀어 k0을 구해낸다면, 체내에서 약물이 제거되는 것을 고려한 약물 주입속도(mg/min)을 알아낸 것이라 할 수 있습니다.

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3줄 요약

1. 경제 현상을 이해하고 분석하기 위해 필요한 수학적 기법들을 체계적으로 설명한다.

2. 미분과 적분을 활용해 경제 문제의 최적화, 변화율, 비용 분석 등을 다룬다.

3. 실제 경제 사례를 통해 수학 이론의 실용성과 적용 방법을 보여준다.

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보도기능베르나르토 볼차노와 

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보도기능

베르나르토 볼차노와 오귀스탱루이 코시의 엡실론-델타 논법

엡실론-델타 논법(epsilon-delta definition of limit/epsilon-delta proof)은 수학에서 함수 또는 수열의 극한을 명확하게 정의하는 방법이다. 19세기 초 수학자 베르나르트 볼차노, 오귀스탱루이 코시 등이 규명·보급했다.

https://naver.me/xVlWrPig

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함수의 극한 및 연속성을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 과정에서 나온 논법이다. 코시가 도입했으며, 바이어슈트라스가 이를 이용하여 해석학과 미적분학에서 가장 중요한 개념인 연속성의 개념을 확립한 이후 널리 받아들여지는 논법이다. [목차] 1.엡실론-델타 논법이란 1.1.보기 2.엡실론-델타 논법과 연속성 2.1.보기 2 3.수열을 이용한 극한 4.다른 견해: 비표준해석학 5.같이 읽기 [ 엡실론-

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[인텔18A 귀환] ② 3중 하이브리드 아키텍처...존리스 스케쥴링 모듈 진화

[디지털데일리 김문기 기자] 인텔은 최근 미국 애리조나 챈들러에서 열린 '인텔 테크 투어 2025(Intel Tech Tour 2025)'를 통해 차세대 클라이언트 프로세서 '팬서레이크(Panther Lake)'를 공개했다.

팬서레이크(Panther Lake)에 앞서 미세공정으로의 귀환을 의미하는 18A 공정에 많은 관심이 쏟아지기는 했으나 또 다른 핵심은 그 위에 구현된 3중 하이브리드 아키텍처에 있다고 해도 과언이 아니다. 인텔은 팬서레이크를 단순히 차세대 AI PC용 CPU로 정의하지 않고 이 플랫폼을 '코어 구조를 새로 설계한 전력 지능형 SoC'로 분류한다.

루나레이크(Lunar Lake)까지의 하이브리드 구조는 P코어와 E코어의 이원 구성이었다. 팬서레이크는 여기에 저전력 LP E코어(Low-Power E-core)를 추가해, 성능(P), 효율(E), 유지(LP E)라는 3개의 처리 레벨을 분리했다. 이 3중 구조를 제어하는 핵심은 바로 인텔 스레드 디렉터(Intel Thread Director)'의 진화형인 '존리스 스케줄링(Zoneless Scheduling) 알고리즘이다.

◆ P 코어 쿠거 코브와 E코어 다크몬트 진화

팬서레이크의 P코어는 쿠거 코브(Cougar Cove)라는 이름으로 설계됐다. 이는 애로우레이크H의 라이온 코브(Lion Cove)를 계승하면서도, 18A 공정에 맞게 리파인된 구조다.

쿠거 코브의 설계 목표는 '더 낮은 전력에서 더 많은 스루풋'이다. 이를 위해 인텔은 실행 파이프라인을 다시 나누고, 명령어 분기(Branch Prediction)와 재정렬(Retirement) 단계에 인공지능 기반 추론 로직을 도입했다.

이 코어는 루나레이크 대비 동일 전력에서 10~15% 높은 IPC(클럭당 명령 처리량)을 확보했으며, 메모리 접근 효율도 개선됐다. TLB(Translation Lookaside Buffer) 용량이 1.5배 확장되고, 메모리 디스앰비규에이션(disambiguation) 기능이 강화되면서 다중 스레드 메모리 접근의 충돌률이 20% 감소했다. 이 조합은 단일 스레드 연산뿐 아니라 AI 추론이나 실시간 그래픽 연산에서도 병목을 줄인다.

팬서레이크의 E코어는 다크몬트(Darkmont)로 명명됐다. 이 코어는 루나레이크의 크레스트몬트(Crestmont)보다 높은 IPC를 제공하면서, 전력 소모는 오히려 낮다. 인텔에 따르면 다크몬트는 크레스트몬트 대비 동일 주파수 기준 20% 이상 성능 향상, 소비전력은 30% 절감된다는 설명이다.

다크몬트의 핵심은 실행 포트 구조 확장이다. 기존 12개 포트에서 14개로 늘어나며, 포트 간 데이터 재할당을 유연하게 처리한다. 내부적으로는 '스플릿 아웃 오브 오더 엔진(Split Out-of-Order Engine)'으로 불리는 세분화된 스케줄링 엔진이 탑재되어, 병렬 작업의 효율이 대폭 높아졌다.

또한 L2 캐시 용량이 클러스터당 4MB로 늘었고, 메모리 사이드 캐시(Memory-Side Cache)가 컴퓨트 타일에 통합됐다. 애로우레이크에서는 SoC 타일에 분리되어 있던 메모리 컨트롤러를 코어 타일로 옮겨, 메모리 대역폭 병목을 줄이고 지연 시간을 15~20% 개선했다.

팬서레이크에서 처음 등장한 LP E-코어(core)는, 백그라운드 연산이나 미디어 스트리밍 등 상시 유지 작업을 맡는 초저전력 코어다. 루나레이크의 SoC 타일에도 소수의 저전력 코어가 있었지만, 팬서레이크의 LP E-코어는 완전한 독립 영역으로 통합됐다. L2 캐시는 4MB, 코어당 클럭 주파수는 1GHz 미만이며, 전력은 0.1W 단위로 조절된다.

이 코어는 팬서레이크의 에너지 효율 설계에서 가장 중요한 역할을 맡는다. 사용자가 문서 편집이나 스트리밍, 백그라운드 AI 모델을 동시에 실행할 때, LP E코어가 저부하 작업을 담당해 P코어의 전력 피크를 억제한다.

팬서레이크의 코어 간 캐시 설계도 완전히 달라졌다.각 E코어 클러스터는 4MB L2 캐시를 공유하고, P코어 역시 코어당 4MB L2 캐시를 가진다. 상위에는 최대 18MB의 L3 캐시가 배치된다. E코어 8개가 하나의 L3 링 버스에 직접 연결되는 방식으로, 루나레이크에서는 불가능했던 'E코어 온 L3 링(E-core on L3 Ring)' 구성이 가능해졌다.

