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Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador .

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1) , este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m . de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.) . (No confundir con M.C.D, Máximo Común Divisor)

Para calcular el m.c.m. factorizamos

Multiplicamos los factores y queda que es lo mismo que y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a 2 b 2 ) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a 2 b 2 ) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que "los términos que faltan" se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables .

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d)

Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas .

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Ver: PSU: Matematica

Pregunta 01_2010

Pregunta 18_2010

Pregunta 25_2010

Fuentes Internet:

http://www.geolay.com/pagehtm/algeb03.htm

http://www.geolay.com/index.htm

http://www.geolay.com/guias/fracciones%20algebraicas.pdf

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Fracciones_algebraicas

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Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad.

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Una fracción algebraica es una expresión en forma de fracción común, es decir, contiene dos expresiones, una debajo de la otra y separadas por una línea. A la expresión superior se le llama numerador y a la expresión inferior denominador. Además de que este último valor debe ser diferente de cero, para el caso de fracciones algebraicas ambas expresiones son polinomios.

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Cabe señalar que tanto el numerador como el denominador de una fracción algebraica pueden contener sumatorias, restas, multiplicaciones o incluso potencias.

Otro punto a tener en cuenta es que el resultado de una fracción algebraica debe existir, por lo que el denominador debe ser distinto de cero.

Es decir, se cumple la siguiente condición, donde A(x) y B(x) son los polinomios que forman la fracción algebraica:

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Algunos ejemplos de fracciones algebraicas pueden ser las siguientes:

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando se cumple lo siguiente:

Lo anterior quiere decir que el resultado de ambas fracciones es el mismo, y además, el producto de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de primera fracción por el numerador de la segunda.

Debemos tomar en cuenta que para construir una fracción equivalente a la que ya tenemos, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número o por la misma expresión algebraica. Por ejemplo, si tenemos la siguientes fracciones:

Comprobamos que ambas fracciones son equivalentes y además se puede advertir lo siguiente:

Es decir, como mencionábamos previamente, cuando multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la misma expresión algebraica, obtenemos una fracción algebraica equivalente.

Los fracciones pueden clasificarse en:

Simples: Son las que hemos observado a lo largo del artículo, donde ni el numerador ni el denominador contienen otra fracción.

Complejas: El numerador y/o el denominador contienen otra fracción. Un ejemplo puede ser el siguiente:

Otra forma de clasificar las fracciones algebraicas es la siguiente:

Racionales: Cuando la variable está elevada a una potencia que no es una fracción (como los ejemplos que hemos visto en todo el artículo).

Irracionales: Cuando la variable está elevada a una potencia que es una fracción, como es el siguiente caso:

En el ejemplo, podríamos racionalizar la fracción reemplazando la variable por otra que permita no tener fracciones como potencias. Entonces, si y reemplazamos en la ecuación tendremos lo siguiente:

La idea es hallar el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces que, en este caso, es 1/2 (1*1/2). Entonces si tenemos la siguiente ecuación irracional:

Debemos primero hallar el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces que sería: 2*5=10. Entonces, tendremos una variable y=x 1/10. Si reemplazamos en la fracción, tendremos ahora una fracción racional:

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Las fracciones algebraicas son aquellas que pueden representarse como el cociente de dos polinomios, es decir, como la división entre dos expresiones algebraicas que contienen números y letras . Cabe señalar que tanto el numerador como el denominador de una fracción algebraica pueden contener sumatorias, restas, multiplicaciones o incluso potencias.

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Pasos para la simplificación de fracciones algebraicas

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Pasos para la simplificación de fracciones algebraicas

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1 Factorizamos el numerador, el cual es un trinomio cuadrado perfecto

2 Factorizamos el denominador, el cual es una diferencia de cuadrados

3 Simplificamos por el factor común  y obtenemos
4 Factorizamos el numerador, el cual posee un factor común y una diferencia de cuadrados.