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Nombre: Marcelo Armando Valle Pérez
Profesor: Juan Correa
Sección: 9no A
Colegio Salesiano San Juan Bosco

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Ecuación lineal
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una ecuación algebraica que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ecuación cuadrática de una variable
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

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Dentro de 30 años la edad de Andrea será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene Andrea hoy?

Definimos “x” como la edad actual de Andrea.

Planteamos la ecuación: x + 30 = (x – 10)2 / 2

x + 30 = (x² – 20x + 100) / 2

2x + 60 = x² – 20x +100

60 – 100 = x² – 20x – 2x

x² – 22x + 40 = 0

Encontramos dos números que multiplicados sean 40 y sumados -22: ( x – 20 )( x – 2 ) = 0

x = 20, x = 2  Estas son las dos soluciones, pero 2 años no es posibles ya que hace 10 años no hubiera nacido por lo tanto la edad actual de Andrea son 20 años.

2 Problema:
Consideremos el siguiente ejemplo: La longitud de un terreno excede su ancho en 7 metros y el área del terreno es de 120 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones?

SOLUCIÓN:

Sea
x = longitud
y = ancho entonces, x - y = 7         (1) y xy = 120       (2) Resolviendo (1) para y,   y = x - 7Sustituyendo (x - 7) por y en (2)
x(x  - 7) = 120Por tanto,x ²  - 7 x - 120 = 0(x  - l5)(x + 8) = 0x = 15,  x = -8Entonces, longitud = +15 ó -8.

Pero, evidentemente, la longitud no puede ser un valor negativo. En consecuencia, rechazamos - 8 como valor para x y usamos sólo el valor positivo + 15. Así, pues, de la ecuación (1),

15 - y = 7
y = 8
Longitud 15 ,  Ancho = 8

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Un ejemplo de una Ecuación Cuadrática:

Las Ecuaciones Cuadráticas hacen curvas bonitas, como ésta:

Name

La palabra cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un NOTAcuadrado (en otras palabrasx²).

También se les llama "Ecuaciones de Segundo NOTAGrado" (debido al "2" sobre la x).

Forma estándar

La Forma estándar de una Ecuación Cuadrática se ve parecida a esto:

"x" es la o incógnita (todavía no sabemos su valor).

Aquí unos ejemplos:

¡Juega!

Juega con el " Graficador de Ecuaciones Cuadráticas" para que puedas ver:

la gráfica que se forma, y

las soluciones (llamadas "raíces").

¡Ecuaciones Cuadráticas Disfrazadas!

Como vimos antes, la Forma Estándar de una Ecuación Cuadrática es

¡Pero a veces una ecuación cuadrática se ve diferente!

Por ejemplo:

Cuadrática Disfrazada

En Forma Estándar

a, b y c

x² = 3x − 1
Mueve todos los términos a la izquierda
x² − 3x + 1 = 0
a=1, b=−3, c=1

2(w² − 2w) = 5
Desarrolla (quita los paréntesis),
y mueve el 5 a la izquierda
2w² − 4w − 5 = 0
a=2, b=−4, c=−5

z(z−1) = 3
Desarrolla y mueve el 3 a la izquierda
z² − z − 3 = 0
a=1, b=−1, c=−3

¿Cómo encontramos la solución?

Las " soluciones" de una Ecuación Cuadrática son los valores donde la ecuación es igual a cero.

También se les llama "raíces", o incluso "ceros".

Normalmente hay 2 soluciones (como se muestra en la gráfica).

Y hay diferentes métodos para encontrar las soluciones:

O podemos usar la famosa Fórmula Cuadrática:

Tan solo pon los valores de a, b y c, y haz las operaciones.

Veremos este método con mayor detalle a continuación.

Acerca de la Fórmula Cuadrática

Más/Menos

Primero que nada, ¿qué es ese símbolo de más/menos que se ve así ± ?

El signo ± significa que hay DOS respuestas:

Aquí hay un ejemplo con dos respuestas:

¡Pero no siempre se ve así!

Imagina si la curva "solo toca" el eje-x.

¡O imagina que la curva está tan arriba que ni siquiera cruza al eje-x!

Es aquí cuando el "Discriminante" nos ayuda ...

Discriminante

¿Ves la parte donde dice en la fórmula de arriba? Se llama Discriminante, porque puede "discriminar" entre los posibles tipos de respuesta:

cuando es positivo, obtenemos dos soluciones reales

si es cero, sólo hay UNA solución real (en realidad las dos soluciones son la misma)

cuando es negativo, obtenemos un par de soluciones complejas

¿Soluciones complejas? Hablaremos de ellas después de que aprendamos a usar la fórmula.

El uso de la Fórmula Cuadrática

Para resolverla, solo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: Resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Las podemos ver en esta gráfica

¿Soluciones Complejas?

Cuando el discriminante (el valor de ) es negativo obtenemos un par de respuestas Complejas ... ¿Qué significa eso?

Significa que nuestra respuesta incluye Números Imaginarios. ¡Wow!

Ejemplo: Resuelve 5x² + 2x + 1 = 0

La curva no cruza al eje-x. Ésa es la razón por la que vemos números complejos en la respuesta.

De cierta forma es un poco más fácil: ya no necesitamos hacer más operaciones, solo dejamos la respuesta como −0.2 ± 0.4 i.

Ejemplo: Resuelve x² − 4x + 6.25 = 0

La curva no cruza al eje-x. Ésa es la razón por la que vemos números complejos en la respuesta.

PERO una imagen espejo arriba/abajo de nuestra ecuación sí que cruza el eje-x en 2 ± 1.5 (nota: no hay i).

¡Un dato interesante para ti!

Resumen

Ecuación Cuadrática en Forma Estándar: ax² + bx + c = 0

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser factorizadas

Cuando el Discriminante () es:

positivo, hay 2 soluciones reales

cero, hay 1 solución real

negativo, hay 2 soluciones complejas

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

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Matematicas explicadas en un lenguaje sencillo, puzzles, juegos, tests y hojas de ejercicios

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Obtención de las Raices de una Ecuación Cuadrática