이 설계는 메모리 접근 효율을 크게 높여준다. 예를 들어, 이전 세대에서는 E코어가 L3 캐시 접근 시 SoC 타일을 거쳐야 했지만, 팬서레이크는 컴퓨트 타일 내부에서 직접 처리한다. 인텔은 이를 통해 레이턴시 2ns 단축, 대역폭 1.3배 확장이라는 내부 수치를 제시하기도 했다.

◆ 효율성 하이브리드·컴퓨팅 존리스 모델

스레드 디렉터(Thread Director)는 팬서레이크에서 재정립됐다. 루나레이크까지는 OS 스케줄러가 'P/E 구역'을 구분해 워크로드를 분배했지만, 팬서레이크는 '존리스(Zoneless)', 즉 구역이 없는 스케줄링 모델로 진화했다. 이 방식은 작업 특성을 스레드 단위로 실시간 분류하고, 세 가지 코어 중 어느 쪽이 최적의 처리 위치인지 AI 모델이 판단한다.

이 구조의 장점은 GPU 바운드 워크로드에서 극명하게 드러난다. 예를 들어, 게임 중 렌더링 파이프라인이 GPU에 집중될 때, 스레드 디렉터(Thread Director)는 자동으로 CPU의 E코어 중심 스케줄로 전환하고, P코어는 AI 연산이나 서브 프로세스를 맡는다. 반대로, 고부하 멀티스레드 작업이 들어오면 즉시 P코어로 재배치된다.

인텔은 이 과정을 '효율성 하이브리드/컴퓨팅 존리스 모델(Efficiency Hybrid / Compute Zoneless Model)'이라고 명명했다. 기존 OS 레벨의 스케줄러가 하드웨어 피드백을 받아 순차적으로 움직였다면, 팬서레이크에서는 하드웨어 자체가 실시간 피드백을 생성하고 OS는 단순히 지시만 내린다. 결과적으로, 워크로드 전환 속도가 루나레이크 대비 최대 40% 빨라졌다.

팬서레이크의 전력 제어 시스템은 SoC 전체를 통합 관리하는 지능형 경험 최적화(Intelligent Experience Optimizer)에 의해 자동화된다. 이는 OEM이 제공하는 '전원 모드 슬라이더(Power Mode Slider)'를 대체하는 기능으로, 사용자 조작 없이도 시스템이 스스로 '성능 장비(Performance Gear)'와 '시원하고 효율적인 장비(Cool & Efficient Gear)' 사이를 오간다. 인텔 내부 테스트 기준, UL 프로시온(UL Procyon) 오피스 워크로드에서 19% 성능 향상, 시네벤치 2024(Cinebench 2024) 싱글스레드에서 19% 개선 수치가 제시됐다.

이 전력 제어는 단순한 클럭 부스트가 아니라, 코어·GPU·NPU 간의 동시 전력 분배 최적화를 목표로 한다. 인텔은 이를 'AI 기반 파워 매니지먼트'로 정의하며, 파워 이벤트를 스스로 학습하는 알고리즘이 탑재되어 있다. 이 기술은 팬서레이크 이후 모든 모바일 SoC의 표준 기능으로 확장될 예정이다.

또한 팬서레이크는 하드웨어뿐 아니라 시스템 전체 설계를 새로 썼다. LPDDR5 메모리 지원은 최대 8533MT/s로 확대됐고, PCIe 젠5, Wi-Fi 7 (R2), 듀얼 블루투스 코어 6, 썬더볼트 4를 통합 지원한다. 스토리지 보안도 강화돼 '인텔 토탈 스토리지 암호화(Intel Total Storage Encryption)' 기능이 기본 내장된다.

결과적으로 팬서레이크는 루나레이크 대비 동일 전력에서 최대 50% 성능 향상, 애로우레이크H 대비 동일 성능에서 30% 전력 절감, E코어 IPC +17%, 전체 플랫폼 Perf/Watt +40%, TDP 17W 기준 노트북에서 평균 FPS 10%, 99th 퍼센타일 성능 25% 개선된 결과치를 내준다는게 인텔의 설명이다.

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"CPU 내부도 AI 업무 분담"...인텔, 팬서레이크 아키텍처 열어보니

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인텔은 최근 미국 애리조나 챈들러에서 열린 '인텔 테크 투어 2025(Intel Tech Tour 2025)'를 통해 차세대 클라이언트 프로세서 '팬서레이크(Panther Lake)'를 공개했다. 팬서레이크(Pant

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플로렌스 나이팅게일은 19세기 크림 전쟁

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플로렌스 나이팅게일은 19세기 크림 전쟁 당시 부상자와 사망자의 데이터를 체계적으로 수집하고 분석하여 병원 위생 상태와 사망률의 상관관계를 밝혀낸 인물입니다. 그녀는 데이터를 단순히 기록하는 데 그치지 않고, 이를 원형 차트나 선그래프로 시각화하여 각 항목의 비율과 변화를 비교했습니다. 이러한 시각화 과정은 수학Ⅱ에서 배우는 함수의 변화와 그래프의 의미를 이해하는 것과 유사하며, 특히 적분 개념과 연결됩니다. 그래프 아래의 면적은 전체 대비 특정 항목의 비율을 나타내는데, 이는 적분을 통해 시간에 따른 총 사망자 수를 계산하는 것과 같은 사고입니다. 또한 나이팅게일은 위생 개선 후 사망률이 줄어드는 속도를 분석했는데, 이는 함수의 증가·감소와 미분을 통한 변화율 분석과 직접적으로 관련됩니다. 이처럼 나이팅게일의 업적은 단순한 간호 활동을 넘어, 데이터 수집 → 그래프 시각화 → 면적 비교 → 변화율 분석의 과정을 통해 수학적 사고와 연결되며, 적분과 미분의 실제 활용 예를 보여줍니다.

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미분과 관련된 도서

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소비자 지수 변화율과 미분계수

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소비자 지수 변화율과 미분계수

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소비자 물가 지수란

소비자 물가 지수(CPI)는 가계가 구매하는 재화와 서비스의 가격 변동을 측정하는 경제 지표

측정방법: 대표 상품·서비스를 선정하고 가중치를 부여한 뒤 주기적으로 가격을 조사해 가중평균으로 산출합니다(기준연도에 대한 현재 물가 수준을 백분율로 나타낸 것)

도함수와 미분계수

정의:미분계수는 함수의 변화율을 측정하는 도구로, 특정 지점에서의 기울기를 나타냅니다. 이는 주어진 함 수/(x)에서미소한 x의 변화에 따른 f(x)의 변화량을 계산하는 것으로, 일반적으로 f'(x)로 표현됨

경제에서의 활용: 경제 데이터 분석에서, 미분계수는 시간에 따른 변화율을 정확하게 측정할 수 있어 경제적 추세를 분석하는 데 유용함, 경제 지표의 상승 및 하락 속도를 분석하여, 급격한 변화의 시점을 파악하고 그 원인을 해석하는 데 중요한 역할을 함

도함수와 미분계수로 알아보는 소비자 물가 지수 변화율

CPI를 시간 t의 함수로 나타내어 CPI(t)라 하면, CPI’(t)는 시간 t에서의 CPI

변화율을 나타냅니다

특정 기간 동안의 CPI 변화율 계산: CP I의 도함수를 구하면, 일정 기간 동안 물가 상승의 속도를 분석할 수 있습니다.

예를 들어, 특정 경제적 충격(예: 원자재 가격 상승, 금리 인상 등)이 CPI에 미치는 영향을 도함수를 통해 분석함으로써, 물가 상승이 어떤 속도로 진행되었는지, 그리고 어떤 시점에서 가장 크게 변동했는지를 파악할 수 있습니다.

그리고 어떤 시점에서 가장 크게 변동했는지를 파악할 수 있습니다.

변화율이 급격히 증가하거나 감소하는 시점에서의 경제적 요인 분석: CPI의 변화율이 급 격히 증가하거나 감소하는 시점에서, 이러한 변화를 유발한 경제적 요인들을 분석합니다.

예를 들어, 갑작스러운 원자재 가격 상승, 정책 변화, 혹은 글로벌 경제 상황의 변동이 CPI

변화율에 미치는 영향을 미분계수를 통해 구체적으로 해석할 수 있습니다

과거 소비자 물가 지수 변화율 분석

도함수 그래프는 물가 상승 속도의 방향 전환을 보여준다.

2022년 말에는 도함수가 음수(-) 로 크게 떨어져, 물가 상승률이 급격히 둔화되었음을 의미한다.

이는 고금리 정책과 에너지 가격 안정, 공급망 회복 등이 물가 압력을 완화시킨 결과로 볼 수 있다.

2023년 초에는 도함수가 일시적으로 양수(+) 로 전환되며 물가가 다시 상승세를 보였지만, 중반 이후 다시 음수로 돌아서며 완만한 하락세가 지속됐다.

이는 농산물 가격 안정, 유가 하락, 소비 위축 등의 요인 때문이다.

2024년~2025년 초에는 그래프가 0 근처에서 진동하는 모습으로, 물가 상승률이 급격히 오르내리지 않고 안정 국면에 접어든 것을 보여준다.

다만 2025년 초에 소폭 양수로 전환된 것은 전기•가스요금 조정, 일부 식료품 가격 인상 등 일시적 요인의 영향이다.

결론 요약

﻿﻿도함수 > 0: 물가 상승 속도가 빨라짐 (인플레이션 압력 강화)

﻿﻿도함수 < 0: 물가 상승 속도가 느려짐 (물가 안정 또는 둔화)

﻿﻿최근 추세: 완만한 진동 물가가 안정세에 진입했으나, 단기 변동 가능성 존재

신문용으로 한 문단으로 정리하면 이렇게 쓸 수 있어

최근 2년간 소비자물가지수의 도함수를 분석한 결과, 2022년 말 급격한 물가 둔화 이후 2023년 중반부터 완만한 하락세가 이어졌으며, 2024년부터는 상승과 하락이 반복되는 안정 국면으로 전환된 것으로 나타났다. 이는 고금리 정책, 에너지 가격 안 비 둔화 등의 영향으로 물가 상승 압력이 완화되었다.

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지도기능

필즈상 소개

필즈상(Fields Medal)은 세계수학자대회에서 4년마다 수여하는 상으로, 아벨상, 울프상 수학 부문과 함께 수학계의 가장 명예로운 상으로 꼽힌다.[2] 젊은 수학자의 연구를 장려한다는 취지로 다른 상과 다르게 40세 이하에게 수여된다는 특징이 있다.

캐나다 수학자 존 찰스 필즈(1863 ~ 1932)의 이름을 땄으며, 1897년 처음 열린 세계수학자대회에서 기원, 자신의 유산으로 수학상을 만들어달라던 필즈의 유언 이후 취리히수학자대회에서 그의 제안이 논의되었고 1936년부터 첫 수상자를 배출하기 시작했다.

매 4년 마다 두 명에서 최대 네 명까지 수상할 수 있으므로, 평균적으로 1년에 단 1명만 수상할 수 있다.

수상 분야는 당연히 수학 분야. 필즈상은 오로지 수학자들에게만 수여되고 있으며 예외가 있다면 이론물리학자 에드워드 위튼이다.[3] 그러나 원래 수학과 물리학은 통하는 부분이 많거니와, 위튼 외에도 이론물리에 가까운 분야에서 (특히 역학계 관련 연구에서) 수상자가 여럿 있었다.

다른 상과 대비되는 특이한 제한 조건이 하나 있는데, 40세 미만만 수상 가능하다. 정확히는 시상식이 개최되는 해의 1월 1일에 만 40세 미만이어야 자격이 되는 것으로, 생일을 고려하지 않은 연도 계산을 감안하면 실질적으로는 40세 '이하'라고 보면 된다. 노벨상 과학분야가 평생을 학계에 공헌한 나이 지긋한 학자를 꼽는 성향이 있는 것과 대조된다.

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오락기능

수학 수수께끼

수2 교과서 참고

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보도기능실생활 속 수학 (보

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보도기능

실생활 속 수학 (보도기능)

자동차의 제동 거리는 단순한 기계 성능이 아니라, 미분의 원리로 설명된다. 차가 일정한 감속도로 멈춘다고 가정하면, 제동 거리 는 속도 의 제곱에 비례한다.

즉, 속도가 2배가 되면 제동 거리는 약 4배 증가한다.

도로교통공단의 자료에 따르면, 시속 100km 주행 시 제동 거리는 약 100m로, 시속 50km일 때(25m)의 4배에 해당한다.

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함수의 그래프 위의 한 점에서 순간적인 

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함수의 그래프 위의 한 점에서 순간적인 변화율을 나타내는 직선은?

➡ (답: 접선)

어떤 점에서 함수가 끊어지지 않고 부드럽게 이어질 때 그 함수는 ○○이다.

➡ (답: 연속)

함수의 미분계수는 그 점에서의 ○○을 의미한다.

➡ (답: 기울기)

함수의 x가 일정한 값에 가까워질 때 y가 가까워지는 값을 구하는 개념.

➡ (답: 극한)

미분 가능한 함수에서는 항상 ○○하다. (힌트: 그래프가 끊기지 않는다.)

➡ (답: 연속)

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미분의 원리로 본 제동 거리 (지도기능)

미분은 ‘순간적인 변화’를 표현하는 수학의 핵심 개념이다.

속도는 거리의 미분으로, 가속도는 속도의 미분으로 표현된다.

이 관계를 통해 교통안전 기술과 자동차 제동 시스템이 설계된다.

즉, 미분은 실제 자동차 공학에서 생명을 지키는 기술 언어다.

많은 학생들이 미분을 시험 과목으로만 생각하지만, 제동 거리처럼 실생활 속 안전 문제 해결에도 핵심 역할을 한다는 점을 꼭 알아야 한다고 생각한다. 수학은 단순히 계산이 아니라, 사람의 생명을 지키는 수단이라 생각했다. 처음에는 제동거리와 미분이 단순히 계산식으로만 연결된다고 생각했지만, 실제로는 가속도·마찰력·차량 무게 등 여러 요소가 함께 작용하는 복합적인 문제라는 점을 깨달았다.

그래서 앞으로는 다양한 물리 변수와 수학 공식을 통합적으로 분석하는 연습이 필요하다고 생각한다.

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대한수학회 논문상은 수학 분야에서 뛰어난

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대한수학회 논문상은 수학 분야에서 뛰어난 연구를 수행한 연구자에게 수여되는 권위 있는 상입니다. 이 상은 단순히 어려운 문제를 푸는 능력을 평가하는 것이 아니라, 새로운 이론을 제시하고 기존 연구를 발전시키는 학문적 성취를 인정합니다. 최근 기하학 분야 연구자의 사례를 보면, 오랜 시간 집중과 탐구 끝에 기존의 가설을 새롭게 증명하며 학문 발전에 기여한 모습을 확인할 수 있습니다.

저는 이 논문상을 보면서, 학문적 성취의 의미를 다시 생각하게 되었습니다. 지식과 기술을 단순히 배우는 것에 그치지 않고, 새로운 방법을 탐구하고 발전시키려는 자세가 얼마나 중요한지 깨달았습니다. 우리도 공부나 진로를 준비할 때, 단순히 정답을 찾는 데 그치지 말고 호기심을 가지고 깊이 탐구해야 합니다. 또한 노력과 성실함을 바탕으로 끊임없이 발전하려는 태도가 결국 자신과 사회에 가치를 제공한다는 점을 배울 수 있습니다.

따라서 대한수학회 논문상은 단순한 상이 아니라, 학문적 열정과 성실한 탐구의 중요성을 일깨우고, 우리에게도 학습과 진로에서 주체적이고 창의적인 태도를 갖추도록 방향을 제시하는 기준이라고 생각합니다. 우리가 앞으로 공부나 진로를 준비할 때, 이 정신을 본받아 스스로 목표를 설정하고 도전하는 자세를 가져야 할 것입니다.

*대한수학회 논문상은 수학 연구에서 뛰어난 성취를 거둔 연구자에게 주어지는 권위 있는 상입니다. 이는 단순히 문제를 잘 푼다는 의미가 아니라, 새로운 이론을 제시하고 기존 연구를 발전시키는 학문적 업적을 인정하는 상입니다.

강정수 교수 (2024년 논문상) 수상 논문: “Symplectic homology of convex domains and Clarke’s duality” 등.

서인석 교수 (2025년 논문상) 수상 논문: “A resolvent approach to metastability” 등.

저는 이 논문상을 보면서 학문적 성취의 의미를 다시 생각하게 되었습니다. 단순히 정답을 찾는 것에 그치지 않고, 새로운 방법을 탐구하고 발전시키려는 태도가 얼마나 중요한지 깨달았습니다. 우리도 공부나 진로를 준비할 때 호기심을 가지고 깊이 탐구하며, 끊임없는 노력을 통해 사회에 가치를 제공하는 사람이 되어야 합니다.

따라서 이 상은 단순한 학문적 상징이 아니라, 창의적 탐구와 성실한 노력의 정신을 보여주는 기준이라고 생각합니다. 앞으로의 공부와 진로 준비에서도 이 정신을 본받아야 할 것입니다.

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세상을 움직이는 마법의 공식 -수학 II로 풀어보는 경제, 역사, 심리

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세상을 움직이는 마법의 공식 -수학 II로 풀어보는 경제, 역사, 심리

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이 신문은 딱딱한 수학 공식($f(x)$나 ∫) 대신, 우리 주변의 변화와 총량을 읽어내는 미분과 적분의 놀라운 능력을 쉽고 재미있게 보여줍니다.

1. 보도 기능: 미분 (변화의 순간을 포착하다)

기사 제목: [AI 긴급 속보] 주식 시장의 '숨겨진 비밀'! 미분이 알려주는 최고점과 최저점

주식이나 코인 가격은 매일 변합니다. AI가 이 복잡한 시장을 예측하는 비결은 바로 미분입니다. 가격의 흐름(f(t)) 자체보다, 가격이 '순간적으로 얼마나 빨리 변하고 있는지'(f′(t))를 읽어냅니다.

미분은 마치 속도계처럼, 주가가 가장 빨리 오르거나 내리는 '변화의 속도'를 정확히 알려줍니다. 특히, 주가가 더 이상 오르지 않고 꺾이는 '피크아웃(최고점)' 지점(f′(t)=0)을 예측하는 것이 핵심입니다. 미분은 단순한 공식이 아니라, 수많은 돈이 오가는 금융 시장을 움직이는 가장 빠른 분석 도구입니다.

2. 지도 기능: 미적분 (위대한 과학 혁명의 뿌리)

기사 제목: [역사 속 발견] 뉴턴과 라이프니츠의 미적분: 과학 혁명의 열쇠

오늘날 미적분은 뉴턴과 라이프니츠라는 두 천재가 각각의 방식으로 발견한 것입니다. 뉴턴은 물체가 움직이는 '속도'와 '가속도'를 설명하기 위해 미분을 사용했고, 라이프니츠는 곡선 아래의 면적(적분)을 구하는 기호를 만들어 수학에 혁명을 가져왔습니다.

이들이 만든 미적분은 현대의 비행기 설계, 전기회로, 제어 시스템 등 모든 공학의 기본 언어입니다. 또한, 정적분은 일정 기간 동안 오염 물질이 배출된 '총량'을 계산해 환경 정책을 세우는 데 필수적입니다. 미적분을 배운다는 것은, 세상을 만든 과학적 원리를 이해하는 위대한 지성의 도구를 갖는 것과 같습니다.

3. 오락 기능: 함수 그래프 (나를 분석하다)

코너 제목: ‘당신의 마음은 롤러코스터?’ 3차 함수 그래프로 보는 성향 심리 테스트

사람의 마음처럼 복잡해 보이는 3차 함수 f(x)의 그래프는 사실 딱 두 가지 주요 유형으로 나뉩니다.

1. 롤러코스터 유형 (극값 존재): 그래프가 산봉우리(극대)와 계곡(극소)을 모두 가집니다. 이는 감정 기복이 크고 열정적이지만, 위기와 기회를 모두 겪는 역동적인 성향에 비유할 수 있습니다.

2. 직진 유형 (극값 부재): 그래프가 꾸준히 한 방향으로만 올라갑니다. 이는 감정 동요가 적고, 목표를 향해 안정적으로 나아가는 끈기 있는 성향에 비유할 수 있습니다.

퀴즈 코너: 정적분 대결! ∫−aa​x2dx (우함수)와 ∫−aa​x3dx (기함수) 중, 계산이 0으로 끝나 바로 답을 알 수 있는 함수는 무엇일까요? (힌트: 기함수는 원점 대칭이라 양(+)과 음(-)의 면적이 상쇄됩니다!)

4. 광고 기능: 정적분 (생활 속 숨겨진 돈을 찾다)

광고 제목: 💰 적분 혁명! 'Geo-Calc'로 곡선 땅 면적, 돈 아끼며 정확하게!

땅의 경계가 삐뚤빼뚤하거나 강처럼 곡선일 때, 면적을 정확히 재기가 어려워 손해를 볼 수 있습니다. 우리의 'Geo-Calc' 프로그램은 정적분 원리를 활용해 이 문제를 해결합니다.

불규칙한 곡선 경계를 함수 $f(x)$로 설정하고, ∫ab​f(x)dx를 계산하면, 곡선 아래의 면적을 오차 없이 정확하게 구할 수 있습니다. 이 기술은 부동산 거래나 농지 측정에서 1mm의 오차도 없는 정확한 면적을 보장하며, 불필요한 비용 낭비를 막아줍니다. 정적분은 우리 생활의 숨겨진 가치를 높여주는 가장 실용적인 수학 도구입니다.

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극한으로 접근하는 완벽한 

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극한으로 접근하는 완벽한 반응 속도 : 인간과 AI의 경계

핵심 수학 개념: 함수의 극한

적용 분야: e스포츠 · 스포츠 심판 AI · 반응속도 트레이닝 시스템

1. 보도 기능

AI는 0초에 가까워지고, 인간은 극한에 다다른다 .

최근 스포츠 산업에서는 인간 심판이나 선수의 반응 시간이 기술적으로 그리고 수학적으로 중요한 경쟁 요소가 되고 있다. 특히 Major League Baseball(MLB) 등이 자동 스트라이크·볼 판정 시스템(예: Automated Ball‑Strike System·ABS)을 도입하면서, 심판의 반응 및 판정 정확도는 ‘사람이 다다를 수 있는 최소값’과 ‘기계가 접근할 수 있는 0에 가까운 값’이라는 두 극한점으로 압축된다. 예컨대 한 기사에서는 이 자동화 시스템이 “기술이 인간보다 더 정확해질 수 있는 지점에 이르렀다”고 보도하였다. 수학적으로 보면, 인간 반응시간을 수열 an이라 할 때 훈련이나 경험이 쌓일수록 an은 줄어들지만 0에는 도달하지 않는다.

반면 기계(심판 AI)의 판정 오차 d(t)는 시간이 흐를수록 0에 가까워진다.

이 두 수렴 과정이 “인간의 최대 역량”과 “기계의 극한 역량”이라는 스포츠 현장의 경쟁 구도를 수학적으로 보여준다.

2. 지도 기능

극한은 도달할 수 없지만, 가까워질 수 있다 : 인간의 한계를 수학적으로 바라보다.

수학에서 극한은 ‘닿을 수는 없지만 다가갈 수 있는 값’을 의미한다.

이 개념을 스포츠에 대입하면, 인간은 기술이나 훈련으로 반응속도를 계속 단축할 수 있지만 0초에는 도달할 수 없다. 반면 AI는 오차범위를 극한까지 줄여가며 0에 가까운 반응시간을 구현하고 있다. 이런 맥락에서 독자들에게 전하고 싶은 메시지는 다음과 같다:

완벽을 달성하는 게 목적이 아니라, 완벽에 다가가는 과정이 의미 있다.

수학적 사고는 단순히 공식을 외우는 것이 아니라 현실의 ‘한계와 도전’을 읽는 도구이다.

스포츠에서도, 학습에서도, 인생에서도 ‘극한’을 인식하고 ‘수렴’해 가는 태도가 중요하다. 즉, 기술이나 AI가 갖는 ‘0에 가까워지는 능력’을 부러워만 할 게 아니라, 그 과정을 자신의 성장의 지표로 삼는 것이 전략이다.

3. 오락 기능

당신의 반응속도는 몇 초? 극한 도전 테스트

게임 방식: 화면이나 스마트폰 앱에서 불이 켜지면 가능한 한 빨리 버튼을 누르세요.

수학적 포인트: 기록이 작아질수록 당신의 반응시간은 0에 가까워지는 움직임을 보인다. 즉, 당신 스스로의 ‘극한으로의 접근’을 체감하는 활동이다.

4. 광고 기능:

BlazePod Reaction Training System

제품 소개:

BlazePod은 반응속도·민첩성·인지 능력을 훈련하기 위한 스마트 센서 기반 시스템으로, 다양한 색깔의 ‘포드(Pod)’가 발광·음향 신호로 자극을 주고 사용자(선수)가 이를 신속히 반응하도록 설계되어 있습니다.

운동·테니스·농구·e스포츠 등 다양한 분야에서 적용 가능하며, 앱을 통해 실시간 데이터와 반응시간을 측정·기록할 수 있습니다.

출처: https://www.sportsbusinessjournal.com/Articles/2025/09/15/how-why-and-whether-to-automate-more-officiating-in-sports-and-what-are-the-trade-offs/?utm_

https://www.blazepod.com/en-intl?srsltid=AfmBOor5rhHd2FTKXPK4EU21bfuD_2r6MXLNzDnC0UMznHbQLhTEvPUL&utm_

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신문 제목 - 세상을 바꾸는 미적의 발견

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신문 제목 - 세상을 바꾸는 미적의 발견

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보도기능: 삼각함수 미분법 기하학적 증명

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보도기능: 삼각함수 미분법 기하학적 증명-

뷔퐁 바늘실험

https://www.geogebra.org/m/pTwep6KW

주제 선정 동기-

다항함수의 미분법을 배우고, 다항함수 외 다른 함수들도 충분히 미분이 가능하지 않을까하는 고민이 들었다. 그때 삼각함수에 대해 떠올렸는데, 삼각함수의 미분법을 찾아보니 수2 지식으로는 이해가지 않는 과정이 있었다. 그래서 다른 방법을 찾아보다가, sin, cos도 결국 도형에서 나왔기 때문에 기하적으로 접근하니 기하적인 증명 방법을 찾을 수 있었다

그래서 이에 대해 소개하기 위해 위 주제를 선정했다. 또한 확통 수행평가 시간에 탐구한 원주율을 구하는 여러가지 방법 중 뷔퐁의 바늘실험에서 실험 증명 과정 중 삼각함수 미분법의 원리가 들어간다는 것을 깨달아 연관지어 이 또한 증명했다

느낀점:

삼각함수의 미분을 기하학적으로 증명하는 과정에서, 단순히 이론적인 계산만을 넘어서 실제적인 기하학적 직관을 얻을 수 있었다. 또한 원 둘레의 일부분을 무한히 확대해서 보면 직선과 다르지 않다는 근사의 원리를 이해해 수학적 개념에 직관적으로 다가갈 수 있었다. 또한 뷔퐁의 바늘 실험을 통해 원주율을 구하는 과정에서도, 수2 미적분 개념을 배우기 전까지는 이해하기 어려웠는데 이번 탐구를 통해 궁금증을 직접 해소할 수 있어 뿌듯했다. 그리고 삼각함수와 적분이 현실 세계에서 어떻게 유용하게 사용되는지를 배울 수 있었다. 이 활동은 단순히 수학을 배우는 것이 아니라, 수학이 실제로 어떻게 세상과 연결되고 응용되는지에 대한 통찰을 주었다.

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보도 자료경제학의 ‘한계효용

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보도 자료

경제학의 ‘한계효용’과 수학의 ‘함수의 극한’은 서로 다른 학문 언어로 쓰이지만, 놀랍게도 같은 사고의 뿌리를 공유한다. 한계효용은 어떤 재화를 한 단위 더 소비할 때 얻는 추가적인 만족의 크기를 뜻한다. 초콜릿 한 조각을 처음 먹을 때의 만족은 크지만, 다섯 번째나 여섯 번째 조각쯤 되면 그 기쁨은 줄어든다. 경제학자들은 이 변화를 ‘한계효용의 체감’이라고 부른다. 그런데 이 개념을 수학적으로 들여다보면, 그것은 곧 함수의 극한이자 미분의 개념과 맞닿아 있다.

효용은 소비량을 입력값으로 하는 함수 U(x)로 표현할 수 있다. 재화를 조금 더 소비했을 때 효용이 얼마나 변하는지를 측정하려면, U(x)의 증가분을 소비량의 증가분으로 나눈 뒤 그 증가분이 0으로 가까워질 때의 값을 구해야 한다. 이것이 바로 미분의 정의이며, 한계효용의 본질이다. 다시 말해, ‘한계’라는 말은 경제학자들이 수학에서 빌려온 ‘극한’이라는 개념의 응용이다.

이 관점에서 보면, 한계효용 체감의 법칙은 효용함수가 점점 완만해지며 어떤 상한값으로 수렴하는 현상이다. 아무리 많은 재화를 소비하더라도 인간이 느낄 수 있는 만족은 일정한 수준을 넘지 못한다. 수학적으로는 \lim_{x \to \infty} U(x) = U_{\text{max}}와 같은 형태로 표현된다. 효용은 무한히 커질 것 같지만, 실제로는 일정한 한계값에 접근하면서 멈춘다. 이는 마치 함수가 어떤 값에 가까워지지만 결코 도달하지 않는 ‘극한’의 개념과 정확히 일치한다.

결국 한계효용과 극한은 모두 미세한 변화 속에서 본질을 포착하려는 인간의 지적 노력의 산물이다. 수학은 자연의 연속성을 이해하기 위해 극한을 만들었고, 경제학은 인간의 욕망과 선택을 설명하기 위해 한계를 도입했다. 극한이 자연의 질서를 해석하는 도구라면, 한계효용은 인간 행동의 질서를 해석하는 언어다. 두 개념은 학문적 경계를 넘어 ‘변화 속의 질서’라는 같은 철학적 문제를 향해 수렴한다.

이처럼 경제학의 한계효용을 함수의 극한으로 바라보면, 인간의 선택이 결코 무한하지 않다는 사실이 드러난다. 우리의 만족은 언젠가 포화 상태로 수렴하고, 그 한계 속에서 우리는 다음 선택을 고민한다. 결국 경제학의 수식 속에서도 수학의 미세한 논리 속에서도, 인간은 늘 ‘극한’의 경계에서 살아간다.

지도 기사

함수의 극한은 어떤 함수의 값이 특정한 수에 점점 가까워질 때, 그 함수가 어떤 값을 향해 가는지를 알아보는 개념이다. 쉽게 말하면, 함수 f(x)가 있을 때 x가 어떤 값 a에 가까워질수록 f(x)가 일정한 값 L에 가까워진다면, 우리는 “f(x)의 극한은 L이다”라고 말한다. 이를 기호로는 \lim_{x \to a} f(x) = L이라고 쓴다.

예를 들어 f(x) = 2x + 1일 때, x가 3에 가까워질수록 f(x)는 7에 가까워진다. 그래서 \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7이라고 한다. 이때 중요한 점은 x가 실제로 3이 될 필요는 없다는 것이다. 단지 3에 아주 가까운 값들로 다가갈 때 f(x)가 어떤 값을 향해 가는지를 보는 것이다.

함수의 극한을 이해하기 위해서는 두 가지 방향에서 접근하는 개념도 필요하다. 왼쪽에서 a로 접근할 때의 극한을 좌극한이라고 하고, 오른쪽에서 a로 접근할 때의 극한을 우극한이라고 한다. 만약 좌극한과 우극한이 서로 다르면, 그 점에서의 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어 계단 모양으로 끊긴 함수에서는 한쪽에서는 값이 올라가고 다른 쪽에서는 갑자기 떨어지므로, 그 점에서는 극한이 존재하지 않는다.

이러한 극한 개념은 연속성과 미분을 이해하는 데 꼭 필요하다. 함수가 어떤 점에서 끊기지 않고 부드럽게 이어지려면, 그 점의 좌극한과 우극한이 같고, 또 그 값이 실제 함수값과 같아야 한다. 즉, \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)가 되어야 그 점에서 함수가 연속이라고 한다.

요약하자면, 함수의 극한은 단순히 “값이 가까워진다”는 직관을 수학적으로 엄밀하게 표현한 것이다. 극한이 존재한다는 것은 함수가 그 근처에서 일정한 규칙성을 가지고 있다는 뜻이며, 이는 미분과 적분의 기초가 되는 매우 중요한 개념이다.

도서 광고

《코시가 들려주는 연속함수 이야기》는 함수의 극한과 연속 개념을 중심으로 수학자 코시가 쉽고 재미있게 설명하는 책입니다. 책은 함수의 극한에 관한 기본 개념부터 시작해 좌극한과 우극한, 발산, 극한의 성질과 극한값을 구하는 방법까지 체계적으로 다룹니다. 이어서 연속함수의 정의와 성질, 그리고 연속함수가 어떻게 활용되는지에 관해 단계별로 설명합니다.

특히 이 책은 고등학교에서 어려워하는 함수의 극한과 연속 개념을 선행학습 없이도 이해할 수 있도록 기초 개념을 충분히 설명하며, 수학자와 과학자가 등장해 수학과 과학을 연결하는 과정을 통해 개념을 쉽게 받아들일 수 있도록 구성되어 있습니다. 실생활 예시와 흥미로운 이야기들이 곁들여져 독자들이 어렵게 느끼는 추상적인 수학 개념을 친근하게 다가오도록 돕고, 연속함수를 공부할 때 필요한 사고 단계들을 차근차근 밟아가도록 안내합니다.

따라서 함수의 극한과 연속의 개념적 이해부터 응용까지 폭넓게 익히고 싶은 학생이나 독자에 적합하며, 이론뿐 아니라 적용에 대한 실용적인 시각도 제공합니다. 이 책을 통해 독자들은 연속함수를 단순한 암기가 아닌, 실제로 이해하고 활용할 수 있는 개념으로 체화할 수 있습니다.

빈칸 퀴즈

1. 일반 극한 \lim_{x \to a} f(x)이 존재하려면 좌극한과 우극한이 ________ 해야 한다. (일치)

2. lim_{x \to \infty} f(x) = L이면, x가 충분히 커질수록 f(x)는 _____ 에 가까워진다. (L)

3. lim_{x \to \infty} f(x) = \infty라는 말은 x가 커질수록 f(x)의 값이 ____ 커진다는 의미이다. (무한히)

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제동거리 퀴즈- 비행기 제동거리 미분으로 구해보자

1)k초 동안 움직인 거리를 X라고 하면 X=25k-0.5k²라 한다

속도 = dx/dk =25-k

비행기가 정지할 때의 속도는 0이므로 25-k=0 .. k=25

이때 25초동안 비행기가 움직인 거리는 25*25-0.5×25²=312.5(m)이다

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최근 몇 년간의 소비자물가지수(CPI) 도함수 그래프를 보면, 물가 상승률의 변화가 점점 완만해지고 있다는 것을 확인할 수 있다.

신호라고 생각한다.

이는 단순히 물가가 내려갔다는 의미가 아니라, 물가가 더 이상 급격히 오르지 않는 '안정 국면에 진입했다는

나는 이러한 흐름이 정부의 긴축 정책과 국제 원자재 가격 안정, 소비심리 위축 등이 함께 작용한 결과라고 본다.

특히 도함수가 음수로 크게 하락했던 시기에는 고금리 정책이 물가 억제에 실질적인 효과를 냈다는 점에서, 정책적 개입이 단기적으로 물가 흐름을 조절할 수 있음을 보여준다고 생각한다.

하지만 그래프 후반부에서 보이듯, 도함수가 다시 0 근처를 오르내리는 것은 물가가 완전히 안정된 것이 아니라 '불안정한 균형' 상태에 있다는 의미로도 해석된다.

즉, 전기•가스요금이나 식료품 가격 등 일시적 요인에 따라 언제든지 물가가 다시 오를 가능성이 있다.

따라서 나는 앞으로의 경제 정책이 단순히 금리나 물가 조절에 그치지 않고, 소비 회복과 생산성 향상을 함께 고려한 '균형 잡힌 경제 안정 정책'으로 발전해야 한다고 생각한다.

그래야만 물가 안정이 일시적인 현상이 아니라, 지속 가능한 경제 성장의 기반이 될 수 있을 것이다

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미분으로 완성된 안전 — 똑똑한 브레이크가 생명을 지킨다

자동차 제동 시스템의 핵심은 미분이다.

현대자동차의 스마트 제동 보조 시스템(ABS)은 제동 거리 변화를 순간순간 계산하여 바퀴가 잠기지 않도록 제어한다.

이 기술은 속도 변화율, 즉 가속도(미분 개념)를 실시간으로 분석해 최적의 제동력을 분배합니다.

최신 차량에 탑재된 ADAS(첨단 운전자 보조 시스템)과 함께

더 안전한 도로, 더 짧은 제동거리를 만들어간다.

수학으로 달리는 자동차, 바로 현대 과학이 만든 안전이다.

출처https://ownersmanual.hyundai.com/docview/webhelp/doc/8bf31204-4eb5-48f8-a3be-f1c555de359.html

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수투일보-미분과 제동거리의 놀라운 관계

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함수의 연속성 개념은 

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함수의 연속성 개념은 미적분학의 발달과 함께 시작되었으며, 처음에는 직관적인 '끊어지지 않는' 성질에 대한 이해에서 출발했습니다. 17세기 뉴턴과 라이프니츠가 미분을 정의하면서 극한의 필요성이 대두되었고, 이 극한 개념이 함수의 연속성을 엄밀하게 정의하는 기반이 되었습니다. 이후 19세기 해석학의 발달 과정에서 코시 와 바이어슈트라스 같은 학자들이 극한을 엄밀하게 정의하면서 함수의 연속성 또한 엄밀한 수학적 정의를 갖추게 되었습니다

함수의 연속성 개념의 역사적 발달

고대: 아리스토텔레스는 '끊어짐이 없다'는 의미로 연속 개념을 사용했으나, 이는 엄밀한 수학적 정의는 아니었습니다.

17세기 (미적분학의 시작):

뉴턴과 라이프니츠는 미분 가능성을 다루면서, 변수가 작은 변화를 일으킬 때 함수값이 어떻게 변하는지에 대한 아이디어를 발전시켰습니다. 이 과정에서 극한(limit)이라는 개념이 필요하게 되었습니다.

라이프니츠는 최초로 함수를 수학적으로 정의하고, 미적분학의 기초를 다지는 데 큰 공헌을 했습니다.

19세기 (해석학의 엄밀화):

초기의 함수 개념은 지금보다 느슨했습니다. 그러나 미분이나 적분과 같은 연산의 정의가 복잡해지면서, 함수의 연속성에 대한 더 엄밀한 정의가 필요해졌습니다.

코시와 바이어슈트라스는 **엡실론-델타 논법(ε-δ argument)**을 도입하여 극한을 엄밀하게 정의했습니다. 이 엄밀한 극한 정의를 통해 함수의 연속성 또한 "어떤 점 $a$에서 함수값 $f(a)$에 한없이 가까워질수록, $x$값도 $a$에 한없이 가까워지면 $f(x)$도 $f(a)$에 한없이 가까워진다"와 같이 엄밀하게 정의될 수 있게 되었습니다.

20세기 이후 (위상수학):

함수의 연속성 개념은 실수 집합뿐만 아니라, 더 일반적인 위상 공간이나 거리 공간에서도 정의될 수 있게 되었습니다.

함수의 연속성에 대한 위상수학적 정의는, 원래의 직관적인 정의(그래프가 끊어지지 않음)에서 나아가, 집합의 '열린 집합' 개념을 통해 일반화되었습니다.

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https://miraeinjae1297.tistory.com/m/entry/%EA%B3%BC%ED%95%99-%EA%B3%B5%ED%95%99-%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84-%EC%84%B8%ED%8A%B9-%EC%A3%BC%EC%A0%9C-%ED%83%90%EA%B5%AC-%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%BC-%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%9D%84-%ED%99%9C%EC%9A%A9%ED%95%9C-%EC%9E%90%EC%9C%A8%EC%A3%BC%ED%96%89-%EC%9E%90%EB%8F%99%EC%B0%A8-%EA%B0%9C%EB%B0%9C

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[과학 공학] 미적분 세특 주제 탐구 - 미분과 적분을 활용한 자율주행 자동차 개발

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[과학 공학] 미적분 세특 주제 탐구 미분과 적분을 활용한 자율주행 자동차 개발 안녕하세요. 대치동 미래인재 입시컨설팅입니다. 오늘은 현대 기술 분야에서 벌어지고 있는 혁신적인 변화에 대해 살펴보려고 합니다. 특히, 수학 분야 중 ‘미적분‘과 자율주행 자동차 개발 간에 존재하는 흥미로운 연관성에 대해 이야기해보려고 합니다. 과거에는 자동차가 운전자의 주행 능력과 판단에 의존했지만, 현재는 기술의 발전으로 인해 운전을 자동화하고, 운전자를 편안한 승객으로 변화시키는 시대가 도래했습니다. 이러한 혁신적인 변화의 중심에는 수학적 개념과 기술이 함께 작용하고 있습니다. 특히, ‘미적분’은 자율주행 자동차의 핵심 부분 중 하나로 부각되고 있습니다. 미적분은 함수의 변화와 물리적인 양의 계산을 다루는 수학 분야이며…

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경제학과 수학, 극한에서 만나다

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오락기능:마인드맵미분 미분계

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오락기능:마인드맵

미분 미분계수 평균 변화율 등분 도함수 극대극소 증가와 감소 접선의 방정식 평균값 정리

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보도기능 기사 : 실생활 속 미분 응용

제목: 📈 “자동차 속도에서 경제 성장률까지 — 미분이 세상을 움직인다”

우리 주변의 변화는 모두 ‘순간의 변화율’로 측정된다. 자동차 속도계는 거리의 시간에 대한 미분으로 만들어지고, 경제학에서는 GDP 성장률이 생산량의 변화율을 의미한다.

미분은 단순한 계산 기술이 아니라 “변화하는 세상을 수치로 읽는 언어”다. 물리학에서는 속도와 가속도를, 생물학에서는 세포 성장 속도를, 그리고 환경 과학에서는 온실가스 증가율을 예측하는 데 쓰인다.

최근 인공지능(AI) 분야에서도 ‘경사하강법’이라는 미분 원리가 핵심이다. AI가 학습할 때 오차를 줄이는 방향으로 파라미터를 조정하는 과정이 바로 ‘미분’을 통해 이뤄지기 때문이다.

결국 미분은 단순히 그래프 위의 기울기를 구하는 도구가 아니라, 세상의 변화 그 자체를 해석하는 수학의 언어라고 할 수 있다.

지도기능 기사 : 사설/칼럼

제목: ✍️ “미분을 모른다면 세상을 이해할 수 없다”

미분은 어렵다고 피하는 학생이 많지만, 사실 미분 개념은 논리적 사고력의 핵심 훈련이다. 작은 변화를 포착하고 그 의미를 분석하는 능력은 과학뿐 아니라 사회 전반에 걸쳐 필요하다.

경제가 왜 갑자기 성장했는지, 환경 오염이 얼마나 빠르게 진행되는지, 데이터가 어떤 방향으로 바뀌는지를 이해하려면 결국 ‘변화율’ 개념이 필수다.

“AI와 데이터 시대의 문해력은 수학적 사고력에서 나온다.”

따라서 교육 현장에서는 미분을 단순 계산이 아닌 세상과 현상을 읽는 언어로 가르칠 필요가 있다.

오락 기능 : [영화 속 수학]

〈오펜하이머〉 속 미분방정식의 그림자

핵폭탄 개발 과정에서 등장한 핵심 개념 중 하나가 바로 미분방정식이다.

시간에 따라 변하는 반응 속도, 폭발 에너지 분포 등을 계산할 때 ‘변화율’을 다루는 미분이 필수였다.

실제로 영화 속 과학자들이 칠판 가득 적는 식들은, 물리학의 복잡한 미분방정식들을 단순화한 것이다.

“미분은 단순 계산이 아니라 세상을 모델링하는 언어”임을 보여주는 대표 장면이다.

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“미분 그래프를 직접 보고 싶은 순간, CLASSWIZ를 켜라.”